3.1.2空间向量的数乘运算教案-新人教版选修1-1

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3.1.2 空间向量的数乘运算(一) 教案(人教A版选修2-1)

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa.称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-， ∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ①若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD . 三、巩固练习：作业：OABC D。

高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算(1)课件新人教版选修21

B M
D
向量来分析.
O
N
A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
12
第十二页，共18页。
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
16
第十六页，共18页。
思考 2(课本 P95 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满足向量关系式 OP xOA yOB zOC ( 其中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
加法交换律 a b b a
加法(jiāfǎ)结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的
加、减法实质是一样的.
2
第二页，共18页。
b b
a a
我们知道(zhī dào)平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量 3
第三页，共18页。
一、
与平面向量一样,实数与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如 (lìr ú):
3a a
3a 4 第四页，共18页。
显然,空间(kōngjiān)向量的数乘运算满足分配律及结合律

高中数学第三章 3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2_1

3.1.2 空间向量的数乘运算内容标准学科素养1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．2.理解向量共线、向量共面的定义．3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.提升逻辑推理发展直观想象授课提示：对应学生用书第54页[基础认识]知识点一空间向量的数乘运算预习教材P86－87，思考并完成以下问题平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．(2)|λa|＝|λ||a|.(3)λa的方向．当λ>0时，λa的方向与a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．(4)数乘运算的运算律λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.知识梳理空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.知识点二共线向量与共面向量思考并完成以下问题(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝x a＋y b?提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.知识梳理共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O来说，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB →1．已知空间四边形ABCD ，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AG ，MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( ) A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 答案：C3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案：A授课提示：对应学生用书第55页探究一空间向量的数乘运算[教材P 89练习2]如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′C ′和侧面CD ′的中心．求下列各式中x ，y 的值：(1)AC ′→＝x (AB →＋BC →＋CC ′→)； (2)AE →＝AA ′→＋xAB →＋yAD →；(3)AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→.解析：(1)在正方体中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→， ∴x ＝1.(2)AE →＝AA ′→＋12A ′C ′＝AA ′→＋12AC →＝AA ′→＋12(AB →＋AD →)∴x ＝y ＝12.(3)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC ′→＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)＝AD →＋12AA ′→＋12AB →，∴x ＝y ＝12.[例1] 已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[解析] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →.∴x ＝－12，y ＝－12.(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO → ＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →. ∴x ＝2，y ＝－2.方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化．2．在△ABC 中，若D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．跟踪探究 1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解析：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究二空间共线向量定理及其应用[教材P 99习题3.1B 组2题改编]如图，已知空间四边形OABC 中，OA ＝OB ，CA ＝CB ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：∵E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，BC ，CA 的中点， ∴OE →＝12OA →，OF →＝12OB →，CG →＝12CB →，CH →＝12CA →.∵AB →＝OB →－OA →＝2OF →－2OE → ＝2(OF →－OE →)＝2EF →， ∴AB ∥EF ，且|AB →|＝2|EF →|. 同理HG ∥AB ，且|AB →|＝2|HG →|，∴四边形EFGH 是平行四边形．[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →.因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．跟踪探究 2.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →.∴CE →与MN →共线．探究三空间共面向量定理及其应用[阅读教材P 88例1]如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．题型：空间四点共面的判定方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE →，OF →，OG →，OH →. (2)由向量减法运算得出EG →.(3)由AB →、AC →、AD →的关系得出EG →、EF →、EH →的关系，从而判定E ，F ，G ，H 四点共面． [例3] 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)，因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →. 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．方法技巧 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →； (3)PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．跟踪探究 3.已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM →＋OB →＝3OP →－OA →；(2)OP →＝4OA →－OB →－OM →. 解析：(1)∵OM →＋OB →＝3OP →－OA →， ∴OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋P A →＋PB →， ∴OP →－OM →＝P A →＋PB →， ∴MP →＝P A →＋PB →，∴MP →，P A →，PB →为共面向量， ∴P 与A ，B ，M 共面．(2)OP →＝2OA →＋(OA →－OB →)＋(OA →－OM →)＝2OA →＋BA →＋MA →，根据空间向量共面的推论，点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →， ∴P 与A ，B ，M 不共面．授课提示：对应学生用书第56页[课后小结]利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．[素养培优]混淆共面向量与共线向量的相关结论致误已知e 1，e 2是两个非零空间向量，如果AB →＝e 1－2e 2，AC →＝3e 1＋4e 2，AD →＝－e 1－8e 2，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面C ．A ，B ，C ，D 不一定共面D ．无法确定A ，B ，C ，D 四点的位置关系易错分析由已知条件，AC →与AD →不共线，且AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，由此得(AC →＋AD →)∥AB →.若设AC →＋AD →＝AE →，则A ，B ，E 三点共线，并不是A ，B ，C ，D 四点共线．考查逻辑推理的学科素养．自我纠正因为AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，即AB →＝12AC →＋12AD →，所以由共面向量定理可知AB →，AC →，AD →三个向量共面．又因为A 是公共点，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选B. 答案：B。

高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算(1)导学案人教A版选修2-1

3.1.2 空间向量的数乘运算（一）【学习目标】1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【学习过程】一、自主预习（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（）+4（）；⑵ .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是二、合作探究归纳展示探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？三、讨论交流点拨提升新知：空间向量的共线：32a b -23b a -()()63a b c a b c -+--+-,a b b a b1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是试试：已知，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.四、学能展示课堂闯关例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若，且x +y ＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若，那么t ＝例2 已知平行六面体，点M 是棱AA 的中点，点G 在对角线A C 上，且CG:GA =2:1,设=，，试用向量表示向量.,a b 0b ≠//a b λ5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-,a b 0b ≠OP xOA yOB =+12OP OA tOB =+''''ABCD A B C D -'''CD a ',CB b CC c ==,,a b c ',,,CA CA CM CG变式1：已知长方体，M 是对角线AC 中点，化简下列表达式：⑴ ;⑵⑶变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得： ⑴⑵⑶⑷.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 下列说法正确的是（）A. 向量与非零向量共线，与共线，则与共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D.若向量与共线，则.2. 已知，，若，求实数''''ABCD A B C D -''AA CB -'''''AB B C C D ++'111222AD AB A A +-,,A B C ABC O ,,,P Q R S 22OP OA AB AC =++32OQ OA AB AC =--32OR OA AB AC =+-23OS OA AB AC =+-a b b c a c a b a b λ=32,(1)8a m n b x m n =-=++0a ≠//a b .x五、学后反思※学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.课后作业：。

高二数学选修2-1§3.1.2空间向量的数乘运算导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算利用10分钟阅读教材86~89面，并完成本学案班级：姓名：一、学习目标(1)掌握空间向量的线性运算；(2)掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题；二、知识要点1、空间向量的数乘运算（1）向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作，称为 .当0λ>时，a λ与向量a 方向；当0λ<时，a λ与向量a 方向；a λ的长度是a 的长度的倍. （2）空间向量的数乘运算满足分配率与结合律：分配率：；结合律：； 2、共线向量（1）共线向量定义空间向量,a b 的有向线段所在的直线，则向量,a b 叫做或，记作 . （2）两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 . （3）共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数λ使得O P O A a λ=+，其中a 叫做直线l 的；在l 上取A B a =，则上式可化为；此推论可以用来判断B A P ,,三点共线. 3、共面向量（1）共面向量的概念平行于的向量，叫做共面向量. （2）三个向量共面的充要条件若两个向量,a b 不共线，则向量与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使得 .（3）共面向量的推论空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对),(y x ，使得或对空间任意一点O 来说，有MB y MA x OM OP ++=. 三、典型例题例1.已知正四棱锥ABCD P -，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，若y x ++=，求y x ,的值.例2．在下列命题中正确命题的是 . ①若向量,共线，则向量,所在的直线平行；②若向量,所在的直线是异面直线，则向量,一定不共面； ③若,,三向量两两共面，则,,三向量一定也共面； ④若向量,,共面，则存在实数y x ,，使得a xb yc =+；⑤若有a xb yc =+，则向量,,共面.例3.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11D A 上，且112A =,F 在对角线C A 1上，且A 321=,求证：B F E ,,三点共线.变式：已知四边形ABCD 是空间四边形，H E ,分别是边,AB AD 的中点，,F G 分别是边,CD CB 上的点，且22,33CF CB CG CD ==。

教学设计1：3.1.2 空间向量的数乘运算

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．教学重、难点：共线、共面定理及其应用．教学过程：一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义．二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能．三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μ a )＝(λμ)a. 2．共线向量如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示. 若在l上取AB＝a，则①式可化为OP＝OA＋t AB.如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝x MA＋y MB，或对空间任意一点O来说，有OP＝OM＋x MA＋y MB.是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP＝x OA＋y OB＋z OC，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．四.例题分析及练习[例1]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AM＝12MC，1A N＝2 ND.设AB＝a，AD＝b，1AA＝c，试用a，b，c表示MN.[思路点拨]先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示MN.[精解详析]如图所示，连接AN，则MN ＝AN －AM ＝1AA ＋1A N －13AC＝1AA ＋231A D －13(AB ＋BC )＝1AA ＋23(AD －1AA )－13(AB ＋AD )＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MN 表示为MN ＝MA ＋1AA ＋1A N . 训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝1B B ＋BM ＝1B B ＋12(AD －AB )＝1B B ＋12AD －12AB ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值： (1) OQ ＝PQ ＋x PC ＋y PA ； (2) PA ＝x PO ＋y PQ ＋PD .解：(1)∵OQ ＝PQ －PO ＝PQ －12(PA ＋PC )＝PQ －12PA －12PC ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ＋PA ＝2PO ，∴PA ＝2PO －PC . 又∵PC ＋PD ＝2PQ ，∴PC ＝2PQ －PD .从而有PA ＝2PO －(2PQ －PD )＝2PO －2PQ ＋PD . ∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线．[思路点拨] 分析题意→[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN ＝MC ＋CB ＋BN ＝12AC ＋CB ＋12BF ＝12(BC －BA )＋CB ＋12(BA ＋BE )＝12BC ＋CB ＋12BE ＝12(CB ＋BE )＝12CE . ∴CE ∥MN ，即CE 与MN 共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 解析：BD ＝BC ＋CD ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b ) ＝2a ＋4b ＝2AB ，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF ＝23CB ，CG ＝23CD .求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE ＝12AB ，AH ＝12AD ，EH ＝AH －AE ＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ＝12(CD －CB )＝12(32CG －32CF )＝34(CG －CF )＝34FG ，∴EH ∥FG 且|EH |＝34|FG |≠|FG |.又点F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．试证：EF 与BC ，AD 共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，则EF ＝EA ＋AD ＋DF ，EF ＝EB ＋BC ＋CF .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA ＝－EB ，DF ＝－CF .② 将②代入①中，两式相加得2 EF ＝AD ＋BC . 所以EF ＝12 AD ＋12BC ，即EF 与BC ，AD 共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF ＝x AD ＋y BC 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD ，BC 表示EF . 训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM ＝3OA －2OB －OC B ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0 C ．MA ＋MB ＋MC ＝0D ．OM ＝14OB －OA ＋12OC解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，∴M 与A ，B ，C 必共面．答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2 ，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB ＝λAC ＋μAD ，即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB ＝15AC ＋15AD .从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面．五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP ＝αOA ＋βOB ＋γOC (α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C 共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性．六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在．答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D.14a ＋12b ＋14c 解析：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋12×12(AB ＋AC )＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA )＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1，e 2共面 D ．以上三种情况均有可能解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确．答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP ＝34OA ＋18OB ＋18OC ，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP ＝34OA ＋18OB ＋18OC ＝34OA ＋18(OA ＋AB )＋18(OA ＋AC )＝OA ＋18AB ＋18AC ，∴OP －OA ＝18AB ＋18AC ，∴AP ＝18AB ＋18AC .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32BE －AD 化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB ＋12BC ＝AF ，32DE ＋AD ＝AD ＋DF ＝AF ，故AB ＋12BC －32 DE －AD ＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB ＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝AB －CB ＋CD ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB ＝λAD ，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴1AA ＝1BB ＝1CC ＝1DD ， ∴BE ＝13 1AA ，DF ＝231AA ，∴1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋231AA＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋231AA )＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF .由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E ＝21ED ，F 在对角线A 1C 上，且1A F ＝23FC .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c .∵1A E ＝21AA ，1A F ＝23FC ，∴1A E ＝2311A D ，1A F ＝251AC ，∴1A E ＝23AD ＝23b ， 1A F ＝25(AC －1AA )＝25(AB ＋AD －1AA )＝25a ＋25b －25c .∴EF ＝1A F －1A E ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB ＝1EA ＋1A A ＋AB ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF ＝25EB .所以E ，F ，B 三点共线．。

3.1.2 空间向量的数乘运算(2)(优秀经典公开课比赛教案)

3.1.2空间向量的数乘运算（2）一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。

在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。

教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。

进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。

二、教学目标：1、了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法2、理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3、会用上述知识解决立几中有关的简单问题．三、教学重点：点在已知平面内的充要条件四、教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）复习引入1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（二）、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= x a+y b．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p=x a+y b．充分性：如图，∵x a，y b分别与a、b共线，∴x a，y b都在a、b确定的平面内．又∵x a+y b是以｜x a｜、｜y b｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴ p= x a+y b在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MP xMA yMB=+，①或对于空间任意一定点O，有=++．②分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；OP OM xMA yMB⑵由OP OM xMA yMB=++得：()()=+-+-，∴OP OM x OA OM y OB OM =--++(1)OP x y OM xOA yOB3、巩固训练：课本89页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 3九、板书设计：。

空间向量的数乘运算

O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A

高中数学选修2-1精品教案5：3.1.2空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2空间向量的数乘运算教学目标 1.知识与技能会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．2．过程与方法学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．教学重点：空间向量的概念及线性运算．教学难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．空间向量的线性运算问题导思1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【答案】平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【答案】平面中，实数λ与向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时，λa 与a 方向相同，当λ＜0时，λa 与a 方向相反，λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)图3－1－1OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)运算律：①a ＋b ＝b ＋a ； ②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a .共线向量与共面向量 1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .2．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →. 课堂探究空间向量的线性运算例1如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 的三等分点(靠近A 点)，N 是A 1D 的三等分点(靠近D 点)．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.图3－1－2解 MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N → ＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(AD →－AA 1→)＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c .规律方法用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律． (2)要注意数形结合思想的运用．变式训练图3－1－3如图3－1－3所示，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23(12OA →＋OB →－OA →＋12BC →) ＝12OA →＋23[OB →－12OA →＋12(OC →－OB →)] ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 向量的共线及判定图3－1－4例2 如图3－1－4所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．解 ∵E ，H 分别是AB 、AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12(32CG →－32CF →) ＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形．规律方法1．本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． 2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．变式训练图3－1－5如图3－1－5，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1、AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，判断ME →与NF →是否共线？解由题意：ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12BA →＋CB →＋13A 1A →＝－NB →＋CB →＋13C 1C →＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →，即ME →＝－NF →，∴ME →与NF →共线.向量共面问题例3 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表面三个向量的有向线段又过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．规律方法1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a 、b 、c 共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．2．对空间四点P 、M 、A 、B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．变式训练如图3－1－6，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分图3－1－6别为BB 1和A 1D 1的中点，证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →共面．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →，由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量. 课堂小结1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题. 当堂训练1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＜|b |，则a ＜bB ．若a 、b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB →－AD →＝DB →【解析】向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．【答案】 D2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A3．(a ＋2b )－3(a －b )＝________.【解析】原式＝a ＋2b －3a ＋3b ＝－2a ＋5b . 【答案】－2a ＋5b4．如图3－1－8，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式．图3－1－8(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→；(3)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →.。

高中数学选修2-1精品教案2-3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计

3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标知识与技能1．了解共线向量、方向向量；2．理解共面向量，并掌握判断三点共线与四点共面的充要条件；3．综合运用向量的线性运算及充要条件，进行简单的几何证明。

过程与方法从对直线及平面的认识出发，认识方向向量以及共线、共面的充要条件。

情感态度价值观体会运用向量解决几何问题的简便性。

重点共线向量、三点共线、四点共面难点三点共线、四点共面关键理解点在线上、点在面上的含义。

教学方法及课前准备熟悉平面向量的共线、基本定理。

教学流程一、引入新课提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。

由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。

二、新课讲解思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。

并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。

思考：1.空间中任意两个向量共面吗？2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？3.空间中三点共线上的充要条件是什么?1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r 的直线，那么对空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式t +=①，其中向量a r叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB 的中点公式．（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A 、B 、P 共线。

人教版数学高一选修2空间向量的数乘运算

且平行于已知向量a的直线，那么对任一点直线l上的充要条件是存在实数
①式可化
的中点，此时
1
2 OP=
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．
．共面向量定理：
B
A aα
MP xMA yMB =+活动三：合作学习、探究新知22PB PC +，即2PA PB =--所以，点P 与,,A B C 共面．
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C P89：1 ABCD ，从平面AC 外一点2）平面AC //平面EG ．
1）∵四边形ABCD
,,F G H 共面；
EF OF OE =-所以，平面//AC 平面EG ．
(1)b x yp =+，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。

,,,E F G H 分别为正方体1AC 的棱11111111,,,A B A D B C D C 的中点，。

3.1.2 空间向量的数乘运算教案

3.1.2 空间向量的数乘运算一、学习目标：1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律； 2.理解向量共线、向量共面的定义；3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.学习重点：空间向量的数乘运算及其运算律，空间向量共线定理与共面定理；学习难点：空间向量的数乘运算及其运算律的应用，空间向量共线定理与共面定理的应用. 二、导学指导与检测导学指导导学检测及课堂展示阅读教材86P 完成右框内容一、空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a ⃗的乘积λa ⃗仍然是一个，称为向量的数乘运算，记作，其长度和方向规定如下： |当λ>0时，λa ⃗与向量a ⃗方向；当λ<0时，λa ⃗与向量a ⃗方向；当λ＝0时，λa ⃗＝ . (2)空间向量数乘运算满足以下运算律：λ(λa ⃗)＝； λ(a ⃗＋b ⃗⃗)＝； (λ1＋λ2)a ⃗＝ .【即时训练1】已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ⃗，OB →＝b ⃗⃗，OC →＝c ⃗，试用向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗表示向量OG →.阅读教材8887-P P 完成右框内容二、共线向量与共面向量 (1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相 . 充要条件对空间任意两个向量a ⃗，b ⃗⃗(b ⃗⃗≠0⃗⃗)，存在唯一实数λ，使 .点P 在直线l 上的充要条件存在实数t 满足等式OP →＝OA →＋t a⃗在直线l 上取向量AB →＝a ⃗，则OP →＝OA→＋tAB →向量a ⃗为直线的向量(2)共面向量定义平行于同一个的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ⃗，b⃗⃗共面的充要条件是存在的有序实数对(x ，y )使 .点P 位于平面ABC 内的充要条件存在有序实数对(x ，y )，使AP→＝xAB →＋yAC →对空间任一点O ，有OP→＝OA →＋xAB →＋yAC →【即时训练2】教材P 99习题3.1B 组第2题【即时训练3】教材P 88例1.课堂小结 1、如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AA ＝a⃗，＝b ⃗⃗，＝c ⃗，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗表示以下各向量： (1；(2)N A 1；(3)＋1NC .2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且E A 1＝21ED ，F在对角线A 1C 上，且F A 1＝23FC .求证：E ，F ，B 三点共线.闯关题：已知A ，B ，C 三点不共线，空间中一点M 满足OC OB OA OM 313131++=(1)判断MA MB MC 三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．。

2019高中数学第三章 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案新人教A版选修

3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量3.4.(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a . 5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． ②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb . ③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →. (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．[基础自测]1．思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( ) (3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线．( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －cC [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋C ．]3．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.][合作探究·攻重难](1)①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图311所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)图311[解析] (1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确． [答案] ②③④(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.[答案] BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [规律方法] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。

高中数学 2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算教案

3。

1.1空间向量及其加减运算3。

1。

2空间向量的数乘运算教学目标：㈠知识目标:⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ。

复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？[生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB．［师]数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下:（1）|λa｜＝｜λ｜｜a|(2）当λ＞0时,λa与a同向；当λ＜0时,λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0。

［师]关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律:a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c)数乘分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？[生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b , OA OB AB -=(指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律:a + b = b + a ；⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c );（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ） =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即:011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图）,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱．说明：由第2小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析：将要证明等式的左边分解成两部分:与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有3。