2020届山东省潍坊市高三下学期高考模拟考试(一模)数学试题

试卷类型:A
潍坊市高考模拟考试
数学
2020.4
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有 有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}24|30A B x N x ∈-≤＝，，＝，则A B =U A ． {}1,2,3,4 B ．
{}0,1,2,3,4 C ． {}2 D ．{}|4x x ≤
2.甲、乙、丙、四位同学各自对x y ，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r ，如下表: 相关系数
甲 乙 丙 丁 r
-0.82
0.78
0.69
0.87
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？ A ． 甲 B ． 乙 C ． 丙 D ．丁
3.在平面直角坐标系xOy 中，点31P （，），将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针方向旋转2
π
后得到向量OQ uuu r ，则点
Q 的坐标是
A ． ()2,1-
B ． ()1,2-
C ． ()3,1-
D ．()
1,3-
4.“1a ＜是“21
0x x a x
∀≥＋＞，”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.函数sin ()x x
x x
f x e e
--=
+在[],ππ-上的图象大致为
6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径4.9cm 、外径1
7.6cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔。

试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位:cm ）
A ． 6250
B ． 3050
C ． 2850
D ．2350
7.定义在R 上的偶函数2x m
f x -（
）＝-1记1n 3,log 5,(2)m a f b f c f -＝（）＝（）＝则
A ． a b c <<
B ． a c b <<
C ． c a b <<
D ．c b a <<
8.如图，已知抛物线C:2
20y px p ＝（＞）的焦点为F ，点00,23)()2
p
P x x >
（是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 相交于点Q ，与过焦点F 且垂直于对称轴的直线交于点A ，B ，AB PQ ＝，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M ，若3PF PQ ＝则
PQ
FM
=
A ． 1
B ．
3 C ． 2 D 5二、多项选择题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 只有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分
9.已知双曲线22
2sin Z 42
x y k k θθπ≠∈-=（，）则不因θ改变而变化的是 A ． 焦距 B ． 离心率 C ． 顶点坐标 D ．渐近线方程 10.下图是（2018年全国教育事业发展统计公报》中1949-2018年我国高中阶段在校生 数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在1949-2018年
A.1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高
B.从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高
C.2010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰
D.2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.9％而毛入学率提高了0.5个百分点
11.已知函数f x （）对x R ∀∈，满足611f x x f x f x ---（）＝（），（＋）＝（＋），若20205,9f a f a ∈（）＝（），［］且f （x ）在59［，］上为单调函数，则下列结论正确的是 A ．
3f （）=0 B ． 8a = C ．f x （）是周期为4的周期函数 D ．y f x ＝（）的图象关于点(1,0)对称
12.如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则
A.若MN PAB AB RQ P P 平面，则
B.存在点S 与直线MN ，使PC SRQ ⊥平面
C.存在点S 与直线M ，使0PS PQ PR u u u r u u u r u u u r
g （
＋）＝ D.111
PQ PR PS
++u u u r u u u r u u u r 是常数
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数
i
2i
a -+是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为____________
14.8
2x ⎫⎪⎭的展开式中2
x 项的系数是__________（用数字作答）
15.已知函数sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ（）＝（＋）（＞＞＜＜）是偶函数，将y f x ＝（）的图象沿x 轴向左
平移
6
π
个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y g x ＝（）.已知y g x ＝（）的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则_____ω=若y g x ＝（）的图象在其某
对称轴处对应的函数值为2-，则g x （）在0π［，］上的最大值为________（本题第一空3分，第二空2分） 16.定义函数f x x x （）＝［［］］，其中x ［］表示不超过x 的最大整数，例如
2-[1.3]=1,[-1.5]＝，[2]=2，当*
[0,)(x n n N ∈∈当）时，f x （）的值域为n A .记集合n A 中元素的个数
为n a ，则
2020
21
1i i
a =-∑值为________ 四、解答题:本大题共6小题，共70分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17、（10分）
△ABC 的内角A ，B 、C 的对边分别为a b c ，，，已知向量,sin ,sin sin m c a B n b a A C --＝（）,＝（+) （1）求C;
（2
33b a ＋＝，求sin A 18.（12分）
在221212421,,,n n b b a b b b b b ①＝＋
②＝＋,③成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.
已知数列n a ｛｝中113.n n a a a +1＝
，＝公差不等于0的等差数列{}n b 满足_________，求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
注:如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 19.（12分）
如图，在等腰直角三角形ADP 中，903A
AD ∠o
＝，＝，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且
BC AD
P，E，F分别是AB，PC的中点，现将△PBC沿BC折起，得到四棱锥P ABCD
-，连接EF. （1）证明:EF PAD
P平面；
（2）是否存在点B，当将△PBC沿BC折起到PA AB
⊥时，三面角P CD E
--的余弦值
等于
15
5
？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由
20.（12分）
研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是
22
:
:
kg
BMI
m
体重（单位）
＝
身高（单位）
中国成人的BM数值标准为:BM＜18.5为偏瘦；18.524
BMI
≤＜为正常;24
BMI≥为偏胖，为了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的45名男性、45名女性为样本,测量了他们的身高和体重数据，计算得到他们的BM值后数据分布如下表所示
BMI标准老年人中年青年人
男女男女男女
BMI＜18.5 3 3 1 2 4 5
18.5≤BMI＜24 5 7 5 7 8 10
BM≥24 5 4 10 5 4 2
（1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人,求至少有1人偏胖的概率;
（2）从该社区所有的成年人中，随机选取
3人，其中偏胖的人数为X ，根据样本数据，以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望;
（3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因， 整理数据得到如下表: 分类
遗传因素
饮食习惯欠佳
缺乏体育锻炼
其他因素
人次
8
12
16
4
请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说明2条措施 21.（12分）
直角坐标系xOy 中，12F F ，分别为椭圆C:22
2210x y a b a b
+＝（＞＞）的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P
为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当12PF F V 为等边三角形时，123PF F S V ＝
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x -＝于点D ，过点O 作OE AP P 交直线4x -＝于点E ，证明11OEF ODF ∠∠＝ 22.（12分）
已知函数2
()2ln ,()a f x x x g x x x
=-=+
（1）设函数f x g x （）与（）有相同的极值点。

（1）求实数a 的值；
（ii ）若对1213x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，，，不等式12()()
11
f x
g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围
（2）0a ＝时，设函数()
sin 1.g x h x e g x --（
）＝（（）)试判断h x （）在0π-（，）
上零点的个数。