留数在求实积分中的应用

其中 z1, z2 ,, zs 为 R(z ) 在上半平面上所有的极点.
y
k 1
CR [R, R]
CR
( R 1)
.z .z
R
1
s
.z . .z
k

2
x
O
R
ÑR( z )dz
(1)
CR
R( z )dz R( x)dx
R
R
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
2
d 2 (a 1) a 1 a 1 Example. I 0 ? 2 a sin a 1 dz 2dz I z 1 z 1 z 2 2aiz 1 1 1 [a ( z )]iz 2i z 2 2 2 2iRes[ 2 , z1 ] 2i 2
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
2
1.积分 0 R(cos , sin ) d 的计算 设 R( x, y)为关于 x, y 的有理函数，且在 x 2 y 2 1 上连续. 目的是为了确保将 R( x, y) 写成关于的函数 f (z )时,在单位 圆周上积分有意义或积分存在. i 令 e z ，则
(1)对于求有理函数积分常 用的手法是将被积函数 分解成简单分式的和。 1 a2 b2 I 2 [ 2 2 ]dx 2 2 2 a b x a x b 1 x x 1 2 [a arctan b arctan ] 2 [ a b] 2 2 a b a b a b a b z2 (2)由于R( z ) 2 在上半平面有两个简单 极点ai, bi(a 0, b 0) 2 2 2 ( z a )(z b )
dx 1 x 2
( R )
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§3 留数在定积分计算中的应用
2.积分 R( x) d x 的计算 设 R(x) 是有理函数，其分母的次数至少比分子的次数高二次， (否则该广义积分发散)且在实轴上连续(否则发散)，则 s R( x) d x 2i Res[ R( z ), zk ] ,
z z0
推论2 设 f ( z )
P( z ) ， P(z ) 和 Q(z ) 在 z0 处解析，如果 Q( z ) Q( z0 ) 0, Q( z0 ) 0 ，则 P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q( z0 )
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上次课主要内容回顾
定理（留数定理）若函数 f (z ) 在单连通区域 D 内除有限个 C 孤立奇点 z1, z2 ,, zn 外解析， 是 D 内包含所有奇点的正向 简单闭曲线，则 n C f ( z ) d z 2i Res [ f ( z ), zk ] .
1 1 1 1 dz cos ( z ), sin ( z ), d . 2 z 2i z iz 2 1 1 1 1 dz R(cos , sin ) d z 1 R[ ( z ), ( z )] 0 2 z 2i z iz
Ñ f ( z )dz 2 i Res[ f ( z ), zk ].
k 1 k 1 k 1
(1)
p
s
l



R( x)dx 2i Res[ R( z ), zk ]
k 1
l
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用



R( x)dx lim R R( x)dx lim 0 R( x)dx
R1
1
0
R2
p.v. R( x)dx lim
z2 z2 Res[ R( z ), ai] lim( z ai) 2 lim 2 2 2 z ai ( z a )( z b ) z ai ( z ai)( z 2 b2 ) a 2 a b 2 2 2 2 Res[ R( z ), bi] 2ai(b a ) 2i(a b ) 2i (b 2 a 2 )
留数计算方法之二 设 z0 为 f (z ) 的 m 级极点，则有
1 d m1 Res[ f ( z ), z0 ] lim [( z z0 ) m f ( z )]. (m 1)! zz0 d z m1
推论1 若 z0 为 f (z ) 的简单极点，则
Res[ 来自百度文库 ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ).
k 1
ei z
1 1 1 1 1 z f ( z ) R[ ( z ), ( z )] 其中 ， 1, z2 ,, zs 为 f (z ) 在 2 z 2i z iz z 1中的所有孤立奇点（极点）. y
z 1
.z .z
1
s
O
.z . .z
k
x
2
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
corollary1
a b I 2 i 2 2 2i(a b ) a b
NUDT
练 习 题
Exercise. I 0
3

x2 dx ? 6 x 1
1 d ( x3 ) x t 1 dt 1 1 (1) I arctan t 0 ( 0) 0 ( x3 ) 2 1 3 0 t 2 1 3 3 3 2 6
z 1 s
1 1 1 1 1 z 其中 f ( z ) R[ ( z ), ( z )] ， 1, z2 ,, zs 为 f (z ) 在 2 z 2i z iz z 1中的所有孤立奇点（极点）.
k 1
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
2 0

1 1 1 1 dz R(cos ,sin ) d Ñ R[ ( z ), ( z )] z 1 2 z 2i z iz s 2i Res[ f ( z ), zk ].
R C R
要说明： R( z )dz 0 lim
由以知R( x)是有理函数且分母次数至少比分子的高两次则 lim z 2 R( z ) A ( A为有限数)
z
有界性：R0 , M ，当 z R0时有 z 2 R( z ) M R( z )
M z
( 2
M ) 2 R
.
设 f (z ) 在 0 z z0 内的洛朗级数为
Cn C1 f ( z) Cn ( z z0 ) n z z 0 n 0 ( z z0 ) n
留数计算方法之一
Res[ f ( z ), z0 ] C1
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上次课主要内容回顾

使用这种方法有待解决的问题: 对被积函数有一定的要求,但遇到的被积函数 往往都是一些简单的初等函数或复合函数,所 以要推广到复数域都比较容易. 比较困难的是如何将定积分的积分区间与积分 曲线特别是简单闭曲线联系起来.
NUDT
2
§3 留数在定积分计算中的应用
1.积分 0 R(cos , sin ) d 的计算 这是一类典型的含有三角函数的积分,常用的解法是 作代换使积分有理化,当然选用的代换式将视被积函数情 况而定. 如果要用留数来计算这样一类积分,首先要考虑的问 题是:借助什么代换将二者即这样的含有三角函数的 积分与闭积分联系起来? 回顾:
0
if R( x) is an odd function, i.e. R( x) R( x) then R( x)dx 0

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例

题
x2 Example2. I 2 2 2 2 dx (a b, a 0, b 0) ( x a )(x b )
z2 (2) R( z ) 6 在上半平面上有三个简 单极点： z 1 z1 e 6 , z 2 e
i

i
3 6
, z3 e
i
5 6
( z 6 1 z k ?)
B1 1 1 1 , B2 , B3 . 6i 6i 6i
-

R
R2
(1)
R - R
R( x)dx
(2)

Note1.若(1)收敛则(2)必收敛,但反之未必.
举例. P.V.



xdx 0 而 xdx发散

Note2.

if R( x) is an even function, i.e. R( x) R( x) then R( x)dx 2 R( x)dx and P.V. R( x)dx R( x)dx.
Q C : z z0 r z z0 rei (0 2 ) dz i n Ñ ( z z0 )n1 r C
重要例题 设 n为整数， : z z0 r ，则积分 Ñ C C
dz ? n 1 ( z z0 )

2
0
e
in
2 i 2 d n ( cos n d i sin n d ) 0 r 0
当R R0时，有 R( z )dz R( z ) ds
CR CR
M R 0 ( R ) 2 R
如果取CR : z R，R充分大，使R( z )的全部极点均位于 R内 C (其中在上半平面有 个, 下半平面有l个, P s l ) s
0
( 2)

CR
R( z )dz 2i Res[ R( z ), zk ] 2i Res[ R( z ), zk ] 2i Res[ R( z ), zk ]
I
2
0
2 d a cos a2 1
(a 1)
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用
y
CR
1 Example1. f ( z ) 1 z2
CR [R, R]
( R 1)
R
i
x


R dz dx f ( z )dz CR 1 z 2 R 1 x2
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第五章 留数
§1 §2 §3
孤立奇点 留数 留数在求定积分中的应用
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上次课主要内容回顾
1.留数是如何定义的？ 定义 若 z0 为函数 f (z ) 的孤立奇点，则存在 0使 f (z ) 在 0 z z0 内解析，对该去心邻域中包含 z0 的简单闭曲 线 C ，称 1 C f ( z ) d z Res[ f ( z ), z0 ] C 2i z0 为函数 f (z ) 在 z0 处的留数，记为 Res[ f ( z), z0 ].

(1)
O
R
0

dz 1 R ds 2 0 ( R ) 2 2 CR 1 z CR R 1 1 z (2) 1 2 i f ( z)dz 2 iRes[ f , i] 2 i ( R ) Ñ 2 (1 z ) z i 2i dx dx 1 x 2 验证： 1 x 2 arctan x
k 1
C
C1
.z
C2
.z
2
.
Ck
Cn
.z
n
1
.z
k
.
D
NUDT
§3 留数在定积分计算中的应用

x2
x1
f ( x)dx C f ( z ) d z 2i Res [ f ( z ), zk ] .
k 1
n
通过分析发现:利用留数定理来计算闭积分是非常 有效的方法,特别是当求留数值比较简单时作用更明显. 事实上也可以利用留数来求定积分,尤其是当被积 函数的原函数不易求出时显得更为有用.
z 2aiz 1
2 z 2ai z z1
a 1
a 1
2ai 4a 2 4 zk ai 1 a 2 2
(a a 2 1)i (k 1,2)
z1 (a a 2 1)i 1
( z1 z2 1, 而 z2 1)