python 裘宗燕 第三章2 ppt
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裘宗燕，2017//-2-
函数定义和计算试验（用38、39、40等实验）
从问题到程序（Python程序设计）
计算的时间
函数 fib 的定义很好，与数学定义直接对应，简单、易理解 但也不好：计算要花费很长时间（计算fib(100)需要百万年） 现在的计算机非常快，但计算也要花时间
有些程序的计算可能花很长时间 解决某些复杂问题的程序必然需要非常长的时间
有些程序可能需要运行很长时间 例：调和级数部分和，计算这个级数的前多少项之和能超过某 个给定的数
有关终止性的理论结果：程序终止性问题是不可判定的
不存在判断任何程序对任何输入是否终止的有效方法 直观说，就是无法写出一个软件，判断任意的一个程序对任 意一个输入是否终止
裘宗燕，2017//-17-
递归函数（递归程序）存在类似的问题 其终止性同样是不可判定的
从问题到程序（Python程序设计）
新函数效率高，但论证其正确性则不容易（有得有失）
裘宗燕，2017//-7-
求最大公约数
考虑求最大公约数的问题。定义：两个数 m 和 n 的最大公约数， 就是既能整除 m 又能整除 n 的最大的正整数
最简单而直接的想法是用一系列的正整数试验
一种考虑
从 1 开始试，1 总可以整除 m 和 n 递增，发现同时为 m 和 n 约数时记录它 试到超过 m 和 n 中较小的一个，就可以结束
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-9-
求最大公约数：辗转相除
函数定义（递归实现）： def gcd(m, n): if n % m == 0: return m return gcd(n % m, m)
函数定义（循环实现）：
def gcd(m, n): if m == 0: return n while n % m != 0: m, n = n % m, m return m
从问题到程序（Python程序设计）
循环程序和终止性
例（Collatz conjecture，猜想下面函数对每个 n 终止）： def collatz(n): while n != 1: if n%2 == 0 : # n is even n = n//2 else: # n is odd n=n*3+1 /wiki/Collatz_conjecture 可检查它迭代多少次，或达到的最大数值等
求最大公约数的经典算法是辗转相除法，又称为欧几里得算法。 它利用下面关系
n m modn 0 gcd( m, n) gcd( n, m modn) m modn 0
利用这个关系实现一个求 gcd 的函数 改造得到的函数，增加检查，可以能得到一个可以对任一 对整数求最大公约数的函数
用了一个硬币 a 之后 n – a 的兑换方式数，加上 不用硬币 a 时 n 的兑换方式数
上面是递归。有几种（基础）情况可以直接得到结果：
n 等于 0，说明找到一种兑换方式（1 种兑换方式） n 小于 0，说明没找到兑换方式（0 种兑换方式）
货币数等于 0 说明没找到兑换方式（0 种兑换方式）
计算有代价
实际计算由现实世界中的设备（目前是电子计算机）完成
不是数学，不是抽象的理论 每步计算都有代价，即使非常小但也不为 0，累积起来就可 能超过给定的任意大的数（这是数学）
有代价是计算的一种本质特征，相关理论问题后面讨论 一些情况：
可能存在从理论上看能用计算机解决的问题，但我们不可能 等到计算机给出解的那个时间 编程时需要考虑计算的时间，寻找解决问题的高效方法（算 法）永远有意义 有些实际问题对计算完成的时间非常敏感 例：ABS/EBD(电子制动分配)系统，天气预报系统等
初步想想好像没有明显的规律
解决问题关键是看到问题的递归性质 假设能把63个圆盘从A搬到C（用B辅助），把A的最后圆盘直接 搬到B，再把C上63个圆盘搬到B，搬63个与搬64个类似。分步： 这样就把搬64个圆盘的问题归结为两次搬63个圆盘的问题 不难定义解决问题的递归函数，需要引进表示圆盘个数的参数
ccoins 定义一个主函数，调用 ccoins(6, n)
这个函数用递归的方式写，很简单
函数定义直接对应于前面的分析 也可以用循环的方式写出程序，但比较复杂，也不那么清晰。 有编程经验的同学自己试试，需要用一些高级技术
裘宗燕，2017//-14-
从问题到程序（Python程序设计）
兑换硬币
不容易把这个问题转为循环程序（可以做，但比较复杂）
裘宗燕，2017//-12-
从问题到程序（Python程序设计）
递归实例：换硬币
一个递归程序实例 也可以用循环的方式写程序，但比较复杂，也不那么清晰
人民币硬币有 1 分、2 分、5 分、10 分、50 分和 100 分。给定 一定款额，问将其换成硬币有多少种不同兑换方式 递归的看法：币值 n 的兑换方式数等于
基本编程技术-2
递归与循环
计算Fibonacci的函数 函数运行时间 求最大公约数 两个递归函数实例
河内塔问题，换硬币问题
简单递归和相互递归
程序终止性
裘宗燕，2017//-1-
从问题到程序（Python程序设计）
Fibonacci 序列（递归程序示例）
Fibonacci（斐波那契）序列是一个重要的整数序列 因意大利数学家而斐波那契(1175-1250)命名，最早源于印度 有大量数学结果，在计算领域有许多特别重要的应用
为什么需要递归定义？
不少算法用递归的方式描述简单而自然，正确性很容易看清 楚。用循环方式描述却很难/复杂/意义不清晰
后面学习中还会看到，在计算中需要处理的许多结构本身就 是递归的，用递归的方式处理非常自然
裘宗燕，2017//-11-从问题到程序（Pyth Nhomakorabean程序设计）
河内塔（梵塔）问题
问题描述：神庙有三根细长玉石圆柱， 64个大小不等的有孔金盘，下大上小 套在圆柱A上（梵塔）。需要把圆盘从 该圆柱搬到圆柱B，规则是每次搬一个 圆盘，不允许把大盘放到小盘上。要 求写程序模拟这个过程
裘宗燕，2017//-4-
从问题到程序（Python程序设计）
为计算计时
统计程序或程序片段的计算时间，有助于理解程序的性质，实际 中常需要做。现在介绍Python标准库的计时功能
标准库包time提供了计时函数time，调用它得到从1970年1月1 日开始的秒数。两次调用time就能为一段计算计时。例如：
from time import time def test_fib(n): t = time() f = fib(n) print("Fib[" + str(n) + "] =", f, "Timing:", str(time() - t) + "s\n") 函数的输出计算 fib(n) 的时间
考虑定义一个基于递推循环的函数，从 F0 和 F1 出发，一步步向 前递推，直至得到所需要的 Fn 考虑循环中的变量安排：
用 f1 和 f2 记录已知的两个相邻 Fibonacci 值 f1 + f2 是下一个 Fib 值
需要知道算到第几个 Fib 值，k 记录变量 f1 的值是 Fk
裘宗燕，2017//-15-
相互递归
有时需要两个或多个函数相互调用
例如在 f 里调用 g，在 g 里调用 f 这样的函数称为相互递归的函数
Python（只）要求函数在使用时必须有定义
前面定义的函数可以调用后面定义的函数
只要实际调用时被调用函数已经定义
定义函数时，用到的函数可以没定义，但在执行程序中调用 函数时，被调用的函数必须有定义
从问题到程序（Python程序设计）
还要加上特殊情况处理。还需考虑如何论证循环程序的正确性 （同样需要借助循环不变式的概念）
裘宗燕，2017//-10-
递归和循环
是不是递归函数一定比循环函数慢？ 为什么考虑递归程序有价值？
回答：
不一定
例如 Fibonacci 的递归和循环实现采用了不同算法，完全可 以用递归实现第二种算法
举例：两个相互递归的函数
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-16-
终止性和循环程序
写程序时，需要考虑程序是否必定终止（对所有可能的输入都终 止）。程序不保证终止，就不保证能给出最后结果
直线型和分支程序必然终止（只要每个基本语句终止）
循环程序则可能不终止（即使每个基本语句都终止）
Fibonacci 序列的定义
• •
F0 = 0, F1 = 1
（基础情况）
Fn = Fn-1 + Fn-2, 对所有 n > 1（一般情况）
序列的前几项：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ......
Fibonacci 序列的定义是递归定义
基础情况，一般情况可归结到更简单情况（下标更小） 可以直接做出一个递归定义的函数
如果发现一个程序很慢，不能满足实际需要，可能做的一件事就 是仔细检查程序，估计其中各部分的时间开销，设法改进
裘宗燕，2017//-5-
从问题到程序（Python程序设计）
再看 Fibonacci 序列：另一种算法
对 Fibonacci 数的计算，换一种看法： 基本情况已直接给定，由 Fn-1 和 Fn 可以递推得到 Fn+1
def ccoins(k, n): if n == 0: return 1 if k == 0 or n < 0: return 0 return ccoins(k, n - amount(k)) + ccoins(k - 1, n)
从问题到程序（Python程序设计）
def num_coins(n): return ccoins(6, n)
fib(5) fib(4) fib(3) Fib(2) fib(1) fib(0)
裘宗燕，2017//-3-
看计算 fib(5) 的情况 存在大量重复计算
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1) fib(0) fib(1)
fib(1)
fib(1)
fib(0)
从问题到程序（Python程序设计）
记录的最大的那个约数，就是 m 和 n 的最大公约数
假定 m >= 0, n > 0，容易写出函数定义 如果允许参数是任何整数（包括负数），需要加一些前处理
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-8-
求最大公约数：辗转相除
还可以从大到小循环检查 找到的第一个能同时整除两个数的 d 就是最大公约数
裘宗燕，2017//-13-
从问题到程序（Python程序设计）
递归实例：换硬币
考虑算法的实现，其中有些问题需要解决 为取得硬币的币值，把硬币排顺序后编号 1 到 6 对应到 1 分到 100 分的硬币 定义一个函数，实现这种对应。减一种硬币时编号范围减一
前面有关分析可以直接翻译为一个递归定义的函数
f1, f2 和 k 需要在每次循环中更新 f1, f2 = f2, f1+f2 k += 1 也可以用递归函数描述这种计算 存在更快的算法
裘宗燕，2017//-6-
从问题到程序（Python程序设计）
循环不变式
怎么确定下面循环能算出正确的结果？ f1, f2 = 0, 1 # 开始时分别表示F_0和F_1 k=0 while k < n: f1, f2 = f2, f2 + f1 k += 1 return f1
硬币编号函数： def amount(k): if k == 1: return 1 if k == 2: return 2 if k == 3: return 5 if k == 4: return 10 if k == 5: return 50 if k == 6: return 100
主要函数：
需要论证一旦k增加到n，f1的值就是第n个Fibonacci数 我们说明循环保证：每次条件判断时，f1总是第k个Fibonacci 数，f2总是第k+1个数。这样当k值等于n时f1就是所需结果 在循环中总能保证的变量之间的关系，称为循环不变式 循环不变式是证明循环功能正确的基本工具
从问题到程序（Python程序设计）
函数定义和计算试验（用38、39、40等实验）
从问题到程序（Python程序设计）
计算的时间
函数 fib 的定义很好，与数学定义直接对应，简单、易理解 但也不好：计算要花费很长时间（计算fib(100)需要百万年） 现在的计算机非常快，但计算也要花时间
有些程序的计算可能花很长时间 解决某些复杂问题的程序必然需要非常长的时间
有些程序可能需要运行很长时间 例：调和级数部分和，计算这个级数的前多少项之和能超过某 个给定的数
有关终止性的理论结果：程序终止性问题是不可判定的
不存在判断任何程序对任何输入是否终止的有效方法 直观说，就是无法写出一个软件，判断任意的一个程序对任 意一个输入是否终止
裘宗燕，2017//-17-
递归函数（递归程序）存在类似的问题 其终止性同样是不可判定的
从问题到程序（Python程序设计）
新函数效率高，但论证其正确性则不容易（有得有失）
裘宗燕，2017//-7-
求最大公约数
考虑求最大公约数的问题。定义：两个数 m 和 n 的最大公约数， 就是既能整除 m 又能整除 n 的最大的正整数
最简单而直接的想法是用一系列的正整数试验
一种考虑
从 1 开始试，1 总可以整除 m 和 n 递增，发现同时为 m 和 n 约数时记录它 试到超过 m 和 n 中较小的一个，就可以结束
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-9-
求最大公约数：辗转相除
函数定义（递归实现）： def gcd(m, n): if n % m == 0: return m return gcd(n % m, m)
函数定义（循环实现）：
def gcd(m, n): if m == 0: return n while n % m != 0: m, n = n % m, m return m
从问题到程序（Python程序设计）
循环程序和终止性
例（Collatz conjecture，猜想下面函数对每个 n 终止）： def collatz(n): while n != 1: if n%2 == 0 : # n is even n = n//2 else: # n is odd n=n*3+1 /wiki/Collatz_conjecture 可检查它迭代多少次，或达到的最大数值等
求最大公约数的经典算法是辗转相除法，又称为欧几里得算法。 它利用下面关系
n m modn 0 gcd( m, n) gcd( n, m modn) m modn 0
利用这个关系实现一个求 gcd 的函数 改造得到的函数，增加检查，可以能得到一个可以对任一 对整数求最大公约数的函数
用了一个硬币 a 之后 n – a 的兑换方式数，加上 不用硬币 a 时 n 的兑换方式数
上面是递归。有几种（基础）情况可以直接得到结果：
n 等于 0，说明找到一种兑换方式（1 种兑换方式） n 小于 0，说明没找到兑换方式（0 种兑换方式）
货币数等于 0 说明没找到兑换方式（0 种兑换方式）
计算有代价
实际计算由现实世界中的设备（目前是电子计算机）完成
不是数学，不是抽象的理论 每步计算都有代价，即使非常小但也不为 0，累积起来就可 能超过给定的任意大的数（这是数学）
有代价是计算的一种本质特征，相关理论问题后面讨论 一些情况：
可能存在从理论上看能用计算机解决的问题，但我们不可能 等到计算机给出解的那个时间 编程时需要考虑计算的时间，寻找解决问题的高效方法（算 法）永远有意义 有些实际问题对计算完成的时间非常敏感 例：ABS/EBD(电子制动分配)系统，天气预报系统等
初步想想好像没有明显的规律
解决问题关键是看到问题的递归性质 假设能把63个圆盘从A搬到C（用B辅助），把A的最后圆盘直接 搬到B，再把C上63个圆盘搬到B，搬63个与搬64个类似。分步： 这样就把搬64个圆盘的问题归结为两次搬63个圆盘的问题 不难定义解决问题的递归函数，需要引进表示圆盘个数的参数
ccoins 定义一个主函数，调用 ccoins(6, n)
这个函数用递归的方式写，很简单
函数定义直接对应于前面的分析 也可以用循环的方式写出程序，但比较复杂，也不那么清晰。 有编程经验的同学自己试试，需要用一些高级技术
裘宗燕，2017//-14-
从问题到程序（Python程序设计）
兑换硬币
不容易把这个问题转为循环程序（可以做，但比较复杂）
裘宗燕，2017//-12-
从问题到程序（Python程序设计）
递归实例：换硬币
一个递归程序实例 也可以用循环的方式写程序，但比较复杂，也不那么清晰
人民币硬币有 1 分、2 分、5 分、10 分、50 分和 100 分。给定 一定款额，问将其换成硬币有多少种不同兑换方式 递归的看法：币值 n 的兑换方式数等于
基本编程技术-2
递归与循环
计算Fibonacci的函数 函数运行时间 求最大公约数 两个递归函数实例
河内塔问题，换硬币问题
简单递归和相互递归
程序终止性
裘宗燕，2017//-1-
从问题到程序（Python程序设计）
Fibonacci 序列（递归程序示例）
Fibonacci（斐波那契）序列是一个重要的整数序列 因意大利数学家而斐波那契(1175-1250)命名，最早源于印度 有大量数学结果，在计算领域有许多特别重要的应用
为什么需要递归定义？
不少算法用递归的方式描述简单而自然，正确性很容易看清 楚。用循环方式描述却很难/复杂/意义不清晰
后面学习中还会看到，在计算中需要处理的许多结构本身就 是递归的，用递归的方式处理非常自然
裘宗燕，2017//-11-从问题到程序（Pyth Nhomakorabean程序设计）
河内塔（梵塔）问题
问题描述：神庙有三根细长玉石圆柱， 64个大小不等的有孔金盘，下大上小 套在圆柱A上（梵塔）。需要把圆盘从 该圆柱搬到圆柱B，规则是每次搬一个 圆盘，不允许把大盘放到小盘上。要 求写程序模拟这个过程
裘宗燕，2017//-4-
从问题到程序（Python程序设计）
为计算计时
统计程序或程序片段的计算时间，有助于理解程序的性质，实际 中常需要做。现在介绍Python标准库的计时功能
标准库包time提供了计时函数time，调用它得到从1970年1月1 日开始的秒数。两次调用time就能为一段计算计时。例如：
from time import time def test_fib(n): t = time() f = fib(n) print("Fib[" + str(n) + "] =", f, "Timing:", str(time() - t) + "s\n") 函数的输出计算 fib(n) 的时间
考虑定义一个基于递推循环的函数，从 F0 和 F1 出发，一步步向 前递推，直至得到所需要的 Fn 考虑循环中的变量安排：
用 f1 和 f2 记录已知的两个相邻 Fibonacci 值 f1 + f2 是下一个 Fib 值
需要知道算到第几个 Fib 值，k 记录变量 f1 的值是 Fk
裘宗燕，2017//-15-
相互递归
有时需要两个或多个函数相互调用
例如在 f 里调用 g，在 g 里调用 f 这样的函数称为相互递归的函数
Python（只）要求函数在使用时必须有定义
前面定义的函数可以调用后面定义的函数
只要实际调用时被调用函数已经定义
定义函数时，用到的函数可以没定义，但在执行程序中调用 函数时，被调用的函数必须有定义
从问题到程序（Python程序设计）
还要加上特殊情况处理。还需考虑如何论证循环程序的正确性 （同样需要借助循环不变式的概念）
裘宗燕，2017//-10-
递归和循环
是不是递归函数一定比循环函数慢？ 为什么考虑递归程序有价值？
回答：
不一定
例如 Fibonacci 的递归和循环实现采用了不同算法，完全可 以用递归实现第二种算法
举例：两个相互递归的函数
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-16-
终止性和循环程序
写程序时，需要考虑程序是否必定终止（对所有可能的输入都终 止）。程序不保证终止，就不保证能给出最后结果
直线型和分支程序必然终止（只要每个基本语句终止）
循环程序则可能不终止（即使每个基本语句都终止）
Fibonacci 序列的定义
• •
F0 = 0, F1 = 1
（基础情况）
Fn = Fn-1 + Fn-2, 对所有 n > 1（一般情况）
序列的前几项：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ......
Fibonacci 序列的定义是递归定义
基础情况，一般情况可归结到更简单情况（下标更小） 可以直接做出一个递归定义的函数
如果发现一个程序很慢，不能满足实际需要，可能做的一件事就 是仔细检查程序，估计其中各部分的时间开销，设法改进
裘宗燕，2017//-5-
从问题到程序（Python程序设计）
再看 Fibonacci 序列：另一种算法
对 Fibonacci 数的计算，换一种看法： 基本情况已直接给定，由 Fn-1 和 Fn 可以递推得到 Fn+1
def ccoins(k, n): if n == 0: return 1 if k == 0 or n < 0: return 0 return ccoins(k, n - amount(k)) + ccoins(k - 1, n)
从问题到程序（Python程序设计）
def num_coins(n): return ccoins(6, n)
fib(5) fib(4) fib(3) Fib(2) fib(1) fib(0)
裘宗燕，2017//-3-
看计算 fib(5) 的情况 存在大量重复计算
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1) fib(0) fib(1)
fib(1)
fib(1)
fib(0)
从问题到程序（Python程序设计）
记录的最大的那个约数，就是 m 和 n 的最大公约数
假定 m >= 0, n > 0，容易写出函数定义 如果允许参数是任何整数（包括负数），需要加一些前处理
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-8-
求最大公约数：辗转相除
还可以从大到小循环检查 找到的第一个能同时整除两个数的 d 就是最大公约数
裘宗燕，2017//-13-
从问题到程序（Python程序设计）
递归实例：换硬币
考虑算法的实现，其中有些问题需要解决 为取得硬币的币值，把硬币排顺序后编号 1 到 6 对应到 1 分到 100 分的硬币 定义一个函数，实现这种对应。减一种硬币时编号范围减一
前面有关分析可以直接翻译为一个递归定义的函数
f1, f2 和 k 需要在每次循环中更新 f1, f2 = f2, f1+f2 k += 1 也可以用递归函数描述这种计算 存在更快的算法
裘宗燕，2017//-6-
从问题到程序（Python程序设计）
循环不变式
怎么确定下面循环能算出正确的结果？ f1, f2 = 0, 1 # 开始时分别表示F_0和F_1 k=0 while k < n: f1, f2 = f2, f2 + f1 k += 1 return f1
硬币编号函数： def amount(k): if k == 1: return 1 if k == 2: return 2 if k == 3: return 5 if k == 4: return 10 if k == 5: return 50 if k == 6: return 100
主要函数：
需要论证一旦k增加到n，f1的值就是第n个Fibonacci数 我们说明循环保证：每次条件判断时，f1总是第k个Fibonacci 数，f2总是第k+1个数。这样当k值等于n时f1就是所需结果 在循环中总能保证的变量之间的关系，称为循环不变式 循环不变式是证明循环功能正确的基本工具
从问题到程序（Python程序设计）