2021届西藏拉萨中学高三第二次月考数学(理)试卷

拉萨中学高三年级（2021届）第二次月考理科数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）一、单选题（共12题；共60分）1．已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则A ．{|0}AB x x =<B ．A B R =C ．{|1}AB x x =>D ．A B =∅2．若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为A ．－4B ．45-C ．4D ．453.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知函数1()3()3xxf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 5．设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．126．设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =A ．5B ．－8C ．－11D ．117．函数121()()2xf x x =-的零点个数为A.0B.1C.2D.3 8．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25-B ．15-C ．15D ．259.已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b=-1B ．a=e -1，b=1C ．a=e ，b=1 D ．a=e -1，b=110．函数f(x)=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为A.(0,1)B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>二、填空题（共4题；共20分）13．若,x y 满足约束条件25023050+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤，x y x y x 则=+z x y 的最大值为 ． 14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种15．设函数3,0,()log ,,x x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．①若3a =，则[(9)]f f = ；②若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是．16.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 .三、解答题（共计70分） 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B已知A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； 20.（本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. 21.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为=2--=2-²3²+x y t t t t ⎧⎨⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A ，B两点.（Ⅰ）求｜AB ｜;（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 23.[选修4—5：选讲不等式]（10分） 设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤（Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 理科数学答案一、单选题（共12题；共60分） 1.A2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.C9.B10.D11.D12.A 二、填空题（共4题；共20分） 13. 9 14. 36 15.16.64π 三、解答题（共计70分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，1d =． 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-2131122n n n +++=-．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=B 2370(120)1205a x -++++-=+由A B x x =，解得127a =．（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <． （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种． 抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有： 11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种．因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， 又因为AB PA ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ． 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD=， 所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． 又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ． 20.（本小题满分12分）解：（1）由2'()x af x x +=，0x >，a ∈R 可得当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（2）由()ln x a g x x +=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==），由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<， 取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e =--=->，所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：) 所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x ->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）21.（本小题满分12分）解（Ⅰ）依题意2d==，解得1c=（负根舍去）∴抛物线C的方程为24x y=．（Ⅱ）设点11(,)A x y,22(,)B x y，),(yxP，由24x y=,即214y x,=得y'=12x．∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为)(2111xxxyy-=-，即2111212xyxxy-+=．∵21141xy=，∴112yxxy-=．∵点),(yxP在切线1l上,∴1102yxxy-=.①同理，2202yxxy-=.②综合①、②得，点1122(,),(,)A x yB x y的坐标都满足方程yxxy-=02. ∵经过1122(,),(,)A x yB x y两点的直线是唯一的，∴直线AB的方程为yxxy-=02，即00220x x y y--=．（Ⅲ）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y=+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y⋅=++=+++联立2004220x yx x y y⎧=⎨--=⎩，消去x得()22200020y y x y y+-+=，2212001202,y y x y y y y∴+=-=0020x y--=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9222.（本小题满分10分）23.（本小题满分10分）解:（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得 222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++即222a b ca b cb c a++≥++∴2221a b cb c a++≥。