2021届西藏拉萨中学高三第二次月考数学(理)试卷

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等比数列的前n项和公式专题练习(解析版)

等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=，由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==，当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==，所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠），若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭，由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--，解得111,2,5,4a d q b ====，所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。

西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第一次月考数学(理)试卷

下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
月收入 x（千元） 20
30
35
40
48
55
4
月支出 y（千元）
4
5
6
8
8
11
n
n
xi x yi y
xi yi nxy
y b a 参考公式：回归直线的方程是： x ，其中，bˆ i1 n
i 1 n
，
xi x 2
xi2 nx 2
i 1
i 1
．（1）据题中数据，求月支出 y（千元）关于月收入 x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
理科数学试题
（满分：150 分，考试时间：120 分钟。请将答案填写在答题卡上）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．已知复数满足 1 i z 2 i ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
2．设集合 M = x x2 36 ， N 2, 4,6,8，则 M N （
0
，则 z 2x y 的最小值为__________．
y 0
14．如果 3x
3
1 x2
n
的展开式中各项系数之和为
256，则展开式中
1 x2
的系数是__________．
15．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，btan B btan A 2c tan B ，且 a 8 ，
11.
已知
f x 是定义是 R 上的奇函数，满足
f
3 2
x
f
3 2
x
，

【精准解析】西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第一次月考数学(理)试题

sin x
sin x
题 q : x (0, ), sin x 1 2 为假；因此 p q 是真命题，p q 是假命题，p (q) 是 sin x
真命题， p (q) 是真命题，选 D,
考点：命题真假
【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简
单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.
理科数学试题
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1. 已知复数 z 满足 1 i z 2 i ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
1 i z 2 i ，1 i1 i z 2+i1 i ， 2z 1 3i, z 1 3 i, z 1 3 i, z 的
【分析】
1
D.
3
根据图象可得
A
2，
1，
6
，进而得到
f
x
2
sin
x
6
，由
f
3 2
，结
合诱导公式，即可得答案；
【详解】由函数图象可知： A 2 ，
函数的最小正周期： T
4
7 6
2 3
2
，则
2 T
1，
当 x 2 时，x 1 2 2k ， 2k k Z ，
3
3
2
6
故选：A
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值
5. 已知命题 p : x R, x 1 lg x ，命题 q : x (0, ), sin x 1 2 ，则下列判断正确 sin x

西藏拉萨市2021届高三数学第二次模拟考试试题理(含解析)

西藏拉萨市2021届高三数学第二次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回..一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A. ()1,2B. ()2,1C. ()1,2-D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】复数i (2+i )=2i ﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题. 2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．3.下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（）A. y =B. 21y x =-C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2log y x =【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A 选项，函数y =()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数；对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.4.函数()f x =）A. {2x x ≤或}3x ≥ B. {3x x ≤-或}2x ≥- C. {}23x x ≤≤D. {}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.5.英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（） A. 11x y <，22x y <，x y > B. 11x y <，22x y <，x y < C. 11x y >，22x y >，x y > D. 11x y >，22x y >，x y <【答案】D 【解析】【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为1x ，1y ，行政庭维持原判的案件率2x ，2y ，总体上维持原判的案件率为x y ，的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==；法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6.圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A. ()()22211x y -+-= B. ()()22211x y +++= C. ()()22215x y -+-= D. ()()22215x y +++=【答案】A 【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题. 7.为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（） A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】D 【解析】试题分析：因为，所以为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．考点：三角函数的图像变换．8.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如2125MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i 等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D 【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果. 【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =. 故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为（） A. 100π B.2563π C.4003π D.5003π 【答案】D 【解析】【分析】利用切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，求出球的半径，然后求解球的体积．【详解】解：因为切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，5．所以球的体积为：34500533ππ=．故选：D ．【点睛】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于基础题． 11.已知点()2,0A 、()0,2B-．若点P 在函数y =PAB △的面积为2的点P 的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程，求出方程的解，即可得出结论. 【详解】设点P的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y-=，即20x y --=，设点P 到直线AB 的距离为d，则11222PABSAB d d =⋅=⨯=，解得d =另一方面，由点到直线的距离公式得d ==整理得0a =或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =或92a =. 综上，满足条件的点P 共有三个．故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．12.设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线方程为0x y +=，则a =________．【答案】1 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数a 的值.【详解】双曲线()22210x y a a-=>的渐近线方程为0x y a ±=，由于该双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，11a∴=，解得1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 14.已知向量()1,a m =，()2,1b =，且a b ⊥，则m =________．【答案】2- 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值. 【详解】()1,a m =，()2,1b =且a b ⊥，则20a b m ⋅=+=，解得2m =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.15.在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．【答案】 (1). 34 (2). 1574【解析】【分析】利用余弦定理可求得cos A 的值，进而可得出sin A 的值，最后利用三角形的面积公式可得出ABC 的面积.【详解】由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，则27sin 1cos A A =-=，因此，ABC 的面积为117157sin 5622ABCSbc A ==⨯⨯⨯=. 故答案为：34；1574. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.16.函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示．函数()g x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20g x g x -+=，且当()0,1x ∈时，()()g x f x =．给出下列三个结论：①()00g =；②函数()g x 在()1,5-内有且仅有3个零点；③不等式()0f x -<的解集为{}10x x -<<．其中，正确结论的序号是________．【答案】①③ 【解析】【分析】利用奇函数和()()20g x g x -+=，得出函数()y g x =的周期为2，由图可直接判断①；利用赋值法求得()10g =，结合()00g =，进而可判断函数()y g x =在()1,5-内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数()y g x =是奇函数，所以()()g x g x =--，又()()20g x g x -+=，所以()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=，所以，函数()y g x =的周期为2.对于①，由于函数()y g x =是R 上的奇函数，所以，()00f =，故①正确；对于②，()()20g x g x -+=，令1x =，可得()210g =，得()10g =，所以，函数()y g x =在区间[]1,1-上的零点为0和1.因为函数()y g x =的周期为2，所以函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故②错误；对于③，令t x =-，则需求()0f t <的解集，由图象可知，01t <<，所以10x -<<，故③正确. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.. （一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1122n n n S a --=(n ∈N *). （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T . 【答案】（1）112n n na a ++=-；（2）证明见详解，11122nn T +=- 【解析】【分析】（1）根据1122n n n S a --=，可得11122n n n S a ++-=，然后作差，可得结果. （2）根据（1）的结论，用1n +取代n ，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】（1）由1122n n n S a --=①，则11122n n n S a ++-=② ②-①可得：1111112222n n n n n na a a ++--+=-=- 所以112n n n a a ++=-（2）由（1）可知：112n n na a ++=-③ 则21112n n n a a ++++=-④ ④-③可得：211111222n n n n n a a +++⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭ 则112n n b +=，且1212n n b ++= 令1n =，则114b =，211112122n n n n b b +++== 所以数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列所以111111114211222212n n n n T +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⎝⎭-【点睛】本题主要考查递推公式以及,n n S a 之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．（1）求证：//PA 平面MNC ；（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）16【解析】【分析】（1）利用中位线的性质得出//PA MN ，然后利用线面平行的判定定理可证明出//PA 平面MNC ；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD =，利用空间向量法可求得直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值. 【详解】（1）因为M 、N 分别为AD 、PD 的中点，所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以//PA 平面MNC ；（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，则()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,4P ，()1,0,0M ，()0,0,2N ，()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-．设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，则00n MN n NC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，则2x =，1y =，所以()2,1,1n =．设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以1sin cos ,6n PBn PB n PB α⋅=<>==⋅．因此，直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X的分布列及数学期望EX；（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.【答案】（1）63.47；（2）分布列见详解，期望为167；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.【解析】【分析】（1）计算[)[)62.0,63.0,63.0,63.5的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.（2）计算位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果. 【详解】（1）尺寸在[)62.0,63.0的频率：()0.50.0750.2250.15⨯+=尺寸在[)63.0,63.5的频率：0.50.7500.375⨯= 且0.150.50.150.375<<+所以可知尺寸的中位数落在[)63.0,63.5 假设尺寸中位数为x所以()0.1563.00.7500.563.47x x +-⨯=⇒≈ 所以这80个零件尺寸的中位数63.47（2）尺寸在[)62.0,62.5的个数为800.0750.53⨯⨯= 尺寸在[]64.5,65.0的个数为800.1000.54⨯⨯=X 的所有可能取值为1，2，3，4则()1343474135C C P X C ===，()22434718235C C P X C === ()31434712335C C P X C ===，()44471435C P X C ===所以X 的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （3）二等品的概率为()0.50.0750.2250.1000.2⨯++= 如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为1100999900P =⨯=（元）余下二等品的个数期望值为890.217.8⨯= 如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为2119950017.89989P =⨯+⨯=（元）所以12P P >，所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题. 20.已知函数()()2112xa f x ex e x =--，0a <．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极小值；（3）求函数()f x 的零点个数．【答案】（1）1y =-；（2）极小值1-；（3）函数()y f x =的零点个数为1．【解析】【分析】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数()y f x =的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当1x ≤时，()0f x <以及()20f >，结合函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出函数()y f x =的零点个数. 【详解】（1）因为()()2112xa f x ex e x =--，所以()x a f x xe xe '=-．所以()01f =-，()00f '=．所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线为1y =-；（2）因为()()x a x af x xe xe x e e '=-=-，令()0f x '=，得0x =或()0x a a =<．列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),a -∞和()0,∞+，单调递减区间为(),0a ，所以，当0x =时，函数()y f x =有极小值()01f =-；（3）当1x ≤时，()0f x <，且()222220af e e e =->->．由（2）可知，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()y f x =的零点个数为1．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为()0,1A 、()0,1B -，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为14-．证明：点D在x 轴上．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）由已知条件得出b 、c 的值，进而可得出a 的值，由此可求得椭圆C 的方程；（2）设点()1,M x m ，可得()1,N x m -，且10x ≠，11m -<<，求出直线BM 的斜率，进而可求得直线BD 与AN 的方程，将直线直线BD 与AN 的方程联立，求出点D 的坐标，即可证得结论.详解】（1）由题设，得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()1,M x m ，则()1,N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM的斜率为()11110m m x x --+=-，因为直线BD 、BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为()141x m -+．直线AN 的方程为111my x x -=+，直线BD 的方程为()1141x y x m =--+．联立()1111141m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩，解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =，所以点D 在x 轴上．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22.已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)，曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数). （1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=（2）0 【解析】【分析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =221(0)2y x y +=．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221ab b a b +<++【答案】（1）3+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．【详解】（1）121222()()33232a b a a b a b a b b a b a+=++=+++=+重点中学试卷可修改欢迎下载21“b =”时取等号，故12a b +的最小值为3+；（2）222222222222414(2)122155555ab b ab b ab bbb a b bb ab b a a +++===+++++++当且仅当1,2a b =时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。

2021届西藏拉萨中学高三上学期第三次月考数学(理)试卷

绝密★启用前拉萨中学高三年级（2021届）第三次月考理科数学试题学校：___________题号一二三总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共12题；共60分）1．已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则AB 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．162．若2(,)1a bi a b i=+∈+R ，则20192020a b +=（） A ．1- B ．0C ．1D ．23．函数241xy x =+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．给出下列四个结论：①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是“x N ∀∈，22x x ≤”；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +=，则0ab ≠”； ③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠或0b ≠”； ④若“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题,p q 一真一假. 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为() A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,36．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A ．240B ．120C ．48D ．367．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） A ．5 B ．23 C ．13D ．598．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是()A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭9．若直线l 与曲线32()32f x x x x =-+相切于点O(0,0),并且直线l 和曲线2y x a =+也相切，则a 的值是（）A ．1B ．-1C ．2D ．-210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（）A 102B ．102C 5D ．6611．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）A 51-B 21C ．35D 2112．已知函数21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(11)(23]e，，+⋃ B ．11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C ．11(11)[23)3e e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，，D ．2(11)(23]e+⋃，，二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z=3x –y 的最大值是___________.14．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k=__________.15．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{ɑn }，则{ɑn }的前n 项和为________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：共60分.17．已知点()cos21,2P x +，点311,sin 222Q x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()x R ∈，且函数()f x OP OQ =⋅（O 为坐标原点），（1）求函数()f x 的解析式及值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.18．在四棱锥中P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1BC CD ==，2PD =．（1）证明：AB PD ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值．19．H 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从2018届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各50名，得到下表中的数据.就业专业毕业学历就业为所学专业就业非所学专业本科 30 20 研究生455（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为5的样本，要从5人中任取2人参加座谈，求被选取的2人中至少有1人就业非毕业所学专业的概率. 附：,n a b c d=+++2(K k)P ≥0.1 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.7063.8415.0246.6357.87920．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为2-，且原点到直线FM的距离为6.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：(0,0)y kx m k m=+<>与椭圆C交于,A B两点，且与圆221x y+=相切.试探究ABF∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.21．已知函数()ln xf x x e=-.（1）求曲线()y f x=在点(1,(1))P f处的切线方程；（2）证明：()20f x+<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程(1sin)aρθ=-（0a>）表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线2C 的参数方程为133x ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()3f x ax=-，不等式()2f x≤的解集为{}15x x≤≤．（1）解不等式()()211f x f x<+-；（2）若3m≥，3n≥，()()3f m f n+=，求证：141m n+≥．理科数学参考答案 1．C 【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集． 2．D 【解析】【分析】整理21a bi i=++可得：1i a bi -=+，问题得解【详解】因为21a bi i=++，所以1i a bi -=+，所以1,1a b ==-，所以201920202a b +=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题. 3．A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4．B 【解析】【分析】①写出命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定，可判断②的正误；写出命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果. 【详解】①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是：“x N ∀∈，22x x ≤”，所以①正确；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠”，所以②不正确；③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”，所以③不正确； ④“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题p ，q 一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目. 5．C 【解析】函数21()log f x x x =-的定义域为(0,)+∞，211'()0ln 2f x x x =+>，则()f x 在其定义域上单调递增．因为1(1)10,(2)02f f =-=，所以函数()f x 的零点在区间(1,2)内，故选C 6．A 【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r rr T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 8．D 【解析】【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝Asinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错，令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错，令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错，令2x 6π+=kπ，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．A 【解析】【分析】先求出直线l 的方程，再将该方程与方程2y x a =+联立，利用判别式为零可求a 的值. 【详解】2()362f x x x '=-+，故(0)2f '=，故切线l 的方程为()020y x -=-即2y x =，由22y x y x a=⎧⎨=+⎩可得220x x a -+=，因为直线l 和曲线2y x a =+也相切，故440a ∆=-=，故1a =. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及抛物线的切线的求法，注意函数在某点横坐标处的导数就是函数图象在该点处切线的斜率，而直线和抛物线相切可利用判别式来处理，关注两者的区别，本题属于基础题. 10．A 【解析】【分析】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建系，则可求出11,,,A F B E 的坐标，进而可求出1A F ，1B E 的坐标，代入公式即可求解. 【详解】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,2,0F ，()14,0,4B ，()0,1,4E ，则()12,2,4A F =-，()14,1,0B E =-.设直线1A F 与1B E 所成角的大小为θ，则02πθ≤≤，所以11116102cos 2617A FB E A F B Eθ⋅-===⨯故选：A. 【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题. 11．B 【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到2p c =，再由直线与椭圆方程联立求出点A 坐标，求出1AF 和2AF ，根据椭圆定义得到关于a 和c 的方程，进而求出离心率ce a=. 【详解】由题意可知，2p c =，则2p c =.所以2:4E y cx =.因为()1,0F c -，直线1AF 的倾斜角为45︒，所以直线1AF 的方程为：y x c =+.由24y x cy cx =+⎧⎨=⎩得2x c y c=⎧⎨=⎩，所以(),2A c c .因为()2,0F c ，所以212AF F F ⊥.在21Rt AF F △中，22AF c =，1AF =.由椭圆的定义得：122AF AF a +=，即22c a +=，解得：1ca=. 故选：B . 【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题. 12．B 【解析】【分析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()11x x f x e =+>，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.13．9. 【解析】【分析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得. 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y=-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值． 14．22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．232n n - 【解析】【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 16．2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==221()1(3)2c be a a==+=+=．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 17．（1）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；值域为[]0,4；（2）最小正周期为π；单调递增区间为,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得和辅助角公式化简得()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据函数性质即可得函数值域；（2）结合正弦函数的性质，根据整体代换思想求解即可. 【详解】解（1）()()31cos 21122+2f x OP OQ x x ⎫=⋅=+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭cos 23222sin 226x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由x ∈R ，所以()min 220f x =-+=，()max 224f x =+= 所以()f x 的值域为[]0,4. （2）由222T πππω===，所以最小正周期为π 由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈所以()f x 的单调递增区间为,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查运算能力，是中档题. 18．（1）证明见解析；（2）33．【解析】【分析】（1）取AB 的中点为M ，由等边三角形性质可得AB PM ⊥，再由直角梯形，结合已知的边长可证得AB DM ⊥，于是得AB ⊥平面PDM ，从而证得结果；（2）先建立直角坐标系，再利用向量法求出二面角B PA D --的余弦值. 【详解】（1）证明：取AB 的中点为M ，连接,DM PM ，因为PAB △是等边三角形，所以AB PM ⊥．因为在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，1BC CD ==，2AB =，所以2AD BD ==所以DAB 为等腰三角形，所以AB DM ⊥ 因为PMDM M =，所以AB ⊥平面PDM因为PD ⊂平面PDM ，所以AB PD ⊥．（2）解：因为2PD =1DM =，PM 为正三角形PAB △的AB 边上的高，所以3PM =．因为222PD DM PM +=，所以PD DM ⊥，由（1）可知,,DM DC DP 两两垂直．以D 为坐标原点建立直角坐标系D xyz -，则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(0,1,0)C，P 则(0,2,0)AB =，(1,1,PA =-，(1,1,0)DA =- 设平面APB 的法向量为(,,)m x y z =则00AB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令x (2,0,1)m =．设平面PAD 的法向量为(),,n x y z '''=则00DA n PA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y x y '''-'=⎧'⎪⎨-=⎪⎩令1x '=，则(1,1,0)n =2cos ,33m n ⨯〈〉==⨯ 因为二面角B PA D -- 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．（1）能在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关，详见解析（2）710【解析】【分析】（1）计算2K ，与临界值表作比较，得到答案.（2）所取样本中，就业为所学专业为3人，设为A ，B ，C ，非所学专业为2人，设为a ，b ，排列出所有情况共10种，满足条件的7种，得到答案. 【详解】（1）由题知：()22100305452012 6.635.75255050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关.（2）由题知，所取样本中，就业为所学专业为3人，设为A ，B ，C ，非所学专业为2人，设为a ，b .从5人中任取2人，其结果有(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种情形.其中事件至少有1人就业非所学专业为时事件S ，共有7种情形，()710P S =，即所求概率为710.【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力.20．（1）2213x y +=；（2）【解析】【分析】（1）由题可知，求得直线FM 的方程0bx cy bc +-=，再由点到直线的距离公式，联立求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线与圆相切，求得221m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得,,AB AF BF ，即计算求得三角形的周长．【详解】（1）由题可知，(),0F c ，()0,M b，则2b c -=-，直线FM 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +-==，解得1b =，c =又2223a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线():0,0l y kx m k m =+与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()22223612311k m k m ∆=-+-=()2221231240k m k -+=>，122631km x x k -+=+，()21223131m x x k -=+，所以12AB x =-=.又221m k =+，所以AB =.因为AF ==13x =，同理2BF x =.所以)12AF BF x x +=+，所以ABF ∆的周长是)12x x +=则ABF ∆的周长为定值【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．（1）(1)1y e x =--；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，即可写出切线的方程；（2）由原不等式可转化为ln 11x x e +<-，构造函数()ln 1g x x x =+-，()1(0)xh x e x x =-->，利用导数分别求最大值与最小值即可求解. 【详解】（1）由()ln xf x x e =-，得1()e xf x x'=-，所以切线的斜率(1)1k f e '==-，又因为当1x =时，(1)e f =-，所以切线方程为(1)(1)y e e x +=--，即(1)1y e x =--.（2）欲证()20f x +<，即证ln 20x x e -+<，即证ln 11x x e +<-，设()ln 1g x x x =+-，则11()1x g x x x-'=-=，，当01x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()g x 在1x =处取得极大值，即为最大值，所以()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x +≤.设()1(0)xh x e x x =-->，则()10xh x e '=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以1x e x ->在0x >时成立，所以ln 11x x x e +≤<-，所以ln 11x x e +<-，所以ln 20x x e -+<，即()20f x +<成立. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数求函数的最值，不等式的证明，属于中档题. 22．（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）由1x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t得，0x -=即3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23．（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据已知求出1a =，再利用分类讨论法解不等式2321x x -<--即得解；（2）由()()3f m f n +=得9m n +=，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <，所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >．（2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n m m n=，即3m =，6n =时取等号．所以不等式得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

西藏拉萨中学2021届高三第二次月考数学(理)试卷(有答案)

西藏拉萨中学2021届高三第二次月考数学（理）试卷（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）一、单选题（共12题；共60分）1．已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B R =C ．{|1}AB x x => D ．A B =∅2．若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为A ．－4B ．45-C ．4D ．453.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．已知函数1()3()3xxf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 5．设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．126．设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S =A ．5B ．－8C ．－11D ．117．函数121()()2xf x x =-的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3x ∈R 250x x -<|1|1x -<8．已知，那么 A ． B ． C ． D ．9.已知曲线e ln xy a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b=-1 B ．a=e -1，b=1 C ．a=e ，b=1 D ．a=e -1，b=110．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()314,1{log ,1a a x a x f x x x -+<=≥ 满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<- 成立，则实数a 的取值范围为A. (0,1)B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c b a >>二、填空题（共4题；共20分）13．若,x y 满足约束条件25023050+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤，x y x y x 则=+z x y 的最大值为． 14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种51sin()25πα+=cos α=25-15-15252sin cos x x x x ++15．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f = ；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是． 16. 已知A ，B ，C 为球O的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 .三、解答题（共计70分） 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12n n n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB 2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； 20. （本小题满分12分）已知函数()ln 1af x x x=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. 21. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为=2--=2-²3²+x y t t t t ⎧⎨⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A ，B两点.（Ⅰ）求｜AB ｜;C ()()0,0F c c >:20l x y --=P l P C ,PA PB ,A B C ()00,P x y l AB P l AF BF ⋅（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 23.[选修4—5：选讲不等式]（10分）设均为正数，且，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）理科数学答案,,a b c 1a b c ++=13ab bc ca ++≤2221a b c b c a++≥一、单选题（共12题；共60分）1.A2.D3.B4.A5.C6.C7. B8. C9.B 10.D 11. D 12. A 二、填空题（共4题；共20分） 13. 9 14. 36 15.16 . 64π三、解答题（共计70分） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，1d =．所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-2131122n n n +++=-． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=B 2370(120)1205a x -++++-=+由A B x x =，解得 127a =．（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．（Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种．因此 4(C)25P =，所以 21(C)1(C)25P P =-=．所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ．所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD=，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． 20. （本小题满分12分）解：（1）由2'()x af x x +=，0x >，a ∈R 可得当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞；当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <，所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（2）由()ln x a g x x +=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==），由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增，所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e =--=->，所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：)所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x ->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）21. （本小题满分12分）解（Ⅰ）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为．（Ⅱ）设点,，，2d ==1c =∴C 24x y =11(,)A x y 22(,)B x y ),(00y x P由,即得． ∴抛物线在点处的切线的方程为，即． ∵， ∴．∵点在切线上, ∴. ①同理，. ②综合①、②得，点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的，∴直线的方程为，即．（Ⅲ）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为22. （本小题满分10分）24x y=214y x ,=y '=12x C A PA )(2111x x x y y -=-2111212x y x x y -+=21141x y =112y x x y -=),(00y x P 1l10102y x x y -=20202y x x y -=1122(,),(,)A x yB x y y x xy -=0021122(,),(,)A x yB x y AB yx xy -=00200220x x y y --=121,1AF y BF y =+=+()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++2004220x yx x y y ⎧=⎨--=⎩x ()22200020y y x y y +-+=2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴012y =-AF BF ⋅9223. （本小题满分10分）解:（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca+≥+≥+≥得222a b c ab bc ca++≥++由题设得()21a b c++=，即2222221a b c ab bc ca+++++=．所以()31ab bc ca++≤，即13ab bc ca++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b cb ac b a c b c a+≥+≥+≥∴222()2() a b ca b c a b cb c a+++++≥++即222a b ca b cb c a++≥++∴2221a b cb c a++≥。

西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第一次月考数学(理)试题(wd无答案)

西藏自治区拉萨市拉萨中学2021届高三第一次月考数学（理）试题(wd无答案)一、单选题(★★★) 1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35B．36C．45D．54(★) 4. 已知函数为奇函数，且当 x > 0时，＝ x 2＋，则等于（）A．－2B．0C．1D．2(★★★) 5. 已知命题，命题，则下列判断正确的是（）A．是假命题B．是真命题C．是假命题D．是真命题(★★★) 6. 已知向量、的夹角为，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数（其中 A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示，若，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 8. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是( )A．B．C．D．(★★★) 10. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )A．B．C．D．1(★★★★) 11. 已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A．3B．5C．7D．9(★★★) 12. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点 M，使得（其中 O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______．(★★) 14. 如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．(★★★) 15. 在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为__________．(★★★★) 16. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．三、解答题(★★★) 17. 命题关于的不等式的解集为；命题函数为增函数．分别求出下列条件的实数的取值范围．(1) 中至少有一个是真命题；(2) “ ”是真命题，且“ ”是假命题．(★★) 18. 已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.(★★★) 19. 某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：家庭编号123456月收入x（千203035404855元）月支出y（千4568811元）参考公式：回归直线的方程是：，其中，. （1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望.(★★★) 20. 设圆的圆心为 A，直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合， l交圆 A于 C， D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于点 E.（ I）证明为定值，并写出点 E的轨迹方程；（ II）设点 E的轨迹为曲线 C 1，直线 l交 C 1于 M, N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于P, Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.(★★★★) 21. 已知函数.（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：.(★★★) 22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为( 为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．(★★★) 23. 已知，，，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当的最小值为时，求的值，并求的最小值.。

西藏拉萨中学2021届高三上学期第三次月考数学(理)试卷

拉萨中学高三年级（2021届）第三次月考理科数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）一、单选题（共12题；共60分）1．已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则AB 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．162．若2(,)1a bi a b i=+∈+R ，则20192020a b +=（） A ．1- B ．0C ．1D ．23．函数241xy x =+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．给出下列四个结论：①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是“x N ∀∈，22x x ≤”；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +=，则0ab ≠”； ③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠或0b ≠”； ④若“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题,p q 一真一假. 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,36．已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A ．240B ．120C ．48D ．367．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） A ．53B ．23 C ．13D ．5 8．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．若直线l 与曲线 32()32f x x x x =-+相切于点O (0,0),并且直线l 和曲线2y x a =+也相切，则a 的值是（）A ．1B ．-1C ．2D ．-210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（）A 102B ．102C 5D 611．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）A 51-B 21C ．35D 2112．已知函数21(0)()21(0)x xx f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(11)(23]e，，+⋃ B ．11(11)(23]3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， C ．11(11)[23)3ee ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭，， D ．2(11)(23]e+⋃，，二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________.14．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.15．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{ɑn }，则{ɑn }的前n 项和为________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：共60分.17．已知点()cos21,2P x +，点311,sin 22Q x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()x R ∈，且函数()f x OP OQ =⋅（O 为坐标原点），（1）求函数()f x 的解析式及值域；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.18．在四棱锥中P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1BC CD ==，2PD =．（1）证明：AB PD ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值．19．H 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从2018届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各50名，得到下表中的数据.就业专业毕业学历就业为所学专业就业非所学专业本科 30 20 研究生455（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为5的样本，要从5人中任取2人参加座谈，求被选取的2人中至少有1人就业非毕业所学专业的概率.附：,n a b c d=+++2(K k)P ≥0.10.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.0246.6357.87920．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为22-，且原点到直线FM 的距离为6. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线l ：(0,0)y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆221x y +=相切.试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 21．已知函数()ln xf x x e =-.（1）求曲线()y f x =在点(1, (1))P f 处的切线方程；（2）证明：()20f x +<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为1333x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤．（1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．理科数学参考答案 1．C 【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集． 2．D 【解析】【分析】整理21a bi i=++可得：1i a bi -=+，问题得解【详解】因为21a bi i=++，所以1i a bi -=+，所以1,1a b ==-，所以201920202a b +=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数相等知识，属于基础题. 3．A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4．B 【解析】【分析】①写出命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定，可判断②的正误；写出命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果. 【详解】①命题“0x N ∃∈，0202xx >”的否定是：“x N ∀∈，22x x ≤”，所以①正确；②命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的否定是“若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠”，所以②不正确；③命题“若0ab =，则0a =或0b =”的否命题是“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”，所以③不正确； ④“p q ∧是假命题，p q ∨是真命题”，则命题p ，q 一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目. 5．C 【解析】函数21()log f x x x =-的定义域为(0,)+∞，211'()0ln 2f x x x =+>，则()f x 在其定义域上单调递增．因为1(1)10,(2)02f f =-=，所以函数()f x 的零点在区间(1,2)内，故选C 6．A 【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n =，解得6n =，则1162211(2)(2)nx x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r rr T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 8．D 【解析】【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错，令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错，令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错，令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．A 【解析】【分析】先求出直线l 的方程，再将该方程与方程2y x a =+联立，利用判别式为零可求a 的值. 【详解】2()362f x x x '=-+，故(0)2f '=，故切线l 的方程为()020y x -=-即2y x =，由22y x y x a=⎧⎨=+⎩可得220x x a -+=，因为直线l 和曲线2y x a =+也相切，故440a ∆=-=，故1a =. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及抛物线的切线的求法，注意函数在某点横坐标处的导数就是函数图象在该点处切线的斜率，而直线和抛物线相切可利用判别式来处理，关注两者的区别，本题属于基础题. 10．A 【解析】【分析】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建系，则可求出11,,,A F B E 的坐标，进而可求出1A F ，1B E 的坐标，代入公式即可求解. 【详解】分别以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,2,0F ，()14,0,4B ，()0,1,4E ，则()12,2,4A F =-，()14,1,0B E =-.设直线1A F 与1B E 所成角的大小为θ，则02πθ≤≤，所以11116102cos 342617A FB E A F B Eθ⋅-===⨯.故选：A . 【点睛】本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题. 11．B 【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到2p c =，再由直线与椭圆方程联立求出点A 坐标，求出1AF 和2AF ，根据椭圆定义得到关于a 和c 的方程，进而求出离心率ce a=. 【详解】由题意可知，2p c =，则2p c =.所以2:4E y cx =.因为()1,0F c -，直线1AF 的倾斜角为45︒，所以直线1AF 的方程为：y x c =+.由24y x cy cx =+⎧⎨=⎩得2x cy c=⎧⎨=⎩，所以(),2A c c .因为()2,0F c ，所以212AF F F ⊥.在21Rt AF F △中，22AF c =，122AF c =.由椭圆的定义得：122AF AF a +=，即2222c c a +=，解得：21ca=. 故选：B . 【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题. 12．B 【解析】【分析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：(())10f f x a --=，即(())1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即(),()2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时，()11x x f x e =+>，21'()x x xx e xe xf x e e--==，从而可以确定函数()f x 在(,1)-∞-上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，且1(1)0,(1)1f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20111a a e -<⎧⎪⎨<<+⎪⎩或2011a a e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩或2001a a -=⎧⎨<≤⎩或02111a a e <-≤⎧⎪⎨>+⎪⎩或12111a ea e ⎧-=+⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩，解得111a e <<+或23a <≤或13a e=+，所以所求a 的范围是11(1,1)(2,3]3e e ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要. 13．9. 【解析】【分析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得. 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y=-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值． 14．22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．232n n - 【解析】【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 16．2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==2c e a ====．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 17．（1）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；值域为[]0,4；（2）最小正周期为π；单调递增区间为,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得和辅助角公式化简得()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据函数性质即可得函数值域；（2）结合正弦函数的性质，根据整体代换思想求解即可. 【详解】解（1）()()1cos 21122+22f x OP OQ x x ⎛⎫=⋅=+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭cos 2222sin 226x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭由x ∈R ，所以()min 220f x =-+=，()max 224f x =+= 所以()f x 的值域为[]0,4. （2）由222T πππω===，所以最小正周期为π由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈所以()f x 的单调递增区间为,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查运算能力，是中档题. 18．（1）证明见解析；（2）33．【解析】【分析】（1）取AB 的中点为M ，由等边三角形性质可得AB PM ⊥，再由直角梯形，结合已知的边长可证得AB DM ⊥，于是得AB ⊥平面PDM ，从而证得结果；（2）先建立直角坐标系，再利用向量法求出二面角B PA D --的余弦值. 【详解】（1）证明：取AB 的中点为M ，连接,DM PM ，因为PAB △是等边三角形，所以AB PM ⊥．因为在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，1BC CD ==，2AB =，所以2AD BD ==所以DAB 为等腰三角形，所以AB DM ⊥ 因为PMDM M =，所以AB ⊥平面PDM因为PD ⊂平面PDM ，所以AB PD ⊥．（2）解：因为2PD =1DM =，PM 为正三角形PAB △的AB 边上的高，所以3PM =．因为222PD DM PM +=，所以PD DM ⊥，由（1）可知,,DM DC DP 两两垂直．以D 为坐标原点建立直角坐标系D xyz -，则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，2)P则(0,2,0)AB =，(1,1,PA =-，(1,1,0)DA =- 设平面APB 的法向量为(,,)m x y z =则00AB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令x (2,0,1)m =．设平面PAD 的法向量为(),,n x y z '''=则00DA n PA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y x y '''-'=⎧'⎪⎨-=⎪⎩令1x '=，则(1,1,0)n =2cos ,33m n ⨯〈〉==⨯ 因为二面角B PA D --为锐二面角，所以其余弦值为3．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19．（1）能在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关，详见解析（2）710【解析】【分析】（1）计算2K ，与临界值表作比较，得到答案.（2）所取样本中，就业为所学专业为3人，设为A ，B ，C ，非所学专业为2人，设为a ，b ，排列出所有情况共10种，满足条件的7种，得到答案. 【详解】（1）由题知：()22100305452012 6.635.75255050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关.（2）由题知，所取样本中，就业为所学专业为3人，设为A ，B ，C ，非所学专业为2人，设为a ，b .从5人中任取2人，其结果有(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种情形.其中事件至少有1人就业非所学专业为时事件S ，共有7种情形，()710P S =，即所求概率为710.【点睛】本题考查了独立性检验，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力.20．（1）2213x y +=；（2）【解析】【分析】（1）由题可知，求得直线FM 的方程0bx cy bc +-=，再由点到直线的距离公式，联立求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）由直线与圆相切，求得221m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系和弦长公式，分别求得,,AB AF BF ，即计算求得三角形的周长．【详解】（1）由题可知，(),0F c ，()0,M b，则b c -=，直线FM 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +-==，解得1b =，c =又2223a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）因为直线():0,0l y kx m k m =+与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()22223612311k m k m ∆=-+-= ()2221231240k m k -+=>，122631km x x k -+=+，()21223131m x x k -=+，所以12AB x =-=.又221m k =+，所以AB =.因为AF ==1x =，同理2BF x =.所以)12AF BF x x +=+，所以ABF ∆的周长是)122331x x k +-=+则ABF ∆的周长为定值【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目时通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．（1）(1)1y e x =--；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率，即可写出切线的方程；（2）由原不等式可转化为ln 11x x e +<-，构造函数()ln 1g x x x =+-，()1(0)xh x e x x =-->，利用导数分别求最大值与最小值即可求解. 【详解】（1）由()ln x f x x e =-，得1()e xf x x'=-，所以切线的斜率(1)1k f e '==-，又因为当1x =时，(1)e f =-，所以切线方程为(1)(1)y e e x +=--，即(1)1y e x =--.（2）欲证()20f x +<，即证ln 20x x e -+<，即证ln 11x x e +<-，设()ln 1g x x x =+-，则11()1x g x x x-'=-=，，当01x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()g x 在1x =处取得极大值，即为最大值，所以()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x +≤.设()1(0)xh x e x x =-->，则()10xh x e '=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以1x e x ->在0x >时成立，所以ln 11x x x e +≤<-，所以ln 11x x e +<-，所以ln 20x x e -+<，即()20f x +<成立. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数求函数的最值，不等式的证明，属于中档题.22．（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为3y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由1x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t得，0x -=即3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.23．（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先根据已知求出1a =，再利用分类讨论法解不等式2321x x -<--即得解；（2）由()()3f m f n +=得9m n +=，再利用基本不等式证明不等式.【详解】（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155a a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <，所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >．（2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4n m m n=，即3m =，6n =时取等号．所以不等式得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水。

2021届西藏自治区拉萨中学高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

2021届西藏自治区拉萨中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）一、选择题（每题5分，共60分）1．集合{}{}{}20,1,2,3,4,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B =（） A ．{}0,1,3,4 B ．{}1,2,3 C ．{}0,4 D ．{}0 2．命题“0x ∀>，不等式1ln x x -≥成立” 的否定为（） A ．00x ∃>，不等式001ln x x -≥成立 B ．00x ∃>，不等式001ln x x -<成立C ．0x ∀≤，不等式1ln x x -≥成立D ．0x ∀>，不等式1ln x x -<成立3．已知命题:1p x ∀<，都有12log 0x <，命题:q x R ∃∈，使得22x x ≥成立，则下列命题是真命题的是（）A ．()p q ∨⌝B ．)()(q p ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧ 4．函数22log (3)1x y x -=-的定义域是（）A ．(1,3)-B ．(,1)[1,3)-∞-⋃C ．(,1)(1,3]-∞-⋃D ．(,1)(1,3)-∞-⋃ 5．下列图象不能作为函数图象的是（）6．下列函数中为偶函数的是（）A ．y x = ．B ．31y x =+C ．2x y =D ．ln y x =7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()⎩⎨⎧+=x g x x f 1log 300<≥x x ，则()8g f -=⎡⎤⎣⎦（） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．28．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x +=，当()0,2x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（）A.2-B.2C.98-D.98 9．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是A b c a <<. B. c b a << C. c a b << D.a c b << 10．定积分()12e d 0x x x +⎰的值为（） A ．e 2+ B ．e 1+ C ．e D ．e 1-11．设'()f x 是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）12．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（） A ．12a -<< B ．36a -<< C ．3-<a 或6a > D ．1-<a 或2a > 二、填空题（每题5分，共20分）13．已知a x x x f ++=233)(（a 为常数），在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上)(x f 的最大值是__________．14．设p ：3||>-a x ，q ：0)12)(1(≥-+x x ，若p ⌝是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是．15．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______ 16．函数()()222log x x x f -+=的零点个数为个．三、解答题（共70分）17．（本题12分）已知0a >，且1a ≠．设:p 函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞内单调递减；:q 曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）设集合{|1,}M x a x a a R =-<<+∈，集合2{|230}N x x x =≤--. （1）当1a =时,求MN 及R NC M ；（2）若x M ∈是x N ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题12分）已知))((R x x f y ∈=是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=．（1）求)(x f 的解析式；（2）若不等式mx x f ≥)(在21≤≤x 时都成立，求m 的取值范围．20．（本题12分）已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解并于m 的不等式)1()(+<m f m f ． 21．（本题12分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中.直线1:2C x =-，圆2C ：（x －1）2＋（y －2）2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ,求△C 2MN 的面积23．（本题10分）选修4-5：不等式选讲设()13f x x x =--+.（1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围。

西藏自治区拉萨中学2019届高三第二次月考数学(理)试题(含详细答案)

拉萨中学高三年级（2019届）第二次月考理科数学试卷命题：（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{A x y ==，集合{1}B y y =>，全集U R =，则()R C A B 为（）A. [1,3]B. (3,)+∞C. (1,3)D. [1,)+∞2.已知i 为虚数单位，且满足2(1)32i z i +=+，则z 所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3.下列命题中，为真命题的是（）A ．0x ∃∈R ，使得00≤x eB ．1sin 2(π,)sin x x k k x+≠∈Z ≥ C ．22,x R x x >∈∀D ．若命题p ：0x ∃∈R ，使得20010x x -+<，则p ⌝：x ∀∈R ，都有012≥+-x x4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )A ．－32B ．－52C ．－72D ．－25.若4.0log ,2log ,4333.0===c b a ，则( )A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >>6.函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)7. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 38.已知二项式((0)n a >的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中2x 项的系数为84，则a 为（） A. 2 B. 1 C.15 D. 3109.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若满足4b =，则三角形ABC △周长的取值范围为（）A. (5,14]B.C. (8,12]D. (6,12]10.当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )11. 已知2a b +=，若对∀,0a b >，都有220182018310081008t t a b +≥-++成立，则t 的取值范围为（）A. [2,4]-B. [3,3]-C. [2,4]-D. [1,4]-12.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，满足321()23f x x ax bx =+++，'(2)'(4)f x f x +=-，且函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（）A. [64ln 3,)++∞B. [5ln5,)++∞C. [66ln 6,)++∞D. [4ln 2,)++∞二、填空题（每小题5分，共20分）13. .已知(1,2),(3,4)a b ==，则a b +与 a b -夹角的余弦值为 .14. 《九章算术》记载了一个这样的问题，“今有男子善射，日益功疾，初日射3只，日增倍多一”，下图是源于该思想的一个程序框图，.如图所示，程序框图的输出值a 为 .15. 已知函数)(0,120,)(R a x x x a e x f x ∈⎩⎨⎧>-≤+=，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是16.已知BCD AB ⊥平面，∠︒BC=2,BD=4,CBD=120,AB=2，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为________.三、解答题17.（本题满分12分）。

西藏拉萨中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理(无答案)

西藏拉萨中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理（无答案）时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.集合{}23<-∈*x N x 的另一种表示方法是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．B ．C ．D ．3.已知集合{}{}0)1)(2(,2,1,0,1,2<+-=--=x x x B A ，则=⋂B AA.{0,-1}B.{0,1}C.{0,-1,1}D.{0,1,2}4.求函数)1)(5(log )(21x x x f -+=的单调递增区间是 A.(-5,-2) B.(-5,1) C.(-2,1) D.),1(+∞5.已知3log ,4log ,)21(3332===c b a ，则以下关系正确的是 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b6.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,20,1)(2x x x x x x f ，则f(f(3))的值是A.-2B.-6C.-8D.-157.已知0<a<1，则以下结论正确的是 A.a a 22log log > B.a a 22log log > C.a a 22log log < D.a a 22log log <8.已知”的”是条件“则条件“411,2<<-∈x x R xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在同一坐标系中，)10)(21(log 1≠>+==a a x y a y a x 且，的图像可能是10.已知函数⎩⎨⎧>≤-=0,log 0,1)(3x x x x x f ，若f(a)≤1，则实数a 的取值范围是 A.)3,0()0,2(⋃- B.]3,0()0,2[⋃- C.]3,2[- D. )3,2(-11.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且=+=-∈)20(log 512)()0,1(2f x f x x ，则时， A ．-1 B ．54 C ．1 D ．54- 12.设f(x)的定义域为R ，且⎩⎨⎧>-≤-=-0),1(0,12)(x x f x x f x ，若方程f(x)=x+a 有两个不同实根，则a 的取值范围为A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．)1,0(D ．),(+∞-∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数xx x x f 21)(2--=的定义域是____________. 14.已知f(x-1)=2x 2，若f(a)=2，则a=___________.15.若“存在0,2<--∈a ax x R x 使”为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 16.已知==a a 3232log ,94则____________. 三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17.已知集合{}{}023,122≤+-=-≤≤=x x x N a x a x M ，（1）若a=2，求N M C R ⋂)(；（2）若N N M =⋃，求a 的取值范围.18.已知函数xx ae e x f -+=)(是奇函数，（1）求实数a 的值；（2）令g(x)=f(x)-2x ，求不等式g(x 3+1)+g (1-3x 2)>0的解集.19.已知命题p ：“存在a ＞0，使函数()24f x ax x =-在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R ，()21616110x a x --+≠”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围.20.已知函数⎩⎨⎧<+≥=0,29,3)(2x x x x x f x ，（1）作出函数图像；（2）根据图像指出函数的单调区间；（3）根据图像指出函数的最值.21.已知函数f(x)是定义在),0(+∞上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),1)31(=f ，（1）求f(1)；（2）若2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围. 22.已知函数)0()(,12)(22>+=-++-=x x e x x g m ex x x f ，（1）若g(x)=m 有实数根，求m 的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.。

西藏自治区拉萨中学2020届高三数学第二次月考试卷理(含解析)

拉萨中学高三年级（2019届）第二次月考理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合，集合，全集，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域求出中的范围确定出，接着根据补集的定义求出，最后求出两集合的交集即可．【详解】由中，得到，即，解得或，即，则，结合，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了交集及其运算，准确求出集合，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知为虚数单位，且满足，则所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】通过，解出，得到，根据复数的几何意义，即可得到结论.【详解】∵，∴，∴，对应的坐标为，位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算以及共轭复数的概念即可得到结论，比较基础.3.下列命题中，为真命题的是（）A. ，使得B.C. D. 若命题：，使得，则：，都有【答案】D【解析】【分析】由指数函数的值域，即可判断A；由，可判断B；由，计算可判断C；由特称命题的否定，可判断D【详解】恒成立，故A错误；当时，，故B错误；当时，，故C错误；若命题：，使得，则：，都有，则D正确；故选D．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，指数函数的性质，基本不等式的应用条件等，属于基础题.4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝x＋3，则( )A. B. C. D. －2【答案】B【解析】【分析】首先通过函数的解析式求出，再利用函数的奇偶性即可求出最后结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，则，故选B.【点睛】本题考查函数的值的求法函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.5.若,,，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据对数函数的单调性可得，根据指数函数的性质可得，综合即可得最后结果.【详解】∵，又∵对数函数单调递增，∴，综上可得，故选A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，寻找中间量是较常见的方法之一，是基础题.6.函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，根据函数单调递增易得在内恒成立，即，解出即得结果.【详解】∵，∴，∵函数在区间内是增函数，∴在内恒成立，即，∴，故选B．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为是解题的关键，属于中档题．7.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，底面是边长为2的等边三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，底面是边长为2的等边三角形，∴几何体的体积，故选D．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量，属于基础题；正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等，要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算8.已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（）A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】如果是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出的值．【详解】∵二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴，又∵的通项为：，令，解得，又∵展开式中项的系数为，即，解得或（舍去）故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题9.在中，内角，，的对边分别是，，，若满足，，则三角形周长的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先通过三角形内角和以及两角和的余弦公式可得，利用余弦定理以及基本不等式可求出，再由三角形任意两边之和大于第三边求得，由此求得的周长的取值范围.【详解】∵，∴，即，又∵A，B，C为三角形内角，，∴，即，在中，由余弦定理可得，化简得，∵，∴，解得（当且仅当，取等号），∴，再由任意两边之和大于第三边可得，故有，则的周长的取值范围是，故选C．【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.10.当时，函数的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主要利用排除法，通过用函数的零点可排除A，C选项，的变化趋势和的变化趋势，可排除D，进而可得答案.【详解】由，解得，即或，∵，∴，故排除A，C，当趋向于时，趋向于0，故趋向于0，排除D，故选B．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.11.已知，若对，都有成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立，即的最小值为4，由对，都有成立，得，解得，即的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，求得，得到，又由，分离参数得，设，利用导数求解单调性和最大值，即可求解. 详解：由函数，得，又由，可得的图象关于对称，可得，所以，由，可得，可得，即，设，则，可知函数在内单调递增，在区间上单调递减，可知，所以实数的取值范围是，故选C.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题（每小题5分，共20分）13..已知，则与夹角的余弦值为 .【答案】【解析】【分析】由已知向量的坐标可求出与的坐标，然后结合向量的夹角公式可得向量夹角的余弦值.【详解】∵，∴，，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，解题的关键是熟练应用基本公式以及求出向量坐标，属于基础题.14.《九章算术》记载了一个这样的问题，“今有男子善射，日益功疾，初日射3只，日增倍多一”，下图是源于该思想的一个程序框图，.如图所示，程序框图的输出值为 .【答案】63【解析】【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】，执行循环体后，，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，满足退出循环的条件，故输出的值为63，即答案为63.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题.15.已知函数，若函数f(x)在R上有两个零点，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】由函数的解析式作出函数的图象，图象左半部分随着的变化上下移动，右侧是直线的一部分，分析即可得结果.【详解】由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而函数与轴的焦点坐标为，且只需，即即可，故答案为.【点睛】本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．函数的零点表示的是函数与轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．16.已知AB平面BCD,，则三棱锥的外接球的体积为【答案】【解析】【分析】以为底面，为棱构建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据勾股定理即可得到外接球的半径，最后根据体积计算公式即可得结果.【详解】以为底面，为棱构建直三棱柱，故直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设的中心为，外接球的球心为，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得底面外接圆的半径满足，得，所以外接球的半径满足，即所以球的体积为，故答案为.【点睛】本题已知三棱锥的底面为三角形，求三棱锥的外接球体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，解题的关键是构造出直三棱柱，得到外接球的球心及半径，属于中档题.三、解答题17.已知数列是各项均为正数的等比数列，且满足，数列前项的和为.（1）求出数列，的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义列出关于和的方程组，解出和即可得的通项公式，根据可得的通项公式；（2）利用错位相减法可得的表达式，利用数列的单调性即可得结果 .【详解】(1), ,解得：可知：,中，，当时，，（2），…①…②①②得：，，，可知单调递增，可知【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.已知在四棱锥中，，，E为PC 的中点，，（1）求证：（2）若与面ABCD所成角为，P在面ABCD射影为O,问是否在BC上存在一点F，使面与面PAB所成的角为，若存在，试求点F的位置，不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）当F为BC的中点时，两平面所成的角为.【解析】【分析】（1）连接，取的中点，连接，通过证明为平行四边形，得到，根据线面垂直判定定理即可得结论；（2）作,结合可知为点在面的射影，，以为坐标原点，分别以,,为，，轴，建立空间直角坐标系，设，求出面和面分别为和，结合夹角为，求出即可. 【详解】（1）证明：连接BE，取PD的中点H，连接AH，则又，可知且，可知ABEH为平行四边形，故，所以.（2）面面，,作,可知为点在面的射影，，以为坐标原点，分别以,,为，，轴，建立空间直角坐标系，，，,由可知，，，，，设,，，，，可知，设面的法向量为，，，，设面POF的法向量为，，可知，可知，可知，解得，可知当F为BC的中点时，两平面所成的角为. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，该题主要通过构造平行四边形得到线线平行，进而得到线面平行，利用向量法解决面面角问题，即二面角夹角的余弦值等于两平面法向量夹角余弦值的绝对值.19.某学校为了研究期中考试前学生所做数学模拟试题的套数与考试成绩的关系，统计了五个班做的模拟试卷套数量及期中考试的平均分如下：套（x）7 6 6 5 6数学平均分（y）125 120 110 100 115(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某班做了8套模拟试题，预计平均分为多少？（2）期中考试对学生进行奖励，考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的学生生将不能获得奖学金。

西藏拉萨中学高二上学期第二次月考数学试卷含答案

拉萨中学高二年级（2021届）第二次月考数学试题一、选择题（10×3=30分）1．已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A I （） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[2．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，51,763==S a ，则公差d 的值为A. 2B. -3C. 3D. 43．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（）A ． a 1< b 1B ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．-b 1<-b 14．不等式2+30x y -≤表示的平面区域（用阴影表示）是（）75．在ABC ∆中，已知B a A b cos cos =，判断ABC ∆的形状（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边长分别为a ，b ，c ，且22tan 2,3,tan A a c b C -==则b 等于（）A ．3B ．4C ．6D ．77．设实数,x y 满足约束条件324040640x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．8B ．-8C ．5D ．-58．已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于 ( )A ．3∶1∶2B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．1∶2∶39．在等差数列{n a }中，若10a 9=19，10a 5=7，则公差d=（）A ．2B ．3C ．4D ．510．在△ABC 中三条边a,b,c 成等差数列,且10a =1,B=,则△ABC 的面积为( )A ．23B ．43C ．435D ．4311．若角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()sin cos tan 22πθπθπθ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭（） A.43 B. 43- C. 34 D. 34-12．已知两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的整数n ，都有2372+-=n n T S n n ，则1115b b а+937b b а++等于（）A ．1B ．73C ．3522D ．715二、填空题（4×5=20分）13．已知o<,x y <1，则函数f （,x y ）=18,x y （1-,x y）的最大值为 . 14．已知ABC ∆中，4,45AB BAC =∠=︒，AC =32ABC ∆的面积为 .15．设函数f(,x y )=246,0,6,0,x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f(,x y )>f(1)的解集是 .16．已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ，那么=+)cos(53a a ．三、解答题（共70分，17题10分其余的都是12分）17.(本小题满分10分) 解不等式组26803 2.1x x x x ⎧-+≥⎪⎨+>⎪-⎩，18.（本小题满分12分）设函数f （,x y）=3Sin 2x+SinxCosx （1）求f （,x y ）的最小正周期T ；（2）求f （,x y ）在区间［3л,65л］上的值域。

2021届西藏拉萨中学高三上学期第四次月考数学(理)试卷 PDF版

各种算法,成为元代著名数学家.他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负
开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识
为宗旨的《算学启蒙》,其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何
日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a,b 分别为 3,1,则输出的 n （）
数列.
（1）求 an 及 Sn ；
（2）设 bn
1 a2
n1
1
(n
N*) ，求数列bn 前
n
项和 Tn
.
18.（本小题满分 12 分）为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪
场的收费标准是滑雪时间不超过 1 小时免费,超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(超过部分不足 1 小
拉萨中学高三年级（2021 届）第四次月考理科数学试题
（满分：150 分，考试时间：120 分钟。请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A {x | (x 2)(x 1) 0}, B {x | y 1 x},则 A B ( )
(2) 若 f x 在 0, 上单调递增,且 c e2ab 求c的最大值.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1
的极坐标方程为 cos 4 .
等),满足 OM ON 1 OQ ,且直线 HM 与直线 HN 倾斜角互补？若存在,求出直线 MN 的方程,若不存在, 2

西藏自治区拉萨中学2021-2022高三数学第四次月考试题理(含解析)

2021届西藏自治区拉萨中学高三第四次月考数学（理）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设集合，集合，则等于A ． B ． C ． D ． 3．下列命题中正确的是 A ．若为真命题，则为真命题 B ．若则恒成立C ．命题“”的否定是“”D ．命题“若则”的逆否命题是“若，则”4．已知数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+，则“1a =-”是“{}n a 为等比数列”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件 5．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为A ．B ．C ．D ．6．在ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若23A π=， 2b =， ABC 的面积为3，则a =A ．6B ．10C ．23D ．14 7．已知，则A ．B ．C ．D ．8．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则A ．7B ．8C ．15D ．169．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为A ．5B ．C ．D ．10．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则的系数为A ．50B ．70C ．90D ．12011．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为 A ． B ． C ． D ．12．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，，且.则不等式的解集是 A ． B ． C ． D ．二、解答题13．已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．14．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望.15．如图，多面体ABCDEF 中， ABCD 是正方形， CDEF 是梯形， //EF CD ，12EF CD =， DE ⊥平面ABCD 且DE DA =， M N 、分别为棱AE BF 、的中点．（Ⅰ）求证：平面DMN ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值．16．已知椭圆1C ： 22221x y a b += (0)a b >>的离心率为63，焦距为422C ：22x py = (0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点.（1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ， Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ ∆的面积.17．已知函数()()223e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．18．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．19．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．三、填空题20．已知，若与平行，则m=__________．21．设满足约束条件，则的取值范围为__________．22．一艘轮船以246/km h 速度向正北方向航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°方向，1小时30分钟后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东75°方向上，则灯塔S 与B 的距离为__________ km ．23．双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左右两支上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是 ____．2021届西藏自治区拉萨中学高三第四次月考数学（理）试题数学答案参考答案 1．D 【解析】()12i z i -=+， ()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+， 13213i,i,22z z =+=+ 13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.2．D 【解析】【分析】解出不等式解集得到，集合，根据集合交集的概念得到结果. 【详解】 , 故答案为：D. 【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．3．B 【解析】【分析】A, 为真命题,则只要求p 或者q 中有一个是真命题即可, 为真命题，则要求两者均为真命题,可判断真假；，令，对函数求导研究函数的最值得到函数大于0恒成立，即可得到结果正确；C ，存在量词的否定是，换量词否结论，不变条件，可判断正误；D ，逆否命题为：既否结论又否条件.【详解】A, 为真命题,则只要求p 或者q 中有一个是真命题即可，为真命题，则要求两者均为真命题，故不正确；B ，令，恒成立，在单调递增，，,B 为真命题； C. 命题“”的否定是，故选项不正确； D. 命题“若则”的逆否命题是“若，则”故选项不正确. 故答案为：B.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．（2）可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．4．A【解析】数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+ (1), 2n ≥时, 113n n S a --=+ (2), (1)- (2)得:()1232n n a n -=⨯≥,又113a S a ==+,1a ∴=-时, {}n a 为等比数列;若{}n a 为等比数列,则1a =-,即“1a =-”是“{}n a 为等比数列”的充要条件,故选A.5．B 【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6．D【解析】由23A π=，b =， ABC12c sin 23b π=⨯⨯⨯，从而有c =由余弦定理得: 222a 2284b c bccosA =+-=++,即a = 故选：D 7．C【解析】由题意易得：，，， ∴ 故选：C 8．C 【解析】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式。