[精品]2019学年高中数学第三章3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1学案含解析新人教A版必修0

3．3.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离

第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离

[提出问题]

已知二元一次方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0.

问题1：二元一次方程组的解法有哪些？ 提示：代入消元法、加减消元法．

问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？ 提示：两直线的公共部分，即交点．

问题3：若给出两直线y ＝x ＋1与y ＝3x －2，如何求其交点坐标？ 提示：联立解方程组求方程组的解即可得． [导入新知]

1．两直线的交点坐标

2 [化解疑难] 两直线相交的条件

(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1

B 2

(A 2，B 2≠0)．

(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.

[提出问题]

数轴上已知两点A ，B .

问题1：如何求A ，B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.

问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [导入新知] 两点间的距离公式

(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝

x 1－x 2

2

＋y 1－y 2

2

.

(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]

两点间距离公式的理解

(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝ x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

.

(2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1，P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝

x 2＋y 2.

[例1] (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋1

2；

(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋1

2

.

[解] (1)解方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

5x ＋4y －2＝0，

2x ＋y ＋2＝0，

得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－10

3，y ＝14

3.

所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －6y ＋3＝0， ①y ＝13x ＋1

2， ②

②×6整理得2x －6y ＋3＝0.

因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋1

2， ②

②×6－①得3＝0，矛盾．

方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]

判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]

直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1

k

x －5的交点在直线y ＝x 上，求k 的值．

解：由题意可知，三条直线y ＝kx ＋3，y ＝1

k x －5，y ＝x 交于一点．由⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝kx ＋3，y ＝x ，

得x ＝y ＝

3

1－k

，代入y ＝1k x －5，得31－k ＝1k ·31－k －5，解得k ＝1或k ＝35.因为直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1k x －5相交，所以k ≠1k ，即k ≠1，故k ＝35

.

[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [解] 证明：法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝1

2

时，直线方程为x ＝9.

两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，即直线恒过点P (9，－4)． 法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.

若对任意m 都成立， 则有⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，

得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝9，

y ＝－4.

所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]

解含有参数的直线恒过定点的问题

(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

A 1x ＋

B 1y ＋

C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0

解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，

则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．

[活学活用]

求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．

解：法一：设所求直线为l ，因为直线l 过已知两直线的交点，因此直线l 的方程可设为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0. ①

又直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，

所以－λ＋2λ－3＝－3且λ＋23≠2λ－3－1，解得λ＝112.

将λ＝11

2

代入①，整理，得15x ＋5y ＋16＝0，即为所求．

法二：解方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x －3y －3＝0，

x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－3

5，y ＝－7

5，

所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3

5

，－75.

又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，

即15x

＋5y ＋16＝0.

[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [解] 证明：法一：∵|AB |＝－

2

＋－2

＝25，

|AC |＝－2

＋

－2

＝5，

又|BC |＝

－

2

＋

－

2

＝5，

∴|AB |2

＋|AC |2

＝|BC |2

， ∴△ABC 为直角三角形．