专题20 圆锥曲线综合-2018年高三文科数学全国1卷高考相似模拟题分类汇编解析版

专题20 圆锥曲线综合【母题原题1】【2018新课标1，文20】设抛物线22C y x =：，点()20A ，， ()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ， N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明： ABM ABN ∠=∠．()()()21121212121222222BM BN x y x y y y y yk k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+， 222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 ()()1212211212248820y y k y y x y x y y y kk++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.【母题原题2】【2017新课标1，文20】设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.【母题原题3】【2016新课标1，文20】在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.【解析】(Ⅰ)由已知得M(0,t),P.【命题热点剖析】1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理科一般以椭圆或抛物线为背景,而文科一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一．从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,考查方向为以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文科也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．【应试经验与技巧】１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中2x与2y的分母大小,若2x的分母比2y的分母大,则焦点在x 轴上,若2x的分母比2y的分母小,则焦点在y轴上．２．注意椭圆的范围,在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时,则x a ≤,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义．4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行． 5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x ,y 的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”． 6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.【重点知识整合】1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹.注意：椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹. 2．直线和椭圆的位置关系 （1）位置关系判断：直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到20Ax Bx C ++=的形式（这里的系数A 一定不为0）,设其判别式为∆,（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； （2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (2弦长公式：（1）若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB 12x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则AB ＝21211y y k -+,若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+,则AB＝12y y -.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.其中最短的为通径：22b a,最长为2a ； （3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆12222=+by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-.3.与焦点三角形相关的结论椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ,焦点12F PF ∆的面积为S ,设12F PF θ∠=,则在椭圆12222=+by a x 中,有以下结论：(1)θ＝)12arccos(212-r r b ,且当12r r =即P 为短轴端点时,θ最大为θmax ＝222arccos ac b -； （2）2122||||1cos b PF PF θ=+；焦点三角形的周长为2()a c +；(3)221201sin sin tan ||21cos 2S r r b b c y θθθθ====+,当0||y b =即P 为短轴端点时,max S 的最大值为bc ； 4.直线和抛物线的位置关系（1）位置关系判断：直线(0)y kx m m =+≠与双曲线方程22(0)y px p =>联立方程组,消掉y,得到2222()0k x mk p x m +-+=的形式,当0k =,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当0k ≠设其判别式为∆,①相交：0∆>⇔直线与抛物线有两个交点；②相切：0∆=⇔直线与抛物线有一个交点； ③相离：0∆<⇔直线与抛物线没有交点.注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. （2）焦点弦：若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB,1122(,),(,)A x y B x y ,则有12||AB x x p =++,221212,4p x x y y p ==-.（3） 在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =. （4）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p ,反之亦成立.5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 这是求曲线方程).注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.1．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.【解析】试题分析：解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设方程为，联立，得，，因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0，即，即，得，即.解得：.直线方程为：，所以直线过定点，又，令，又.点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.即，整理得，解得或（舍去）直线，知直线恒过点．点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 3．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围.（2）设直线：，，，直线与圆相切，得，即，联立消去得：，，得，，，∴，所以，得，∴，解得：或，故所求范围为.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.4．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．【解析】分析：（1）两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．说明，再由直角三角形得，从而可得值，得标准方程；当的斜率不存在时，，由,，得，∴，当的斜率存在时，设得：，，由点在椭圆上得得：，此时总成立又，∴，∴且，∴且综上：点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当．第（2）题中可用下列方法6．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2.（1）求椭圆及圆的方程；（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，求的取直范围.【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，，，结合可求，可求椭圆方程和圆的方程；（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式可得，然后利用换元法求其范围即可.详解：解：(1) 设B点到x轴距离为h,则，易知当线段AB在y轴时，，点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．7．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.【解析】试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.详解：设点的坐标为（，则的中点的坐标为，点的坐标为，由,得即，经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．8．【四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式，又因为点在双曲线上，所以，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为，得，代入椭圆方程得，根据弦长公式得到，求表达式的范围即可.(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.由得，∴，得，设，，，则，由，得，代入椭圆方程得，由得，∴，令，则，∴.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．9．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若的面积为 .（ 1 ）求抛物线的标准方程；（ 2 ）过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .（2）易知直线的斜率存在，设直线，设联立消去得，得，，设，，，得点坐标，由，得，,所以，即.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．【河北省石家庄二中2018届高三三模】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.联立所以，，因为点在直线上，所以可设，又在直线上，所以：所以点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：设动点和动直线、即引入参数；结合已知条件将目标式用参变量表示，（3）通过化简消参求得定值.设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.11．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】已知椭圆的上顶点为，点,是上且不在轴上的点，直线与交于另一点，若的离心率为，的最大面积等于.（Ⅰ）求的方程，（Ⅱ）若直线分别与轴交于点,试判断是否为定值.坐标之间的关系。