11小教期末复习

第1页 (共2页)
第三章
1.会用同余的性质（包括欧拉定理）计算余数的问题。

2.被2,3,4,5,7,9,11,13整除的数的特点，给出一个数，要会判断是否被它们整除。

3. 完全剩余系和简化剩余系，给出一个集合，要会判断它是否是某数的完全剩余系或简化剩余系。

4.设m ≥ 1，a ，b 是整数，(a , m ) = 1，12{,,,}m x x x 是模m 的一个完全剩余系，则{,,,}m ax b ax b ax b +++12 也是模m 的完全剩余系。

5. 设A = {x 1, x 2, , x m }是模m 的一个完全剩余系，以{x }表示x 的小数部
分，证明：若(a , m ) = 1，则11(1)2
{
}m
i i ax b
m m =+=-∑.
6. 欧拉定理以及费马定理。

设,p q 是两个不同的素数，试证1
11(mod )q p p q pq --+≡.
7.设整数2n ≥，证明
1(,)1
1
().2
i n
i n i n n ϕ≤≤==∑
8.设
5p ≥是素数，{ 2, 3,,1}a p ∈- ，则在数列
23(1)a a a p a pa - ，，，，，中有且仅有一个数b ，满足()
1 mod b p ≡. 9.
若(),, m m m m ∈=1212N 1，，
当x x 12与分别通过模m 1与模m 2的完全剩余系时， 则2112
m x m x +通过模12m m 的完全剩余系。

10.
设m > 0是偶数，1212{,,,}{,,,}m m a a a b b b 与都是模m 的完全剩
余系，则1122{,,,}m m a b a b a b +++ 不是模m 的完全剩余系。

11. 设12() {,,,}m A x x x ϕ= 是模m 的一个完全剩余系，以{x }表示x 的小数部分，证明：若(a , m ) = 1，则11()2
{
}m
i
i ax m m ϕ==∑.
12.循环小数与分数的互化。

1. 一元一次同余方程有解的判定及解一元一次同余方程。

2．一元一次同余方程组有解的判定及会用中国剩余定理解一元一次同余方程组（包括模两两互素和不互素的情形）。

3. 解合数模高阶同余方程（提示：用中国剩余定理）。

第2页(共2页)。