第6节

2 1 x 1 2
=1-x,
∴点 P 的坐标为(x,x,1-x).
又∵Q（0,1,
1 ）, 2
2
∴|PQ|= x 1 x
2
1 x 2
2
= 3x 2 3 x
2
5 4
1 1 = 3 x 2 2
∴x=
1 1 1 1 2 时,|PQ|min= ,此时点 P 的坐标为（ , , ）, 2 2 2 2 2
质疑探究:(1)在空间直角坐标系中,①在 x 轴上的点 的坐标怎么记?②在 y 轴上的点的坐标怎么记?③在 z 轴上的点的坐标怎么记? (2)在空间直角坐标系中,位于 xOy 平面上的点的竖坐 标是什么? 提示:(1)①可记作(x,0,0). ②可记作(0,y,0). ③可记作(0,0,z). (2)0.
第 6 节 空间直角坐标系
基础梳理
考点突破
基础梳理
知识整合
1.空间直角坐标系及有关概念
抓主干
固双基
(1)空间直角坐标系 以空间一点 O 为原点,建立三条两两垂直的数轴:x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz, 其中点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴,通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
(C)xOz 平面上 (D)第一卦限内 解析:结合空间直角坐标系及点 P 的坐标特点, 可知点 P 在 xOz 平面上. 故选 C.
2.已知空间两点 A(-2,0,4),B(6,4,-2),则线段 AB 的中 点坐标是( A ) (A)(2,2,1) (B)(-2,-2,-1) (C)(-2,2,-1) (D)(2,-2,1)
备选例题
【例 1】在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=90°,AD∥BC,|AB|=|BC|=a,|AD|=2a,PA⊥底 ABCD, ∠PDA=30°.试建立适当的坐标系,求出各点的坐标.
解:如图所示,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线 为 y 轴,AP 所在的直线为 z 轴建立 空间直角坐标系 Axyz. ∵|AD|=2a,∠PDA=30°,
反思归纳
(1)求空间两点间距离的步骤
①建立坐标系,写出相关点的坐标; ②利用公式求出两点间的距离. (2)两点间距离公式的应用 ①求两点间的距离或线段的长度; ②已知两点间距离,确定坐标中参数的值; ③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
即时突破 2 已知点 A(1,-2,1),B(2,2,2),点 P 在 x 轴上,
即时突破 1 点 M(-8,6,1)关于 x 轴的对称点 M1 的
坐标是 是 . .关于 xOz 平面对称的点 M2 的坐标
解析:一点关于 x 轴的对称点的横坐标不变,纵坐 标、竖坐标变为原来的相反数,即 M1(-8,-6,-1);一 点关于 xOz 平面对称的点的横坐标、竖坐标不变, 纵坐标变为原来的相反数,即 M2(-8,-6,1). 答案:(-8,-6,-1) (-8,-6,1)
2 3a ∴|PA|= , 3
又|AB|=|BC|=a, ∴A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0), P（0,0,
2 3a ）. 3
【例 2】 如图所示,以棱长为 1 的正方体的具有公共顶点的三 条棱所在的直线为坐标轴,建立 空间直角坐标系 Oxyz,点 P 在对 角线 AB 上运动,点 Q 在棱 CD 上 运动. (1)当 P 是 AB 的中点,且 2|CQ|=|QD|时,求|PQ|的值; (2)当 Q 是棱 CD 的中点时,是否存在满足条件的点 P,使 |PQ|的值最小?若有,请指出 P 点的位置,并求出这个最小 值;若没有,请说明理由.
(2)中点公式 设点 P(x,y,z)为线段 P1P2 的中点,
x1 x2 x 2 , y1 y2 , 其中 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则有 y 2 z1 z2 z 2 ,
双基自测
1.点 P(2,0,3)在空间坐标系中的位置是在( C (A)y 轴上 (B)xOy 平面上 )
答案:(1)D (2)(3,8,-11)
反思归纳
求空间中点 P 的坐标的方法
(1)过点 P 作与 x 轴垂直的平面,垂足在 x 轴上对应的 数即为点 P 的横坐标;同理可求纵坐标、竖坐标. (2)从点 P 向三个坐标平面作垂线,所得点 P 到三个平 面的距离等于点 P 的对应坐标的绝对值,再判断出对 应数值的符号,进而可求得点 P 的坐标.
即时突破 在空间直角坐标系中,点 P 在 x 轴上,求点 P,使 P
与点 Q(4,1,2)的距离为 30 . 解:依题意设 P(x,0,0), 则|PQ|=
x 4 0 1 0 2
2 2
2
= 30 , 所以(x-4)2=25, 解得 x=9 或 x=-1, 所以点 P 的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
C )
解析:关于 z 轴对称,横、纵坐标变为原来的相反数,竖 坐标不变.故选 C.
4.已知空间一点 P(1,2,2),则点 P 到原点 O 的距离 是 ,P 关于 yOz 平面的对称点 Q 的坐标是 .
解析:|OP|=
1 2 2 0 2 0
2 2
2
=3,P 关于 yOz
(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向, 食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系. (3)空间一点 M 的坐标 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示, 记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标.
2 6 0 4 4 2 解析:线段 AB 的中点坐标是 , , , 2 2 2
即(2,2,1). 故选 A.
1 3.P ,0, 3 关于 z 轴的对称点为( 2 1 (A) ,0, 3 2 1 (C) ,0, 3 2 1 (B) ,0, 3 2 1 (D) ,0, 3 2
即 P 为 AB 的中点时,|PQ|的值最小,最小值为
2 . 2
易错研讨 求点的坐标时忽略解的讨论致误
【典例】 已知点 P 在 z 轴上,且满足|OP|=1(O 为坐标原点),则点 P 到 点 A(1,1,1)的距离为 . 正解:设点 P 的坐标为(0,0,z),由|OP|=1 得 z 2 =|z|=1, 故 z=1 或 z=-1. 当 z=1 时,点 P 的坐标为(0,0,1), |PA|=
解:(1)∵正方体的棱长为 1,P 是 AB 的中点, ∴由已知空间直角坐标系可得 P（
1 1 1 , , ）, 2 2 2
1 1 ∵2|CQ|=|QD|,∴|CQ|= ,Q（0,1, ）. 3 3
∴由两点间的距离公式得
1 1 1 1 |PQ|= 0 1 2 2 2 3
(3)常见对称点的坐标规律 点 P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标
点、线、面 原点 x轴 y轴 z轴 坐标平面 xOy 坐标平面 yOz 坐标平面 zOx 对称点坐标 (-x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (x,y,-z) (-x,y,z) (x,-y,z)
解析:(1)点 P 到坐标平面 xOy 的距离为|c|.故选 C. (2)设 M(x,1-x,0), 则|MN|=
x 6 1 x 5 0 1
2 2 2
2
= 2 x 1 51 ≥ 51 . 当且仅当 x=1 时取等号. 答案:(1)C (2) 51
平面的对称点 Q 的坐标是(-1,2,2). 答案:3 (-1,2,2)
考点突破
考点一 求空间点的坐标
剖典例 知规律
【例 1】 (1)在空间直角坐标系中,点 P(1, 2 , 3 ),过 P 作 xOy 平面的垂线 PQ,垂足为 Q,则 Q 点的坐标是( (A)(0, 2 ,0) (B)(0, 2 , 3 ) (C)(1,0 3 ) 是 . (D)(1, 2 ,0) (2)点 A(3,2,7)关于点 B(3,5,-2)对称的点 C 的坐标 思维导引:(1)Q 点即为点 P 在平面 xOy 上的射影;(2)设出 C 点坐标,利用空间中点坐标公式求相应坐标. )
2.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式 ①设点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 |AB|= x1 x2 y1 y2 z1 z2 .
2 2 2
②点 P(x,y,z)与坐标原点 O 之间的距离为 |OP|= x2 y 2 z 2 .
解析:(1)由题意知,Q 点在平面 xOy 内,所以其竖坐标为 0,又 横坐标和纵坐标不变,因此 Q 点坐标为(1, 2 ,0).故选 D. (2)设 C 点坐标为(x,y,z),
3 x 3 2 , x 3, 2 y , 得 y 8, 所以 C 点坐标为(3,8,-11). 则 5 2 z 11. 7z 2 2 ,
2 2 2
19 19 = = . 6 36
(2)存在.连接 OA,过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,则 PE 垂直 于坐标平面 xOy,设点 P 的横坐标为 x,则由正方体的性 质可得其纵坐标也为 x, 由正方体的棱长为 1 得 AE= 2 (1-x).
AE PE ∵ = , AO BO
∴P的坐标为 解析:设 P(x,0,0), ∵|PA|=|PB|, ∴ = .
x 1 0 2 0 1
2 2 2 2
2
x 2 0 2 0 2