运筹学5.6 应用实例

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第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用5.1某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。

管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品I、1【、11【的生产。

可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：三种新产品的单位利润分别为0・5元、0.2元、0.23元。

U标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的U标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、LI标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品I、II生产多少就能销售多少，而产品【II最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策U标是公司总的利润最大化，总利润为：0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3W500铳床限制条件4x1+ 3x2 W350车床限制条件3x1 + x3W150磨床限制条件即总绩效测试（LI标函数）为：max z= 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x33、本问题的线性规划数学模型max z= 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3W5004x1+ 3x2 W3503x1 + x3W150xl$O、x2$0、x3$04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解(50, 25, 0),最优值: 30元。

变量下限当前值5、灵敬度分析LI标函数最优值为:30变量最优解相差值X1500x2250x30.083约束松弛/剩余变量对偶价格10.05275030.033LI标函数系数范用:X1无上限.4.5x2.25.1.2限x3.25无下.333常数项数范圉:限约束下限当前值上16004005002无上限2753503187.537.5150(1)最优生产方案：新产品I生产50件、新产品II生产25件、新产品【II不安排。

运筹学经典案例

运筹学经典案例案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。

以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。

欧洲上空战云密布。

英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。

他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。

1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。

丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。

当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。

在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。

雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为“Blachett 马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。

这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。

研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。

二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。

“Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。

在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了“Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。

【精品】运筹学实例-含解析

运筹学实例-含解析案例1. 工程项目选择问题某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。

其中有五项住宅工程，三项工业车间。

由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。

有关数据见下表：表1 可供选择投标工程的有关数据统计试建立此问题的数学模型。

解：设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：目标是获利最高，故得目标函数为21X 80000X 50011z Max +=根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：1080002X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121X X 3X 5X ≤≤利用WinSQB建立模型求解：综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。

案例2. 生产计划问题某厂生产四种产品。

每种产品要经过A，B两道工序加工。

设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以 A1 ， A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ， B2， B3 表示。

产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。

产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。

产品F可在A2及B2 ， B3上加工。

产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ， B2设备上加工。

已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？设备产品设备有效台时1 2 3 4A1 A2 B1 57610981268106011100004000解：设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表如下：其中，令X3a1，X3b1，X3b2，X3b3，X4b3=0可建立数学模型如下：目标函数:∑∑==-=4121)](*[Maxi jiajCiPiXz=1.00*（X1a1+X1a2）+1.65*（X2a1+X2a2）+2.30* X3a2+2.00*（ X4a1+X4a2）约束条件：利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：4,3,2,1X21j 31==∑∑==i X j ibjiaj2,1T X41iaj =<=∑=j Taji iaj3,2,141=<=∑=j Tbj T Xi ibjibj 2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数32,1;4,3,2,10X ibj ，且为整数==>=j i 0X X X X X 4b33b33b23b13a1=====综上，最优生产计划如下：设备产品1 234 A 1 A 2 B 1 B 2 B 3 77 423 500400 400873 2 875目标函数 z Max =3495，即最大利润为3495案例3. 高校教职工聘任问题（建摸）由校方确定的各级决策目标为：P 1 要求教师有一定的学术水平。

运筹学实例分析及lingo求解讲解

运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。

各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。

解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。

ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。

目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。

层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

1简介2定义3优缺点▪优点▪缺点4基本步骤5注意事项6应用实例简介编辑层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升购物层次分析模型学志愿的问题等等。

在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。

比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。

这些因素是相互制约、相互影响的。

我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。

这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。

层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。

层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据。

定义编辑所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

运筹学应用实例分析word精品

运筹学课程设计实践报告第一部分小型案例分析建模与求解 (2)案例1.杂粮销售问题 (2)案例2.生产计划问题 (3)案例3. 报刊征订、推广费用的节省问题 (6)案例4.供电部门职工交通安排问题 (7)案例5.篮球队员选拔问题 (9)案例6. 工程项目选择问题 (10)案例7.高校教职工聘任问题（建摸） (12)案例8.电缆工程投资资金优化问题 (14)案例9.零件加工安排问题 (15)案例10.房屋施工网络计划问题 (16)第二部分：案例设计 (18)问题背景： (18)关键词： (18)一、问题的提出 (18)二、具体问题分析和建模求解 (19)三、模型的建立对于N个应聘人员M个用人单位的指派是可行的。

(24)第一部分小型案例分析建模与求解案例1.杂粮销售问题一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务，公司现有库容5011担的仓库。

一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。

估计第一季度杂粮价格如下所示：一月份，进货价 2.85元，出货价3.10元；二月份，进货价 3.05元，出货价3.25元；三月份，进货价2.90元，出货价2.95元；如买进的杂粮当月到货，需到下月才能卖出，且规定“货到付款”。

公司希望本季度末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖岀的策略使三个月总的获利最大，每个月考虑先卖后买？解:设第i月出货X i0担，进货X i1担，i=1，2，3;可建立数学模型如下:目标函数:Max z=3.1O*X1o 3.25* X20 2.95* X30 -2.85* X11 - 3.05* X21 - 2.90* X31约束条件:\10乞1000x20乞1000 - X10 Xu乞1000 _ X10_ X20 X211000 —x10+ 兰5011』1000 _ x10+ _ x20+ x21兰5011x31= 20002.85x1^2000^3.10x103.05x21兰20000+3.10x10+3.25x20—2.85x“2.90X31兰20000+3.10x10+3.25X20 -2.85x“ —3.05X21x i1,x i^0且都为整数利用WinSQB 求解(x1,x2,x3,x4,x5,x6 分别表示x10,x11,x21,x21,x30,x31):案例1杂粮销售问题Variable —>XI X2X3X斗X5X6Direction R. 1 [. S.Maximi/je二⑴285 3.25-3.052,95-2.90Cl1<=1000 C21-11c=IOOO' C31J1-I1<=1000 C4-11<=4011C5■ 11-11<=4011 C6-3,10 2.85<=20000 C7-340 2.85-3.25 3.05<= 2 mod C8P 2.85-3 25「 3 05「-2.95 2.9020000 LowerBoiind000002000UpperBound100050115011501150112000Variable Jtiteger Integer Integer Imcgcr Integer IntegerCombined Report for案例1杂粮销售问题1月份卖出1000担，进货5011担；2月份卖出5011担，不进货；3月份不出货，进货2000担。

运筹学第五章动态规划

和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第个月k 已有库存的商品量(为方便，后面将分别依次用，
的来x sk 情代k y况替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书）辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【例 5.3】图 5.3 所示为一水利网络， A 为水库，分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的最短路线。

优秀的运筹学案例

优秀的运筹案例1. 孙武与《孙子兵法》孙武，字长卿，后人尊称其为孙武子、孙子，中国历史上著名军事家.公元前535年左右出生于齐国乐安（今山东惠民）. 后来到了吴国，因为献上兵法十三篇，被吴王阖闾重用，拜为大将，和伍子胥共事，辅佐吴王，领兵攻破楚国都城郢（今湖北江陵县纪南城）.孙武在春秋末期（公元前476年前后）所著《孙子兵法》，是世界上现存最古老的兵书.其中的《始计第一》论述怎样在开战之前和战争中实行谋划的问题，以及谋划在战争中的重要意义；《作战第二》论述速战速胜的重要性；《谋攻第三》论述用计谋征服敌人的问题；《军形第四》论述用兵作战要先为自己创造不被敌人战胜的条件，以等待敌人可以被我战胜的时机，使自己“立于不败之地”；《兵势第五》论述用兵作战要造成一种可以压倒敌人的迅猛之势，并要善于利用这种迅猛之势；《虚实第六》论述用兵作战须采用“避实而击虚”的方针；《军争第七》论述如何争夺制胜的有利条件，使自己掌握作战主动权的问题；《九变第八》论述将帅指挥作战应根据各种具体情况灵活机动地处置问题，不要机械死板而招致失败，并对将帅提出了要求；《行军第九》论述行军作战中怎样安置军队和判断敌情问题；《地形第十》论述用兵作战怎样利用地形的问题，并着重论述深入敌国作战的好处；《九地第十一》进一步论述用兵作战怎样利用地形及统兵之道的问题；《火攻第十二》论述在战争中使用火攻的办法、条件和原则等问题；《用间第十三》论述使用间谍侦察敌情在作战中的重要意义，以及间谍的种类和使用间谍的方法.《孙子兵法》是体现我国古代军事运筹思想的最早的典籍.它考察了战争中各种依存、制约关系，总结了战争的规律，并依此来研究如何筹划兵力以争取全局的胜利. 书中的语言叙述简洁，内容也很有哲理性，后来的很多将领用兵都受到了该书的影响.《孙子兵法》对中国的文化发展有深远的影响.2. 孙膑与齐王赛马孙膑（约公元前380－公元前432），孙武的后世子孙，战国中期的著名军事家. 少时孤苦，年长后从师鬼谷子（著名隐士，精通兵学和纵横学）学习《孙子兵法》十三篇等兵书战策. 庞涓妒孙膑之才而将其骗至魏,施以膑刑(割去膝盖骨).后来乘齐国使团来魏之机，孙膑被齐使秘密接到齐国,并被大将田忌所赏识，留在府中做幕僚，奉为上宾. 孙膑的“斗马术”是我国古代运筹思想中争取总体最优的脍炙人口的著名范例（记载于《史记·孙子吴起列传》），成为军事上一条重要的用兵规律，即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利，从而达到以弱胜强的目的. “斗马术”的基本思想是不强求一局的得失，而争取全盘的胜利. 这是一个典型的博弈问题.3. 围魏救赵公元前354年，魏将庞涓发兵8万，以突袭的办法将赵国的都城邯郸包围. 赵国抵挡不住，求救于齐. 齐王拜田忌为大将，孙膑为军师，发兵8万，前往救赵. 大军既出，田忌欲直奔邯郸，速解赵国之围. 孙膑提出应趁魏国国内兵力空虚之机，发兵直取魏都大梁（今河南开封），迫使魏军弃赵回救. 这一战略思想，将避免齐军长途奔袭的疲劳，而致魏军于奔波被动之中，立即为田忌采纳，率领齐军杀往魏国都城大梁. 庞涓得知大梁告急的消息，忙率大军驰援大梁. 齐军事先在魏军必经之路的桂陵（今河南长垣南），占据有利地形，以逸待劳，打败了魏军. 这就是历史上有名的“围魏救赵”之战.“围魏救赵”之妙，妙在善于调动敌人. 调动敌人的要诀，则在“攻其所必救”.4. 减灶之法公元前342年，魏将庞涓带领10万大军进攻韩国. 韩国向齐国求救. 齐王召集群臣商讨对策，齐国的成侯邹忌主张不救，田忌主张早救. 孙膑建议先答应韩国的请求，致使韩国必倾力抗敌. 等到韩、魏双方战到疲惫不堪时，再出兵救韩，可用力少而见功多，取胜易而受益大. 韩国仗恃有齐国相援，倾全力抗魏，五战皆败，只得于公元前341年再次向齐求助. 齐王才决定派兵救韩，仍以田忌为主将，孙膑为军师. 战役之初，按照孙膑的计策，齐军长驱直入把攻击的矛头指向魏国的都城大梁. 庞涓听到消息，立即回援，但齐军已经进入魏国境内. 孙膑对田忌说，魏国军队素来慓悍勇武而看不起齐国，善于作战的人只能因势利导. 兵法上说，行军百里与敌争利会损失上将军，行军五十里而与敌争利只有一半人能赶到. 为了让魏军以为齐军大量掉队，应使齐军进入魏国境内后先设10万个灶，过一天设5万个灶，再过一天设3万个灶. 庞涓行军三天，见到齐军所留灶迹，判断齐军士兵已经逃跑一大半，所以丢下步兵，只率轻车锐骑用加倍的速度追赶齐军. 孙膑计算魏军行程，日暮时必然赶到马陵（今河南范县西南）.马陵道路狭窄，两旁地形险阻.孙膑预先布置好伏兵，并集中优秀弩手夹道设伏. 庞涓日暮追至马陵，进入齐军伏击阵地. 齐军万弩齐发，魏军大乱，庞涓兵败自刎. 齐军乘胜全歼10万魏军.马陵之战，孙膑的因势利导、调动敌人、变劣势为优势、力争发挥突然性的作战指导主动，是颇有参考价值的. 其退军设伏的战法，也给了后人不少的启示.“围魏救赵”与“减灶之法”都充分体现了如何运用筹划兵力，选择最佳时间、地点，趋利避害，集中优势兵力以弱克强的运筹思想.5. 运筹帷幄中，决胜千里外在公元前3世纪楚汉相争中，汉高祖刘邦的著名谋士张良为推翻秦朝，打败项羽，统一全国立下了盖世奇功，刘邦赞誉他“夫运筹策帷帐之中，决胜于千里之外”. 这千古名句也可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖. 《史记》在《留侯世家》及其他多处提及“夫运筹策帷帐之中，决胜于千里之外”. 这里的“运筹”，指张良在帷幄中制定作战谋略与决策的过程. 在西汉时代，“运筹”已被当作制定谋略与决策职能分工的代名词.20世纪30年代发展起来的运筹学，其基本宗旨是探讨事理，强调做一项工作之前要明确目的，制定效果，衡量指标体系作为估计不同方案所达到预定目标程度的依据，在此基础上选择最优方案和实施有效管理. 我国1955年开始研究运筹学时，从《史记》中摘取“运筹”一词作为“Operations Research”的意译，包含了运用筹划、以智取胜的深刻含义. 从《史记》对“运筹”的记述表明，我国运筹思想源远流长，至今对运筹学的发展仍有重要影响.6. 贾思勰与《齐民要术》贾思勰，北魏时期的科学家，益都(在山东寿光南)人，祖、父两代都善于经营，有着丰富的劳动经验，并都非常重视农业技术方面的学习和研究. 贾思勰从小在田园长大，对很多农作物都非常熟悉，他还跟着父亲身体力行参加各种农业劳动，学习掌握了大量农业科技. 他家里拥有大量藏书，这使他从小就有机会博览群书，从中汲取各方面的知识，也为他以后编撰《齐民要术》打下了基础. 大约在北魏永熙二年（533年）到东魏武定二年（554年）期间，他将自己积累的许多古书上的农业技术资料、询问老农获得的丰富经验以及他自己的亲身实践，加以分析、整理、总结，写成农业科学技术巨著《齐民要术》.《齐民要术》一书，不仅是我国古代农业科学一部杰出的学术著作，也是一部蕴含丰富运筹思想的宝贵文献,它记载了我国古代农民如何根据天时、地利和生产条件去合理筹划农事的经验. 其中所提出的不同作物的播种时间和各种作物茬口安排上的先后关系，可以说是现代运筹学中二阶段决策问题的雏型.7. 丁渭修皇宫[6]图1.1 丁渭修皇宫引水示意图[7]宋真宗大中祥符年间(1008—1017)，都城开封里的皇宫失火，需要重建. 右谏议大夫、权三司使丁渭受命负责限期重新营造皇宫. 建造皇宫需要很多土，丁渭考虑到从营建工地到城外取土的地方距离太远，费工费力，于是下令将城中街道挖开取土，节省了不少工时. 挖了不久，街道便成了大沟. 丁渭又命人挖开官堤，引汴河水进入大沟之中，然后调来各地的竹筏、木船经这条大沟运送建造皇宫所用的各种物材，十分便利（见图1. 1）. 等到皇宫营建完毕，丁渭命人将大沟中的水排尽，再将拆掉废旧皇宫以及营建新皇宫所丢弃的砖头瓦砾添入大沟中，大沟又变成了平地，重新成为街道. 这样，丁渭一举三得，挖土、运送物材、处理废弃瓦砾等三件工程一蹴而成，节省的工费数以亿万计.这是我国古代大规模工程施工组织方面运筹思想的典型例子.8. 沈括运粮[6]沈括(1031—1095), 北宋时期大科学家、军事家. 在率兵抗击西夏侵扰的征途中，曾经从行军中各类人员可以背负粮食的基本数据出发，分析计算了后勤人员与作战兵士在不同行军天数中的不同比例关系，同时也分析计算了用各种牲畜运粮与人力运粮之间的利弊，最后做出了从敌国就地征粮，保障前方供应的重要决策，从而减少了后勤人员的比例，增强了前方作战的兵力.当时沈括的分析计算过程译意如下：凡是行军作战，如何从敌方取得粮食，是最急迫的事情. 自己运粮不仅耗费大，而且沈括势必难以远行. 我曾经作过计算：假设一个民夫可以背六斗米，士兵自带五天的干粮.如果一个民夫供应一个士兵，单程只能进军十八天（六斗米，每人每天吃两升米，两人吃十八天*）. 若要计回程的话，只能进军九天.如果两个民夫供应一个士兵，单程可进军二十六天（两个民夫背一石二斗米，三个人每天要吃六升米. 八天以后，其中一个民夫背的米已经吃光，给他六天的口粮让他先返回，以后的十八天，两人每天吃四升米）.若要计回程的话，只能前进十三天的路程（前八天每天吃六升，后五天及回程每天吃四升米，能够进军十三天）.如果三个民夫供应一个士兵，单程可进军三十一天（三人背米一石八斗，前六天半四个人，每天吃八升米，遣返一个民夫，给他四天口粮. 中间的七天三个人同吃，每天吃六升米，再遣返一个民夫，给他九天口粮；最后的十八天两人吃，每天四升米）.如果要计回程的话，只可以前进十六天的路程（开始六天半每天吃八升米，中间七天，每天吃六升米，最后两天半以及十六天回程每天吃四升米）.三个民夫供应一个士兵，已经到极限了.如果要出动十万军队，辎重占去三分之一兵源，能够上阵打仗的士兵不足七万人.这就要用三十万民夫运粮，再要扩大规模很困难了.每人背六斗米的数量也是根据民夫的总数平均来说的. 因为其中的队长不背，伙夫减半，他们所减少的要摊在众人头上.*士兵干粮相当于十升米，连同民夫背的米共有七十升，每天吃四升米，实际上只能维持十七天半. 十八天是以整数来说的. 以下计算类同.更何况还会有患病和死亡的人，他们所背的米又要由众人分担.所以军队中不容许饮食无度，如果有一个人暴食，两三个人供应他还不够.如果用牲畜运输，骆驼可以驮三石，马或骡可以驮一石五斗，驴子可以驮一石.与人工相比，虽然能驮得多，花费也少，但如果不能及时放牧或喂食，牲口就会瘦弱而死.一头牲口死了，只能连它驮的粮食也一同丢弃.所以与人工相比，实际上是利害相当.这种军事后勤问题的分析计算是具有现代意义的运筹思想的范例.9. 高超治河[6]高超,宋朝人，河工. 宋仁宗庆历年间(1041—1048)黄河在北都（今太原）商胡地区决口，很长时间都没有堵上决口. 朝廷派三司度支副使（官职名）郭申锡亲自前往监督工程进行. 凡是堵决口将要合拢的时候，都要在决口中间压上一埽（用树枝、芦苇、石头等捆紧做成圆柱形），叫做“合龙门”，这是成败的关键. 当时好几次压埽都合不上. 那时合龙门用的埽长六十步（步，古代的长度计量单位）.有个叫做高超的水工献策说：埽身太长，人力压不住，埽到达不了水底，所以水流不断. 应当把六十步的埽身分为三节，每节长二十步，中间用绳索连起来. 先放下第一节，等它到了水底，再压第二节、第三节. 老河工和他争论，认为不可行，说：“二十步的埽不能阻断水流，白白使用三节埽，浪费好几倍成本，而决口依然堵不上”.高超对他说：“第一节河水确实没有被阻断，但是水势必然被削弱一半. 压第二节时只用一半的力气，水就算没有被阻断，也不过是很少往外漏出. 第三节就是在平地上施工，足以能够让人使出全部力气. 压完第三节以后，上两节自来就被浊泥淤积，不用再麻烦人力来加固它们了.” 郭申锡遵照从前的方法，不采纳高超的建议.当时魏公（爵位名）贾将军镇守北门（地名），只有他认为高超的话是对的，暗地派遣几千人在下游收集漂下来的埽. 而上游的埽压上以后，果然被水冲走了，黄河的决口更加大，郭申锡因此被贬官. 最后还是采用了高超的建议，才堵上了商胡地区的决口.这种分阶段作业优于一次作业的分析与论证，是运筹思想的典型范例.10、为何说一名数学家等于十个师？在第二次世界大战中，盟军为了和德国法西斯作战，大量军需物品要穿过大西洋运送到各个战场。

清华大学-《运筹学》课程教学大纲

《运筹学》课程教学大纲课程名称：运筹学编号.20345144：学时：72 编者姓名：曾鸿能单位：中山大学职称：副教授主审姓名：单位：职称：教授对象：本科生专业：资源与环境规划年级：三年级编写日期：2001年9月一、课程目的与教学基本要求学习本课程后，使学生掌握运筹学有关分支的基本理论和方法，牢固掌握解题算法步骤，培养学生应用规划论、优化技术解决实际问题能力。

为专业课在系统规划、最优设计、参数优选、最优管理与运行等数学方法及计算机算法打下必要的基础。

在已学过微积分、初等集合论和线性代数基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、编程上机等教学环节达到上述目的。

学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。

着重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤、几何直观解析。

了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。

应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，编制算法的计算机程序这三方面训练的有机结合。

二、课程内容（含学时分配）绪言：运筹学简史、性质和特点、工作步骤、模型、分支及应用、运筹学展望（1学时）i.线性规划与目标规划（共30学时）1-1 线性规划问题及其数学模型（2学时）一、应用实例二、线性规划的数学模型三、标准形式1-2 线性规划问题的图解法（1学时）教学要求：1．初步掌握建立线性规划模型方法2．掌握线性规划模型特征；如何化线性规划模型为标准型3．掌握两个变量线性规划问题的图解法重点：通过图解法初步了解基本概念和求解思路1-3 线性规划的基本概念和基本定理（4学时）教学要求：1．掌握可行解、基、凸集、凸组合、顶点的概念2．了解线性规划理论依据---几个基本定理、求解线性规划问题基本思路重点：三个基本定理难点：基本定理的证明1-4 单纯形法（4学时）1．单纯形法求解过程说明2．单纯形表（1）单纯形表的结构和原理（2）换基Ⅰ确定换入变量Ⅱ确定换出变量Ⅲ旋转迭代教学要求：牢固掌握线性规划的单纯形求解方法重点：单纯形方法求解步骤和公式难点：单纯形表构成原理，换基迭代公式推导1-5 单纯形法进一步讨论（2学时）（一）大M单纯形法（二）两阶段法（三）退化问题（四）检验数的几种表示法（五）单纯形法小结教学要求：1．了解引入工人变量目的2．牢固掌握大M法和两阶段法求解过程、判别什么情况下无解3．牢固掌握单纯形法计算框图重点：两阶段法及单纯形法计算框图1-6 改进单纯形法（2学时）教学要求：1．了解改进单纯形方法的思想2．掌握改进单纯形法计算步骤重点：改进单纯形法计算步骤（主要用于计算机计算）难点：新基逆矩阵求解公式及其实质1-7 线性对偶规划（4学时）一、对偶问题提出二、对偶规则三、线性对偶理论四、对偶问题的经济学解释——影子价格五、对偶单纯形法教学要求：1．掌握对偶规则2．了解线性对偶理论、影子价格的意义3．牢固掌握对偶单纯形法重点：对偶单纯形法计算步骤及对偶单纯形法应用范围难点：线性对偶理论的证明1-8 灵敏度分析与参数线性规划（3学时）教学要求：1．掌握系数变化范围的确定及增加新变量、新约束灵敏度分析2．掌握参数连续变化对最优解及最优值的影响重点：灵敏度分析与参数线性规划的应用。

《运筹学》第三章运输问题

Vogel近似法
考虑运输成本差异，进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础，逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。

运筹学应用实例

例 2.线路铺设问题
下图是一个城镇的地图，现在要在该城镇的各地点铺设管道，已知各点相互之间的铺设费用（单位：千元），如何设计铺设线路，使各地互通的总铺设费用最少？
8
3
74
5
10
7
2
6
7 9
12 8
5
1
5
4
第2页/共28页
解：求各边相通且总费用最少的方案，实际上求最小树，保证了各点之间连通且费用最少。
（vi，vj）— 第 i年年初引进新设备一直使用到第 j 年年初。 Wij— 第 i 年年初购进的新设备一直使用到第 j 年年初这段
期间的全部费用。
第5页/共28页
v2
15
21
15 40
29
30
21
v1
29
40 55
v3
16 22
23
v4
17
v6
18
v5
求解得v1到v6得最短路径为： v1-v3-v6，最短路长为51。设备更新的计划是：第一年初购置一台新设备，使用到第二年末，第三年初购置一台新设备，使用到第五年末，总费用为51。
年份
1
2
3
4
5
表1
购置费
10
10
11
12
13
使用年限 0 -1
1- 2
2- 3 3- 4 4- 5
表2
维修费
5
6
8
11
15
第4页/共28页
解：为解决好这一问题，建立下述网络模型，并用最短路法求解。
令： vi — 第 i 年年初购进一台新设备，i=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 v6 指第五年年末。

第五章运输问题(运筹学讲义)

Minimize Cost = 464x11 +513x12 + 654x13 +867x14 +352x21 + 416x22 +690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34 subject to 罐头厂 1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75 罐头厂 2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125 罐头厂 3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100 仓库 1: x11 + x21 + x31 = 80 仓库 2: x12 + x22 + x32 = 65 仓库 3: x13 + x23 + x33 = 70 仓库 4: x14 + x24 + x34 = 85 xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
2
bj
列差值
4
2
3
3
8
b1 ＝50 ＞ a2 ＝48
差值法例 P58
增加行差值和列差值
B1
A1 6 9
B2
B3 12 7
B4
ai
60
行差值 1
1 A2 5 A3
3
6
1
(42)
1 3 4
0
(25)
8 30 25 45
48
23
2
bj
列差值
1
8
9
3
0
a3 ＝48 ＞ b3 ＝25

运筹学线性规划应用案例PPT共33页

39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
运筹学线性规划应用案例
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。