系统安全分析方法9

随机变量分类: 离散型随机变量:随机变量(或随机变量组)所取的值是有限个或者可列无 限个，这样的随机变量称之为离散型随机变量； 非离散型随机变量:随机变量(或随机变量组)所取的值不能被一一列举出 来随机变量。
一、随机变量
2、随机变量定义及分类 在例3中，分子位置坐标可以取某一范围内的所有实数值，不尽穷举。分子 的速率和速度三个分量取值也是如此。实际遇到的非离散型随机变量大都有很好 的数学性质，按数学家定义，称之为连续型随机变量。 引入随机变量以后，随机事件就可以通过随机变量来表示了。 如上所说，随机变量随着试验的结果而取不同的值，因而，在式验之前只知道 它可能取值的范围，而不能预知它取什么值。又由于试验的各个结果的出现有一定 的概率，于是随机变量取值也有一定的概率，这一性质显示了随机变量与普通函数 有着本质的区别。 此外，普通函数是定义在实数轴上的，而随机变量是定义在祥本空间上的(样 本空间的元素不一定是实数)，这也是二者的差别。
[例2] 硬币的一面刻着国徽，另一面刻着币值。抛掷一枚硬币，它落地 时哪一面朝上是随机的。我们可以事先约定，令刻着国徽的一面朝上 对应着随机变量X=1，而刻有币值的一面朝上对应着随机变量X=0。 这样，对于并不显现为某某数量如何的随机事件，也照样能用随机 变量把它们标识出来。 [例3]气体分子处于不停的、无规则的热运动之中，任何单个分子所在 的空间位置及运动速度都在随机地瞬息万变。可以把单个分子的速 率取做随机变量，或者把它的速度分量取做随机变量组，还可以把 它的空间位置坐标取做随机变量组。
必然事件
不可能事件
（5）任意买一张电影票，座位号是偶数；
（6）抛一枚硬币，正面朝上；
随机事件
一、随机变量
2、随机变量定义及分类
为了讨论随机事件与相应概率之间的关系，首先要 把随机事件数值化，于是，引进随机变量. 定义:把在确定条件下的随机现象中的每一个随机事
表 1 随机事件w与随 机变量X(w )
预备知识（概率论几个基本概念） 可靠性的基本概念及术语
人的操作可靠度
人机系统对可靠度
人的失误及其控制(自学部分)
预备知识
概率论基本概念
随机变量
概率分布函数
概率密度函数
一、随机变量
1、随机现象： 自然界中的现象
随机现象
确定性现象
随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生，事先不能断定出现哪 种结果，这种现象就是随机现象。 事件 :对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，而试验的 每一种可能的结果，都是一个事件.
三、随机变量的分布函数(2/2)
如果将随机变量X看出数轴上随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x处的的 函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率。分布函数F(x)具有如下性质： 1、分布函数F(x)是一个不减函数；
F x2 F x1 Px1 X x2 0,
在进行定量的系统安全分析时，比如事件树或事故树分析，各种事
件的发生概率(包括:事件树起始事件的发生概率、环节事件成功或失败 的概率、事故树基本事件的发生概率)一般都需要通过分析相关设备或单 元以及人的可靠性来获得。 因此，可靠性分析是系统安全定量分析的基础，在安全系统工程中 占有很重要的位置。
主要内容
P X xk pk
1) pk 0 2) pk 1
k 1
k 1,2,......
(1)
由概率的定义，pk满足如下两个条件：
k 1, 2,....... (3)
(2)
称（1）式为离散性随机变量X的概率分布或者分布律。分布律也可以用 表格的形式表示。
三、随机变量的分布函数(1/2)
一、可靠性及可靠度（P192）
第一节 可靠性的基本概念
可靠度R：研究对象可靠性的量度称为可靠度。 可靠度是指系统、设备或元件等在预期的使用周期(规定的时间)内和规 定的条件下，完成其规定功能的概率。 在可靠度的内涵中包含5个要素： 具体的对象(系统、设备或元件等) 规定的条件 规定的时间 规定的功能 完成功能的概率 其中“规定的功能”不仅依存于具体的对象，同时也依存于规定的时间 和条件。 从某种意义上说，当超出了规定的时间和条件后，系统也未必就会完全 丧失完成规定功能的能力，但此时已无法预期系统应达到怎样的可靠度，因 此再讨论可靠性或可靠度的问题已没有实际意义。
二、离散性随机变量的概率分布
例1：射手进行打靶练习。规定射入区域e1(图2-2)得2分， 射入区域e2得1分，脱靶即射入区域e3得0分。
射击一次所得的分数X是一个离散型的随机变量，它
的所有可能取的值为0, 1, 2。 当然在一次射击之前，X取什么值是不能预知的，但X 取各个可能值的概率是确定的。例如对于射手甲，X取值 的概率分别如表A. 显然，对于不同的射手，尽管射击结果可能取的值 仍是0, 1, 2，但由于射击水平不同，取这些可能值的概率
对非离散型随机变量X，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而就 不能象离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。再者，我们所遇到的非离散型 随机变量通常取任一指定的实数值的概率等于 0，因而我们转而去研究随机变量所
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取的值落在一个区间内的概率 Px1 X x2。但是由于：
Px1 X x2 P( X x2 ) P( X x1 )
x2 x1
2、 0≤F(x) ≤1并且有：
F lim F x 0
x
F lim F x 1
x
以上两个公式可以从几何上加以说明，在图2-4中，将区间端点x沿着数
轴无限向左移动(即x→-∞)，则随机点X落在x左端的概率趋于0，即有F (x→∞)=0。 又若将端点x沿着数轴无限向右移动(即x→∞)，则随机点X落在x右端的 概率趋于1，即有F (x→∞)=1。 3、 F(x+0) =F(x),即F(x)是右连续的。
所以我们只需知道 P( X x2 ) 和 P( X x1 ) 对就可以了。下面引入随机变
量的分布函数的定义.
分布函数（定义）：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F x P( X x )
称为X的分布函数。
表示的是随机变量 落在区间概率
对于任何实数 x1 , x2 x1 x2 有：Px1 X x2 P( X x2 ) P( X x1 ) F x2 F x1 因此，若已知X的分布函数，我们就能知道X落在任一区间{x1, x2}上的概率。 从这意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个 普通的函数，正是通过它我们将能用数学分析的方法来研究随机变量.
量X(w )为一个随机变量。 例1：设盒中有3个白球，2个黑球，从中随便摸取3个球。 考查:在摸取的3个球中黑球的数目。 现给这5个球编号，(1)、(2)、(3)号为白球，(4)、 (5)号为黑球。则“摸取3个球”的可能结果w有十种， 见表1第一列，给出了十种可能里各自摸到的三球 的编号。设随机变量X(w )为每种可能情形下摸到黑 球的数目，其值也列于表1中。
必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 确定事件：必然事件与不可能事件都是在一定条件下确定的现象。
（1）在地球上，抛出的篮球会下落；
（2）随意翻一下日历，翻到的日期为2月31日； （3）乔丹罚球，十投十中； （4）掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后偶数点朝上；
四、连续型随机变量的概率密度函数(2/2)
由性质2知道，介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1. 由性质3知道， X落在区间(x1,x2]的概率P{X1<X≤X2}等于区间(x1,x2]上曲线y=f(x) 之下曲边梯形的面积。
由性质4在f(x)的联系点x处有：
在这里可以看出，概率密度函数的定义域物理学中线密度的定义类似，这就是 为什么称f(x)为概率密度的缘故。 由（4.2）可以看出，如果不计高级无穷小，则有： Px X x dx f ( x)dx 这就表示X落在小区间(x,x+dx]上的概率近似的等于f(x)dx。这里需要指出f(x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与概率P{X=xk}=pk在离散性随机变量理论中 所起的作用类似。
这里，我们看到所选取的随机变量可以取0，1，2三个实数值，区分出了三种不 同的复杂随机事件。而的每种可能是在给定条件下，符合明确要求的一个基本随机 事件，它对应着的一个确定值；但一个确定值（随机变量）却可以对应不止一个基 本随机事件，例如，X=1 就对应着的六个不同的可能情况。
一、随机变量
2、随机变量定义及分类
系统安全分析方法之9
系统可靠性分析
(第9章 人的操作可靠性及其失误的控制)
概述
可靠性技术是为了分析由于机械零部件的故障、或人的差错而使设 备或系统丧失原有功能或功能下降的原因而产生的学科。 故障(物的不安全状态)和差错(人的不安全行为)不仅会使设备或系统 功能下降，而且还是导致意外事故和灾害的原因。
四、连续型随机变量的概率密度函数(1/2)
如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数f(x)，使得对于任何 实数x有：
x
F ( x)

f (t )dt
(4.1)
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称密度函数。
由以上定义式可以看出，连续型随机变量的分布函数是连续函数。 由上述定义可以总结出概率密度函数的基本性质：
w
(1)
(1) (1) (1) (1) (2) (2) (1) (2) (3)
X(w )
(3)
(4) (5) (4) (5) (4) (5) (5) (5) (5)