最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习小题提速练(一)
山东省荷泽市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(培优卷)完整试卷
山东省荷泽市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）A．B．C．D．第(2)题已知正方体的棱长为，以为球心，半径为2的球与底面的交线的长度为（）A．B．C．D．第(3)题“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题若复数，实数a，b满足，则（）A．2B．4C．D．第(5)题关于函数，给出如下结论：①的图象关于点对称②的图象关于直线对称③的最大值是3④是函数的周期其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为a的球，记其体积为，表面积为，则A．>且>B．<且<C．=且>D．=且=第(8)题已知，则（）A．B．C．3D．7二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（）A．在旋转过程中，点运动的轨迹长度为B．点到平面的距离为C．异面直线与所成的角为90°D．直线与平面所成角的正弦值为第(2)题设定义在R上的函数满足：①：②对任意实数满足；③存在大于零的常数m，使得，且当时，．则（）A．B．当时，C．函数在R上没有最值D．任取第(3)题为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是_________．第(2)题右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______________第(3)题直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四面体ABCD中，是边长为4的等边三角形，，，若O，E分别为和的中点，且.(1)证明：平面ABD；(2)求直线BE与平面ADC所成角的正切值第(2)题已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围.第(3)题设函数.（1）当时，求的单调区间是的导数)；（2）若有两个极值点､，证明：.第(4)题已知等差数列，其前项和满足为常数.(1)求及的通项公式；(2)记数列，求前项和的.第(5)题已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号.(1)如果从第7行第5列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（附：随机数表的第6行至第10行）66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85 11 19 92 91 70 81 05 01 08 05 45 57 18 24 05 35 30 34 28 14 88 79 90 74 39 23 40 30 97 32 83 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 55 57 48 18 73 05 38 52 47 18 62 38 85 79 63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 85 75 18 28 46 82 87 09 83 40 12 56 24 73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44 35 27 38 84 38(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀12204良好10186及格4成绩分为优秀､良好､及格三个等级，横向､纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有人.①若在该样本中，数学成绩优秀率为，求，的值；②若，，将，表示成有序数对，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率.。
高考数学(文科)模拟冲刺试题5套
高考数学（文科）模拟冲刺试题5套高考模拟考试文科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足1z i z=+(i 为虚数单位)，则z = A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i -- D ．1122i - 2．设集合(){}11ln 2,,22x A x y x B x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-=>⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则 A ．{}1x x <- B ．{}2x x < C ．{}12x x -<< D ．{}2x x -1<≤ 3．在某次测量中得到的甲样本数据如下：22，23，26，32，22，30，若乙样本数据恰好是甲样本数据都减3后所得数据，则甲，乙两个样本的下列数字特征对应相同的是A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为23356,6,64=n S a a a a S +=⋅=则A ．31B ．32C ．63D ．645．已知12F F 、分别为双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点，过点1F 且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 两点，当2F AB ∆为等腰直角三角形时，此双曲线的离心率为A BC ．2D 6．已知函数()()()()2sin 00x f x e x f x f =+，则在点，处的切线方程为A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．310x y -+=D ．310x y --=7.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为A ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是9．下列程序框图最终输出的结果S 为A ．910B ．1011C ．9D ．1010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．18+B．18+C．14+D．18+11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()201f x f x x -=<≤，当时， ()1x f x e x =-，则函数()(]23y f x =-在，上的零点个数是 A ．7 B ．8 C ．9D ．10 12．斜率为k 的直线l 过抛物线()220C y px p =>：的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，若8,=AB EF =则A ．2B ．4 C.8 D. 16第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()()2,1,4,,//a b m a b =-=若，则实数m = ▲ ． 14．已知实数,x y 满足约束条件2020,220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩则11y z x +=+的最小值为 ▲ ． 15．已知直线3410x y -+=与圆C ：2284170x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则AB AC ⋅=▲16．已知数列{}{},n n a b 均为公差为1的等差数列，其首项11111,4,a b a b a +=满足且1b N*∈设()n n a c b n N *=∈，则数列{}n c 的前10项和为 ▲ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin b B a A b c C -=-． (I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a b c ABC =+=∆的面积．18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，D ，E 分别为BC ，CC 1的中点，12,3AA AC AB BC ====．(I)证明：1//A B 平面1ADC ；(Ⅱ)求三棱锥1E A BC -的体积．19．(本小题满分12分)某企业为提高生产效率，决定从全体职工中抽取60名男性职工，40名女性职工进行技术培训，培训结束后，将他们的考核分数分成4组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：(I)若从考核分数[]90,100内随机抽取2人代表本企业外出比赛，求至少抽到一名女性职工的概率；(Ⅱ)若考核分数不低于80分的定为“技术能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为“技术能手与职工性别有关”?附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为())12F F 和，椭圆E 与抛物线26C x y =：的一个交点坐标为12⎫⎪⎭． (I)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过抛物线C 的焦点的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值(其中O 为坐标原点)．21．(本小题满分12分)已知函数()()()2ln ,xe f x x a x a R g x x=-∈=． (I)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)当2a =时，证明：()()g x f x >．(二)选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线121cos :4sin x C x y C y αα=+⎧+=⎨=⎩，曲线：（α为参数），过坐标原点O 的直线l 交曲线1C 于点A ，交曲线2C 于点B(点B 不是原点)．(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，写出曲线1C 和2C 的极坐标方程；(Ⅱ)求OB OA 的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)设函数()21f x x =-．(I)设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；(Ⅱ)已知m 为(I)中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=(其中,,a b c 为正实数)， 求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥．高考模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1<=x x A ，{}1<=x e x B ，则（ ） A ．{}1<=⋂x x B A B ．{}e x x B A <=⋃ C ．R B C A R =⋃ D ．{}10<<=⋂x x B A C R2.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率（ ）A ．41 B ．21 C ．8π D ．4π 3.下面四个命题中，正确的是（ ）A ．若复数21z z =，则R z z ∈∙21B ．若复数z 满足R z ∈2，则R z ∈C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则21z z =或21z z -=D ．若复数1z ，2z 满足R z z ∈+21，则R z ∈1，R z ∈24.已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率为35，其左焦点为)05(1，-F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y xB ．14322=-y x C.191622=-y x D ．116922=-y x 5.执行如图所示程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-4B ．4 C.-6 D ．6 6.已知），（ππα2∈，43-)tan(=-πα，则=-)4cos(πα（ ） A ．102 B ．102- C.1027 D ．1027-7.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数解析式可能为（ ）A ．x x x y cos += B ．x x x y sin 2+= C. x xx y cos -= D ．xxx y sin -= 8.若将函数)0(cos >=ωωx y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．21 B ．23 C.25 D ．27 9.已知函数xxx f ln )(=，则（ ）A ．)(x f 在e x =处取得最小值e1B ．)(x f 有两个零点C.)(x f y =的图象关于点）（0,1对称 D ．)3()()4(f f f <<π10.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且Ab Ba B B C cos cos sin sin sin 2=-，则A =（ ） A ．6π B ．4π C.3π D ．32π11.已知三棱柱111C B A ABC -，平面β截此三棱柱，分别与AC ，BC ，11C B ，11C A 交于点E ，F ，G ，H ，且直线//1CC 平面β.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面//β平面11A ABB ；③若三棱柱111C B A ABC -是直棱柱，则平面⊥β平面111C B A .其中正确的命题为（ ）A ．①②B ．①③ C.①②③ D.②③12.直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若BAF ABF ∠=∠sin 2sin ，则k 的值是（ ）A.32 B ．322 C.1 D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为 ．14.在等腰ABC ∆中，AC AB =，6=BC ，点D 为边BC 的中心，则AB BD ⋅= ．15.设x ，y 满足约束条件21021010x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则23z x y =-的最大值为 ．16.设函数()f x ()m R ∈满足()()sin f x f x x π-=-，当0x π-<≤时，则2018()3f π= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，0n a >*()n N ∈，66S a +是44S a +，55S a +的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1212log n n b a -=，数列12{}n n b b +的前n 项和为n T ，求n T . 18.如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，BC AB =，11AA DA =， 120=∠ABC .（1）证明：1BA AD ⊥；（2）14AD DA ==，1BA =1111BCD AB C D -的体积 19.“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”.他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数.其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：20000(-A 步)(说明:“20000-”表示大于等于0,小于等于2000.下同),50002000(-B 步),80005001(-C 步),100008001(-C 步),10001(E 步及以E ),且E D B ,,三种类别人数比例为4:3:1,将统计结果绘制如图所示的柱形图.若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型",否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在10000~5001步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?（3）若从杨老师当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友的概率附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=κ，20.已知平面上动点P 到点F 的距离与直线x =P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）设(,)M m n 是曲线E 上的动点，直线l 的方程为1mx ny +=. ①设直线l 与圆221x y +=交于不同两点C ，D ，求CD 的取值范围； ②求与动直线l 恒相切的定椭圆'E 的方程；并探究：若(,)M m n 是曲线Γ：221Ax By +=(0)A B ⋅≠上的动点，是否存在与直线l ：1mx ny +=恒相切的定曲线'Γ？若存在，直接写出曲线'Γ的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数()()xf x x a e =--21(1)2ax a a x +-.()x R ∈（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2,0)，求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，动点P 满足OM a OP =（0>a 且1≠a ），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为)3,2(π，射线αθ=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为324+，求a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知m x x x f -++=1)(.（1）若2)(≥x f ，求m 的取值范围；（2）已知1>m ，若)1,1(-∈∃x 使3)(2++≥mx x x f 成立，求m 的取值范围.高三文科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:CCADB 6-10:BABDC 11、12：BB 二、填空题 13.23π 14.9- 15.5 16.23 三、解答题17.解：（1）∵66a S +是44a S +，55a S +的等差中项， ∴554466)(2a S a S a S +++=+ ∴66554466a S a S a S a S --+=--+， 化简得，464a a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，则41462==a a q ， ∵)(0*N n a n ∈>，∴0>q ，∴21=q ， ∴21)21()21(2--=⨯=n n n a .（2）由（1）得：3221log log 3-n 2211221-===-n a b n n ）（，设，121321)12)(32(221---=--==+n n n n b b C n n n ， ∴1221211)121321()5131()3111()1111(21--=---=---+⋅⋅⋅+-+-+--=+⋅⋅⋅++=n n n n n C C C T n n .（1）证明：取AD 中点O ，连接OB ，1OA ， ∵11DA AA =，∴1OA AD ⊥，∵在ABCD 中， 120=∠ABC ，∴ 60=∠BAD ， 又∵BC AB =，则AD AB =，∴ABD ∆是正三角形， ∴OB AD ⊥∵⊂1OA 平面1OBA ，⊂OB 平面1OBA ，O OB OA =⋂1， ∴⊥AD 平面1OBA ， ∴B A AD 1⊥.（2）由题设知AD A 1∆与BAD ∆都是边长为4的正三角形， ∴321==OB O A ，∵621=B A ， ∴21221B A OB O A =+，∴OB O A ⊥1， ∵AD O A ⊥1， ∴⊥O A 1平面ABCD ，∴O A 1是平行六面体1111D C B A ABCD -的高， 又38324=⨯=⋅=OB AD S ABCD ，设48323811111=⨯=⋅==-D A S V V ABCD D C B A ABCD ， 令832432213131111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆-O A S V V ABD ABD A ， ∴4011111=-=-V V V D C B A BCD ，即几何体1111D C B A BCD -的体积为40.19.解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类别设为x 人，则由题意可知204331=++++x x x ，可知2=x ，故B 类别有2人，类D 别有6人，E 类别有8人，走路步数在10000~5000步的包括C 、D 两类别共计9人；女性朋友走路步数在10000~5000步共有16人. 用样本数据估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，则：37540169600=+⨯人. （2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表：得：841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ， 故没有%95以上的把握认为认为“评定类型”与“性别”有关 （1）在步数大于10000的好友中分层选取5位好友，男性有：42885=+⨯人，记为A 、B 、C 、D ，女性1人记为e ；从这5人中选取2人，基本事件是AB ，AC ，AD ，Ae 、BC 、BD 、Be 、CD 、Ce 、De 共10种，这2人中至少有一位女性好友的事件是Ae ，Be ，Ce ，De 共4种，故所求概率52104==P . 20.（1）设),(y x P ，由题意，得23334)3(22=-+-x y x ， 整理，得1422=+y x ， 所以曲线E 的方程为1422=+y x . （2）①圆心)0,0(到直线l 的距离221nm d +=，∵直线于圆有两个不同交点C ，D ，∴)11(4222nm CD +-=，又)0(1422≠=+n n m ， 故)4341(4222+-=m CD ， 由10<<d ，得0>m ，又2≤m ，∴20≤<m . ∴43434102≤+-<m ， 因此]3,0(2∈CD ，]3,0(∈CD , 即CD 的取值范围为]3,0(.②当0=m ，1=n 时，直线l 的方程为1=y ；当2=m ，0=n 时，直线l 的方程为21=x ，根据椭圆对称性，猜想'E 的方程为1422=+y x .下证：直线)0(1≠=+n ny mx 与1422=+y x 相切，其中1422=+n m ， 即4422=+n m ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+n mx y y x 11422消去y 得：012)4(2222=-+-+n mx x n m ， 即012422=-+-n mx x ，∴0)44(4)1(1642222=-+=--=∆n m n m 恒成立， 从而直线1=+ny mx 与椭圆'E ：1422=+y x 恒相切.若点),(n m M 是曲线Γ：)0(122≠⋅=+B A By Ax 上的动点，则直线l ：1=+ny mx 与定曲线'Γ：)0(122≠⋅=+B A By A x 恒相切. 21.解：（1）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f xx， ∴2)1()0('-=a f ，又a f -=)0(， ∴切线方程为：)0()1(2--=+x a a y ，令0=y 得2)1(2=-=a a x ， ∴02522=+-a a ，∴2=a 或21=a . （2）)1()()('-+-+-=a a ax e e a x x f x x =))](1([a e a x x ---，当0≤a 时，0≥-a e x ，)1,(--∞∈a x ，0)0('<f ，）（x f 为减函数， ),1(+∞-∈a x ，0)('>x f ，)(x f 为增函数；当0>a 时，令0)('=x f ，得11-=a x ，a x ln 2=，令a a a g ln 1)(--=， 则aa a a g 111)('-=-=， 当)1,0(∈a 时，0)('<a g ，)(a g 为减函数，当),1(+∞∈a 时，0)('>a g ，)(a g 为增函数，∴0)1()(min =g a g ，∴a a ln 1≥-（当且仅当1=a 时取“=”），∴当10<<a 或1>a 时，)(,0)('),ln ,(x f x f a x >-∞∈为增函数，)(,0)('),1,(ln x f x f a a x <-∈为减函数，)(,0)('),,1(x f x f a x >+∞-∈为减函数，1=a 时，)(,0)1()('x f e x x f x ≥-=在),(+∞-∞上为增函数.综上所述：0≤a 时，)(x f 在)1,(--∞a 上为减函数，在),1(+∞-a 上为增函数，10<<a 或1>a 时，)(x f 在)1,(ln -a a 上为减函数，在)ln ,(a -∞和),1(+∞-a 上为增函数；1=a 时，)(x f 在),(+∞-∞上为增函数.22.解：（1）设),(y x P ，),(00y x M ，由OM a =得⎩⎨⎧==00ay y ax x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a yy a x x 00∵M 在1C 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin 2cos 22ay a x 即⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22a y a a x （θ为参数）， 消去参数θ得)1(4)2(222≠=+-a a y a x ，∴曲线2C 是以)0,2(a 为圆心，以a 2为半径的圆.（2）法1：A 点的直角坐标为)3,1(，∴直线OA 的普通方程为x y 3=，即03=-y x ， 设B 点坐标为)sin 2,cos 22(ααa a a +，则B 点到直线03=-y x 的距离3)6cos(2232sin 2cos 32++=+-=παααa a d ， ∴当6πα-=时，a d )23(max +=，∴AOB S ∆的最大值为324)23(221+=+⨯⨯a ，∴2=a . 法2：将θρcos =x ，θρsin =y 代入2224)2(a y a x =+-并整理得：θρcos 4a =，令αθ=得αρcos 4a =，∴),cos 4(ααa B ， ∴3)32sin(232cos 32sin cos 32cos sin 2)3sin(cos 4sin 212--=--=-=-=∠⋅⋅⋅=∆πααααααπααa a a a AOB OB OA S AOB ， ∴当12πα-=时，AOB S ∆取得最大值a )32(+，依题意324)32(+=+a ，∴2=a .23.解：（1）∵11)(+≥-++=m m x x x f ， ∴只需要21≥+m ，∴21≥+m 或21-≤+m ，∴m 的取值范围为是1≥m 或3-≤m .（2）∵1>m ，∴当()1,1-∈x 时，1)(+=m x f ，∴不等式3)(2++≥mx x x f 即22++≥mx x m ， ∴2)1(2+≥-x x m ，x x m -+≥122， 令213)1(13)1(2)1(12)(22--+-=-+---=-+=xx x x x x x x g ， ∵210<-<x ， ∴3213)1(≥-+-xx （当31-=x 时取“=”），∴232)(min -=x g ， ∴232-≥m .+-≥x x a 212。
陕西省汉中市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(提分卷)完整试卷
陕西省汉中市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题的展开式中的系数为（ ）A．B．C ．14D ．49第(2)题已知数列的通项为，其中t 为正常数，记为数列的前n 项和，则下列说法不正确的是（ ）A ．∃常数m 使得对于均有是的充要条件B ．是的充分不必要条件C ．对于，均满足是的必要不充分条件D ．对于，均满足是的充分不必要条件第(3)题函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．第(4)题设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，，则不等式的解集是A．B．C．D．第(5)题已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(6)题已知直线是曲线的切线，则（ ）A ．或1B ．或2C ．或D ．或1第(7)题已知函数，（是自然对数的底数），若对，，使得成立，则正数的最小值为A．B ．1C．D．第(8)题，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列结论正确的是（ ）A ．若，则有2个零点B ．若，则有3个零点C ．存在负数，使得只有1个零点D ．存在负数，使得有3个零点第(2)题已知向量，则下列结论正确的是（ ）A．当时，B ．当时，向量与向量的夹角为锐角C ．存在，使得D．若，则第(3)题已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.（参考数据：若随机变量，则，，）第(2)题已知圆，点P为直线上的一个动点，过点P向圆C引两条切线，为切点，则直线AB经过的定点的坐标为______.第(3)题已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数有三个零点，其中．证明：数列为“对数凹性”数列；(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．证明：数列为“对数凹性”数列．第(2)题在中，分别为角的对边，且，的面积.(1)求；(2)若，且，求的值.第(3)题如图所示，抛物线上点到焦点的距离为4，是抛物线上的动点，过点的切线交轴于点，以为圆心的圆与直线及直线分别相切于､两点，且直线与轴的正半轴交于点.（1）求证：；（2）求的最小值.第(4)题已知椭圆：的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设不过点的直线与相交于两点，直线分别与轴交于，两点，若，证明直线的斜率是定值，并求出该定值．第(5)题已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.。
湖南省长沙市2024高三冲刺(高考数学)苏教版质量检测(押题卷)完整试卷
湖南省长沙市2024高三冲刺（高考数学）苏教版质量检测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知四面体中，棱，所在直线所成角为，且，，，面和面所成的锐二面角为，面和面所成的锐二面角为，当四面体的体积取得最大值时（）.A．B．C．D．不能确定第(2)题在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题已知圆台的上、下底面的直径分别为8和4，若p为“圆台的体积不大于”，则p的充分不必要条件可以为（）A．圆台的母线长为B．圆台的母线长为C．圆台的母线长为D．圆台的母线长为第(6)题记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：①；②；③在上单调递增；④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4第(7)题在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（）A ．该模型外接球的半径为B．当时，的长度最小C．异面直线与所成的角为60°D．平面第(8)题在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（）A．的定义域为；B．的最小正周期为；C．的值域为；D．图象的对称轴为直线.第(2)题某中学为更好的开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验，可以认为“选修外出研学课程与性别有关”．则调查人数中男生可能有（）男生女生合计选修外出研学课程未选修外出研学课程合计附：，其中A．150人B．225人C．300人D．375人第(3)题在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为______.第(2)题根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______.第(3)题如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一点（不与、点重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.第(2)题已知函数．(1)讨论函数的零点个数；(2)若存在不同的正实数使得，证明：．第(3)题已知．(1)若在上单调递增，求a的取值范围，(2)证明：当时，．第(4)题已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)若，且，求证：第(5)题某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润（元）表示为每次进货量（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？。
山西省临汾市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(冲刺卷)完整试卷
山西省临汾市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻．”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器．如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶．当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100．已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A．88B．84C．78D．72第(3)题“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要第(4)题已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题空间中的两条直线若不平行，就一定相交（）A．对B．错第(6)题英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（）A．B．C．D．第(7)题已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（）A．12B．14C．16D．18第(8)题在中，，为外心，且，则的最大值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数图象的一条对称轴为直线，函数，则（）A ．将的图象向左平移个单位长度得到的图象B．方程的相邻两个实数根之差的绝对值为C ．函数在区间上单调递增D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为第(2)题若，，，则（）A．B．C．D．第(3)题平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（）A．与的夹角为B．为定值C．的最小值为D．在上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．第(2)题若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________第(3)题大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，，点P满足，记点P的轨迹为E.直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点.(1)无论直线l绕点怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值；(2)在（1）的条件下，求面积的最小值.第(2)题如图，已知椭圆过点，离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）记、的面积分别为、，若，求的值；（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.第(3)题已知函数，.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，有且仅有个零点.第(4)题在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（为参数），曲线的方程为．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线交于O，A两点，将射线绕极点逆时针方向旋转得到射线，射线与曲线交于O，B两点．当的面积最大时，求的值，并求面积的最大值．第(5)题已知函数，是自然对数的底数.(1)当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；(2)若存在使得，试求的取值范围.。
2024年高考考前押题冲刺模拟卷01(天津专用)解析版
绝密★启用前2024年高考考前押题冲刺模拟卷01（天津专用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设全集{0U =，1，2，4，6，8}，集合{0M =，4，6}，{0N =，1，6}，则(U M N = ð)A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U 【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于{2U N =ð，4，8}，所以{0U M N = ð，2，4，6，8}．故选：A ．2．“1x <”是“|21|1x -<”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出不等式|21|1x -<的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：|21|1x -< ，1211x ∴-<-<，01x ∴<<，{|01}{|1}x x x x <<< Ü，1x ∴<是01x <<的必要不充分条件，故选：B ．3．函数2|sin |()2x f x x =+在区间[π-，]π的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．A ． 1.113(2)(3)(log 2)f f ln f >>B ． 1.113(2)(log 2)(3)f f f ln >>C ． 1.113(3)(2)(log 2)f ln f f >>D ． 1.113(3)(log 2)(2)f ln f f >>5．设0a >，0b >．若3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为()A ．8B ．4C ．1D ．146．下列说法不正确的是()A ．甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B ．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为2，则数据14x ，24x ，⋯，4n x 的方差为32C ．在一个22⨯列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D ．已知随机变量2~(2,)N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(04)0.6P ξ<<=7．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x=的准线上，则双曲线的方程为()A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【解答】解：因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-，则由题意知，点(6,0)F -是双曲线的左焦点，所以22236a b c +==，又双曲线的一条渐近线方程是3y x =，所以3ba=，解得29a =，227b =，所以双曲线的方程为221927x y -=．故选：B ．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =．设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为()A ．12B ．13C ．16D ．18【答案】C【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答．【解答】解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =，则1111111113326P D DB B D DP D DP V V V S BC DD CD BC V --===⋅=⋅⋅⋅= ，所以1V V 的值为16．故选：C ．9．已知函数()sin()(4f x x x R ω=+∈，0)ω>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象()A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10．若i为虚数单位，则11ii+=-i．11．6(2x的二项展开式中的常数项为60．厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为0.86；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为．14．已知平行四边形ABCD 的面积为23BAD ∠=，||6AD =，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则λ=13；AF AE ⋅的值为．15．设函数2()1f x x =-，对任意3[2x ∈，)+∞，2(4()(1)4()f m f x f x f m m--+恒成立，则实数m的取值范围是3(,])2-∞-+∞ ．【分析】由已知得214m -三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b c =，2sin B A =，（1）求sin B 的值；（2）求sin(2)6B π-的值．1111111分别是BC ，BA 中点．（Ⅰ）求证：1//B B 平面1C MA ；（Ⅱ）求二面角1A C M N --的正弦值；（Ⅲ）求点C 到平面1C MA 的距离．则(0A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(1M (1AM = ，1，0)，1(0AC = ，1，2)，设平面1AC M 的法向量为(n x =，y ，则120n AC y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1z =，得n 设平面1MNC 的法向量为(m a =，b ，则120m NC a b c m NM b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1c =，得设二面角1A C M N --的平面角为θ，由图知则||55cos ||||335m n m n θ⋅===⋅，∴二面角A C M N --的正弦值为sinn n 15n n n （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(1)nn n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n M ，求n M ；（3）设(1)()n n n n n d a b lnS =-+，求数列{}n d 的前n 项和．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点(t t>是椭圆C上的动点，直线AM与y轴M s，)(0)交于点D，点E是y轴上一点，EF DF⊥，EA与椭圆C交于点G，若AMG∆的面积为线AM的方程．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点0(A x ，0())g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x --<成立．。
最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习4套
最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习4套压轴提升卷(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝2x ＋m (m ∈R 且m ≠0)与曲线E 相交于P ，Q 两点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，求△MPQ面积的取值范围．解：(1)设C (x ，y )． 由题意，可得yx －1·yx ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＋y22＝1，消去y ， 可得6x 2＋4mx ＋m 2－2＝0， ∴Δ＝48－8m 2＞0，∴m 2＜6. ∵x ≠±1，∴m ≠±2. 又m ≠0，∴0＜m 2＜6且m 2≠4.∵x 1＋x 2＝－2m 3，x 1x 2＝m 2－26，∴|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32－4×m 2－26＝103·6－m 2.又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1到直线y ＝2x ＋m 的距离d ＝|m |5， ∴△MPQ 的面积S △MPQ ＝12·103·6－m 2·|m |5＝26·|m |·6－m 2＝26m 2（6－m 2），∴S 2△MPQ ＝118m 2(6－m 2)≤118⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋6－m 222＝12. ∵0＜m 2＜6且m 2≠4，∴S 2△MPQ ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴△MPQ 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22.2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝xe x ＋x 2－x (其中e ＝2.718 28…)．(1)求f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)已知函数g (x )＝－a ln[f (x )－x 2＋x ]－1x－ln x －a ＋1，若对任意x ≥1，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝1－x e x ＋2x －1，f (1)＝1e ，所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝1，所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －1e ＝x －1，即e x －e y －e ＋1＝0.(2)由题意知函数g (x )＝－(a ＋1)ln x ＋ax －1x－a ＋1，所以g ′(x )＝－a ＋1x＋a ＋1x 2＝ax 2－（a ＋1）x ＋1x 2＝（ax －1）（x －1）x 2，①若a ≤0，当x ≥1时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，＋∞)上是减函数，故g (x )≤g (1)＝0； ②若0＜a ＜1，则1a ＞1，当1＜x ＜1a 时，g ′(x )＜0，当x ＞1a时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是增函数，故当1＜x ＜1a 时，g (x )＜g (1)＝0；③若a ≥1，则0＜1a≤1，当x ≥1时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0.综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．压轴提升卷(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(本题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)及点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解：(1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .由α＋β＝π可知， 直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零， 所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝⎛⎭⎪⎫t ，λt 24，所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y 且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λty ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24， 所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λtt ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x ＋k ，k ∈Z ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)当k ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈(0，＋∞)时，不等式f (x )＋5＞0恒成立，求k 的最大值． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝x e x ， ∴f ′(x )＝(x ＋1)e x . 由f ′(x )＝0，得x ＝－1，∴当x ＞－1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增； 当x ＜－1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减．∴函数f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1)． (2)由题意知，5＋(x －k )e x ＋k ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立． ∵当x ∈(0，＋∞)时，e x －1＞0，∴不等式x ＋x ＋5e x －1＞k 对x ∈(0，＋∞)恒成立．设h (x )＝x ＋x ＋5e x －1，则h ′(x )＝e x （e x －x －6）（e x －1）2.令F (x )＝e x －x －6，则F ′(x )＝e x －1. 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，∴函数F (x )＝e x －x －6在(0，＋∞)上单调递增． 又F (2)＝e 2－8＜0，F (3)＝e 3－9＞0， ∴F (2)·F (3)＜0.∴存在唯一的x 0∈(2，3)，使得F (x 0)＝0，即e x 0＝x 0＋6. ∴当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜0，h ′(x )＜0，此时函数h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，F (x )＞0，h ′(x )＞0，此时函数h (x )单调递增． ∴当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值(即最小值)h (x 0)． ∵h (x 0)＝x 0＋x 0＋5e x 0－1＝x 0＋1∈(3，4)．又k ＜h (x 0)，k ∈Z ， ∴k 的最大值是3.压轴提升卷(三)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1．(本题满分12分)已知平面上动点P 到点F (3，0)的距离与直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由题意，得（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理，得x 24＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2，∵直线与圆有两个不同交点C ，D ，∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2，又m 24＋n 2＝1(n ≠0)， 故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43m 2＋4， 由0＜d ＜1，得m ＞0，又|m |≤2，∴0＜m ≤2. ∴0＜1－43m 2＋4≤34，因为|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(0， 3 ]，即|CD |的取值范围为(0，3 ]．②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1；当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12，根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切，其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝1－mx n 消去y 得：(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立， 从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A＋y 2B＝1(A ·B ≠0)恒相切．2．(2018·山东潍坊市二摸)已知函数f (x )＝(x －a )e x －12ax 2＋a (a －1)x .(x ∈R )(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线为l ，l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，求a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)， ∴f ′(0)＝(a －1)2，又f (0)＝－a ， ∴切线方程为：y ＋a ＝(a －1)2(x －0)， 令y ＝0得x ＝a（a －1）2＝2，∴2a 2－5a ＋2＝0， ∴a ＝2或a ＝12.(2)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)＝[x －(a －1)](e x －a )， 当a ≤0时，e x －a ≥0，x ∈(－∞，a －1)，f ′(0)＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －1，x 2＝ln a ， 令g (a )＝a －1－ln a ， 则g ′(a )＝1－1a ＝a －1a，当a ∈(0，1)时，g ′(a )＜0，g (a )为减函数，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＞0，g (a )为增函数， ∴g (a )min ＝g (1)＝0，∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取“＝”)， ∴当0＜a ＜1或a ＞1时，x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )＞0，f (x )为增函数， x ∈(ln a ，a －1)，f ′(x )＜0，f (x )为减函数， x ∈(a －1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )为减函数，a ＝1时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述：a ≤0时，f (x )在(－∞，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数，0＜a ＜1或a ＞1时，f (x )在(ln a ，a －1)上为减函数，在(－∞，ln a )和(a －1，＋∞)上为增函数；a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．压轴提升卷(四)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1．(本题满分12分)(2018·陕西省黄陵中学二模)设动圆P (圆心为P )经过定点(0，2)，被x 轴截得的弦长为4，P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设不经过坐标原点O 的直线l 与C 交于A 、B 两点，O 在以线段AB 为直径的圆上，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．解：(1)设动圆P 圆心为(x ，y )，半径为r ，被x 轴截得的弦为|AB |.依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝r ，|y |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，化简整理得：x 2＝4y .所以，点P 的轨迹C 的方程x 2＝4y .(2)设不经过坐标原点O 的直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，解得：x 2－4kx －4b ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4b 又∵O 在以线段AB 为直径的圆上， ∴OA →·OB →＝0即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b .x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0. x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，－4b －4k 2b ＋4k 2b ＋b 2＝0，b 2－4b ＝0， b ＝4或b ＝0(舍去)．所以直线l 经过定点(0，4)．2．(本题满分12分)(2018·淄博市高三诊断)已知函数g (x )＝x 4，x ∈R ，在点(1，g (1))处的切线方程记为y ＝m (x )，令f (x )＝m (x )－g (x )＋3.(1)设函数f (x )的图象与x 轴正半轴相交于P ，f (x )在点P 处的切线为l ，证明：曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方；(2)关于x 的方程f (x )＝a (a 为正实数)有两个实根x 1，x 2，求证：|x 2－x 1|＜2－a3.证明：(1)g ′(x )＝4x 3，切线斜率k ＝g ′(1)＝4，可得m (x )＝4x －3， 所以f (x )＝4x －x 4，f ′(x )＝4(1－x 3)， 由f (x )＝4x －x 4＝0，得x ＝0或x ＝413，所以点P ⎝⎛⎭⎫413，0由f ′(x )＝4(1－x 3)，得：f ′(413)＝－12， 所以曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝－12⎝⎛⎭⎫x －413设φ(x )＝－12(x －413)，令F (x )＝f (x )－φ(x )，即F (x )＝4x －x 4＋12(x －413) 则F ′(x )＝4－4x 3＋12＝4(4－x 3)，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，413时，F ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫413，＋∞时，F ′(x )＜0，所以F (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，413内单调递增，在(413，＋∞)内单调递减，所以对任意实数x 都有F (x )≤F (413)＝0，即φ(x )≥f (x )． 所以曲线y ＝f (x )上的点都不在直线l 的上方．(2)解法一：不妨设x 1≤x 2，设方程φ(x )＝a 的根为x ′2，可得x 2′＝423－a12，显然φ(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以φ(x 2)≥f (x 2)＝a ＝φ(x 2′)，可得x 2≤x 2′. 设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x . 则f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即对任意x ∈R ，都有h (x )≥f (x )，设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4，因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，所以h (x 1)≥f (x 1)＝a ＝h (x 1′)，可得x 1≥x 1′，由此可得|x 2－x 1|≤x 2′－x 1′＝413－a 12－a4＝413－a 3＜2－a3，所以|x 2－x 1|＜2－a3.解法二：不妨设x 1≤x 2，显然有f (x )≤h (x )，方程4x ＝a 的根是x 1′＝a4，所以4x 1′＝a ＝f (x 1)≤4x 1，即：x 1≥x 1′，所以|x 2－x 1|≤x 2－x 1′，所以欲证明|x 2－x 1|＜2－a 3，只需证明x 2－x ′＜2－a3，最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习4套最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习4套 11 / 11即证x 2－a 4＜2－a 3，即x 2＜2－a 12，又f (x 2)＝a ＝4x 2－x 42. 所以即证：x 42－16x 2＋24＞0令F (x )＝x 4－16x ＋24，则F ′(x )＝4x 3－16＝4(x 3－4)，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，413时，F ′(x )＜0，当x ∈(413，＋∞)时，F ′(x 0)＞0. 所以F (x )在(－∞，413)内单调递减，在(413，＋∞)内单调递增，所以对任意实数x 都有F (x )≥F (413)＝12(2－34)＞0， 所以不等式x 42－16x 2＋24＞0成立，所以|x 2－x 1|＜2－a 3成立．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题一
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x≠1）的递增区间是（A ）x≥2 （B ）x≤0或x≥2 （C ）x≤0（D ）x≤21-或x≥23、过定点P(2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x2＋x]＝19x ＋99的实数解x 是． 2、设a1＝1，an+1＝2an ＋n2，则通项公式an ＝． 3、数799被2550除所得的余数是．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sinB ＝135，则cosC ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x2＋(a ＋)x ＋a ＝0的两根皆为整数． （2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x －2a2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且x2＋(y －7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分） 设a 、b 、c ∈R ，b≠ac ，a≠－c ，z 是复数，且z2－(a －c)z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证： （1） AK ⊥BC ；（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a1,a2,…,an 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124． 确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）． 参考答案第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 CCDABD二、填空题： ACBD QK PA BCDMNA 1D 1B 1C 1图11、38181-或381587；2、7×2n1－n2－2n －3；3、343；4、261235-；5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z} ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）． 三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A1B1C1D1，点M 、N 分别在AB1、BC1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA1⊥MN ；②A1C1∥MN ；③MN ∥平面A1B1C1D1； ④MN 与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）43、用Sn 与an 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim的值为 （A ）43（B ）45 （C ）47（D ）49 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个（B ）252个（C ）324个（D ）432个5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3（D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C依次成等差数列，且2icos2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是． 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l 的斜率为．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三OBCAD N M 图2元有序集合组(A,B,C)的个数是．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，Cp ：y2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交Cp 于原点和点Ap ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MAp 交Cp 于点Ap 和Bp ．求证：所有的点Bp 在同一条直线上． 四、（20分）对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md ． 五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z+）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-nn（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 DBDDAB二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、aab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ；4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ． 第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9． 三、1种（每空填1）．全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n|n 是整数，且22n ＋2整除n ＋}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、若多项式x2－x ＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a＋b 等于 （A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x2＋(a －3)x ＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a 的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12V V 为 （A ）21（B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）1013 6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线xcos ＋ysin ＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x2＋20x)－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、f(x)＝82x ＋xcosx ＋cos(2x)(x ∈R)的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k 整除则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a,b] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）． 四、（20分）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出an 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）． 五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x 的方程x4＋(2b －a2)x2－2ax ＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab ＋b2的取值范围． 三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a1,a2,…,ak （允许相等），必定存在相应的k 的整数x1,x2,…,xk （也允许相等），且|xi|≤2(i ＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak ．参考答案 第一试二、填空题：11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a2n ＝2n+2－2n －3；a2n+1＝3×2n+1－2n －4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(∀l ∈Z)第二试 一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)． 三、kmin ＝7．全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）第一试一、 选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aa x x a x f -+-=22是奇函数的充要条件是（A ）－1≤a ＜0或0＜a≤1 （B ）a≤－1或a≥1 （C ）a ＞0 （D ）a ＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l ：y ＝kx ．当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是 （A ）点A 在直线l 上 （B ）点B 在直线l 上 （C ）点C 在直线l 上 （C ）点A 、B 、C 均不在直线l 上 3、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l ，使l 与直线AC 和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l 可以做（A ）4条 （B ）3条（C ）2条 （D ）1条4、整数的100200C=n 两位质因数的最大值是（A ）61（B ）67（C ）83（D ）975、若正整数a 使得函数()ax x x f y 213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于 （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第个数是 （A ）3844 （B ）3943 （C ）3945 （D ）4006二、 填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt △ABC 的顶点A 、B 、C 分别对应于复数z ＋1、2z ＋1、(z ＋1)2，A 为直角顶点，且|z|＝2．设集合M ＝{m|zm ∈R ，m ∈N+}，P ＝{x|x ＝m 21，m ∈M}．则集合P 所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sinx|＋sin42x ＋|cosx|的最大值与最小值之差等于．3、关于x 的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a 的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a,b)在曲线arcsinx ＝arccosy 上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、 （20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a≤b≤c ）同时满足下列三个条件 （i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列； （iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．四、 （20分）在三棱锥DABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、 （20分）设正系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a,b,c}≥94(a ＋b ＋c)；（2） min{a,b,c}≤41(a ＋b ＋c)．第二试一、（50分）已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于D ，以CD 为直径的圆分别交BC 、CA 于点P 、Q ．求证：线段PQ 平分△ABC 的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn －xn1（n ∈N+）． 求证：数列{xn}中无完全平方数．三、（50分）有名运动员，号码依次为1，2，3，…，．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、71；2、2；3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-． 三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)． 四、222arccosac b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b≥t 94和b ＜t 94讨论）； （2）证略（提示：分a≤t 41和a ＞t 41讨论）； 第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得xn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设yn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x4－2y2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n2个平面相交． 其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f （C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A ）a+b ＞1 （B ）a+b=1 （C ）a+b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b= （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、S={1,2,…,}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A ）V4＜V1+V2+V3 （B ）V4=V1+V2+V3（C ）V4＞V1+V2+V3 （D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k 使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有个．3、在四面体PABC 中，PA=PB=a ，PC=AB=BC=CA=b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、 （20分）已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、 （20分）单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN 、B1M ． （1）求证：AN 、B1M 为异面直线； （2）求出AN 与B1M 的夹角．五、 （20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9． 第二试一、 （50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA·PB 取最小值时， （1）证明：AB≥2BC ； （2）求AQ·BQ 的值．二、 （50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++nn n a a a a a 12212,1（n≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k1,a2k)，…均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn1anxan1，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．三、 （50分）我们称A1,A2,…,An 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai 中有两个元素a 、b 满足b ＜a≤89b ． 参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l pl ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．全国高中数学联赛模拟试题（六） （命题人：秦永 苟春鹏）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，argz1=6π，则z2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+-（D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y≠0）或x=1（y≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x≠0）或x=1（y≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y≠0）或y=1（x≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x≠0）或y=1（x≠0）4、已知正实数a 、b 满足a+b=1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A ）9米 （B ）10米 （C ）12米 （D ）15米 6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、 填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x ，g(x)=52+x ，则f(x)*g(x)的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a5a3+a=2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、 （20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20分）直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P 、Q 两点，O为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=． 五、 （20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c （万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表1 各部每1万元营业额所需人数表部门 人数 百货部 5 服装部 4家电部2部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部0.2万元第二试一、 （50分）矩形ABCD 的边AD=·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．二、 （50分）若ai ∈R+（i=1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211． 三、 （50分）无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T=2,3,…）？参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 ACABCC二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④． 三、证略． 四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ； 二、证略．三、 （1）证略． （2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题（七）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条8、 已知f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若f(x)g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=（A ）x2+2x3 （B ）x2+2x3 （C ）x22x+3 （D ）x22x+39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=32π，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、 设x=0.820.5，y=sin1，z=log37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）20 12、 设(a,b)表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)=．2、设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是． 3、给定数列{xn}，x1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x1999x601=．4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB1中点，则四面体AD1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A(1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a≠b ，b≠c ，c≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2． 五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx ，满足 （i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{2,1,0,1,2}，f(x)为整数； （iii ）f(1)=1,f(5)=70．试说明，对于每个整数x ，f(x)是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C1、B1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C1K 交于点B2，直线AB 于B1K 交于点C2．若△AB2C2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9)．求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案 第一试二、填空题：1、4；2、x2+y2=4；3、0；4、245；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1． 四、证略．五、是．第二试一、60°； 二、证略． 三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②logab+logba=0； ③0＜a ＜b ＜1；④ab1=0． 其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）35、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6 （B ）2 （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++=． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M(2,1)作抛物线y2=x 的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-． 五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C(I)是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C(I)的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子． A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-． 四、证略． 五、证略．第二试一、证略； 二、证略． 三、 n=1．全国高中数学联赛模拟试题（九）（命题人：葛军）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k+1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k+3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984（D ）170093、非常数数列{ai}满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i=0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a1=an+1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2 （C ）0（D ）3i5、已知a+b+c=abc ，()()()()()()abb a ac c a bc c b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）3（C ）4（D ）46、对xi ∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x1x2…xn=n ！，使x1,x2,…,xn ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A1A2…An 内一点，点P 到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An1An 的距离为hn1，到直线AnA1的距离为hn ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a≠0．那么，对于任意的a 、，F(a,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n 个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{an}定义如下：a1=3，an=13-n a （n≥2）．试求an （n≥2）的末位数．五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1．证明：2713≤a2+b2+c2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC=NA=s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ．二、（50分）M 是平面上所有点(x,y)的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c 满足b ＜0，ab=9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m ∈N+）． 三、332． 四、7． 五、证略．第二试一、证略；二、证略． 三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）（命题人：杨建忠 审题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f ：M→N 使对任意的x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①a b-1； ②b a-1；③ab+1； ④ba+1； ⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139（D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ=PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f()=．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数2的辐角主值的取值范围是．5、设a1,a2,…,a 均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a1a2…a 的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为Sn ．（1） 用Sn 表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i ）对于任意a 、b ∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii ）当x ＞1时，f(x)＜0； （iii ）f(3)=1．现有两个集合A 、B ，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p 、q ∈R+}，集合B={(p,q)|f(q p )+21=0，p 、q ∈R+}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ=60°．二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an （n≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p·,7p·)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan；5、4002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ． 五、不存在．第二试PQ。
备战高考 高中数学文科 试卷习题 仿真模拟冲刺卷(一)
仿真模拟冲刺卷(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝x 12 ，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)2．设复数z 满足z ·i ＝1＋2i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( ) A ．2＋i B ．1 C ．5 D ．53．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(AC → －AD → )·AB →＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．14．如图是甲、乙两个商场统计同一时间段各自每天的销售额(单位：万元)的茎叶图，假设销售额的中位数为m ，平均值为x －，则下列正确的是( )A.m 甲＝m 乙，x 甲>x 乙 B ．m 甲＝m 乙，x 甲<x 乙 C ．m 甲>m 乙，x 甲>x 乙 D ．m 甲<m 乙，x 甲<x 乙5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥02x ＋y －3≤0y ≥1 ，则z ＝x ＋y －1的最大值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．抛物线y ＝6x 2的准线方程为( )A ．y ＝－124B ．y ＝－112C ．y ＝－6D ．y ＝－37．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为35、28，则输出的a ＝( )A ．1B ．14C ．7D ．28 8．函数f (x )＝cos x －x 2x的图象大致为( )9．正四棱锥S ABCD 的所有边长都相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．12C ．33D ．3210．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为( )A ．214B ．213C ．2313D ．241311．已知函数f (x )＝23 sin 2x －m cos 2x ，若对任意的x ≠k π2 ，k ∈Z ，f (x )＝2m 有解，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(0，2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]12．截角八面体是由正四面体经过适当的截角，即截去正四面体的四个顶点处的小棱锥所得的八面体. 如图所示，有一个所有棱长均为a 的截角八面体石材，现将此石材切削、打磨、加工成球，则加工后球的最大表面积为( )A ．πa 2B ．32 πa 2C ．53 πa 2D ．83πa 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．{a n }为等差数列，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝33，则S 9＝________． 14．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将6罐“绿水”装成一箱，且每箱均有2罐可以中奖．若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为________．15．写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：________． ①圆心在直线y ＝x ＋1上，②与y 轴相切．16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对于任意x 1≠x 2，必有f (x 1)≠f (x 2)，若函数F (x )＝f (x 2－m )＋f (3－2x )只有一个零点，则当x <2时，函数g (x )＝mx 2－62－x的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos (π＋A )＋sin (π2 ＋2A )＋32＝0. (1)求角A ； (2)若c －b ＝33a ，求证：△ABC 是直角三角形． 18．(12分)党的十九大明确把精准扶贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为了坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位要开展精准扶贫，此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：现用系统抽样法从40个贫困户满意度评分中抽取容量为10的样本，且在第一段内随机抽到的样本数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本数据；(2)计算所抽到的10个样本数据的均值x －和方差s 2；(3)在(2)条件下，若贫困户的满意度评分在(x － －s ，x －＋s )之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，现从(1)中抽到的10个样本为“A 级”的贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率(参考数据：30 ≈5.48，33 ≈5.74，35 ≈5.92).19.(12分)如图，在四棱锥B ACED 中，AD ∥CE ，且AD ＝23 CE ，F 是棱BE 上一点，且满足BF＝2FE .(1)证明：DF ∥平面ABC ；(2)若三棱锥B ADF 的体积是4，△ABC 的面积是22 ，求点F 到平面ABC 的距离．20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：(x ＋4)2＋y 2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求C 的方程；(2)设点T (1，1)，过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．21.(12分)已知函数f (x )＝x (ax －a ln x ＋1). (1)若x ＝1是f (x )的极值点，求a 的值； (2)若a ≤e －1，证明：f (x )≤e x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θy ＝sin θ (θ为参数)，正方形ABCD的顶点均在C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A (3，0).(1)求C 的普通方程及点B ，C ，D 的坐标；(2)设P 为C 内(包含边界)任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x|＋|2x－1|，集合A＝{x|f(x)<3}．(1)求A；(2)若s，t∈A，求证|1－ts|<|t－1 s|.。
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合U =R ，集合{|24}A x x =-<<，集合{}2|7100B x x x =-+<，则U A B =I ð（）A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x -<≤C ．{|25}x x <<D ．{|25}x x <≤【正确答案】B【分析】化简集合B ，根据集合的补集和交集的运算性质求U A B ð即可.【详解】不等式27100x x -+<的解集为{|25}x x <<，所以{|25}B x x =<<，故{|2U B x x =≤ð或5}x ³，又{|24}A x x =-<<，所以{|22}U A B x x =-<≤ ð，故选：B ．2．已知复数z 满足12i 1z=-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数运算即可求得复数z ，再得共轭复数z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】111i 2i 2z -==- ，11i 2z ∴=+，11i 2z ∴=-，故z 在复平面内对应的点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若函数()af x x x=+()R a ∈在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，若直线l 与圆222:(0)C x y r r +=>相切，则r 的值为（）A B C D ．3【正确答案】A【分析】结合导数的几何意义列方程求a ，由切点坐标与切线的关系求b ，根据直线与圆的位置关系列方程求r .【详解】函数()af x x x =+的导函数2()1a f x x'=-，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，所以1(2)142a f '=-=，解得2a =，2()f x x x∴=+，故(2)3f =，切点(2,3)在直线l 上，1322b ∴=⨯+，解得2b =，直线1:22l y x =+与圆222:(0)C x y r r +=>相切，∴圆心(0,0)到直线lr =，故选：A ．4．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ．若//a b r r，则λ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ，//a b r r，所以26λ=-，解得3λ=-，故选：B ．5．已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．(1)2n n +B ．12n -C ．221n -D ．21n -【正确答案】A【分析】由题可得22n n n S a a =+，进而可得2211n n n n a a a a ++-=+，然后可得11n n a a +-=，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=得2211122n n n n n n n S S S S S S S ---=-++-，即()()2112n n n n n S S S S S --=-+-，所以22n n n S a a =+，所以21112n n n S a a +++=+，两式作差，得()221112n n n n n a a a a a +++=+-+，即2211n n n n a a a a ++-=+，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，所以11n n a a +-=或10n n a a ++=，又0n a >，故11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}n a 的前n 项和(1)(1)22n n n n n S n -+=+=.故选：A.6．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB ，的夹角为3π，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．23πD ．2π【正确答案】D【分析】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，从而可得2PA PC ==，从而可求出答案.【详解】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为3π，2AB =，所以△PAB 是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又在正方形ABCD 中，2AB =,则AC =所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为2π，7．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【正确答案】C【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.8．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.84【正确答案】C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘动车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.7P B P C P A B P A C ====.由全概率公式得()()(|)()(|)0.60.90.40.7P A P B P A B P C P A C =+=⨯+⨯0.280.540.82=+=。
高考文科数学模拟冲刺考前提分押题卷5套带答案解析
高考最新模拟卷 文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·金山中学]复数()()32i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ）A ．3-B ．3C ．3iD ．3i -2．[2019·上饶联考]已知命题2:03x p A xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题(){}:lg 2,q B x y x a a ==-∈R ．若命题q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．4a ≥B ．4a ≤C ．4a >D ．4a <3．[2019·聊城一模]已知双曲线()222:10x C y a a-=>的焦距为则C 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C ．y x =± D ．12y x =±4．[2019·永州模拟]正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（ ）A ．B ．C ．D ．5．[2019·泸县一中]设变量x ，y 满足约束条件1020240x y x y x y -+≥-≤+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-6．[2019·白色调研]为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．[2019·兰州一中]一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是548，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <8．[2019·宣城调研]我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（ ）白米 A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石9．[2019·宝鸡模拟]定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +=-； ②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对于任意的1x ，[]20,1x ∈，都有()()()()12120f x f x x x -->，则32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()2f 、()3f 从小到大的关系是（ ） A ．()()3232f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭10．[2019·江淮十校]当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．π,6π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,4π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π,3π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．[2019·马鞍山质检]已知圆1C ，2C ，3C 是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆1C 上点M 作1C 的切线交圆2C 于A ，B 两点，P 为圆3C 上任一点，则PA PB ⋅的取值范围为（ ）A ．[]8,4--B ．[]0,12C ．[]1,13D ．[]4,1612．[2019·屯溪一中]已知函数()()3211213f x x mx m x =++++在R 上既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,4-B ．()(),43,-∞-+∞C ．()(),34,-∞-+∞D ．][(),34,-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·乌鲁木齐质检]已知sin π134α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______． 14．[2019·重庆调研]为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，根据收集到的数据可知12345150x x x x x ++++=，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6759ˆ 4.yx =+，则12345y y y y y ++++=______．15．[2019·雅安诊断]已知函数()()2cos πf n n n =，且()()1n a f n f n =++，则1220a a a +++=__________．16．[2019·山东模拟]已知点()0,2A ，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若FM MN=则p 的值等于__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·浦东期中]已知向量()2sin ,cos2x x ωω=m，),1x ω=n ，其中0ω>， 若函数()f x =⋅m n 的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）在ABC △中，若()2f B =-，BCsin B A ，求BA BC ⋅的值．18．（12分）[2019·陕师附中]西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到22⨯列联表如下：近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题．（1）将22⨯列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未施行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关； （2）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少； （3）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．（12分）[2019·石家庄模拟]已知三棱锥P ABC -中，PC AB ⊥，ABC △是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒． （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）设F 为棱PA 的中点，在AB 上取点E ，使得2AE EB =，求三棱锥F ACE -与四棱锥C PBEF -的体积之比．20．（12分）[2019·永州模拟]已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆过点()0,2，点Q 为椭圆上一动点（异于左右顶点），且12QF F △的周长为4+ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F ，2F 分别作斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交椭圆E 于A ，B 和C ，D 四点，且AB CD +=12k k 的值．21．（12分）[2019·石家庄模拟]已知函数()ln 4f x x ax =-，()()g x xf x =． （1）若18a =，求()g x 的单调区间； （2）若0a >，求证：()124f x a≤-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·安徽联考]已知在极坐标系中，曲线1Ccos 4π0m θ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线2C的参数方程为1x y αα=⎧⎪⎨⎪⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C ，2C 交于M ，N 两点，且()0,A m ，2AM AN ⋅=，求m 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·延安模拟]已知函数()21f x x =-，x ∈R ． （1）解不等式()1f x x <+；（2）若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()56f x ≤．高考最新模拟卷文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题意，复数()()232i 3i 93i 6i 2i 113i z =+-=-+-=+，所以复数z 的虚部为3， 故选B ． 2．【答案】B【解析】命题p 表示的集合A 为{}23x x <<；命题q 表示的集合B 为2a x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，因为命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，则22a ≤，即4a ≤．故选B ． 3．【答案】D【解析】双曲线()222:10x C y a a-=>的焦距为可得c =215a +=，解得2a =， 可得双曲线的方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为12y x =±．故选D ． 4．【答案】A【解析】从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线，故选A ． 5．【答案】C 【解析】作可行域，则直线z ax y =+为直线AB 或直线AC 时z 取最大值，此时2a =或1-，故选C ． 6．【答案】B【解析】本题中向正方形内随机投掷600个点，相当于600个点均匀分布在正方形内，而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面积220033600=⨯=．故选B ． 7．【答案】D【解析】由程序框图知：第一次循环：S 初始值为0，2i =，1T =，故11122S ==⨯，不满足548S =； 第二次循环：3i =，2T =，故1112234S +==⨯，不满足548S =； 第三次循环：4i =，3T =，故11543448S +==⨯，刚好满足548S =； 此时，满足548S =，必须退出循环，故4?i <，故选D ． 8．【答案】C【解析】今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石，∴313618312a a d --===--， ()31323181802S a ⨯=+⨯-=，解得178a =（石）． ∴21781860a a d +=-==石，∴乙应该分得60石，故选C ． 9．【答案】D【解析】①对于任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，所以函数的周期为2T =； ②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 关于直线1x =对称；③对于任意的1x ，[]20,1x ∈，都有()()()()12120f x f x x x -->，所以函数在()0,1单调递增，因为()()31f f =，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()20f f =，1102>>，所以()()3322f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故选D ． 10．【答案】C【解析】设正方体棱长为1，DP x =，则[]0,1x ∈，连接1AD ，AP ， 由11AD BC ∥可知，1AD P ∠即为异面直线1D P 与1BC 所成角，在1AD P △中，1AD =1AP D P ==，故1cos AD P ∠，又[]0,1x ∈，11cos 2AD P ⎡∴∠=⎢⎣⎦，又cos y x =在()0,π为单调减函数，1,ππ43AD P ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦，故选C ． 11．【答案】C【解析】设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知：OM AB ⊥，又因为圆1C 上点M 作1C 的切线交圆2C 于A ，B 两点，所以2OA OB ==，1OM =， 在OAM Rt △中，1sin 2OM OAM OA ∠==， 根据2OA OB ==，6πOAM ∴∠=，可知π6OAM OBM ∠=∠=，2π3AOB ∴∠=， ()()2PA PB PO OA PO OB PO PO OB OA PO OA OB =+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+()2π9cos3PO OB OA OA OB =+⋅++⋅⋅ ()7OP OB OA =-⋅+，OM AB ⊥，OA OB =，M ∴是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得2OA OB OM +=， 代入上式得，()77272,cos PA PB OP OB OA OP OM OP OM OP OM =-⋅+=-⋅=-⨯⨯⋅〈〉 7s ,6co OP OM =-〈〉，[],0,πOP OM 〈〉∈，[]cos 1,1,OP OM ∴〈〉∈-，[]1,13PA PB ∴⋅∈，故本题选C ．12．【答案】C【解析】因为()()3211213f x x mx m x =++++，所以()2212f x x mx m '=+++，因为函数()()3211213f x x mx m x =++++在R 上既存在极大值又存在极小值， 所以只需方程()0f x '=有两不等实根即可，即()244120Δm m =-+>，解得4m >或3m <-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】78【解析】sin π134α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则222π17cos 212sin 1233π48αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，本题正确结果78． 14．【答案】375 【解析】由题意：12345305x x x x x x ++++==，则0.6754.920.154.975y x =+=+=，123455755375y y y y y y ∴++++==⨯=，本题正确结果为375．15．【答案】20-【解析】当n 为奇数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos π1cos 1π121n n n n n n n =+++=+-=+⎡⎤⎣⎦．当n 为偶数时，()()1n a f n f n =++()()()()2222cos π1cos 1π121n n n n n n n =+++=-+=--⎡⎤⎣⎦． ()21,21,n n n a n n +⎧⎪∴=⎨-+⎪⎩为奇数为偶数，所以1220357911133941a a a +++=-+-+-++-()()()()()35791113394121020=-+-+-++-=-⨯=-．16．【答案】2 【解析】依题意F 点的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭， 设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知MF MK =， ∴FM MN=:1:2KN KM =， 02402FN k p p -==--，∴42p -=-，求得2p =，故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1；（2）32-．【解析】（1）()cos22sin 26πf x x x x ωωω⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭m n ，∵()f x 的最小正周期为π，∴2ππ2T ω==，∴1ω=．（2）设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．∵()2f B =-，∴2sin 226πB ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即sin 216πB ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π3B =．∵BCa∵sin B A =，∴b =，∴3b =，1sin 2A =，∵0π3A <<，∴π6A =，π6C =，∴a c =3cos 2BA BC ca B ⋅==-．18．【答案】（1）详见解析；（2）0.2；（3）详见解析． 【解析】（1）()222006080402010033.33310.828100100801203K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴有99.9%的把握说闯红灯与年龄有关．（2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率为0.4， 进行处罚10元后，行人闯红灯的概率为4010.22005==，∴降低了0.2． （3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率． 19．【答案】（1）见解析；（2）1:2．【解析】（1）在PBC △中，60PBC ∠=︒，2BC =，4PB =， 由余弦定理可得PC =，222PC BC PB +=，PC BC ∴⊥，又PC AB ⊥，AB BC B =，PC ∴⊥平面ABC ，PC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．（2）设三棱锥F ACE -的高为1h ，三棱锥P ABC -的高为h ，111211113332333F ACE ACE ABC ABC P ABC V S h S h S h V --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=⨯△△△，所以三棱锥F ACE -与四棱锥C PBEF -的体积之比为1:2．20．【答案】（1）22184x y +=；（2）1212k k =±．【解析】（1）由题意得，2222224b a c a b c =⎧+=+=+⎪⎨⎪⎩a =，2b =，所以椭圆E 的方程为22184x y +=．（2）由题得()12,0F -，()22,0F ，设直线AB 的方程为()12y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()221282x y y k x ⎧+==+⎪⎨⎪⎩，得()2222111128880k x k xk +++-=，()()()()2222211118412883210Δk k k k =-+-=+>， 则211221812k x x k +=-+，2112218812k x x k -⋅=+．121AB x =-=， 同理联立方程，由弦长公式可得2CD =||AB CD +=，12∴+=化简得221214k k =，则1212k k =±．21．【答案】（1）单调减区间为()0,+∞；（2）见解析．【解析】（1）由18a =，()21ln 2g x x x x =-（0x >），()l n 1g x xx '=-+，令()ln 1h x x x =-+，()1xh x x'-=， 故()h x 在()0,1递增，在()1,+∞递减，()()max 10h x h ==，从而当0x >时，()0g x '≤恒成立，故()g x 的单调减区间为()0,+∞． （2）()1144axf x a xx='-=-， 由0a >，令()0f x '=，得14x a =，故()f x 在10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，所以()max 11ln144f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 只需证明11ln 1244a a -≤-，令104t a=>，即证()ln 10*t t -+≤，由（1）易知()*式成立，原不等式成立．22．【答案】（1）10:C x y m -+=；222cos 1:0C ρρθ--=；（2）m =． 【解析】（1）2cos π04m ρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，()cos sin 0m ρθρθ∴-+=，则曲线1C 的直角坐标方程为0x y m -+=，()2212x y -+=，22210x y x ∴+--=，则曲线2C 的极坐标方程为22cos 10ρρθ--=．（2）由（1）得曲线1C 的参数方程为2x y m ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩（t 为参数），代入22210x y x +--=中，整理得2210t t m ++-=，22460Δm m =--+>，解得31m -<<，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则2121t t m ⋅=-，由 的几何意义得，2121212AM AN t t t t m ===-=，解得m = 又31m -<<，m ∴=．23．【答案】（1）{}02x x <<；（2）见证明． 【解析】（1）因为()1f x x <+，所以211x x -<+，即12211x x x ≥-<+⎧⎪⎨⎪⎩，或102121x x x <⎧<-<+⎪⎨⎪⎩，或0121x x x ≤-<-+⎧⎨⎩， 解得122x ≤<，或102x <<，或∅． 所以不等式的解集为{}02x x <<． （2）因为113x y --≤，1216y +≤，所以()()()11521212121212366f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤⋅+=．高考最新模拟卷 文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
黑龙江伊春市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(提分卷)完整试卷
黑龙江伊春市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A．B．C．D．第(3)题在底面是正方形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则四棱锥的外接球的表面积为( )A．B．C．D．第(4)题已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为A．B．C．D．第(5)题已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值第(6)题、是抛物线上关于直线对称的两点，则A．B．C．D．第(7)题从名男生和名女生中选派人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为（）A．12B．24C．34D．60第(8)题连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：，）（）A．0.2B．0.18C．0.16D．0.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列结论正确的是（）A．函数的图象关于点中心对称B．函数存在极大值点和极小值点C．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是D ．对任意，不等式恒成立第(2)题下列命题中，正确的命题是（）A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．已知，则第(3)题已知奇函数与偶函数满足：(其中为自然对数的底数)，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D ．当，时，恒有成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在实数范围内，不等式的解集为___________.第(2)题已知集合，，则两集合间的关系是： _______ ；第(3)题设正项等比数列满足，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知定义在上的函数.（1）求单调区间；（2）当时，在上有三个零点，求的取值范围.第(2)题天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其单价x(单位;元)与销量y(单位:副)的相关数据如下表：单价x（元）80859095100销量y（副）1401301109080（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;（2）若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大(结果保留到整数)附:对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据:第(3)题设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.第(4)题为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，年月日（全民健身日）某社区开展了体育健身知识竞赛，满分分．若该社区有人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体育健身知识的了解情况，该社区以这名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将成绩整理后分成五组，依次记，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）请补全频率分布直方图并估计这名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）采用分层抽样的方法从这人的成绩中抽取容量为的样本，再从该样本成绩不低于分的参赛者中随机抽取名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于分的概率．第(5)题在直角坐标系中，直线l经过点，且倾斜角为135°，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为.(1)写出曲线C的直角坐标方程并说明表示什么曲线；(2)设直线l与曲线C相交于A､B两点，求的值.。
广东省深圳市2024高三冲刺(高考数学)部编版模拟(预测卷)完整试卷
广东省深圳市2024高三冲刺（高考数学）部编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左､右顶点分别是，，点，点在过点且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题已知等差数列满足，记数列的前项和为，则当有最大值（）A．B．C．D．第(3)题已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，第(4)题设集合，我们用表示集合的所有元素之和，用表示集合的所有元素之积，例如：若，则；若，则，．那么下列说法正确的是（）A．若，对的所有非空子集，的和为320B．若，对的所有非空子集，的和为C．若，对的所有非空子集，的和为D．若，对的所有非空子集，的和为0第(5)题已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（）A．B．C．D．第(6)题某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数，若，则P的值为（）A．B．C．D．第(7)题某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学A，B，C，D，E，F到甲､乙､丙三个不同的社团开展活动，要求每个社团至少安排1人，且甲社团安排3人，A，B两人安排在同一个社团，C，D两人不安排在同一社团，则不同的安排方案是（）A．56B．28C．24D．12第(8)题已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一组数据是公差为2的等差数列，若去掉三项后，则（）A．平均数没变B．中位数没变C．方差没变D．极差没变第(2)题若，则的值可能是（）A．B．C．2D．3第(3)题某市两万名高中生数学期末统考成绩（满分100分）服从正态分布，其正态密度函数，则（）附：若随机变量X服从正态分布，则，，．A．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.5B．任取该市一名学生，该生成绩低于67分的概率约为0.023C．若按成绩靠前的16%比例划定为优秀，则优秀分数线约为83分D．该次数学成绩高于99分的学生约有27人三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题随机变量，则______．第(2)题的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为__________.第(3)题某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价元件月销售量万件由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取两件进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件，1件，2件二等品，其余皆为一等品，用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求分布列.第(2)题在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．第(3)题已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为M，N，点是E上一点，且直线PM，PN的斜率之积为．(1)求的值；(2)过F且斜率为1的直线l交E于A，B两点，O为坐标原点，C为E上一点，满足，的面积为，求E的方程．第(4)题若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”(1)证明：为“切合函数”；(2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求证：．第(5)题已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷文科1
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题试卷（文科）一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．25 B．C．5 D．2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣24．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，85．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.87．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．18．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A． B． C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A．25 B．C．5 D．【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．【解答】解：因为复数z==，所以|z|==．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅【分析】通过已知条件求出A∪B，∁UB，然后求出A∩∁UB即可．【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以∁UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩∁UB={3}．故选：A．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f （1）=﹣（1+1）=﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]故选：A．【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；故选：C．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A． B． C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．【解答】解：因为知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；（3）对于③，i．≥1时，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于 1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN 在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．同理可得，FG∥平面PAC．而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，继而可求得bn=，n∈N*，于是Tn=+++…+，利用错位相减法即可求得Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2．∴an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴bn=，n∈N*．又Tn=+++…+，∴Tn=++…++，两式相减得：Tn=+（++…+）﹣=﹣﹣∴Tn=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0由于△=b2+8a＞0，故有x2=，x1=显然有x1＜0，x2＞0，故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整理得2a+b=1，即b=1﹣2a令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）==0得x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b【点评】本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P 的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．则，解得，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*），，∴|AB|===．原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为．（**）另一方面，=，∴xE=myE+n==，即E．∵，∴．代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．∵t＞0，∴．经验证满足（*）．当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．则，，解得，或．又，∴，∴．综上可得：．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A.45B.60C.120D.2106.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞97.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A. B. C. D.8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||29.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.则（）A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）A.I1＜I2＜I3B.I2＜I1＜I3C.I1＜I3＜I2D.I3＜I2＜I1二、填空题11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积.19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.（Ⅰ）求an和bn；（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）A.∅B.{2}C.{5}D.{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA.【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁UA={2}，故选：B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.故选：D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段测试卷文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题阶段测试卷（文科）第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=( ) A.{}2,1--B.{}2-C.{}1,0,1-D.{}0,12.已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a//b, 则实数m 等于( ) A.2-22-2D.03.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A.(1,)-+∞ B.[1,)-+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D.[1,1)(1,)-+∞4.3sin cos 23αα==若( ) A.23B.13 C.13-D.23-5.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A.a >b +1 B.a >b 1 C.2a >2b D.3a >3b6.已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f （ ） A.2B.1C.0D.27.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝8.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 ( ) A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =- D.32n n S a =- 9.已知0>x ，0>y ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.29 D. 211 10.用{}b a ,max 表示两个数a ，b 中的最大数，设{}x x x x f 22log ,48max )(-+-=，若函数kx x f x g -=)()(有两个零点，则实数k 的取值范围为 ( )A.()3,0B.(]3,0C.()4,0D.[]4,0二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在等差数列{}n a 中，若2013=a ，1320=a ，则2014a =_________；12.已知函数f(x)＝32,0,πtan ,0,2x x x x ⎧<⎪⎨-≤<⎪⎩则π4f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________； 13. 已知向量a ，b 满足2=a ，2=b ，且32=+b a，则a 与b 的夹角为__________；14.设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值为__________；15.已知a 为常数，若曲线x x ax y ln 32-+=存在与直线01=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是__________。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第一学期期末练习文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第一学期期末练习（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(0,)+∞（D ）(,0)-∞ 2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．“1x =”是“210x -=”的（A ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4.已知向量(3,-4)a =，(,)b x y =，若a //b ，则（A ）340x y -=（B ）340x y +=（C ）430x y +=（D ）430x y -=5.已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为 （A）±B ）3±（C）（D ）1± 6. 函数()=sin2cos 2f x x x -的一个单调递增区间是 （A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ-（C ）3[,]88ππ-（D ）3[,]88ππ- 7.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A ）12（B ）14（C）2（D）28. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有① ②③参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(48002880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2024成考高起专、高起本数学(文)-考前模拟押题题
全国各类成人高等学校招生考试高起点数学（文史财经类）考前模拟（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题7分，共84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，为偶函数的是A.y＝log2xB.y＝x2C.y=π2D.y＝x2+x2．已知f（x）是偶函数且满足f（x＋3）＝f（x），f（1）＝-1，则f（5）＋f（11）等于A.-2B.2C.-1D.13．如果二次函数y＝ax2＋bx＋1的图像的对称轴是x＝1，并且通过点A（-1，7），则a，b的值分别是A.2,4B.2,-4C.-2.4D.-2,-44．设M＝｛x｜x≤√10，a=√2+√3那么A.a⊂MB.a⊂MC.{a}⊂MD.{a}⊂M5．函数f（x）＝3＋2x－12x2的最大值是A.4B.5C.2D.36．已知直线l与直线2x-3y＋5＝0平行，则l的斜率为A. 327．等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝15，a ＝-5，则前8项的和等于A.-60B.-140C.-175D.-1258．若sin （π-α）＝log 814，且αϵ（-π2，0）则cot （2π-α）的值为 A.-√52B.√52C.±√52D.-√5 9．设F 1、F 2为椭圆注图B193@@的焦点，P 为椭圆上的一点，则ΔPF 1F 2的周长等于A.10+2√34B.18C.14D.1210．已知向量a ＝（3，1），b ＝（-2，5），则3a-2b ＝A.(2,7)B.(13,-7)C.(2,-7)D.(13,13)11．已知双曲线上一点到两焦点（-5，0），（5，0）距离之差的绝对值等于6，则双曲线方程为A.x 29−y 216=1 B.y 29−x 216=1C.x 225−y 216=1D.y 225−x 216=112．某同学每次投篮投中的概率为注图B206@@.该同学投篮2次，只投中1次的概率为D.35二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）13．若平面向量a ＝（x ，1），b ＝（1，-2），且a⊂b ，则x ＝______.14．已知α、β为锐角，cos （α+β）＝1213，cos （2α+β）＝35，则cosα＝______.15．从5位男生和4位女生中选出2人作代表，恰好一男生和一女生的概率是______.三、解答题（本大题共3小题，共45分．解答应写出推理、演算步骤）16．问数列：lg100，lg （100sin45°），lg （100sin 245°），···，lg （100sin n-145°）前几项和最大？并求最大值．(1g2＝0.3010)17．已知f （x ）＝4x 2-mx ＋5（x⊂R ）在（-∞，-2］上是减函数，在［-2，＋∞）上是增函数，求f （1）的值，并比较f （-4）与log 128的大小． 18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），斜率为1的直线l 与C 相交，其中一个交点的坐标为（2，√2），且C 的右焦点到l 的距离为1．（⊂）求a ，b ；（⊂）求C 的离心率.全国各类成人高等学校招生考试高起点数学（文史财经类）考前模拟（一）参考答案及解析一、选择题1．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为偶函数的性质.【应试指导】A项，log2x≠log2（-x），故A项不是偶函数；C项，4x ≠4−x，故C项不是偶函数；D项，x2＋x≠（-x）2-x，故D项也不是偶函数；而B项中x2＝（-x）2，故B项是偶函数．2．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为偶函数与周期函数的性质.【应试指导】⊂f（x）是偶函数，⊂f（-x）＝f（x），又⊂f（x＋3）＝f（x），⊂函数f（x）的周期T＝3，⊂f（1）＝-1，⊂f(-1)＝f(1)＝-1，⊂f(5)+f(11)＝f(2+3)+f(2+3×3)＝f(2)+f(2)＝2f(2)＝2f(-1+3)＝2f(-1)＝2x(-1)＝-2.3．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为二次函数的对称性.【应试指导】由于二次函数y＝ax2＋bx＋1的图像的对称轴是x＝1，且过点A（-1，7），4．【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为元素与集合的关系.5．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为函数的最值.6．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为直线的斜率.【应试指导】已知直线l与直线2x-3y+5＝0平行，故k l＝23 7．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为等差数列.【应试指导】由已知条件及等差数列的定义得8．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为三角函数的性质及诱导公式.9．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为椭圆的定义.【应试指导】由方程x 225+y29得a＝5，b＝3，⊂c＝4，由椭圆的定义得ΔPF1F2的周长＝2a＋2c＝2×5＋2×4＝18．［注］此题主要是考查椭圆的定义及a 、b 、c 三者之间的关系，可用图形来帮助理解．｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝2a ，|F 1F 2|＝2c.10．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为向量的坐标运算.【应试指导】由a ＝（3，1），b ＝（-2，5），则3a-2b ＝3·(3,1)-2·(-2,5)＝(13,-7).11．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为双曲线的定义.【应试指导】由已知条件知双曲线焦点在x 轴上属于第一类标准式，又知c ＝5，2a ＝6，⊂a ＝3，⊂b2＝c2-a2＝25-9＝16，所求双曲线的方程为x 29−y 216=112．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为随机事件的概率.【应试指导】只投中1次的概率为：C 21×25×35=1225 二、填空题13．【答案】－12 【考情点拨】本题主要考查的知识点为平行向量的性质.【应试指导】由于a⊂b ，故x 1=1−2，即x ＝－1214．【答案】5665【考情点拨】本题主要考查的知识点为两角和公式.15．【答案】59【考情点拨】本题主要考查的知识点为随机事件的概率.【应试指导】从5位男生和4位女生中任选2人的选法共有注图B239@@种，恰好一男生和一女生的选法共有C 51∙C 41种，所以恰好选出一男生和一女生的概率是C 51∙C 41C 92 ＝59 三、解答题17.18.全国各类成人高等学校招生考试高起点数学（文史财经类）全真模拟（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题7分，共84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等差数列｛a n ｝中，若a 1＝2，a 3＝6，则a 7＝A.10B.12C.14D.82．不等式｜2x-3｜≤1的解集为A.{x|1≤x≤2}B ．｛x ｜x≤-1或x≥2｝C.{x|1≤x≤3}D.{x|2≤x≤3}3．函数y ＝3x 与(13)x 的图像之间的关系是 A.关于原点对称B.关于x 轴对称C ．关于直线y ＝1对称D.关于y 轴对称4．已知函数f （x ）＝x2＋2x ＋2（x ＜-1），则f-1（2）的值为A.-2B.10C.0D.25．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是A.−13B.-3C.13D.36．点P （2，5）到直线x ＋y-9＝0的距离是A.2√2929C.√2D.−√227．已知A （-1,0），B （2,2），C （0，y ），若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则y ＝ A.3B.5C.-3D.-58．把6个苹果平均分给3个小孩，不同的分配方法有A ．90种B ．30种C ．60种D ）．15种9．已知直线y ＝3x ＋1与直线x ＋my ＋1＝0互相垂直，则m 的值是A.13B.−13C.-3D.310．设等比数列｛a n ｝的公比q ＝2，且a 2·a 4＝8，a 1·a 7＝A.8B.16C.32D.6411.已知数列前n 项和S n =12（3n 2−n ），则第5项的值是A.7B.10C.32D.1612．函数注图的最小正周期和最大值分别是A.2π，12B.2π，2D.π2，-12二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）13．设0＜α＜π2，则√1−sinαsin α2−cos α2=______.14．在ΔABC 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ＝7，则cosB ＝______.15．从某班的一次数学测试卷中任意抽出10份，其得分情况如下：81,98,43,75,60,55,78,84,90,70,则这次测验成绩的样本方差是______.三、解答题（本大题共3小题，共45分．解答应写出推理、演算步骤）16．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝√32，已知点P (0,32)到椭圆上的点的最远距离是√7，求椭圆的方程．17．在ΔABC 中，AB ＝2，BC ＝3，B ＝60°．求AC 及ΔABC 的面积．18．已知等差数列｛a n ｝前n 项和S n ＝-2n 2-n ．（⊂）求通项a n 的表达式；（⊂）求a 1＋a 3＋a 5＋···＋a 25的值．全国各类成人高等学校招生考试高起点数学（文史财经类）考前模拟（二）参考答案及解析一、选择题1．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为等差数列的性质.【应试指导】因为｛a n｝是等差数列，设公差为d，则a3＝a1＋2d⇒2＋2d＝6⇒d＝2，所以a7＝a1＋6d＝2＋6×2＝14. 2．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为不等式的解集.【应试指导】｜2x-3｜≤1⇒-1≤2x-3≤1⇒2≤2x≤4⇒1≤x≤2，故原不等式的解集为｛x｜1≤x≤2｝．3．【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为曲线的对称性.4．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为反函数的性质.5．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为直线的平移.【应试指导】由已知条件知直线经过两次平移后又回到原来的位置，因为直线是满足条件的点集，所以取直线上某一点来考查，若设点P（x，y）为l上的任一点，则经过平移后的对应点也应在这条直线上，这样，可由直线上的两点确定该直线的斜率.方法一：设点P（x，y）为直线l上的任一点，当直线按已知条件平移后，点P随之平移，平移后的对应点为P＇（x-3，y＋1），点P＇仍在直线上，所以直线的斜率k=y+1−yx−3−x =−13方法二：设直线l的方程为y＝kx＋b，直线向左平移3个单位，方程变为y＝k（x＋3）＋b，再向上平移一个单位，方程变为y＝k（x＋3）＋b＋1，即y＝kx＋3k＋b+1，此方程应与原方程相同，对应项系数相等，比较常数项可得，3k＋b＋1＝b，∴k=−136．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为点到直线的距离公式.7．【答案】B【考情点拨】本题主要考查的知识点为垂直向量的性质.【应试指导】此题是已知向量的两端点的向量垂直问题，要根据两向量垂直的条件列出等式，来求出未知数y的值.8．【答案】A【考情点拨】本题主要考查的知识点为分步计数原理.【应试指导】因为把6个苹果平均分给3个小孩与顺序无关属于组合，第一步从6个苹果中任取2个分配给3个小孩中的任一个，分配的方法有注图C62种，第二步在剩余的4个中任取2个分给剩下2个小孩中的任一个有C42种分法，第三步把剩下的2个分给最后一个小孩有C22种分法，由分步计数原理得不同的分配方法有C62∙C42∙C22＝6×52×1×4×32×1×1＝15×6×1＝90（种）.9．【答案】D【考情点拨】本题主要考查的知识点为两直线垂直的性质.【应试指导】易知直线y＝3x＋1的斜率为3，由x＋my＋1＝0中m≠0得y=−1m x−1m，其斜率为−1m，⊂两直线互相垂直，⊂−1m·3=-1，⊂m=310．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为等比数列的性质.【应试指导】⊂｛an｝是公比为q＝2的等比数列且a2·a4＝8，由通项公式a n＝a1q n-1得a1q·a1q3＝8，（a1q2）2＝8，⊂a1·a7＝a1·a1q6＝(a1q2)2·q2＝8x4＝32.11．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为数列的前n 项和.【应试指导】a n ＝S n -S n -1＝12（3n 2−n ）−12[3（n −1）2−（n −1）]＝3n-2，当n ＝5时，a5＝3×5-2＝13. 12．【答案】C【考情点拨】本题主要考查的知识点为三角函数的最小正周期及最值.二、填空题13.【答案】-1【考情点拨】本题主要考查的知识点为三角函数的变换。
高考数学文科一轮复习压轴提升练(人教A版)_1
必考解答题——压轴提升练(一)函数与导数(建议用时：45分钟)1．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)的图象在点(1，f (1))处与直线y ＝2相切．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵曲线在点(1，f (1))处与直线y ＝2相切，∴⎩⎨⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎨⎧ 3－3a ＝0，1－3a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.(2)∵f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＞0，解得x ＞1或x ＜－1，由f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1.∴函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，(－∞，－1)；单调减区间为(－1,1)．2．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3. 当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a 3.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ； 当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a 3＜x ＜0.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. 综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ； 当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. (2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞， 所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a 327＋b ， 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，4a 327＋b ＞0，解得－4a 327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a 327恒成立， 所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4， 所以实数b 的取值范围是(－4,0)．3．已知函数f (x )＝a x ＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x 2＋1x ，f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2.∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)．(2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立，即a x ＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立．即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立，设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]．g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值．∴g (x )≤g (1)＝1－ln 1＝1，∴a 的取值范围是(1，＋∞)．4．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb 36－x，其中k 为比例系数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb 36－x(0＜x ＜36)． (2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb 36－x， y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x 2＋b (36－x )2， 令y ′＝0，得x ＝361＋b ， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增； ∴当x ＝361＋b时，函数取得最小值． 又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意． 所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.。
山东省莱芜市2024高三冲刺(高考数学)统编版考试(押题卷)完整试卷
山东省莱芜市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，则a6＝( )A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1第(2)题已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（）A．64B．81C．128D．192第(3)题已知，，，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（）A．B．C．D．第(5)题镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（）A．6m B．5m C．4m D．3m第(6)题已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（）A．3B．C．2D．第(7)题已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（）A．图像的对称轴方程为B．在上的值域为C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．在上单调递减第(2)题已知数列满足，，，记数列的前项和为，则对任意，下列结论正确的是（）A．存在，使B．数列单调递增C．D．第(3)题已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（）A．4为的一个周期B．8为的一个周期C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为_______．第(2)题过双曲线的左焦点的直线，在第一象限交双曲线的渐近线于点，与圆相切于点.若，则离心率的值为________.第(3)题已知集合，.若，则实数的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，，．(1)若平面平面，证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．第(2)题发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：123456728323745475260(1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）；(2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．参考数据及公式：，，．第(3)题已知四棱锥如图所示，其中四边形为梯形，为等边三角形，且平面，平面，M为棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求点M到平面的距离.第(4)题如图，在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的正方形，，点，分别为棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.第(5)题某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品．该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成．各个电子元件能够正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修．（1）当时，每个系统维修费用均为200元．设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；（2）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测．从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？。
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最新高考数学文科模拟试题冲刺试题压轴提升练习小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i 1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i1＋m i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫432＝53.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝⎝⎛⎭⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c通解：选B.因为a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞⎝⎛⎭⎫1212＞b ＝⎝⎛⎭⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33πB ．12πC.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM ：y ＝12x B x －y B ，联立，得⎩⎨⎧y ＝12x A x －y A ，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，lnx 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－ 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CDBD ＝52x .在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x ，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。