2019-2020学年度最新高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 2-1-1 指数与指数幂的运算

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2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1

2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1.点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔x 20a 2+y 20b 2=1;点P 在椭圆内部⇔x 20a 2+y 20b 2<1;点P 在椭圆外部⇔x 20a 2+y 20b2>1.2.直线与椭圆的位置关系直线y =kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的位置关系:联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2a 2+y 2b2=1,消去y 得一个关于x 的一元二次方程.思考:(1)(2)直线y =kx +1与椭圆x 24+y 23=1有怎样的位置关系?[提示] (1)根据椭圆的对称性知,两交点关于原点对称.(2)直线y =kx +1恒过定点(0,1),点(0,1)在椭圆x 24+y 23=1的内部,因此直线与椭圆相交.1.直线y =x +1与椭圆x 2+y 22=1的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +1,x 2+y 22=1,消去y ,得3x 2+2x -1=0,Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交.]2.直线x +2y =m 与椭圆x 24+y 2=1只有一个交点,则m 的值为( )A .2 2B .± 2C .±2 2D .±2C [由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =m ,x 2+4y 2=4,消去y 并整理得 2x 2-2mx +m 2-4=0.由Δ=4m 2-8(m 2-4)=0,得m 2=8. ∴m =±2 2.]3.若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是________.(-2,2) [∵点A 在椭圆内部, ∴a 24+12<1,∴a 2<2,∴-2<a < 2.] 4.如果椭圆x 236+y 29=1的一条弦被点(4,2)平分,那么这条弦所在直线的斜率是________.-12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有x 2136+y 219=1,x 2236+y 229=1, 两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)36+(y 1+y 2)(y 1-y 2)9=0,又x 1+x 2=8,y 1+y 2=4, ∴y 1-y 2x 1-x 2=-12, 即此弦所在直线斜率为-12.]【例1】 对不同的实数值m ,讨论直线y =x +m 与椭圆4+y 2=1的位置关系.思路探究:联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m , ①x 24+y 2=1. ② 将①代入②得:x 24+(x +m )2=1, 整理得:5x 2+8mx +4m 2-4=0.③Δ=(8m )2-4×5(4m 2-4)=16(5-m 2).当Δ>0,即-5<m <5时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m =±5时,方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当Δ<0,即m <-5或m >5时,方程③无实根,此时直线与椭圆相离.代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离.提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.1.(1)若直线y =kx +2与椭圆x 23+y 22=1相切,则斜率k 的值是( )A.63 B .-63 C .±63 D .±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 23+y 22=1得(3k 2+2)x 2+12kx +6=0,由题意知Δ=144k 2-24(3k 2+2)=0, 解得k =±63.] (2)直线y =kx -k +1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25+y 2m=1总有公共点,则m 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,5 [直线y =k (x -1)+1恒过定点P (1,1),直线与椭圆总有公共点等价于点P (1,1)在椭圆内或在椭圆上.所以125+12m ≤1,即m ≥54,又0<m <5,故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,5.]【例2】 过椭圆16+4=1内一点M (2,1)引一条弦,使弦被M 点平分.(1)求此弦所在的直线方程; (2)求此弦长.思路探究:(1)法一:联立方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解. 法二:点差法.(2)设弦的两端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),利用弦长公式求解.[解] (1)法一:设所求直线方程为y -1=k (x -2).代入椭圆方程并整理,得 (4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x +4(2k -1)2-16=0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程的两个根, 于是x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1. 又M 为AB 的中点,∴x 1+x 22=4(2k 2-k )4k 2+1=2, 解得k =-12.故所求直线的方程为x +2y -4=0.法二:设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 又M (2,1)为AB 的中点,∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2. 又A ,B 两点在椭圆上, 则x 21+4y 21=16,x 22+4y 22=16. 两式相减得(x 21-x 22)+4(y 21-y 22)=0.于是(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0. ∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-12, 即k AB =-12.又直线AB 过点M (2,1), 故所求直线的方程为x +2y -4=0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -4=0,x 216+y 24=1,得x 2-4x =0,∴x 1+x 2=4,x 1x 2=0,∴|AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-122·42-4×0=2 5.1.直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则有|AB |= (x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(1+k 2)(x 1-x 2)2=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k 2(y 1-y 2)2 =1+1k2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k 为直线斜率).提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点,M (x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2+y 21b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,①②由①-②,得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0,变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0,即k AB=-b 2x 0a 2y 0.2.(1)已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点,则直线l 的方程为________.x +2y -8=0 [由题意可设直线l 的方程为y -2=k (x -4),而椭圆的方程可以化为x 2+4y 2-36=0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2+1)x 2-8k (4k -2)x +4(4k -2)2-36=0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 所以x 1+x 2=8k (4k -2)4k 2+1=8,所以k =-12.所以直线l 的方程为y -2=-12(x -4),即x +2y -8=0.](2)已知点P (4,2)是直线l :x +2y -8=0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为________.32 [设椭圆方程为x 2a 2+y2b2=1(a >b >0), 直线x +2y -8=0与椭圆交于A ,B 两点,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2+y 21b2=1, ①x 22a 2+y22b 2=1, ②①-②得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b2=0, 即y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2). 因为k AB =-12,AB 中点为(x 0,y 0),x 0=4,y 0=2,所以-12=-2b 2a 2,即a 2=4b 2.所以该椭圆的离心率为e =1-b 2a 2=32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (-2,0),B (2,0)连线的斜率的积为定值-12.①试求动点P 的轨迹方程C ;②设直线l :y =kx +1与曲线C 交于M ,N 两点,当|MN |=423时,求直线l 的方程.[解] ①设动点P 的坐标是(x ,y ),由题意得,k PA ·k PB =-12.∴y x +2·yx -2=-12,化简整理得x 22+y 2=1.故P 点的轨迹方程C 是x 22+y 2=1(x ≠±2).②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4kx =0. ∴x 1+x 2=-4k 1+2k2,x 1·x 2=0.|MN |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=423, 整理得k 4+k 2-2=0, 解得k 2=1或k 2=-2(舍). ∴k =±1,经检验符合题意.∴直线l 的方程是y =±x +1,即x -y +1=0或x +y -1=0.与椭圆有关的综合问题1.直线y =kx +1表示过点(0,1)且斜率存在的直线,即不包含直线x =0,那么直线x =ky +1表示什么样的直线?[提示] 直线x =ky +1,表示过点(1,0)且斜率不为0的直线,即不包含直线y =0. 2.如果以线段AB 为直径的圆过点O ,那么可以得到哪些等价的条件? [提示] (1)设AB 的中点为P ,则|OP |=12|AB |.(2)OA →·OB →=0.【例3】 如图所示,已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点(0,2),且离心率e =22. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l :x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A ,B 两点,判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫-94,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.思路探究:(1)由椭圆经过的一点及离心率公式,再结合a 2=b 2+c 2即可求出a ,b ,c 的值,从而可得椭圆E 的方程.(2)法一:判断点与圆的位置关系,只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较,若d >r ,则点G 在圆外;若d =r ,则点G 在圆上;若d <r ,则点G 在圆内.法二:只需判断GA →·GB →的符号,若GA →·GB →=0,则点G 在圆上;若GA →·GB →>0,则点G 在圆外;若GA →·GB →<0,则点G 在圆内.[解] (1)由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c a =22,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =2,c = 2.所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)法一:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为H (x 0,y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2, 从而y 0=mm 2+2.所以|GH |2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+942+y 20=⎝⎛⎭⎪⎫my 0+542+y 20=(m 2+1)y 20+52my 0+2516.|AB |24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24=(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 20-y 1y 2),故|GH |2-|AB |24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)-3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0, 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫-94,0在以线段AB 为直径的圆外. 法二:设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则GA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+94,y 1,GB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+94,y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2, 从而GA →·GB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+94+y 1y 2=⎝⎛⎭⎪⎫my 1+54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2+54+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m (y 1+y 2)+25 16=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以cos〈GA→,GB→〉>0.又GA→,GB→不共线,所以∠AGB为锐角.故点G⎝⎛⎭⎪⎫-94,0在以线段AB为直径的圆外.解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查,解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等,然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.3.椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(-3,0)和F 2(3,0),且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32. (1)求椭圆方程;(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65,0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ,N 两点,A 为椭圆的左顶点,试判断∠MAN 的大小是否为定值,并说明理由.[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由c =3,a 2=b 2+c 2,代入方程x 2b 2+3+y 2b2=1,又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32, 得1b 2+3+34b 2=1, 解得b 2=1,∴a 2=4. 椭圆的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线MN 的方程为x =ky -65,联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x =ky -65,x 24+y 2=1,得(k 2+4)y 2-125ky -6425=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (-2,0),y 1y 2=-6425(k 2+4),y 1+y 2=12k5(k 2+4), 则AM →·AN →=(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2) =(k 2+1)y 1y 2+45k (y 1+y 2)+1625=0,即可得∠MAN =π2.解决直线与椭圆的位置关系问题,经常利用设而不求的方法,解题步骤为: (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2); (2)联立直线与椭圆的方程;(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程; (4)利用根与系数的关系设而不求;(5)把题干中的条件转化为x 1+x 2,x 1·x 2或y 1+y 2,y 1·y 2,进而求解.1.已知点(2,3)在椭圆x 2m 2+y 2n2=1上,则下列说法正确的是( )A .点(-2,3)在椭圆外B .点(3,2)在椭圆上C .点(-2,-3)在椭圆内D .点(2,-3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上,故选D.] 2.椭圆x 2+4y 2=16被直线y =12x +1截得的弦长为________.35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=16,y =12x +1,消去y 并化简得x 2+2x -6=0.设直线与椭圆的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-6. ∴弦长|MN |=1+k 2|x 1-x 2| =54[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=54(4+24)=35.] 3.已知P (1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为________.x +2y -3=0 [易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k ,弦的端点坐标为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 214+y 212=1①,x 224+y 222=1②,①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)2=0,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴x 1-x 22+y 1-y 2=0,∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12. ∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.]4.焦点分别为(0,52)和(0,-52)的椭圆截直线y =3x -2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12,求此椭圆方程.[解] 设y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).依题意,有a 2-b 2=(52)2=50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2+x 2b 2=1,y =3x -2,消去y 并整理,得(a 2+9b 2)x 2-12b 2x +4b 2-a 2b 2=0. 因为x 1+x 22=12,所以6b 2a 2+9b 2=12.所以a 2=3b 2.②由①②,得a 2=75,b 2=25. 经检验,此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275+x 225=1.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案:1.2.2.1 函数的表示法

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1.2.2函数的表示法课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的解析法表示b b2.函数的图象法表示b c3.函数的列表法表示a a4.分段函数b b,知识导图学法指导1.函数的三种表示法体现了“式”“表”“图”的不同形态,特别是“式”与“图”的结合,体现了数形结合思想,学习过程中注意把它们相互结合,特别要注意加强“式”与“图”的相互转化,从不同的侧面认识函数的本质.2.学习分段函数,要结合实例体会概念,还要注意书写规范.第1课时函数的表示法,知识点函数的表示法三种表示方法的优缺点比较优点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图直观形象地表示出函数的变4.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1较符合该学生走法的是()已知函数f(x)按下表给出,满足f[f(x)]>f(3)的x的值为________.x 12 3f(x)23 1【解析】(1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种图象法:如图所示.,x∈{1,2,3, (10)本题中函数的定义域是不连续的,作图时应注意函数图象是一些点,而不是直线.另外,函数的解析式应注明定义域.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-3,4a -2b +c =-7,c =-3.解得⎩⎨⎧a =-12,b =1,c =-3.所以f (x )=-12x 2+x -3.1(1)换元法:设x2+2=t.(2)待定系数法:设f(x)=ax+b.类型三函数的图象例3作出下列函数的图象:(1)y=x+1(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈[0,3)).【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y =x+1上,如图(1)所示.(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0≤x<3之间的一部分,如图(2)所示.(1)定义域x∈Z.(2)二次函数的图象既要找到几个关键点,又要注意定义域x∈[0 ,3).方法归纳作函数图象的基本步骤(1)列表:取自变量的若干个值,求出相应的函数值,并列表表示;(2)描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;(3)连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来,得到函数图象.跟踪训练3作出下列函数的图象:(1)y=-x+1,x∈Z;(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;(3)y=|1-x|.解析:(1)函数y=-x+1,x∈Z的图象是直线y=-x+1上所有横坐标为整数的点,如图(a)所示.(2)由于0≤x <3,故函数的图象是抛物线y =2x 2-4x -3介于0≤x <3之间的部分,如图(b).(3)因为y =|1-x |=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x ≥1,1-x ,x <1,故其图象是由两条射线组成的折线,如图(c).先求对称轴及顶点,再注意x 的取值(部分图象). 关键是根据x 的取值去绝对值.C .f (x )=x +2D .f (x )=1+x解析:令x -1=t ,则x =t +1,∴f (t )=1t +1+1=12+t,∴f (x )=1x +2.答案:C2.星期天,小明从家出发,出去散步,图中描述了他散步过程中下面的描述符合小明散步情况的是( ).从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走.从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了.从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,A .g (x )=2x +1B .g (x )=2x -1C .g (x )=2x -3D .g (x )=2x +7 解析:因为g (x +2)=f (x )=2x +3,所以令x +2=t ,则x =t -2,g (t )=2(t -2)+3=2t -1.所以g (x )=2x -1.答案:B二、填空题(每小题5分,共15分)f (0)]=________.4,f (4)=2,f [f (0)]满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =x 2+的图象是曲线OAB ,其中点⎭⎪⎫13)的值.的解析式.解析:因为f (-1)=f (2)=0,所以有⎩⎪⎨⎪⎧1-p +q =0,4+2p +q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =-1,q =-2,故f (x )=x 2-x -2.答案:313.作出下列函数的图象并写出其值域:(1)y =2x ,x ∈[2,+∞);(2)y =x 2+2x ,x ∈[-2,2].解析:(1)列表x 2 3 4 5 …2122 -1 0 1 -1 03 =x +2x 在-2≤-1,8].。

人教版高中数学必修1(2019A版)教案+反思-2

人教版高中数学必修1(2019A版)教案+反思-2

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式(共2课时)(第1课时)本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为:初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识,会用作差比较法证明简单的不等式,所以在学法上要指导学生:从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形,进行几何与代数的结合运用,培养数学结合的思想观点,发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点:的证明过程,会用此不等式求某些简单函数的最值;2.教学难点:基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件; 多媒体2a b+≤教学过程教学设计意图 核心素养目标 (一)、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就,又象一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系. 思考1:这图案中含有怎样的几何图形?思考2:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗? (二)、探索新知1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边 长为a,b (a ≠b ),那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:.当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时, 正方形EFGH 缩为一个点,这时有.(通过几何画板演示当a=b 时的图像)2.得到结论(重要不等式):一般的,对于任意实数a,b ,我们有,当且仅当a=b 时,等号成立。

3.思考证明:你能给出它的证明吗?(设计意图:证明:因为,当且仅当a=b 时等号成立通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景,进行设问,引导学生观察分析,发现图形中蕴藏的基本不等式,培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养,同时渗透数学文化,和爱国主义教育。

2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案:2.2 基本不等式 Word版含答案

2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案:2.2 基本不等式 Word版含答案

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式教学设计一、教学目标1.知识与技能了解基本不等式的几何背景,探索基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单最大(小)值问题。

2.过程与方法进一步让学生探究不等式的代数证明,加深对基本不等式的理解和认识,提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3.情感态度与价值观培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生形成数形结合的思想意识。

二、教学重难点1.教学重点应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程,基本不等式在实际问题中的应用。

2.教学难点用基本不等式求最大值和最小值。

三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用。

那么,是否也有一些不等式在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?在前一节的学习中,我们利用完全平方公式和赵爽弦图结合得出了一类重要不等式有,这个不等式何时取等号呢?学生回忆乘法公式并对不等式进行类比。

学生回答:当且仅当a=b时,等号成立。

由简单问题引入,通过数学知识的内部提出问题。

2.探索新知特别的,当a>0,b>0时,用,分别代替上式中的a,b,可得(1),当且仅当a=b时,等号成立。

通常称公式(1)为基本不等式,其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数。

基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

利用不等式的性质推导出基本不等式的证明过程,分析并理解。

课本P45探究,利用初中学过的知识相似三角形和圆证明了基本不等式。

例1:已知x>0,求的最小值分析:利用基本不等式求解。

例2:已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.(积定和最小,和定积最大。

)基本不等式主要用于证明不等式和求最进一步理解记忆基本不等式。

2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案:2.1.2.1 指数函数及其性质

2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案:2.1.2.1 指数函数及其性质

第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)学习目标①通过实际问题了解指数函数的实际背景;②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是y=2x.情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x年后,机器的价值为原来的y倍,则y与x的关系为y=0.94x.问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?共同点: ;不同点: .二、自主探索,尝试解决指数函数的概念:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a≠1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?研究方法: .研究内容:定义域、值域、 、 、 .问题4:如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图.问题5:画出指数函数y=2x ,y=()x 的图象并观察图象有什么特征?12问题6:函数y=2x 与y=()x 的图象有什么关系?能否由y=2x 的图象得到y=()x 的图象?1212问题7:选取底数a 的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?问题9:从特殊到一般,指数函数y=a x (a>1)有哪些性质?并类比得出y=a x (0<a<1)的性质.指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图象和性质如下表所示:a>10<a<1图象(1)定义域: (2)值域: (3)过定点 ,即x=0时,y=1性质(4)在 上是增函数 (4)在 上是减函数强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.四、运用规律,解决问题【例1】已知指数函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)的图象经过点(3,π),求f (0),f (1),f (-3)的值.【例2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x ;(2)y=x 4;(3)y=-4x ;(4)y=(-4)x ;(5)y=πx ;(6)y=4x 2;(7)y=x x ;(8)y=(2a-1)x (a>,且a ≠1).12五、变式演练,深化提高1.若函数y=(a 2-3a+3)·a x 是指数函数,则a= .2.函数f (x )=(a 2-1)x 在R 上是减函数,则a 的取值范围是( )A.|a|>1B.|a|<2C.a<D.1<|a|<223.函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( )A.f (xy )=f (x )f (y )B.f (xy )=f (x )+f (y )C.f (x+y )=f (x )f (y )D.f (x+y )=f (x )+f (y )4.函数f (x )=a x 与g (x )=ax-a 的图象大致是( )5.若a>1,-1<b<0,则函数y=a x +b 的图象一定在( )A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.函数y=a |x|(a>1)的图象是( )六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点: 、 和 .2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.3.思想方法: 、 .七、作业精选,巩固提高1.课本P 59习题2.1A 组第6,9题;2.课本P 60习题2.1B 组第3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:共同点:变量x 与y 构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题2:若a=0,当x>0时,a x 恒等于0,没有研究价值;当x ≤0时,a x 无意义;若a<0,例如当a=-2,x=时,无意义,没有研究价值;12-2若a=1,则1x =1,a x 是一个常量,也没有研究的必要.所以规定a>0且a ≠1.三、信息交流,揭示规律问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质研究内容:图象 单调性 奇偶性问题4:列表 描点 连线问题5:函数y=2x 的图象位于x 轴的上方,向左无限接近 x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y 轴交于(0,1)点.函数y=()x 的图象位于x 轴的上方,向右无限接近x 轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是12下降的,与y 轴交于(0,1)点.问题6:y=2x 与y=()x 的图象关于y 轴对称.实质是y=2x 上的点(-x ,y )与y=()x 上的点(x ,y )1212关于y 轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题7:分别取a=3,,4,,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x ,y=()x ,y=4x ,y=(13141314)x 的图象.可用多媒体画出y=3x ,y=()x ,y=4x ,y=()x 的图象如下:1314问题8:底数分a>1和0<a<1两种情况.问题9:R (0,+∞) (0,1) R R。

2019-2020学年新人教A版必修一 集合 学案

2019-2020学年新人教A版必修一  集合  学案

2019-2020学年新人教A版必修一集合学案1.集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。

2.集合的子集个数若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个。

3.注意空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论,防止漏解。

4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A。

(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B。

(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A。

∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B);∁U (A∪B)=(∁U A)∩(∁U B)。

一、走进教材1.(必修1P12A组T5改编)若集合P={x∈N|x≤ 2 018},a=22,则( )A.a∈P B.{a}∈PC.{a}⊆P D.a∉P解析因为a=22不是自然数,而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合,所以a∉P。

故选D。

答案 D2.(必修1P12B组T1改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________。

解析由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个)。

答案64二、走近高考3.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={ -2,-1,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}解析根据集合交集中元素的特征,可以求得A∩B={0,2}。

故选A。

答案 A4.(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}解析因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}。

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案:2.1.2.1 指数函数及其性质

2019-2020学年高中数学人教A版必修一学案:2.1.2.1 指数函数及其性质

知识导图明确指数函数的概念,会求指数函数的解析式.借助指数函数的图象来学习函数性质,学会用数形结合的方.在掌握指数函数的图象与性质的基础上,学会解决与指数函数有关的复合函数问题.第1课时 指数函数及其性质a>1过点(0,1)时,y=1x>0时,0<y<1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1单调性是R上的增函数是R上的减函数底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.当a>1时,指数函数的图象是“上升”的;当0<a<1时,指数函数的图象是“下降”的.答案:D A .a =1或2 B .a =1C .a =2 D .a >0且a ≠1(2)指数函数y =f (x )的图象经过点,那么f (4)·f (2)等于(-2,14)________.【解析】 (1)由指数函数的定义得Error!解得a =2.1若函数y =(3-2a )x 为指数函数,则实数下列函数中是指数函数的是________.(填序号(π)⑥y =x .13解析:(1)若函数y =(3-2a )x 为指数函数,则Error!解得a <且a ≠1.32(2)①中指数式()x 的系数不为1,故不是指数函数;②中21类型二 指数函数的图象问题如图所示是下列指数函数的图象:的大小关系是( )(1)先由a>1,0<a<1两个角度来判断函数的单调性,确定函数图象.(2)由y=a x过定点(0,1)来求f(x)过定点.方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为:(1)无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=a x(a>0,a≠1)1<b<0,则函数y=a x+b的图象一定在.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限.第二、三、四象限D.第一、二、四象限0<m<n<1,所以y=m x与y=n x都是减函数,故排答案: (1)C 由底数的范围判断函数图象.例3 (1)函数y = 的定义域是( )(3)2x -1-27A .[-2,+∞)B .[-1,+∞)C .(-∞,-1]D .(-∞,-2](2)已知f (x )=3x -b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域为( )A .[9,81]B .[3,9]C .[1,9]D .[1,+∞)解析:(1)由x -2≥0,得x ≥2,所以定义域为{x |x ≥2}.当x ≥2时,≥0,又因为0<<1,所以y =的值域为x -213(13)x -2{y |0<y ≤1}.(2)①若a >1,则f (x )在[1,2]上单调递增,最大值为a 2,最小值为a ,所以a 2-a =,即a =或a =0(舍去).a 232)A.答案:A3.当x ∈[-1,1]时,函数f (x )=3x -2的值域是( )A. B .[-1,1][1,53][-53,1]讨论:=ax 过原点且斜率大于1,g (②当0<a <1时,f (x )=ax 过原点且斜率小于1,g (x )=a x 是减函数,显然B 正确.答案:B二、填空题(每小题5分,共15分)6.若指数函数y =f (x )的图象经过点,则(-2,116)(-3)x )的图象如图所示:(2)f (1)=31=3,g (-1)=-1=3;(13)f (π)=3π,g (-π)=-π=3π;(13)为y=6×1-1=5.故选C.答案:C12.若关于x的方程2x-a+1=0有负根,则a的取值范围是________.解析:因为2x=a-1有负根,所以x<0,所以0<2x<1.。

2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案:1.2.2.1 函数的表示法

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第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法(第一课时)学习目标①了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法);②会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为生日快樂!英文为Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是Сднемрождения!……问题1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢?二、自主探索,尝试解决结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法,同学们分组讨论,总结出函数的三种不同表示方法.三、信息交流,揭示规律函数的三种表示方法:解析法:图象法:列表法:问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.四、运用规律,解决问题【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).【例2】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.【例3】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.【例4】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()五、变式演练,深化提高1.已知f()=,则f(x)=.2.已知函数f(x)=.(1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.3.求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地选择?七、作业精选,巩固提高课本P24习题1.2 A组第7,8,9题.参考答案三、信息交流,揭示规律解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.问题2:解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要,给自变量求函数值;不足之处,比较抽象.图象法形象直观表示两个变量之间的关系,较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处,变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值,没有计算过程;不足之处,不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.四、运用规律,解决问题【例1】解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为用图象法可将函数y=f(x)表示为注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.【例2】解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图所示.由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.【例3】分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解:设矩形一边长为x,则另一边长为(a-2x),则面积y=(a-2x)x=-x2+ax.又得0<x<,即定义域为(0,).由于y=-(x-)2+a2≤a2,如图所示,结合函数的图象得值域为(0,a2].【例4】分析:要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系,突出了对思维能力的考查.观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=,注水量V'>,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A图中V'<,C,D两图中V'=,故选B图.答案:B五、变式演练,深化提高1.解析:可设=t,则有x=,所以f(t)==,所以f(x)=(x≠-1).答案:(x≠-1)2.解:(1)y===+3.将y=的图象向左平移两个单位得y=的图象,再向上平移三个单位得y=+3的图象.图象如图所示.(2)观察函数的图象可知,图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,要遵守定义域优先的原则.3.解:(1)(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图所示:函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是[-1,3].(2)方法一:(观察法)函数的定义域是R,由x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).方法二:(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是[1,+∞),即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).。

2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案:1.2.2.3 函数的表示法 Word版含答案

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第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法(第三课时)学习目标①了解映射的概念及表示方法;②会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;③感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.合作学习一、设计问题,创设情境前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.那么这些对应又有什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:①给出以下对应关系:这三个对应关系有什么共同特点?②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义.③“都有唯一”是什么意思?④函数与映射有什么关系?三、信息交流,揭示规律分组讨论归纳的结论:①②③④四、运用规律,解决问题【例1】下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.【例2】下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.【例3】设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?五、变式演练,深化提高1.设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]2.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1映射f的对应法则表2映射g的对应法则则与f[g(1)]相同的是()A.g[f(1)]B.g[f(2)]C.g[f(3)]D.g[f(4)]3.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是()A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高必做:课本P23练习4.选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由.(1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;(2)A={-1,0,2},B={-1,0,},对应法则:“取倒数”;(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;(5)A=N*,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.参考答案三、信息交流,揭示规律①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫做集合B中的元素y的原象,集合B中的元素y叫做集合A中的元素x的象.③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.【例2】解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.【例3】解:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则解得所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.五、变式演练,深化提高1.解析:方法一:由于集合M,N都是数集,则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,则有值域Q={y|y≤1}⊆N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是∁N Q=∁R Q={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);方法二:当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排除C,D两项;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,排除B项.答案:A点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.2.解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,g[f(2)]=g(4)=2,g[f(3)]=g(2)=3,g[f(4)]=g(1)=4,则有f[g(1)]=g[f(1)]=1,故选A.答案:A3.解析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C两项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D项.答案:D。

2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件:2.1 等式性质与不等式性质

2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件:2.1 等式性质与不等式性质
∴p<r<s<q. 答案:p<r<s<q
第二十页,编辑于星期日:点 二十九分。
2.已知 x<1,试比较 x3-1 与 2x2-2x 的大小. 解:(x3-1)-(2x2-2x) =x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1) =(x-1)x-122+34. ∵x-122+34>0,x-1<0, ∴(x-1)x-122+34<0, ∴x3-1<2x2-2x.
答案:C
第九页,编辑于星期日:点 二十九分。
3.下列命题正确的是 A.a>b,c≠0⇒ac2>bc2 B.a<b⇒ a< b C.a>b 且 c<d⇒a+c>b+d D.a>b⇒a2>b2
()
解析:∵c≠0,∴c2>0,又∵a>b,∴由不等式的性质可 得 ac2>bc2,故选 A.
答案:A
第十页,编辑于星期日:点 二十九分。
4.若 a>b>0,n>0,则a1n_______b1n.(填“>”“<”或“=”) 解析:∵a>b>0,n>0,∴an>bn>0.∵an1·bn>0, ∴an·an1bn>bn·an1bn,∴b1n>a1n. 答案:<
第十一页,编辑于星期日:点 二十九分。
题型一 用不等式(组)表示不等式关系 [学透用活]
第十五页,编辑于星期日:点 二十九分。
2.一辆汽车原来每天行驶 x km,如果该汽车每天行驶的路程 比原来多 19 km,那么在 8 天内它的行程将超过 2 200 km, 用不等式表示为________. 解析:因为该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,所以 汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在 8 天内它的行程为 8(x+19)km,因此,不等关系“在 8 天内它的行程将超过 2 200 km”可以用不等式 8(x+19)>2 200 来表示. 答案:8(x+19)>2 200

2019-2020年高中数学 2.1.1平面全册精品教案 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 2.1.1平面全册精品教案 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 2.1.1平面全册精品教案新人教A版必修2(一)教学目标1.知识与技能(1)利用生活中的实物对平面进行描述;(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图(3)掌握平面的基本性质及作用;(4)培养学生的空间想象能力.2.过程与方法(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;(2)让学生归纳整理本节所学知识.3.情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.(二)教学重点、难点重点:1、平面的概念及表示;2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点:平面基本性质的掌握与运用.(三)教学方法师生共同讨论法(1)公理3的图形如图(2)符号表示为:(3)公理3作用:判断两个平面是否相交.师投影公理2图示与符号表示,分析注意事项.师:下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁,思考这两个平面的公共点有多少个?它们有什么特点.生:这两个平面的无穷多个公共点,且所有这些公共点都在一条直线上.师:我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(板书)这就是我们要学的公理3.加强学生对知识的理解,培养学生语言(符号图形)的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出正确结论,加深了对知识的理解,还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图,用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析:根据图形,先判断点、直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.解:在(1)中,,,.在(2)中,,,,,.学生先独立完成,让两个学生上黑板,师生给予点评巩固所学知识随堂练习1.下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面学生独立完成答案:1.D2.(1)不共面的四点可确定4个平面.(2)共点的三条直线可确定一个或3个平面.巩固所学知识课后作业2.1第一课时 习案 学生独立完成备选例题例1 已知:a ,b ,c ,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a ,b ,c ,d 共面.证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a ,b ,c 相交于一点A , 但A d ,如图1.∴直线d 和A 确定一个平面α. 又设直线d 与a ,b ,c 分别相交于E ,F ,G , 则A ,E ,F ,G ∈α.∵A ,E ∈α,A ,E ∈a ,∴a α. 同理可证b α,c α.∴a ,b ,c ,d 在同一平面α内.2o 当四条直线中任何三条都不共点时,如图2. ∵这四条直线两两相交,则设相交直线a ,b 确定一个平面α.设直线c 与a ,b 分别交于点H ,K ,则H ,K ∈α. 又 H ,K ∈c ,∴c α. 同理可证d α.∴a ,b ,c ,d 四条直线在同一平面α内.说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ,AC 、BD 交于点M ,求证:点αb adcG F EA a bcd α H K图1图2C 1、O 、M 共线.分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答:如图所示A 1A ∥C 1C 确定平面A 1CA 1C 平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O O ∈平面BC 1DO 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上. AC ∩BD = MM ∈平面BC 1D 且M ∈平面A 1C平面BC 1D ∩平面A 1C = C 1M O ∈C 1M ,即O 、C 1、M 三点共线.评析:证明点共线的问题,一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上..O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1DC BA。

2019-2020学年新人教A版必修一 集合 复习 学案

2019-2020学年新人教A版必修一  集合 复习  学案

学习目标 1.构建知识网络,理解其内在联系;2.盘点重要技能,提炼操作要点;3.体会数学思想,培养严谨灵活的思维能力.[知识网络][知识梳理]1.本章基本技能梳理本章用到以下技能:(1)运算技能主要表现在求并交补集,求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算,以及式子的变形等.(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出Venn图,数轴,函数图象,要能从中读出相关信息;作图能力体现在给出集合间的关系或运算,能用Venn图或数轴表示,给出函数解析式或性质,能画出相应图象.(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义,依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题.课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论,这叫归纳推理;还有一些类比:如由增函数到减函数,由奇函数到偶函数,由具体函数到抽象函数等.(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据,这样可以更直观,更便于发现数据的内在规律.(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言,用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质,往往还需要在三种语言间灵活转换,有意识地培养灵活选择语言,清晰直观而又严谨地表达自己的想法,听懂别人的想法,从而进行交流与合作.(6)运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识,了解数学史及发展前沿,以及应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面.2.数学四大思想:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想,本章用到以下思想方法:(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分,将实际问题中的条件转化为数学模型,再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题.(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化,函数中求定义域大多转化成解不等式,求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域.(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论,函数中主要是欲去绝对值而正负不定,含参数的函数式的各种性质的探讨.(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集,借助函数图象研究函数性质.类型一集合的综合运算例1已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(∁R A)∪B=R,求a的取值范围;(2)是否存在a使(∁R A)∪B=R且A∩B=∅?解(1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁R A={x|x<0或x>2}.∵(∁R A)∪B=R.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0,a +3≥2,∴-1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B =R 时, -1≤a ≤0,而a +3∈[2,3], ∴A ⊆B ,这与A ∩B =∅矛盾. 即这样的a 不存在.反思与感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观,但操作时要规范,如区间端点的顺序、虚实不能标反.跟踪训练1 已知全集U ={x |x ≤4},集合A ={x |-2<x <3},集合B ={x |-3<x ≤3},求∁U A ,A ∩B ,∁U (A ∩B ),(∁U A )∩B .解 把集合U 及集合A ,B 分别在数轴上表示出来.如图,∁U A ={x |x ≤-2或3≤x ≤4},A ∩B ={x |-2<x <3}, ∁U (A ∩B )={x |x ≤-2或3≤x ≤4}, (∁U A )∩B ={x |-3<x ≤-2或x =3}. 类型二 函数三要素在实际问题中的应用例2 某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖挂4节车厢,一天能来回16次,如果该车每次拖挂7节车厢,则每天能来回10次.(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数的解析式和定义域;(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.解 (1)设每天来回y 次,每次拖挂x 节车厢,由题意设y =kx +b (k ≠0),当x =4时,y =16,当x =7时,y =10,得到16=4k +b,10=7k +b ,解得k =-2,b =24,∴y =-2x +24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x ∈N ,y =-2x +24≥0.解得定义域为{x ∈N |0≤x ≤12}.(2)设每天来回y 次,每次拖挂x 节车厢,由题意知,每天拖挂车厢最多时,运营人数最多,设每天拖挂S 节车厢,则S =xy =x (-2x +24)=-2x 2+24x =-2(x -6)2+72,x ∈[0,12]且x ∈N .所以当x =6时,S max =72,此时y =12,则每日最多运营人数为110×72=7 920(人). 故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920.反思与感悟 建立函数模型如本例(1)中的y =-2x +24,(2)中S =-2x 2+24x 是借助函数研究问题的第一步,在此过程中要善于抓住等量关系,并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来;在实际问题中,定义域不但受解析式的影响,还受实际含义约束,如本例中x 不能为负值,不能为13等.跟踪训练2 某粮店销售大米,若一次购买大米不超过50 kg 时,单价为m 元;若一次购买大米超过50 kg 时,其超出部分按原价的90%计算,某人一次购买了x kg 大米,其费用为y 元,则y 与x 的函数关系式y =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧mx ,0≤x ≤50,0.9mx +5m ,x >50解析 当0≤x ≤50时,y =mx ;当x >50时,y =50m +(x -50)×90%·m =0.9mx +5m . 类型三 函数性质的综合运用例3 函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2). (1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意x 1,x 2∈D , 有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0. (2)f (x )为偶函数.证明:令x 1=x 2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=12f (1)=0.令x 1=-1,x 2=x 有f (-x )=f (-1)+f (x ), ∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数. (3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2, 由(2)知,f (x )是偶函数, ∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16). 又f (x )在(0,+∞)上是增函数.∴0<|x -1|<16,解之得-15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |-15<x <17且x ≠1}.反思与感悟 题目给出的条件是任意x 1,x 2,那么我们就可以根据自己的需要对x 1,x 2 任意赋值,但关键是你得知道自己想要什么,即清楚自己的变形方向. 跟踪训练3 对于函数f (x )=x 2-2|x |. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值. 解 (1)函数的定义域为R ,关于原点对称, f (-x )=(-x )2-2|-x |=x 2-2|x |. 则f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数. 图象关于y 轴对称.(2)f (x )=x 2-2|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x =(x -1)2-1,x ≥0,x 2+2x =(x +1)2-1,x <0.画出图象如图所示,根据图象知,函数f (x )的最小值是-1,无最大值.单调增区间是[-1,0],[1,+∞);单调减区间是(-∞,-1],[0,1].1.已知集合M ={x |-3<x <1},N ={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N 等于( ) A .{-2,-1,0,1} B .{-3,-2,-1,0} C .{-2,-1,0} D .{-3,-2,-1} 答案 C解析 运用集合的运算求解.M ∩N ={-2,-1,0},故选C.2.已知集合P ={x |y =x +1},集合Q ={y |y =x -1},则P 与Q 的关系是( ) A .P =Q B .P Q C .P Q D .P ∩Q =∅答案 B 解析 P ={x |y =x +1}=[-1,+∞),Q ={y |y =x -1}=[0,+∞),所以Q P .3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2,x ≤2,2x ,x >2,则f (-4)=________,若f (x 0)=8,则x 0=________.答案 18 -6或4解析 f (-4)=(-4)2+2=18,由f (x 0)=8,得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2,x 20+2=8,或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2,2x 0=8,得x 0=-6,或x 0=4.4.已知集合A ={x |2-a ≤x ≤2+a },B ={x |x ≤1,或x ≥4}. (1)当a =3时,求A ∩B ;(2)若A ∩B =∅,求实数a 的取值范围.解 (1)当a =3时,A ={x |-1≤x ≤5},B ={x |x ≤1,或x ≥4}, ∴A ∩B ={x |-1≤x ≤1,或4≤x ≤5}. (2)①若A =∅,此时2-a >2+a , ∴a <0,满足A ∩B =∅.②当a ≥0时,A ={x |2-a ≤x ≤2+a }≠∅,∵A ∩B =∅,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-a >1,2+a <4, ∴0≤a <1.综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,1).1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同.3.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行.4.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法.一、选择题1.设全集U =R ,M ={x |x <-2,或x >2},N ={x |1<x <3},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A .{x |-2≤x <1} B .{x |-2≤x ≤2} C .{x |1<x ≤2} D .{x |x <2}答案 C解析 阴影部分所表示集合是N ∩(∁U M ), 又∵∁U M ={x |-2≤x ≤2}, ∴N ∩(∁U M )={x |1<x ≤2}.2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A .y =x -2B .y =x -1C .y =x 2D .y =x 13答案 A3.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0,则( )A .f (3)<f (-2)<f (1)B .f (1)<f (-2)<f (3)C .f (-2)<f (1)<f (3)D .f (3)<f (1)<f (-2)答案 A解析 由已知f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0,得f (x )在x ∈[0,+∞)上单调递减, 由偶函数性质得f (3)<f (-2)<f (1),故选A.4.函数f (x )=ax 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上为减函数,则a 的取值范围为( ) A .0<a ≤15B .0≤a ≤15C .0<a <15D .a >15答案 B解析 当a ≠0时,函数f (x )的对称轴为x =-a -1a ,∵f (x )在(-∞,4]上为减函数, ∴图象开口朝上,a >0且-a -1a ≥4,得0<a ≤15. 当a =0时,f (x )=-2x +2,显然在(-∞,4]上为减函数.5.给定映射f :(x ,y )→(x +2y,2x -y ),在映射f 下,(3,1)的原像为( ) A .(1,3) B .(1,1) C .(3,1) D .(12,12)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y =3,2x -y =1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.6.已知函数f (x )是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x <0时,函数的图象如图所示,则不等式xf (x )<0的解集是( )A .(-2,-1)∪(1,2)B .(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D .(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 答案 D7.函数y =f (x )对于任意x ,y ∈R ,有f (x +y )=f (x )+f (y )-1,当x >0时,f (x )>1,且f (3)=4,则( )A .f (x )在R 上是减函数,且f (1)=3B .f (x )在R 上是增函数,且f (1)=3C .f (x )在R 上是减函数,且f (1)=2D .f (x )在R 上是增函数,且f (1)=2 答案 D解析 设x 1<x 2,f (x 2)-f (x 1) =f [(x 2-x 1)+x 1]-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1. ∵x 2-x 1>0,又已知x >0时,f (x )>1, ∴f (x 2-x 1)>1.∴f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上是增函数. ∵f (3)=f (1+2)=f (1)+f (2)-1 =f (1)+[f (1)+f (1)-1]-1 =3f (1)-2=4, ∴f (1)=2. 二、填空题8.设集合A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },满足A ⊆B ,则实数a 的取值范围是________. 答案 {a |a ≥2} 解析 如图,可知a ≥2.9.如果函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -3,x >0,f (x ),x <0是奇函数,则f (x )=________.答案 2x +3解析 设x <0,则-x >0,g (-x )=-2x -3.∵g (x )为奇函数,∴f (x )=g (x )=-g (-x )=2x +3.10.已知定义在R 上的奇函数满足f (x )=x 2+2x (x ≥0),若f (3-m 2)>f (2m ),则实数m 的取值范围是________. 答案 (-3,1)解析 因为函数f (x )=x 2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )是R 上的增函数.要使f (3-m 2)>f (2m ),只需3-m 2>2m , 解得-3<m <1. 三、解答题11.已知函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f (12)=25. (1)确定函数f (x )的解析式;(2)用定义证明:f (x )在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式:f (t -1)+f (t )<0.(1)解 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)=0,f (12)=25,即⎩⎪⎨⎪⎧b1+02=0,a 2+b1+14=25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0. 所以函数f (x )=x1+x2. (2)证明 任取x 1,x 2∈(-1,1)且x 1<x 2,则 f (x 2)-f (x 1)=x 21+x 22-x 11+x 21 =(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 21)(1+x 22). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1+x 21>0,1+x 22>0.又∵-1<x 1x 2<1,∴1-x 1x 2>0.∴f (x 2)-f (x 1)>0,故f (x 2)>f (x 1).∴f (x )在(-1,1)上是增函数.(3)解 原不等式可化为f (t -1)<-f (t )=f (-t ).∵f (x )在(-1,1)上是增函数,∴-1<t -1<-t <1,解得0<t <12. 故原不等式的解集为{t |0<t <12}. 12.函数f (x )=4x 2-4ax +a 2-2a +2在区间[0,2]上有最小值3,求a 的值.解 f (x )=4(x -a 2)2-2a +2, ①当a 2≤0,即a ≤0时,函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min =f (0)=a 2-2a +2.由a 2-2a +2=3,得a =1±2.∵a ≤0,∴a =1- 2.②当0<a 2<2,即0<a <4时, f (x )min =f (a 2)=-2a +2. 由-2a +2=3,得a =-12∉(0,4),舍去. ③当a 2≥2,即a ≥4时,函数f (x )在[0,2]上是减函数, f (x )min =f (2)=a 2-10a +18.由a 2-10a +18=3,得a =5±10.∵a ≥4,∴a =5+10.综上所述,a =1-2或a =5+10.13.若f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x ,y >0,满足f (x y)=f (x )-f (y ). (1)求f (1)的值;(2)若f (6)=1,解不等式f (x +3)-f (13)<2. 解 (1)在f (x y)=f (x )-f (y )中,令x =y =1, 则有f (1)=f (1)-f (1),∴f (1)=0.(2)∵f (6)=1,∴f (x +3)-f (13)<2=f (6)+f (6), ∴f (3x +9)-f (6)<f (6),即f (x +32)<f (6). ∵f (x )是(0,+∞)上的增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +32>0,x +32<6,解得-3<x <9.即不等式的解集为(-3,9).。

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§2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点).预习教材P49-P53,完成下面问题: 知识点1 根式 1.n 次方根(1)定义:一般地,如果x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. (2)个数:(1)定义:式子na 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n=a ,na n=⎩⎪⎨⎪⎧a ,n 为奇数|a |,n 为偶数(其中n >1且n ∈N *).【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当n ∈N *时,⎝⎛⎭⎫n-16n都有意义.( )(2)任意实数都有两个偶次方根,它们互为相反数.( ) (3)na n =a .( )提示 (1)× 当n 是偶数时,()n-16n没有意义;(2)× 负数没有偶次方根;(3)× 当n 为偶数,且a <0时,na n =-a . 知识点2 指数幂及其运算性质 1.分数指数幂的意义(1)a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q).(2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q). (3)(ab )r =a rb r (a >0,b >0,r ∈Q). 3.无理数指数幂一般地,无理数指数幂a α(a >0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【预习评价】计算:(π-3)0+3-1×⎝⎛⎭⎫21412 的结果为( ) A .32B .72C .23D .12解析 原式=1+13×94=1+13×32=32. 答案 A题型一 根式的运算 【例1】 求下列各式的值.(1)3(-2)3;(2)4(-3)2;(3)8(3-π)8; (4)x 2-2x +1-x 2+6x +9,x ∈(-3,3). 解 (1) 3(-2)3=-2. (2) 4(-3)2=432= 3. (3) 8(3-π)8=|3-π|=π-3.(4)原式=(x -1)2-(x +3)2=|x -1|-|x +3|, 当-3<x ≤1时,原式=1-x -(x +3)=-2x -2. 当1<x <3时,原式=x -1-(x +3)=-4.因此,原式=⎩⎪⎨⎪⎧-2x -2,-3<x ≤1,-4,1<x <3.规律方法 根式化简与求值的思路及注意点(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简. (2)注意点:①正确区分(na )n 与na n 两式;②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.【训练1】 求下列各式的值:(1)(x -y )2;(2)5+26-6-42+7-4 3. 解 (1)(x -y )2=|x -y |, 当x ≥y 时,(x -y )2=x -y ; 当x <y 时,(x -y )2=y -x .(2)原式=(3+2)2-(2-2)2+(2-3)2=3+2-(2-2)+2-3=2 2. 题型二 根式与分数指数幂的互化【例2】 用分数指数幂表示下列各式(a >0,b >0): (1)a 2a ;(2)a a ; (3)3a 2·a 3;(4)(3a )2·ab 3.解 (1)原式=a 2a 12 =a 2+12 =a 52 .(2)原式=a ·a 12 =a 32 =a 34 .(3)原式=a 23 ·a 32 =a 23 +32=a 136 . (4)原式=⎝⎛⎭⎫a 132·(ab 3)12 =a 23 ·a 12 b 32 =a 23 +12 b 32 =a 76 b 32 .规律方法 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数↔化为分数指数的分母,被开方数(式)的指数↔化为分数指数的分子.(2)当根式为多重根式时,要清楚哪个是被开方数,一般由里向外用分数指数幂依次写出.【训练2】 把下列根式化成分数指数幂的形式(a >0,b >0):(1)4b -23 ;(2)a a a ;(3)14(a 3+b 3)2.解 (1)4b -23 =b-234=b -23 ×14 =b -16 . (2)原式=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝⎛⎭⎫a ·a 12 12 12 =a 12 ·a 14 ·a 18 =a 12 +14 +18 =a 78 .(3)原式=[(a 3+b 3)2]-14 =(a 3+b 3)2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫-14 =(a 3+b 3)-12 .题型三 分数指数幂的运算 【例3】 计算下列各式: (1)23×31.5×612;(2)⎝⎛⎭⎫2790.5+0.1-2+⎝⎛⎭⎫21027-23 -3π0+3748; (3)⎝⎛⎭⎫3a 23 b 14 ×⎝⎛⎭⎫-8a 12 b 12 -46a 4·b 3.解 (1)原式=2×312 ×⎝⎛⎭⎫3213 ×1216 =21+⎝⎛⎭⎪⎫-13 +13 ×312 +13 +16 =2×3=6.(2)原式=⎝⎛⎭⎫25912 +⎝⎛⎭⎫110-2+⎝⎛⎭⎫6427-23 -3×1+3748=53+100+916-3+3748=100. (3)原式=(-24)×a 23 +12 ×b 14 +12(-4)×a 23 ×b 32=6×a 23 +12 -23 ×b 14 +12 -32 =6a 12 b -34 .规律方法 1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)利用分数指数幂的运算性质求解.【训练3】 化简:(1)a 23 ·a 15 ·a 715 (a >0);(2)⎝⎛⎭⎫14-12 ·(4ab -1)30.1-2(a 3b -3)12(a >0,b >0).解 (1)原式=a 23 +15 +715 =a 43 . (2)原式=412 ·432 ·a 32 ·b -32 100×a 32 ·b -32=2×8100=425. 题型四 由条件求值【例4】 已知a 12 +a -12 =4,求下列各式的值:(1)a +a -1;(2)a 2+a -2.解 (1)将a 12 +a -12 =4两边平方,得a +a -1+2=16,故a +a -1=14.(2)将a +a -1=14两边平方,得a 2+a -2+2=196,故a 2+a -2=194. 规律方法 由条件求值问题的解题步骤(1)审题:从整体上把握已知条件和所求代数式的特点; (2)化简:化简已知条件与所求代数式; (3)把已知条件代入求值.【训练4】 已知a 12 -a -12 =5,则a 12 +a -12 =________.解析 因为⎝⎛⎭⎫a 12 +a -12 2=a +a -1+2=⎝⎛⎭⎫a 12 -a -12 2+4=5+4=9,又因为a 12 +a -12 >0,所以a 12 +a -12 =3.答案 3课堂达标1.下列运算结果中,正确的是( ) A .a 2a 3=a 5B .(-a 2)3=(-a 3)2C .(a -1)0=1D .(-a 2)3=a 6解析 a 2a 3=a 2+3=a 5,(-a 2)3=-a 6≠(-a 3)2=a 6,(a -1)0=1,若成立,需要满足a ≠1,(-a 2)3=-a 6,故正确的是A ,故选A .答案 A2.(a -b )2+5(a -b )5的值是( ) A .0B .2(a -b )C .0或2(a -b )D .a -b解析 当a -b ≥0时, 原式=a -b +a -b =2(a -b ); 当a -b <0时,原式=b -a +a -b =0. 答案 C 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值为________.解析 原式=a 3·a -12 ·a -45 =a 3-12 -45 =a 1710 .答案a 17104.计算:0.25×⎝⎛⎭⎫-12 -4-4÷20-⎝⎛⎭⎫116-12=________. 解析 原式=14×16-4÷1-⎝⎛⎭⎫14-1=4-4-4=-4. 答案 -45.化简下列各式(式中字母均为正数): (1)b 3a a 6b 6; (2)4x 14⎝⎛⎭⎫-3x 14 y -13 ÷⎝⎛⎭⎫-6x -12 y -23 (结果为分数指数幂). 解 (1)b 3aa 6b6=b 32 ×a -12 ×a 64×b -64 =a . (2) 4x 14⎝⎛⎭⎫-3x 14y -13 ÷⎝⎛⎭⎫-6x -12 y -23 =2x 14 +14 +12 y -13 +23 =2xy 13 . 课堂小结1.掌握两个公式:(1)(na )n =a (n ∈N *);(2)n 为奇数且n ∈N *,na n =a ,n 为偶数且n ∈N *,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0),-a (a <0).2.根式一般先转化成分数指数幂,然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐层变换的方法,然后运用运算性质准确求解.。

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