人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(七十二) 选修4-1 2圆与直线、圆与四边形
高考理科数学第一轮复习试题-课时提升作业(七十二) 选修4-1 2
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课时提升作业(七十二)圆与直线、圆与四边形(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.如图,已知AB是☉O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交☉O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是( )A.3B.2C.2D.【解析】选B.如图,延长CP,交☉O于D,因为PC⊥OP,由垂径定理可得,PC=PD,由相交弦定理得,PA·PB=PC·PD=PC2,又由AP=4,PB=2,所以PC=2.故选B.2.(2014·石景山模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC为直径的圆交AB于D,则BD的长为( )A.4B.C.D.【解析】选D.由题意得AC=3,又AC2=AD·AB,故AD=,故BD=5-=.3.(2015·宿州模拟)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,过点B的切线与DC的延长线交于点E.若∠BCD=110°,则∠DBE= ( )A.75°B.70°C.60°D.55°【解析】选B.因为A,B,C,D是☉O上的四个点,所以∠A+∠BCD=180°,因为∠BCD=110°,所以∠A=70°.因为BE与☉O相切于点B,所以∠DBE=∠A=70°.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2015·黄冈模拟)如图所示,EB,EC是圆O的两条切线,B,C是切点,A,D是圆O 上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是.【解析】EB,EC是圆O的两条切线,所以EB=EC,又因为∠E=46°,所以∠ECB=∠EBC=67°,所以∠BCD=180°-(∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81°,因为四边形ADCB内接于☉O,所以∠A+∠BCD=180°,所以∠A=180°-81°=99°.答案:99°5.(2015·咸阳模拟)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l 交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为.【解析】因为AC∥PD,BD=CD,所以BE∶AE=BD∶CD=1∶1,则BE=AE.因为PA切☉O于A.所以∠PAE=∠ACB=∠EDB.又∠PEA=∠BED,所以△PAE∽△BDE,=,=,BE==AE;连接AG,BF.同理可证:△GAE∽△BFE.所以=,=,GE=2,PG=PE-GE=1.由切割线定理可知:PA 2=PG·PF=1×(PE+EF)=6,故PA=.答案:6.(2015·渭南模拟)如图,在Rt△ADE中,B是斜边AE的中点,以AB为直径的圆O与边DE相切于点C,若AB=3,则线段CD的长为.【解析】连接OC,则OC⊥DE,OC∥AD,由已知B是斜边AE的中点,AB=3,所以EO=,EC===3,=,CD=·EC=×3=.答案:三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2015·商丘模拟)如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线交直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.(1)求证:DE是圆O的切线.(2)如果AD=AB=2,求EB.【证明】(1)连接AC,因为AB是直径,所以BC⊥AC,由BC∥OD可得OD⊥AC,则OD是AC的中垂线,所以∠OCA=∠OAC,∠DCA=∠DAC,所以∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°,所以OC⊥DE,所以DE是圆O的切线.(2)因为BC∥OD,所以∠CBA=∠DOA.又因为∠BCA=∠DAO,所以△ABC∽△DOA,所以=,BC===,所以=,所以=,所以=,所以BE=.8.(2015·兰州模拟)如图,AB是☉O的直径,C,F为☉O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,CM⊥AB,垂足为点M.(1)求证:DC是☉O的切线.(2)求证:AM·MB=DF·DA.【证明】(1)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,因为CA是∠BAF的角平分线,所以∠OAC=∠FAC,所以∠FAC=∠OCA,所以OC∥AD,因为CD⊥AF,所以CD⊥OC,即DC是☉O的切线.(2)连接BC,在Rt△ACB中,CM⊥AB,所以CM2=AM·MB,又因为DC是圆O的切线,所以DC2=DF·DA,因为∠MAC=∠DAC,∠AMC=∠D,AC=AC,所以△AMC≌△ADC,所以CM=DC,所以AM·MB=DF·DA.9.(2015·郑州模拟)如图,A,B,C,D四点在同一个圆上,BC与AD延长线交于点E,点F在BA延长线上.(1)若=,=,求的值.(2)若EF2=FA·FB,证明EF∥CD.【解析】(1)因为A,B,C,D四点共圆,所以∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B,所以△EDC∽△EBA,所以==,所以×=,所以×=,所以=.(2)因为EF2=FA·FB,所以=.又因为∠EFA=∠BFE,所以△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF.又因为A,B,C,D四点共圆,所以∠EDC=∠EBF,所以∠FEA=∠EDC,所以EF∥CD.10.(2015·邯郸模拟)如图,A,B,C是圆O上三个点,AD是∠BAC的平分线,交圆O 于D,过B作直线BE交AD延长线于E,使BD平分∠EBC.(1)求证:BE是圆O的切线.(2)若AE=6,AB=4,BD=3,求DE的长.【解析】(1)连接BO并延长交圆O于G,连接CG,因为∠DBC=∠DAC,又因为AD平分∠BAC,BD平分∠EBC,所以∠EBC=∠BAC.又因为∠BGC=∠BAC,所以∠EBC=∠BGC,因为∠GBC+∠BGC=90°,所以∠GBC+∠EBC=90°,所以OB⊥BE,所以BE是圆O的切线.(2)由(1)可知△BDE∽△ABE,=,所以AE·BD=AB·BE,AE=6,AB=4,BD=3,所以BE=.由切割线定理,得BE2=DE·AE,所以DE=.【加固训练】1.如图,E,P,B,C为圆O上的四点,直线PB,PC,BC分别交直线EO于M,N,A三点,且PM= PN.(1)求证:∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,求的值.【解析】(1)过点P作圆O的切线交直线EO于F点, 由弦切角性质可知∠NPF=∠PBA,因为PM=PN,所以∠PNO=∠PMA,则∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA,即∠PFN=∠BAO.又PF为圆O的切线,故∠POA+∠PFN=90°,故∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,则∠PEO=∠BAO,又∠POA=2∠PEO,故∠POA=2∠BAO,由(1)可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO,故∠BAO=30°,则∠PEO=∠BAO=30°,cos∠PEO=,即=,故==.2.如图,已知☉O和☉M相交于A,B两点,AD为☉M的直径,直线BD交☉O于点C,点G为弧BD中点,连接AG分别交☉O,BD于点E,F,连接CE.(1)求证:AG·EF=CE·GD.(2)求证:=.【证明】(1)连接AB,AC,因为AD为圆M的直径,所以∠ABD=90°,所以AC为圆O的直径,所以∠CEF=∠AGD,因为∠DFG=∠CFE,所以∠ECF=∠GDF,因为G为弧BD中点,所以∠DAG=∠GDF,因为∠FDG=∠BAF,所以∠ECB=∠BAG,所以∠DAG=∠ECF,所以△CEF∽△AGD,所以=,所以AG ·EF=CE·GD.(2)由(1)知∠DAG=∠GDF,∠G=∠G,所以△DFG∽△ADG,所以DG2=AG·GF,由(1)知=,所以=.关闭Word文档返回原板块- 2 -。
【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(四) 2.1函数及其表示
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(四)2.1函数及其表示work Information Technology Company.2020YEAR课时提升作业(四)函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B 的映射的是()A.f:x→y=xB.f:x→y=xC.f:x→y=xD.f:x→y=x【解析】选D.按照对应关系f:x→y=x,对集合A中某些元素(如x=8),集合B中不存在元素与之对应.选项A,B,C都符合题意.2.(2015·厦门模拟)函数f(x)=的定义域是( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意得解得x>-且x≠1,故选D.3.(2015·宿州模拟)下列各组函数不是同一函数的是( )A.f(x)=与g(x)=-xB.f(x)=|x|与g(x)=C.f(x)=x0与g(x)=1D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1【解析】选C.A,B,D中两函数定义域与对应关系均相同故是同一函数,而C中的两函数定义域不同,故不是同一函数.【加固训练】下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( ) A.y= B.y= C.y=xe xD.y=【解析】选D.函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而y=的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为(0,+∞),y=xe x的定义域为R,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).4.(2015·西安模拟)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f等于( ) A.-1 B.0 C.1D.2【解析】选 D.函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f=f(lg2)+f(-lg2)=ln(+3lg2)+1+ln(+3lg2)+1=ln+1+ln(+3lg2)+1=-ln(+3lg2)+1+ln(+3lg2)+1=2.【一题多解】令g(x)=ln(-3x),则g(x)是奇函数,且f(x)=g(x)+1,所以两式相加得f(lg2)+f(-lg2)=2,即f(lg2)+f=2.【加固训练】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))=( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1.f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=( )A.x-1B.x+1C.2x+1D.3x+3【解析】选B.由题意知2f(x)-f(-x)=3x+1.①将①中x换为-x,则有2f(-x)-f(x)=-3x+1.②①×2+②得3f(x)=3x+3,即f(x)=x+1.6.图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图像是( )【解析】选B.由图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减小得越来越慢,结合选项可知选B.7.(2015·太原模拟)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.因为组装第A件产品用时15分钟,所以=15,①所以必有4<A,且==30.②联立①②解得c=60,A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=+ln(2-x)的定义域为_______.【解析】由已知得解得-1≤x<2且x≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.(2014·江西高考改编)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f(g(1))=1,则a=__________.【解析】g(1)=a-1,f(g(1))=5|a-1|=1,解得|a-1|=0,所以a=1.答案:110.(2015·淮南模拟)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是________.【解析】要使函数g(x)=有意义,需满足即0≤x<1. 答案:[0,1)(20分钟40分)1.(5分)(2015·黄山模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x 2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.【加固训练】具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选B.①f=-x=-f(x),满足.②f=+x=f(x),不满足.③0<x<1时,f=-x=-f(x),x=1时,f=0=-f(x),x>1时,f==-f(x),满足.2.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.3.(5分)(2015·吉安模拟)已知函数f(x)=若f(a)=,则a=________.【解析】当a>0时,log2a=,所以a=;当a≤0时,2a==2-1,所以a=-1,所以a=-1或.答案:-1或4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=.(1)求的值.(2)求f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f的值.【解析】(1)因为f(x)==1-,所以==-1.(2)由f(x)=1-得,f=1-=1-,所以,两式两边分别相加,得f(x)+f=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f=0×2013=0.。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套-7
所以V1∶V2=1∶47.
abc 1 abc 47 abc,
48
48
答案:1∶47
(2)(必修2P55复习题-A组T12改编)一直角三角形的三边长分别为
6cm,8cm,10cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为
.
【解析】旋转一周所得几何体为以 24cm为半径的两个同底面的圆锥,
5
其表面积为S= 24 6 24 8 336 (cm2 ).
第五节 空间几何体的面积与体积
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)简单几何体的侧面展开图的形状:
名称
侧面展开图形状
圆柱
_矩____形__
圆锥
_扇____形__
侧面展开图
名称 圆台
侧面展开图形状 扇环
直棱柱
_矩____形__
正n棱锥 n个全等的_等__腰__三__角__形__
正n棱台
A.12
B.18
C.24
D.30
【解题提示】直接根据三视图还原为几何体,然后求出该几何体的体
积.
【规范解答】选C.由三视图可知,该几何体为如图所示的一个三棱柱 上面截去一个三棱锥得到的.三棱柱的体积为 1×3×4×5=30,截去的
2
三棱锥的体积为 × 1×31×3×4=6,所以该几何体的体积为24.
【加固训练】1.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表 面积为 ( )
A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80
【解析】选C.图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方 体构成的简单组合体,其表面积为S=6×4×4+2π×1×4=96+8π.
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(五十四)-8.6抛物线
课时提升作业(五十四)抛物线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·济南模拟)从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为( )A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,±4),所以S△PMF=|y P||PM|=×4×5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C. 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )A.2±B.2+C.±1D.-1【解析】选A.F,设P,Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2±.3.(2015·淮北模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则抛物线y2=-x的焦点坐标为( )A. B.C. D.【解析】选 C.由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b可得解得抛物线的方程为y2=-x,故焦点坐标为.4.(2015·吉安模拟)如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:+y2=,其中p>0,直线l 经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则·的值为( )A.p2B.C.D.【解析】选B.设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+-=x1,同理|CD|=x2,又·=|AB||CD|,所以·=x1·x2=.5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y 1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:k AB====1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆+=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2015·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(x A,y A),B(x B,y B),C是AB的中点,其坐标为(x C,y C),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=x A+1+x B+1=x A+x B+2=2x C+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)8.如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,抛物线的焦点F(2,0),MP所在的直线方程为y=4,从而可求P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,F(2,0),M(x0,4),所以MP所在的直线方程为y=4.在抛物线方程y2=8x中,令y=4可得x=2,即P(2,4),从而可得Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,所以直线MN的方程为x=6.所以x0=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·西安模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以直线AM的斜率为k AM=x1,所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y 1,所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②.②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以k MF==-,则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.又|AB|====4(k2+1),|CD|====4.因为k MF·k AB=-1,所以AB⊥CD,所以S四边形ACBD=|AB|·|CD|=8(k2+1)=8≥32,当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以Δ=16k2-32k+16=0,所以k=1.综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k′(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2,所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·赤峰模拟)已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA 与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶,则a的值等于( )A. B. C.1 D.4【解析】选D.依题意F点的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,所以|KM|∶|MN|=1∶,则|KN|∶|KM|=2∶1,所以|OA|∶|OF|=2∶1,所以=2,求得a=4,故选D.2.(5分)(2015·武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )A. B.2 C.+1 D.-1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为,代入双曲线方程得-=1,又=c,所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.【加固训练】(2014·成都模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)相交于A,B两点,且F是抛物线的焦点,若△FAB是直角三角形,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.3【解析】选B.如图所示,F(1,0).因为△FAB为直角三角形,所以|AM|=|FM|=2,所以A(-1,2),代入-y2=1,得a2=,所以c2=a2+1=+1=,所以e2==6,所以e=.3.(5分)过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线x2=4y交于A,B两点,若直线AB与圆C:x2+(y-1)2=1交于不同两点M,N,则|MN|的最大值是. 【解析】设直线PA的斜率为k,A(x A,y A),则直线PA的方程为y-1=k(x+2),由得x2-4kx-8k-4=0,所以x A-2=4k,则x A=4k+2,所以点A(4k+2,(2k+1)2),同理可得B(-4k+2,(-2k+1)2),所以直线AB为斜率k AB==1,设直线AB的方程为y=x+b,由得2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,由于AB与圆C交于不同的两点,所以Δ>0,即1-<b<+1.则|MN|=·=·=·≤2,故|MN|的最大值是2.答案:24.(12分)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以=,解得:x0=a±,所以A,B,化简直线AB方程得:y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2).【加固训练】已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x 与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|==2p,由2p=4,得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为M,设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.由=a,得=a(-x1,1-y1),所以a==-,同理可得b=-.所以a+b=-=-=-1,所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)已知抛物线C:y2=2px的焦点坐标为F(1,0),过F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线m:x=-2相交于M,N两点.(1)求抛物线C的方程.(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.【解析】(1)由焦点坐标为(1,0),可知=1,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)当直线垂直于x轴时,△ABO与△MNO相似,所以==,当直线与x轴不垂直时,设直线AB方程为y=k(x-1),设M(-2,y M),N(-2,y N),A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得k2x2-(4+2k2)x+k2=0,所以x1·x2=1,所以==·综上=.。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(六) 2.3函数的奇偶性与周期性
课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·九江模拟)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A.y=2|x|B.y=lg(x+)C.y=2x+2-xD.y=lg【解析】选 D.A中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;B中因为f(-x)=-f(x),所以为奇函数;C中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;D中定义域是(-1,+∞),定义域不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增加的为( )A.y=cos2x,x∈RB.y=log2|x|,x∈R且x≠0C.y=,x∈RD.y=x3+1,x∈R【解析】选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间(1,2)内是增加的,而此时y=log2|x|=log2x是增加的,所以选B.3.(2015·南昌模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=( )A.10B.C.-10D.-【解析】选B.因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,又f(107.5)=f(18×6-0.5)=f(-0.5)=-=-,而f(-2.5)=-10,故f(107.5)=,故选B.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(2014·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2013)=( )A.-1B.0C.1D.±1【解析】选 A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.4.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得=,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.5.(2015·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f的值等于( )A. B.- C.lg2 D.-lg2【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lgx,所以f=lg=-2,则f=f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数,所以f=-f(2)=-lg2.6.(2015·南昌模拟)函数f(x)=下列结论不正确的是( )A.此函数为偶函数B.此函数是周期函数C.此函数既有最大值也有最小值D.方程f(f(x))=1的解为x=1【解析】选D.若x为有理数,则-x也为有理数,所以f(-x)=f(x)=1;若x为无理数,则-x也为无理数,所以f(-x)=f(x)=π,所以恒有f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以A正确;当T为有理数时,若x为有理数,易知x+kT(k为整数)还是有理数,有f(x+T)=f(x),若x为无理数,易知x+kT(k为整数)还是无理数,仍有f(x+T)=f(x),综上可知,任意非0有理数都是f(x)的周期,B正确;由分段函数的表达式可知,当x为有理数时,f(x)=1,当x为无理数时,f(x)=π,所以函数的最大值为π,最小值为1,所以C正确;当x为有理数时,f(x)=1,则f(f(x))=f(1)=1,此时方程成立,当x为无理数时,f(x)=π,则f(f(x))=f(π)=π,所D错误.7.(2015·延安模拟)f(x),g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),且f(-3)=0,<0的解集为( )A.(-∞,-3)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解析】选C.由题意是奇函数,当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),′=<0,则在(-∞,0)上是减少的,在(0,+∞)上也是减少的,又有f(-3)=0,则有=0,=0,可知<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·阜阳模拟)f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=________.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:010.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减少的.所以解得-1≤m<.答案:(20分钟40分)1.(5分)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图像与y=log4|x|的图像的交点个数是( ) A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图像如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图像也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.2.(5分)(2014·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是( ) A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)===,该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.3.(5分)(2015·六安模拟)奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上f(x)的函数解析式是________.【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=-x(1+x),又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1+x).答案:f(x)=x(1+x)4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增加的,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增加的.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2014,2014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)= f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由⇒⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期T=10.由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2014]上有404个解,在[-2014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2014,2014]上共有806个解.。
【高考总动员】2016届高考数学总复习 课时提升练72 参数方程 理 新人教版
课时提升练(七十二) 参数方程一、选择题1．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)的轨迹必过点( ) A ．(2,0) B ．(2,3)C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2【解析】 由题意可知，动点P 的轨迹方程为x 24＋y 29＝1，结合四个选项可知A 正确．【答案】 A 2．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t s in 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．20°B ．70° C．160° D ．120°【解析】 法一：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t sin 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)化为参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 70°，y ＝5＋t sin 70°(t 为参数)，故直线的倾斜角为70°.法二：将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t sin 20°，y ＝5＋t cos 20°(t 为参数)化为直角坐标方程为y －5＝cos 20°sin 20°(x ＋2)，即y －5＝sin 70°cos 70°(x ＋2)，∴y －5＝tan 70°(x ＋2)，∴直线的倾斜角为70°. 【答案】 B3．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 【解析】 消去参数θ，将参数方程化为普通方程．曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.【答案】 B4．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x＋y 的取值范围为( )A ．[5，5]B ．[－5，5]C ．[－5，－5]D ．[－5，5]【解析】 因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ＜2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25cos φ＋35sin φ＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D.【答案】 D5．(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2【解析】 将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.故选D.【答案】 D 6．已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13 D ．－15【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15.【答案】 D 二、填空题7．(2014·咸阳模拟)已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系不可能是________．【解析】 把直线l 1的方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)化为直角坐标方程为x tanα－y －tan α＝0，把圆C 2的方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程为x2＋y 2＝1，圆心到直线的距离d ＝|－tan α|tan 2α＋1＝|tan α|tan 2α＋1≤1＝r ，所以直线与圆相交或相切，故填相离．【答案】 相离8．(2013·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)9．(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，消去参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1.【答案】 ρ(cos θ－sin θ)＝1 三、解答题10．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.11．(2014·长春模拟)长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BA →＝3PA →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． 【解】 (1)设P (x ，y )，由题设可知， 则x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α(α为参数，π2＜α＜π)．(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－232＋283.当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.12．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.1
【解析】选A.由主视图与俯视图知,上部的三棱锥的顶点应在棱的中
点处.选A.
4.(2015·亳州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,
经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以
(2)将剩余几何体确认正确,但将EC1的投影搞错而误选A.
命题角度2:根据三视图还原直观图(几何体的结构特征) 【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图所示,网格纸的各小格都是正 方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
【解题提示】结合三视图进行判断,特别注意垂直关系的转化.
A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
(2)以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 ( )
(1)常用方法:三视图与直观图互相转换的方法. (2)数学思想:转化与化归思想.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ( ) )
(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱.
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱. ( )
(4)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y 轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°. ( ) ( )
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(一) 1.1集合
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课时提升作业(一)集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·西安模拟)已知集合A={x|x-2≥0},B={x|0<log2x<2},则错误！未找到引用源。
(A∩B)是( ) A.{x|2<x<4} B.{x|x≥2}C.{x|x≤2或x≥4}D.{x|x<2或x≥4}【解析】选 D.因为B={x|1<x<4},所以A∩B={x|x≥2}∩{x|1<x<4}={x|2≤x<4},错误！未找到引用源。
(A∩B)={x|x<2或x≥4},故选D.2.(2015·长春模拟)已知集合A=错误！未找到引用源。
,B=错误！未找到引用源。
,若B⊆A,则x=( )A.0B. -4C.0或-4D.0或±4【解析】选C.由B⊆A知.x2=16或x2=4x,解得x=〒4或0.经检验.x=0或-4符合题意,故选C.【误区警示】解答本题时易误选D,出错的原因是忽视了集合中元素的互异性.3.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则集合B有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.因为A∪B={1,2,3},A={1,2},所以集合B中应含有元素3,故集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选D.4.已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={x|x<2m-1},且A⊆错误！未找到引用源。
B,那么m的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.A={x|x>1},错误！未找到引用源。
B={x|x≥2m-1},因为A⊆错误！未找到引用源。
B,所以2m-1≤1,即m≤1,因此m的最大值为1.5.(2015·九江模拟)设A={(x,y)|x-y=6},B={(x,y)|2x+y=2},满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为( )A.0B.1C.2D.4【解析】选 C.A∩B=错误！未找到引用源。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.2
交
关 系
a∩b=A
1个 __
a∩α =A
1个 __
α ∩β = l
无数 个 _____
个数
直线与直线
图形 独 有 语言
直线与平面
平面与平面
符号
语言 交点 个数
a,b是异
面直线
关
系
a
α
0个
无数个
(3)空间图形的公理及等角定理: 文字语言 两点 在 如果一条直线上的_____ 一个平面内,那么这条直线 公理1 所有的点 都在这个平面 上_________ 在平面内 内(即直线_________) 图形语言 符号语言 若A∈l,B∈l, A∈α ,B∈α , l α 则______
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则M∈l. A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2015·长沙模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,E,F分别是AB和AA1的中点,
求证:E,C,D1,F四点共面.
【解题提示】(1)利用公理2,公理3及推论判断. (2)只需证明EF∥CD1即可.
(5)没有公共点的两条直线是异面直线.
【解析】(1)错误.当两个平面平行时,把空间分成三部分.
(2)错误.由公理3知应交于过点A的一条直线.
(3)错误.应相交于直线BC,而非线段. (4)正确.因为若c∥b,则由已知可得a∥b,这与已知矛盾. (5)错误.异面或平行. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2
AD.
(2)方法一:由BE������ 1
2
AD,所以GH������
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(三十一) 5.3等比数列
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课时提升作业(三十一)等比数列(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·皖西七校模拟)在等比数列{a n}中,S n是它的前n项和,a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6= ( )A.错误！未找到引用源。
B.16C.15D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.设等比数列{a n}的公比为q,由a2·a3=2a1得,a1q×a1q2=2a1,即a1q3=2①,由a4与2a7的等差中项为17得,a4+2a7=34,即a1q3(1+2q3)=34②,由①②联立解得,q=2,a1=错误！未找到引用源。
,所以S6=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,故选A.【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=x·3n-1-错误！未找到引用源。
,则x的值为( )A.错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.-错误！未找到引用源。
【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-错误！未找到引用源。
①,当n≥2时,a n=S n-S n-1=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{a n}是等比数列,所以a1=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
②,由①②得x-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,解得x=错误！未找到引用源。
.2.(2015·新余模拟)已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,错误！未找到引用源。
a3,2a2成等差数列,则错误！未找到引用源。
= ( ) A.错误！未找到引用源。
B.3-2错误！未找到引用源。
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(七) 2.4指数与指数函数
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课时提升作业(七)指数与指数函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·西安模拟)化简(-3错误！未找到引用源。
)(4错误！未找到引用源。
)·(-2错误！未找到引用源。
)=( )A.24B.-24C.24xD.-24y【解析】选A.原式=[(-3)〓4〓(-2)]错误！未找到引用源。
·错误！未找到引用源。
=24x0y0=24.2.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图像经过点(2,1),则f(x)的值域为( ) A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞)【解析】选C.由f(x)的图像经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增加的,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.可知C正确.3.设a=22.5,b=2.50,c=错误！未找到引用源。
,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.b=2.50=1,c=错误！未找到引用源。
=2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.【方法技巧】比较指数幂大小的技巧(1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小.4.(2015·济南模拟)若函数y=a x+b的图像如图所示,则函数y=错误！未找到引用源。
+b+1的图像为( )【解析】选C.由图可知0<a<1,-2<b<-1.又因为函数y=错误！未找到引用源。
+b+1的图像是由y=错误！未找到引用源。
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(二) 1.2命题、充分条件与必要条件
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课时提升作业(二)命题、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·萍乡模拟)以下说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.命题“若α=β,则sinα=sinβ”的逆否命题为真D.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”【解析】选D.逆否命题的条件与结论分别是原命题的结论的否定与条件的否定,故A正确;若x=1,则x2-3x+2=0,反之不一定成立,故B正确;逆否命题与原命题真假性相同,而原命题为真,故逆否命题也为真,即C 正确;否命题既否定条件也否定结论,故D错误.2.(2015·南昌模拟)设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解析】选A.逆否命题为:若a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题.逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.例如,a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,则否命题也为假命题,故选B.4.(2015·黄山模拟)若a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为当a=0,b=1时,|a+b|=|a|+|b|,但ab>0不成立,反之若ab>0,则|a+b|=|a|+|b|成立,故“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的必要不充分条件.5.(2015·兰州模拟)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【解析】选B.由题意知p⇒q,且q⇒p,则有q⇒p,且p⇒q.从而p是q的必要不充分条件.所以{x|x>a}{x|x2+2x-3>0},即{x|x>a} {x|x>1或x<-3},从而a≥1.【误区警示】解答本题易忽略端点的取值而造成错解.6.命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A.a≥4 B.a>4 C.a≥1 D.a>1【解析】选B.由题意知a≥x2对x∈[1,2)恒成立,当x∈[1,2)时,1≤x2<4,则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1,B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【解析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b 推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A. 7.(2014·重庆模拟)若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是( )A.p⇔sB.p⇔sC.p⇒sD.s⇒p【解题提示】用推出式表示p与q,s与q的关系,找出s与p的关系,然后写出其逆否命题.【解析】选C.由已知得q⇒p,s⇒q,则s⇒p.s⇒p等价于p⇒s.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若“a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________.【解析】原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若ac2≤bc2,则a≤b”是假命题,则其否命题也是假命题,则正确的命题有2个.答案:29.(2015·偃师模拟)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是__________.【解析】A∩B=∅⇔错误！未找到引用源。
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(七十四) 选修4-4 2参数方程
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课时提升作业(七十四)参数方程(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.参数方程错误！未找到引用源。
(t为参数)与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【解析】选B.将参数方程错误！未找到引用源。
消去参数t得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,对应图形为圆.2.(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是错误！未找到引用源。
(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A.错误！未找到引用源。
B.2错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.2错误！未找到引用源。
【解析】选D.由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0,x2+y2=4x, 所以圆心C(2,0),半径r=2,圆心(2,0)到直线l的距离d=错误！未找到引用源。
,由半径,圆心距, 半弦长构成直角三角形,解得弦长为2错误！未找到引用源。
.3.已知动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,则直线l与圆O:错误！未找到引用源。
(θ为参数)的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.过圆心【解析】选A.动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圆心(2,1)在直线l上,又圆O:错误！未找到引用源。
的普通方程为x2+y2=9,且22+12<9,故点(2,1)在圆O内,则直线l与圆O的位置关系是相交.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中,倾斜角为错误！未找到引用源。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(九) 2.6幂函数与二次函数
课时提升作业(九)幂函数与二次函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·铜陵模拟)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,且在(0,+∞)上是增加的,则m的值为( )A.2B.-1C.-1或2D.0【解析】选B.因为函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.又因为幂函数在(0,+≦)上是增加的,所以-5m-3>0,即m<-,所以m=-1,故选B.2.(2014·黄山模拟)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>c B.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b【解析】选C.根据幂函数y=x0.5的单调性,可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1;根据对数函数y=log0.3x的单调性;可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.【加固训练】(2014·淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是( ) A.2a>>(0.2)a B.(0.2)a>>2aC.>(0.2)a>2aD.2a>(0.2)a>【解析】选 B.若a<0,则幂函数y=x a在(0,+≦)上是减少的,所以(0.2)a>>0.所以(0.2)a>>2a.3.函数y=x-的图像大致为( )【解析】选A.函数y=x-为奇函数.当x>0时,由x->0,即x3>x可得x2>1,即x>1,结合选项,选A.4.(2015·淮南模拟)函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为( ) A.5 B.6C.8D.与a,b的值有关【解析】选A.①当a=0时,由f(-1)=f(3)可知b=0,此时f(x)=5,所以f(2)=5.②当a≠0时,因为函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),所以f(x)=ax2+bx+5的图像关于x==1对称,则f(2)=f(0)=5.5.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0) B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a≠0时,需解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.【加固训练】设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上是减少的,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]【解析】选D.二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上是减少的,则a ≠0,f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],所以a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.6.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0【解题提示】画出f(x)的大致图像,根据f(m)<0确定m的范围,从而确定m+1与0的关系,再根据f(x)的单调性判断.【解析】选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.7.(2015·新余模拟)对于函数f(x)=ax3+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2【解析】选D.因为f(1)=a+b+c,f(-1)=-a-b+c,所以f(1)+f(-1)=2c是偶函数,所以f(1),f(-1)不可能是一奇一偶,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=,且f(2x-1)<f(3x),则x的取值范围是________.【解析】f(x)=在[0,+≦)上是增加的,f(2x-1)<f(3x),则0≤2x-1<3x,所以x≥.答案:x≥【加固训练】若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是________.【解析】因为函数y=在定义域(0,+≦)上递减,所以即<a<.答案:9.(2015·九江模拟)已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(x)在[-1,2]上的最大值与最小值之差为________.【解析】令t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2+2(t-1)+3=t2+2,所以f(x)=x2+2,x∈[-1,2],故x=0时,f(x)min=2,x=2时,f(x)max=6,因此最大值与最小值之差为6-2=4.答案:410.(2015·淮南模拟)已知函数f(x)=x2+mx+4,若对于任意x∈[1,2]时,都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.【解析】由x∈[1,2]时f(x)<0得x2+mx+4<0,即m<-,x∈[1,2], 令g(x)=-,则g′(x)=≥0,x∈[1,2],所以g(x)在[1,2]上是增加的,所以g(x)min=g(1)=-5,所以m<-5.答案:(-≦,-5)(20分钟40分)1.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( )A. B. C. D.1【解析】选D.当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,因为x∈, 所以f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,所以m≥1,n≤0,m-n≥1,所以m-n的最小值是1.2.(5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.【解析】将方程有两个不同的实根转化为两个函数图像有两个不同的交点.作出函数f(x)的图像,如图,由图像可知,当0<k<1时,函数f(x)与y=k 的图像有两个不同的交点,所以所求实数k的取值范围是(0,1).答案:(0,1)3.(5分)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为________.【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像如图所示,结合图像可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈,故当m∈时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像有两个交点.答案:4.(12分)(2015·大连模拟)指出函数f(x)=的单调区间,并比较f(-π)与f的大小.【解析】f(x)==1+=1+(x+2)-2,其图像可由幂函数y=x-2向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到.所以该函数在(-2,+≦)上是减少的,在(-≦,-2)上是增加的,且其图像关于直线x=-2对称(如图).又因为-2-(-π)=π-2<--(-2)=2-,所以f(-π)>f.5.(13分)(能力挑战题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值.(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.【解析】(1)由f(0)=2可知c=2.又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+2=0的两实根.所以解得a=1,b=-2.所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意知,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根x=1.所以即所以f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x==1-. 又a≥1,故1-∈.所以M=f(-2)=9a-2.m=f=1-.g(a)=M+m=9a--1.又g(a)在区间[1,+≦)上是增加的,所以当a=1时,g(a)min=.【加固训练】(2015·马鞍山模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请根据图像:(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间.(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.【解析】(1)f(x)在区间(-1,0),(1,+≦)上是增加的.(2)设x>0,则-x<0,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),所以f(x)=(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为x=a+1,当a+1≤1,即a≤0时,g(1)=1-2a为最小值;当1<a+1≤2,即0<a≤1时,g(a+1)=-a2-2a+1为最小值;当a+1>2,即a>1时,g(2)=2-4a为最小值.综上,g(x)min=。
人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(十二) 2.9函数的应用
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课时提升作业(十二)函数的应用(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )，即相当于图像上的点(t，Q)与原【解析】选B.由题知运输效率即Qt点连线的斜率，即连线斜率逐步提高．由题知选项A，效率不变，选项C逐步减小，选项D先减小，再增大，选项B为逐步提高，故选B.2 (2015·咸宁模拟)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段)，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A．3 B．4 C．5 D．6【解析】选C.求得：y＝－(x－6)2＋11，y25=-+≤-=12(x)12102,x x所以y有最大值2，此时x＝5.x3．(2015·淮南模拟)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A.108元 B.105元 C.106元 D.118元【解析】选A.设该家具的进货价为x元，由题意，得1.1x=0.9×132，解得x=108，即该家具的进货价是108元.4.(2015·岳阳模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%，则该公司的年收入是( )A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元【解题提示】设年收入为x，构建分段函数模型求解.【解析】选D.设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意，得y=()()x p%,x 280,280p%x 280p 2%,x 280,⨯≤⎧⎪⎨⨯+-⨯+>⎪⎩万万 依题意有, ()()280p%x 280p 2%x⨯+-⨯+ =(p+0.25)%,解之得x=320(万元).【加固训练】(2014·朝阳模拟)由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为( )A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】选B.设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1-13)3＝2 400.5．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S(a)(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S(a)的图像大致是( )【解析】选C.依题意，当0≤a ≤1时，()()2a 2a 1S a 2a a 3a;22-=+=-+ 当1<a ≤2时，S(a)＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S(a)＝12＋2＋a ＝a ＋52； 当a>3时，S(a)＝12＋2＋3＝112，于是 S(a)＝21a 3a,0a 1212a ,1a 2,25a ,2a 3,211,a 3.2⎧-+≤≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎩由解析式可知选C.【一题多解】本题还可以采用如下方法选C.直线y ＝a 在［0,1］上平移时S(a)的变化量越来越小，故可排除选项A ，B.而直线y ＝a 在［1,2］上平移时S(a)的变化量比在［2,3］上的变化量大，故可排除选项D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_________(围墙厚度不计)．【解题提示】根据题目中条件，建立二次函数模型，采用配方法求最高值即可.【解析】设矩形场地的宽度为x m，则矩形场地的长为(200-4x)m，面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当x=25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案:2 500 m27.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大.【解析】设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，利润为Q元，依题意，①当1≤x≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000=-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大. 答案:608.(2015 ·武昌模拟)某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t ,Q=a ·log b t利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.(2)最低种植成本是________(元/100kg).【解析】根据表中数据可知函数不单调，所以Q=at 2+bt+c 且开口向上，对称轴b 60180t 120.2a 2+=-== 代入数据3600a 60b c 116,10000a 100b c 84,32400a 180b c 116,++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得b 2.4, c224, a0.01.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·上饶模拟)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x).(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x 的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.【解析】(1)实数对(x,y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数.设f(x)=kx+b ，则6030k b,3040k b,=+⎧⎨=+⎩解得k 3,b 150.=-⎧⎨=⎩所以f(x)=-3x+150,30≤x ≤50，经检验成立.(2)P=(x-30)〃(-3x+150)=-3x 2+240x-4 500=-3(x-40)2+300,30≤x ≤50， 因为x=40∈［30,50］，所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大.10．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k 20x 100+(x ≥0，k 为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x 的函数关系式.(2)当x 为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15× 2 40020x100+＋0.5x＝1 800x5++5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1 800x5+＋0.5(x＋5)－2.5≥＝57.5，当且仅当1 800x5+＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元．【加固训练】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝360x ，所以y＝2360225xx+－360(x>2)．(2)因为x>2，所以225x ＋2360x ≥10 800， 所以y ＝225x ＋2360x －360≥10 440.当且仅当225x ＝2360x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(20分钟 40分)1.(5分)已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A =lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B 菌个数控制为5万个，则此时5＜P A ＜5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.当n A =1时P A =0,故①错误；若P A =1，则n A =10，若P A =2，则n A =100,故②错误；设B 菌的个数为n B =5×104，所以n A =10410510⨯=2×105, 所以P A =lg(n A )=lg 2+5.又因为lg 2≈0.3,所以5＜P A ＜5.5，故③正确.2．(5分)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．［2,4］B ．［3,4］C ．［2,5］D ．［3,5］ 【解析】选B.根据题意知，12(AD ＋BC)h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h＝2x ， 所以12(2BC ＋x)，得BC ＝18x －x 2，由h x 18x BC 0x 2⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩得2≤x<6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x<6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5解得3≤x ≤4.因为［3,4］⊆［2,6)，所以腰长x 的范围是［3,4］．故选B. 3．(5分)(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p q2+ B.()()p 1q 112++-【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则由已知，列得(1+x)2=(1+p)(1+q)，解得－1.4.(12分)(2015·蚌埠模拟)某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低34x，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润为f(x)(单位：万元).(1)求f(x)的函数解析式.(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值.【解题提示】(1)求出升级后每件的成本、利润及年销售量，则利润的函数解析式可求.(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值.【解析】(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1 000-3x4元，利润为200+3x4元，年销售量为1-2x万件，纯利润为f(x)=3x2(200)(1)x4x+--=198.5-400xx4-.(2)f(x)=198.5-400xx4-≤198.5-2=178.5.等号当且仅当400xx4=,即x=40时成立.所以f(x)取最大值时的x的值为40.【加固训练】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值． 【解析】设AN 的长为x(x ＞2)米， 由DN DC ,ANAM=得|AM|＝3xx 2-， 所以S 矩形AMPN ＝|AN|〃|AM|＝23x x 2-.(1)由S 矩形AMPN ＞32，得23x x 2-＞32，又x ＞2，于是3x 2－32x ＋64＞0， 解得2＜x ＜83或x ＞8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋≦)．(2)S 矩形AMPN ＝()()223x 212x 2123x x 2x 2-+-+=--＝()123x 21212x 2-++≥-＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x 2-，即x ＝4时，y ＝23x x 2-取得最小值24.所以当AN=4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米. 5.(13分)(2015·合肥模拟)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为：y=321x 640,x 1030)25x 40x 1 600,x 3050⎧+∈⎪⎨⎪-+∈⎩［，，［，］，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.(1)当x ∈［30，50］时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【解析】(1)当x ∈［30，50］时，设该工厂获利为S ，则S=20x-(x 2-40x+1 600)=-(x-30)2-700，所以当x ∈［30，50］时，S ＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为P(x)=21640x ,x 1030)y 25x1 600x x 40,x 3050x⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［，，［，］，①当x ∈［10，30)时，P(x)=21640x 25x+， 所以P ′(x)=()3222x 8 0002640x 25x 25x--=， 因为x ∈［10，30)，所以当x ∈［10，20)时，P ′(x)＜0，P(x)是减少的；当x ∈［20，30)时，P ′(x)≥0，P(x)是增加的，所以当x=20时，P(x)取得极小值P(20)=2206402520+=48.②当x ∈［30，50］时，P(x)=x+1 600x -40≥，当且仅当x=1 600x，即x=40∈［30，50］时，P(x)取最小值P(40)=40， 因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. 【加固训练】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n 年的纯利润总和(f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂，②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？【解析】(1)由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g(n)表示前n 年的总支出， 所以g(n)=12n+()n n 12-×4=2n 2+10n(n ∈N *)， 因为f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额，所以f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72.由f(n)＞0,即-2n2+40n-72＞0,解得2＜n＜18. 由n∈N*知，从第三年开始盈利.(2)方案①：年平均纯利润为()f nn=40-2(n+36n)≤16,当且仅当n=6时等号成立.故方案①共获利6×16+48=144(万元)，此时n=6.方案②：f(n)=-2(n-10)2+128.当n=10时，f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元).比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题课时提升作业(三十七)6.5合情推理与演绎推理W
课时提升作业(三十七)合情推理与演绎推理(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{a n}中,a1=1,a n=(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式.【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B 是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199【解析】选C,观察,可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每一项等于其前相邻两项的和,所求的值为数列中的第十项,继续写出此数列为:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a10+b10=123.3.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的. 【加固训练】正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( )A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【解析】选C.由三段论可知小前提错.因为大前提:正弦函数是奇函数, 小前提:f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,结论:f(x)=sin(x2+1)是奇函数.所以小前提错.4.(2015·抚州模拟)依次写出数列a1=1,a2,a3,…,a n(n∈N*)的法则如下:如果a n-2为自然数且未写过,则写a n+1=a n-2,否则就写a n+1=a n+3,则a6= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选 C.根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.5.(2015·九江模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2014次操作后得到的数是( )A.25B.250C.55D.133【解析】选D,由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2014=671×3+1,故第2014次操作后得到的数是133,故选D.【加固训练】1.(2015·宝鸡模拟)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体D ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= ( )A. B. C. D.【解析】选C.从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,如图,设正四面体的棱长为a,E为等边三角形ABC的中心,O为内切球与外接球球心,则AE=a,DE=a,设OA=R,OE=r,则OA2=OE2+AE2,即R2=+,所以R=a,r=a,所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.从而===.2.(2015·蚌埠模拟)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85【解析】选D.由已知图形中座位的排列顺序,可得:被5除余1的数,和能被5整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号,只有D符合条件.故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·日照模拟)观察下列等式:1=11+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=15…13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=10013+23+33+43+53=225…可以推测:13+23+33+…+n3= (n∈N*,用含n的代数式表示). 【解析】第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比较即可得,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2=n2(n+1)2.答案:n2(n+1)27.(2015·池州模拟)已知正项等比数列{a n}中有=,则在等差数列{b n}中,类似的结论有.【解析】等差和等比类比时,主要是“和”与“积”之间的类比,在等比中为“积”,在等差中为“和”,按此规律可知,在等差数列中,有=. 答案:=8.运用三段论推理:复数不可以比较大小,(大前提)2014和2015都是复数,(小前提)2014和2015不可以比较大小.(结论)该推理是错误的,产生错误的原因是错误.(填“大前提”或“小前提”)【解析】根据三段论推理,是由两个前提和一个结论组成,大前提:复数不可以比较大小,是错误的,故答案为:大前提答案:大前提(20分钟40分)1.(5分)(2015·吉安模拟)一个机器人每一秒钟前进或后退一步,程序设计师让机器人以前进3步,然后再后退2步的规律移动,如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向,以1步的距离为1个单位长度,令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标,且记P(0)=0,则下列结论中错误的是( )A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(2003)>P(2005)D.P(2003)<P(2005)【解题提示】按“前进3步后退2步”的步骤去算,发现机器人每5秒完成一个循环,解出对应的数值,再根据规律推导,就可得出正确选项. 【解析】选D.根据题中的规律可得:P(0)=0,P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1,…以此类推得:P(5k)=k(k为正整数),因此P(2003)=403,且P(2005)=401,所以P(2003)>P(2005),故选D.2.(5分)(2015·泉州模拟)若函数y=f(x)满足:集合A={f(n)|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列,则称函数f(x)是“等差源函数”,则下列四个函数中,“等差源函数”的个数是( )①y=2x+1;②y=log2x;③y=2x+1;④y=sinA.1B.2C.3D.4【解析】选C,①y=2x+1,n∈N*,是等差源函数;②因为log21,log22,log24构成等差数列,所以y=log2x是等差源函数;③y=2x+1不是等差源函数,因为若是,则2(2p+1)=(2m+1)+(2n+1),则2p+1=2m+2n,所以2p+1-n=2m-n+1,左边是偶数,右边是奇数,故y=2x+1不是等差源函数;④y=sin是周期函数,显然是等差源函数.3.(5分)(2015·宝鸡模拟)运用合情推理知识可以得到:当n≥2时…= .【解析】n=2时,1-==,n=3时,=×==,…从而可得当n≥2时,…=.答案:4.(12分)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,在P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy′=2p,则y′=,所以在点P处的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy′=2x,所以y′=,所以在点P处的切线斜率k===2,所以切线方程为y-=2(x-),所以2x-y-=0.5.(13分)(能力挑战题)设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<<-1.(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.【证明】(1)因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.因为a+b+c=0,消去b得a>c>0;再由条件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,所以-2<<-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,又因为-2<<-1,所以<-<,因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(七十二)圆与直线、圆与四边形(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.如图,已知AB是☉O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交☉O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是( )A.3B.2错误！未找到引用源。
C.2D.错误！未找到引用源。
【解析】选B.如图,延长CP,交☉O于D,因为PC⊥OP,由垂径定理可得,PC=PD,由相交弦定理得,PA·PB=PC·PD=PC2,又由AP=4,PB=2,所以PC=2错误！未找到引用源。
.故选B.2.(2014·石景山模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC为直径的圆交AB于D,则BD的长为( )A.4B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选D.由题意得AC=3,又AC2=AD·AB,故AD=错误！未找到引用源。
,故BD=5-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.3.(2015·宿州模拟)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,过点B的切线与DC的延长线交于点E.若∠BCD=110°,则∠DBE= ( )A.75°B.70°C.60°D.55°【解析】选B.因为A,B,C,D是☉O上的四个点,所以∠A+∠BCD=180°,因为∠BCD=110°,所以∠A=70°.因为BE与☉O相切于点B,所以∠DBE=∠A=70°.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2015·黄冈模拟)如图所示,EB,EC是圆O的两条切线,B,C是切点,A,D是圆O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是.【解析】EB,EC是圆O的两条切线,所以EB=EC,又因为∠E=46°,所以∠ECB=∠EBC=67°,所以∠BCD=180°-(∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81°,因为四边形ADCB内接于☉O,所以∠A+∠BCD=180°,所以∠A=180°-81°=99°.答案:99°5.(2015·咸阳模拟)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC 的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为.【解析】因为AC∥PD,BD=CD,所以BE∶AE=BD∶CD=1∶1,则BE=AE.因为PA切☉O于A.所以∠PAE=∠ACB=∠EDB.又∠PEA=∠BED,所以△PAE∽△BDE,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,BE=错误！未找到引用源。
=AE;连接AG,BF.同理可证:△GAE∽△BFE.所以错误！未找到引用源。
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,错误！未找到引用源。
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,GE=2,PG=PE-GE=1.由切割线定理可知:PA2=PG·PF=1×(PE+EF)=6,故PA=错误！未找到引用源。
.答案:错误！未找到引用源。
6.(2015·渭南模拟)如图,在Rt△ADE中,B是斜边AE的中点,以AB为直径的圆O与边DE相切于点C,若AB=3,则线段CD的长为.【解析】连接OC,则OC⊥DE,OC∥AD,由已知B是斜边AE的中点,AB=3,所以EO=错误！未找到引用源。
,EC=错误！未找到引用源。
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=3错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,CD=错误！未找到引用源。
·EC=错误！未找到引用源。
×3错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.答案:错误！未找到引用源。
三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2015·商丘模拟)如图,C是以AB为直径的半圆O上的一点,过C的直线交直线AB于E,交过A点的切线于D,BC∥OD.(1)求证:DE是圆O的切线.(2)如果AD=AB=2,求EB.【证明】(1)连接AC,因为AB是直径,所以BC⊥AC,由BC∥OD可得OD⊥AC,则OD是AC的中垂线,所以∠OCA=∠OAC,∠DCA=∠DAC,所以∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°,所以OC⊥DE,所以DE是圆O的切线.(2)因为BC∥OD,所以∠CBA=∠DOA.又因为∠BCA=∠DAO,所以△ABC∽△DOA,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,BC=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以BE=错误！未找到引用源。
.8.(2015·兰州模拟)如图,AB是☉O的直径,C,F为☉O上的点,CA是∠BAF的角平分线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,CM⊥AB,垂足为点M.(1)求证:DC是☉O的切线.(2)求证:AM·MB=DF·DA.【证明】(1)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,因为CA是∠BAF的角平分线,所以∠OAC=∠FAC,所以∠FAC=∠OCA,所以OC∥AD,因为CD⊥AF,所以CD⊥OC,即DC是☉O的切线.(2)连接BC,在Rt△ACB中,CM⊥AB,所以CM2=AM·MB,又因为DC是圆O的切线,所以DC2=DF·DA,因为∠MAC=∠DAC,∠AMC=∠D,AC=AC,所以△AMC≌△ADC,所以CM=DC,所以AM·MB=DF·DA.9.(2015·郑州模拟)如图,A,B,C,D四点在同一个圆上,BC与AD延长线交于点E,点F在BA延长线上.(1)若错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,求错误！未找到引用源。
的值. (2)若EF2=FA·FB,证明EF∥CD.【解析】(1)因为A,B,C,D四点共圆,所以∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B,所以△EDC∽△EBA,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.(2)因为EF2=FA·FB,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
. 又因为∠EFA=∠BFE,所以△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF.又因为A,B,C,D四点共圆,所以∠EDC=∠EBF,所以∠FEA=∠EDC,所以EF∥CD.10.(2015·邯郸模拟)如图,A,B,C是圆O上三个点,AD是∠BAC的平分线,交圆O于D,过B作直线BE交AD延长线于E,使BD平分∠EBC.(1)求证:BE是圆O的切线.(2)若AE=6,AB=4,BD=3,求DE的长.【解析】(1)连接BO并延长交圆O于G,连接CG,因为∠DBC=∠DAC,又因为AD平分∠BAC,BD平分∠EBC,所以∠EBC=∠BAC.又因为∠BGC=∠BAC,所以∠EBC=∠BGC,因为∠GBC+∠BGC=90°,所以∠GBC+∠EBC=90°,所以OB⊥BE,所以BE是圆O的切线.(2)由(1)可知△BDE∽△ABE,错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以AE·BD=AB·BE,AE=6,AB=4,BD=3,所以BE=错误！未找到引用源。
.由切割线定理,得BE2=DE·AE,所以DE=错误！未找到引用源。
.【加固训练】1.如图,E,P,B,C为圆O上的四点,直线PB,PC,BC分别交直线EO于M,N,A三点,且PM= PN.(1)求证:∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,求错误！未找到引用源。
的值.【解析】(1)过点P作圆O的切线交直线EO于F点,由弦切角性质可知∠NPF=∠PBA,因为PM=PN,所以∠PNO=∠PMA,则∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA,即∠PFN=∠BAO.又PF为圆O的切线,故∠POA+∠PFN=90°,故∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,则∠PEO=∠BAO,又∠POA=2∠PEO,故∠POA=2∠BAO,由(1)可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO,故∠BAO=30°,则∠PEO=∠BAO=30°,cos∠PEO=错误！未找到引用源。
,即错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,故错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.2.如图,已知☉O和☉M相交于A,B两点,AD为☉M的直径,直线BD交☉O于点C,点G为弧BD中点,连接AG分别交☉O,BD于点E,F,连接CE.(1)求证:AG·EF=CE·GD.(2)求证:错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
. 【证明】(1)连接AB,AC,因为AD为圆M的直径,所以∠ABD=90°,所以AC为圆O的直径,所以∠CEF=∠AGD,因为∠DFG=∠CFE,所以∠ECF=∠GDF,因为G为弧BD中点,所以∠DAG=∠GDF,因为∠FDG=∠BAF,所以∠ECB=∠BAG,所以∠DAG=∠ECF,所以△CEF∽△AGD,所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以AG·EF=CE·GD.(2)由(1)知∠DAG=∠GDF,∠G=∠G,所以△DFG∽△ADG,所以DG2=AG·GF,由(1)知错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
, 所以错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
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