简单线性规划2

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3.3.2-简单的线性规划问题-课件2(人教A版必修5)

课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升
说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：
①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.
②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．
③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
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解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10，由题意知0x.≥3x0＋，0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
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解方程组x7＋ x＋2y1＝0y＝3，17，得 M(1,1)．
故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
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方法点评：在确定 z 的最小值时，要抓住 z 的几何意义，即 y＝－35x＋5z.
图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．
答案：0
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4.在如图所示的区域内， z＝－x＋y的最大值为 ________．
解析：因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距最大，最大值为2.
答案：2
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3.3.2简单的线性规划问题

变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
名称约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数
（3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤．
学习重点：线性规划的图解法
学习难点：寻求线性规划问题的最优解
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型题型一求线性目标函数的最值题型二线性规划的实际应用 3.自主学习教材P87-P91 3. 3.2简单的线性规划问题
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,y N)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12

简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85，又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

简单的线性规划二(使用)

－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在
点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为
________．
[ 解 ] 由约束条件画出可行域 ( 如图 6 所示 ) ，为矩形 ABCD(包括边界)．点 C的坐标为 (3,1)， z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
目标函数为 z＝200x＋150y，画出可行域如右图 8 所示．
作出直线 l：200x＋150y＝0，即直线 4x＋3y＝0.当 l 经过平移过可 20 60 行域上的点 A( 7 ， 7 )时，z 有最大值，由于 A 的坐标不是整数，又因为 x，y∈N，所以 A 不是最优解．调整最优解： 37－4x 由 x，y∈N，知 z′＝4x＋3y≤37，令 4x＋3y＝37，即 y＝ 3 ， 5 代入约束条件①，②，可解得 ≤x≤2，由于 x∈N，得 x＝3，但此 2 25 时 y＝ 3 ∉N.
到直线 ax＋by＋c＝0 距离的 a ＋b 倍
2
2
．
2x＋ y－ 2≥ 0，例 1 已知实数 x， y 满足x－ 2y＋ 4≥ 0， 3x－ y－ 3≤ 0， y＋1 (1)试求 z＝的最大值和最小值； x＋ 1 (2)试求 z＝ x ＋ y 的最大值和最小值．
变式4 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类
产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，
乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品 140件，所需租赁费最少为________元．
斜率；

《简单的线性规划》教学设计2

《简单的线性规划》教学设计一、内容和内容解析线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数形结合方法求出最优解。

与其它部分知识的联系，表现在：二、目标和目标解析本课时的目标是：1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关概念．了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．2．掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步骤．会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一族平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答．3．培养学生数形结合的能力．对模型中z的最小值的求解，通过对式子的变形，变为，利用数形结合思想，把看作斜率为的平行直线系在y轴上的截距．平移直线，使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过M（4，2），得出最优解x＝4，y＝2．三、教学问题诊断分析线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通过第1课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上，继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．将决策变量x，y以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性规划问题的过程。

26-简单的线性规划问题(2)

3.3.2简单的线性规划问题(2)教材分析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.课时分配本课时是简单的线性规划问题的第二课时，主要解决的是线性规划的应用问题.教学目标重点: 掌握约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.难点：理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.知识点：图解法求线性目标函数的最大值、最小值.能力点：函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想的运用.教育点：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.自主探究点：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力.考试点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.易错易混点：线性规划问题和非线性规划问题的区分于解决.拓展点：非线性规划问题.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式诱思探究一、复习引入简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.【设计意图】通过复习进一步熟悉解决简单线性规划问题的具体操作程序．二、探究新知请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求2z x y =+的最大值，使式中的x y 、满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当0,0x y ==时，20z x y =+=，点(0,0)在直线020l x y +=：上.作一组与直线0l 平行的直线2,l x y t t R +=∈：.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点(2,1)A -的直线所对应的t 最大.所以max 2213z =⨯-=.（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线35x y t +=在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)--的直线所对应的t 最小，以经过点917(,)88的直线所对应的t 最大.所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-, max 917351488z =⨯+⨯=. 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.三、运用新知【例1】某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t ，需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过300t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt yt 、，利润总额为z 元，那么104300,54200,49360,0,0;x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩目标函数为6001000z x y =+.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线6001000=0l x y +：, 即直线5=0l x y +：3,把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时6001000z x y =+取最大值.解方程组54200,49360,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为3601000(,)2929. 答：应生产甲产品约12.4t ，乙产品34.4t ，能使利润总额达到最大.【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.【例2】在上一节例4中（课本85页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生：若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数0.5z x y =+,可行域如右图：把0.5z x y =+变形为22y x z =-+,得到斜率为2-，在y 轴上截距为2z ,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线22y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点(2,2)M ,因此当2,2x y ==时，0.5z x y =+取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.四、课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设0t ，画出直线0l .（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.五、布置作业课本第93页习题3.3 B 组1、2、3.拓展作业：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.六、反思提升1. 让学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏的做法是明显的亮点.2.本节课的不足之处是由于整堂课课堂运算量较大，画图用时较多，后续的内容未能完成.七、板书设计。

第一部分第三章 3.3 第二课时简单的线性规划问题

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5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元．
3.3
第三章
二元一次不等式组
第二课时
简单
不等式
与简单的线性规划
的线性规划问题
问题
理解教材新知把握热点考向应用创新演练
考点一考点二考点三
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第二课时简单的线性规划问题返回
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现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟，y分钟，试ห้องสมุดไป่ตู้出满足条件的不等关系．
答案：9
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2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标为____________．
解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0. 答案：(1,1)
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[例 2]
0≤x≤1 (2011·苏北四市三调 )在约束条件 0≤y≤2 2y－x≥1
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[一点通] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺． (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题． (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．

高中数学五第三章3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)【教案】

3。

2简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。

2．能力目标: 1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。

3．情感目标: 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识,激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解.三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法,通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即（一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计:引导学生通过主动参与、合作探讨学习知.来源:学四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节:1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法;4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结;6、布置作业,巩固提高._五、教学过程设计①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化。

简单线性规划问题2

简单的线性规划问题
例1（配餐问题）
营养学家指出，成人日常饮食每天至少要摄入 0.075kg碳水化合物,0.06ห้องสมุดไป่ตู้g蛋白质和0.06kg脂肪。现有A,B两种食物，在每千克A中含0.105kg碳水化合物， 0.07kg蛋白质、0.14kg脂肪，花费为28元，在每千克B 中含0.105kg碳水化合物， 0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪，花费为21元，为了满足营养学家指出的日常要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多
② 174xx174
y y

6 6

x0
y 0
4 7
3 7
2 7
1 7
0
1 2 3 4 5 6x
7 7 7 7 77
14x 7 y 6 7x 7 y 5
7x 14 y 6
y 设z=28x+21y，求z的最小值。第一步：点（x，y）在此
6
平面区域内运动时，如何
7
求z=28x+21y的最小值。
5 7
4
7
M
3 7
2 7
第二步：由z=28x+21y得：
y

4x 3
z 21
，当这族
直线与此平面区域有公共点，求z的最小值。
1 7
N
第三步：在区域内找一点，
使直线经过该点时在y轴
上的截距最小。
0
1 2 3 4 56x
7 7 7 7 77
14x 7 y 6 7x 7 y 5 7x 14 y 6
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用

2、画出Z=2x+y对应的方程0=2x+y的图像
y-x=0
5
4、根据0=2x+y平移到区域的最后一个点时有最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,

3.3.2简单的线性规划问题2

[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15， x＋2y≥18，可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0.
且 x、y 都是整数，
求目标函数 z＝x＋y 取最小值时的 x、y.2 分作可行域如图所示，6 分
18 x＝ 5 ， x ＋ 3 y ＝ 27 ， ∵ ∴ 2x＋y＝15， y＝39， 5 平移直线
18 39 ∴A 5 ， 5
18 39 z＝x＋y，可知直线经过点 5 ， 5 ，此时
x＋y
18 39 57 18 39 ＝5，但 5 与 5 都不是整数，所以可行域内的点 A 5 ， 5 不
是最优解.8 分
方法一：平移求解法首先在可行域内打网格，其次描出
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．解析：
x＋y－3≥0 作出线性约束条件2x－y≤0 y≤a
表示的平面
区域，如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数 a的取值范围是[2，＋∞)． • 答案： [2，＋∞)
∴A′(3,3)是最优解．所以，甲、乙两种药片各用 3 片配餐最好．
•
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1) 处取得最大值，则a的取值范围为________．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①可行域已知； • ②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大值． • 解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
• 1 ．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤 • (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． • (2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是所需要的点． • (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．

3.3.2简单的线性规划问题(2)

解：设每天调出的A型车x辆，
B型车y辆，公司所花的费用为 z元，则
y
4x+5y=30
x+y=10
x=8
{
x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30 x,y∈N* Z=320x+504y
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=4
X
作出可行域作出可行域中的整点，
可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元
320x+504y=0
方法归纳：运用线性规划解决问题时，必须清楚目标函数的几何意义。 y A(2,4)
ห้องสมุดไป่ตู้
练习3：
B(-1,2)
如图1所示，已知△ABC中的三顶点 A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y) 0 C(0,1) 在△ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：（图1） ① z=x+y 在_____处有最大值___，在____处有最小值____； ② z=x-y 在___处有最大值____，在____处有最小值____； ③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的情况有无穷多个？ ④ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别在A处、B处、C处取得？ ⑤ (思考）若目标函数是 z=x2+y2 ，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得
x
zmin和zmax
y 1 2y 3 呢？或z ？如果是 z x x 1
课堂小结：
二元一次不等式表示平面区域直线定界，特殊点定域约束条件目标函数简单的线性规划可行解可行域
应用
求解方法：最优解图解法；应用题设-列-解-联-答

简单的线性规划

z
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
ì 0.105 x + 0.105 y 0.075 ï ï 0.07 x + 0.14 y 0.06 ï ï í 0.14 x + 0.07 y 0.06 ï ï x³ 0 ï ï î y³ 0
ì 7x +7 y 5 ï ï 7 x +14 y 6 ï ï í 14 x + 7 y 6 ï ï x³ 0 ï ï î y³ 0
目标函数为
z=28x+21y
考虑z=28x+21y可变形为
4 z y =- x+ 3 21
y
M
可以看成x、y的直线方程， 4 斜率为
3
，在y轴上的截距为 z ，当 21 最小时，z
z 21
也最小.
0
7x+14y=6
当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.
x
7x+7y=5 14x+7y=6
平移直线可以容易得到最小截距 z ，此时直 21 线经过可行域的点M.
二、用量最省问题
例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：规格类型 A规格 B规格 C规格
钢板类型
第一种钢板 2 第二种钢板 1
1 2
1 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、 27块.问各截得这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格产品，且使所用钢板张数最少？
合作探究
（一）根据题中条件，完成下列表格
A规格第一种（张）第二种（张） B规格 C规格
x张第一种
y张第二种合计总数

3.3.2 简单的线性规划问题(二)

巩固练习一
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？解：将已知数据列为下表：
教师年薪万元
2／人
2／人
初中
高中
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600 元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
小结
巩固练习二
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
y _
目标函数为：z =0.7x +1.2y
把直线l向右上方平移至l1的位置时， _00 4 直线经过可行域上的点C，且与原点 3 _00 距离最大，此时z =0.7x +1.2y取最大值 7 _ x + 12 y = 0 解方程组
C _ ( 200 , 240 ) 3 _ x + 10 y = 3000
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmin＝3

3.3.3简单的线性规划问题(2)

3.3.3简单的线性规划问题（2）
一、学习目标
1.通过本节学习，能解决与线性规划相关的实际问题，学会从实际情境中抽象出二元线性规划的模型；
2.培养学生观察、联想以及作图能力，渗透集合以及数形结合的数学思想。

教学重点、难点 :从实际问题中抽象出线性规划问题的模型。

二、课前自学
在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
921432y x y x y x 下，求目标函数的S =3x +2y 的最大值，
并求出此时的x ,y 的取值.
三、问题探究
例1.投资生产A 产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B 产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可获利最大？
例2.某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t. 该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员。

每辆卡车每天往返次数为A型车4次，B型车3次。

每辆卡车每天往返的成本费A型车320元，B型车为504元。

试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。

四、反馈小结
反馈：必修五P86 练习4
1.某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。

现有两种规格原料，甲规格每张3平方米，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2平方米，可做文字标牌2个，绘画标牌1 个。

求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
小结。

高中数学第三章不等式4简单线性规划第2课时简单线性规划学案(含解析)北师大版必修5

第2课时简单线性规划Q情景引入ing jing yin ru某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？X新知导学in zhi dao xue1．线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数z＝ax＋by＋c叫作目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组最优解可行域内使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题可行解满足约束条件的坐标，称为可行解可行域由所有可行解(x，y)组成的集合称为可行域(1)作出可行域．(2)作出直线l0：ax＋by＝0.(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．Y预习自测u xi zi ce1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( C )A．该直线的截距B．该直线在y轴上的截距C．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在x轴上的横截距[解析] 把目标函数变形为y＝3x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．2．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x 辆6吨的汽车和y 辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( A )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y3．(2019·浙江卷，3)若实数 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则 z ＝3x ＋2y 的最大值是( C )A ．－1B ．1C ．10D ．12[解析]如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C ．4．(2018·全国卷Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为7.[解析] 画出可行域及直线x ＋3y ＝0，平移直线x ＋3y ＝0，当其经过点A (1,2)时，直线的纵截距最大，所以z ＝x ＋3y 的最大值为z ＝1＋3×2＝7.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨求线性目标函数的最值问题例题1 设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值和最小值．[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x ，y 的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.『规律总结』在求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值时，根据y 的系数的正负，可分为以下两种情形求最值．1．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b >0的最值．在线性约束条件下，当b >0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向，若把l 0向上平移，则对应的z 值随之增大；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之减小，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 2．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b <0的最值．在线性约束条件下，当b <0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向：若把l 0向上平移，所得相应z 值随之减小；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之增大，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．〔跟踪练习1〕(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( C )A ．7B ．8C ．10D ．11(2)(2018·全国卷Ⅲ理，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] (1)画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C ．(2)由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.命题方向2 ⇨求非线性目标函数的最值问题例题2 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[分析] (1)其中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y )到(0,5)距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1的几何意义为平面区域内的点(x ，y )与⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解．[解析] 作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5) 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故 |MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322. |MN |2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72]．『规律总结』对于目标函数不是直线的形式，这类问题常考虑目标函数的几何意义． (1)形如y －bx －a的式子，表示动点M (x ，y )和定点N (a ，b )连线的斜率k . (2)形如x －a2＋y －b2的式子，表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离|MN |；而(x －a )2＋(y －b )2表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离的平方，即|MN |2.(3)形如|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的式子，表示动点M (x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ；而|ax ＋by ＋c |表示a 2＋b 2d .〔跟踪练习2〕(1)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为255.[解析] 本题考查不等式组表示平面区域，点到直线距离公式等．区域D 如图所示：则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5＝255.(2)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.①求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； ②求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解析] 画出满足条件的可行域，如图阴影部分所示．①u ＝x 2＋y 2表示可行域内的任一点与坐标原点距离的平方，由图可知，u max ＝|OC |2＝73，u min ＝0.②v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.命题方向3 ⇨已知目标函数的最值求参数例题3 已知变量x 、y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为(1，＋∞).[分析] 作出可行域，平移直线使其过(3,1)点时，在y 轴上的截距也取得最大值．[解析] 由约束条件画出可行域(如图所示)．为矩形ABCD (包括边界)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时使直线在y 轴上的截距最大， ∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1.『规律总结』这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．〔跟踪练习3〕本例中，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的范围又是什么？ [解析] 若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，此时a ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤10x ＋4y ≤11x ∈Z ，y ∈Zx >0，y >0.求S ＝5x ＋4y 的最大值．[误解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A (95，2310)时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝915.因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是C (1,2)，这时S ＝13，所要求的最大值为13.[辨析] 显然整点B (2,1)满足约束条件，且此时S ＝14，故上述解法不正确．对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t ＝Ax ＋By 的图像，则最优解是在可行域内离直线t ＝Ax ＋By 最近的整点．[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l: 5x ＋4y ＝0，平行移动直线l 经过可行域内的整点B (2,1)时，S max ＝14.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu简单的线性规划问题⎩⎪⎨⎪⎧约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解线性目标函数最优解的确定整数线性规划问题的解法非线性目标函数的最值求解。

3.3.3简单的线性规划问题(2)(2015年人教A版数学必修五导学案)

2、若点 P 满足 ( x 2 y 1)(x y 3 0) ，求 P 到原点的最小距离．
【课后巩固】
1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每 3 份李子汁加1 份苹果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是 2000 L 李子汁和 1000 L 苹果汁，又厂方的利润是生产 1L 甲种饮料得 3 元，生产 1L
课题：3.3.3 简单的线性规划问题（2）导学案
班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】 1、能够将实际问题抽象概括为线性问题； 2、能用线性规划的知识知识解决实际问题的能力．【课前预习】 x y 2 2 2 1．已知 x， y 满足 x 2 ，则 x y 的最小值是__________． y 2
4．设实数 x， y 满足不等式组
1 x y 4 ． y 2 2 x 3 y 2
（1）求作此不等式组表示的平面区域；（2）设 a 1 ，求函数 f ( x，y) y ax 的最大值和最小值．
例 2、某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送 180t ．该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为 A 型车 4 次，B 型车 3 次．每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．
x y 2 0 y 2．设实数 x， y 满足 y 1 ，则的最大值是__________． x x 4 x y 3 y 1 3．已知 x， y 满足约束条件 x 1 ，则的最大值是__________． x 1 y 1