步长在z-方向的几率分布步长几率分布的一般表达式用随机数R对

步长在z －方向的几率分布：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰'cos ,'exp cos ,,,00dz z z z z f z z αασαασα步长几率分布的一般表达式：()()(){}⎰-=sds s s s f 0''exp σσ用随机数R 对步长s 取样：()()()(){}()(){}(){}(){}1''exp 1''exp '''''exp ''''''exp '''''000'0'000----=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞ds s ds s ds ds s s ds ds s s ds s f ds s f R ss s s sσσσσσσ得()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎰⎰∞''exp 11ln ''ds s R ds s sσσ对由数种材料构成的系统，截面是离散值，则上式成为：∞=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=∑∑==max max ''exp 11ln k ji k k i k k k k k s s R s σσ则本计算的问题为：当给定抽样随机数R 时，计算在每个材料中走过的实际抽样步长，由此得到总步长：∑==jik k s S当电子运动方向是朝着大块样品内部时，由于无穷远处截面不为零，上式可以简化成：{}0,1ln max>=--=∑=jik kkk C R s σσ因此，只要计算电子在每个介质中实际走过的路程段即可。

但是当电子运动方向是朝向真空时，由于真空部分中的散射截面为零，因此，指数中的求和项是有限大而指数值不为零，必须求出电子在所有介质中所走过的所有可能路径段长，最后一段在真空中的不用求（与截面的积为零）。

现在考虑由真空、球和块状样品构成的体系。

取坐标系xy 平面在块状样品表面，xy 轴原点在球心，z 轴正向指向块样内部，原点在表面。

球的位置是任意放置的，设球心的坐标是()',0,0z 。

考虑在空间中一任意矢量线段，设它的起始端点的坐标为()000,,z y x ，矢量的方向余弦为(),,,n m l 且有1222=++n m l 。

则有向直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ntz z m t y y lt x x 000 设线段与xy 平面的交点为()000|0,,T y x ，括号中的右边表示离开起点至终点（交点）的长度。

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=0000z ntz z m ty y ltx x => ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=00000000m T y y lT x x n z T 设线段与球的两个交点为()1111|,,T z y x ，()2222|,,T z y x ，21T T <。

则由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+=+=2222000'R z z y x ntz z mty y ltx x得()()()2202020'R nt z z mt y lt x =+-++++()()()22020200002''2R z z y x t n z z m y l x t =-+++-+++()()22020200002',',02R z z y x c n z z m y l x b c bt t --++=-++==++其解为：c b b T -±-=2。

根据线段与球相交的情况，可分为：1）;0;0,02c b c b <<>> 无解，不相交。

2）b T T c b b -==≥=<212:0,0， 与球相切，一个解。

3）c b b T c b b T c b b -+-=---=>><22212,:0,0，从球外穿过球体，两个解。

4）c b b T c -+-=<21:0，从球体中穿出，一个解。

当0==c b ，线段起点在球面，与球面相切且指向球外，2）和4）解一致，一个解021==T T 。

b <0 b 2=cbc1个解无解2个解 0bc 1个解无解b >0如果 0≥n （电子往块状样品方向运动）：如果 R z -≤'（球在真空中，实际情况下只有等于的情况）如果 ()2202020'R z z y x ≤-++，起点在球内或球面上：矢量<1>：与球必有一交点，球内长1T ，为简便计，记真空为0，块样为1，球为2，则线段长度按在3个区域中穿过的先后次序排列分别是：[]2|,01T ，[]0|,01T T ，[]1|,0∞T ，括号右边标明区域。

则()j i k T s k k ,'=∆=。

现求给定R 抽样后得到的终点处的j 及最后一截段长j s ，已知()1,-=∆=j i k T s k k ：C s s =+2211σσ如果 C T >12σ，则2/σC s =，总长s S =， 终点：]2[ 否则， ()112σσT C s -=，s T S +=0， ]1[ 否则，起点在球外：将直线方程代入球方程，看有没有T 的解： 有两个解：矢量<2>： []0|,01T ，[]2|,21T T ，[]0|,02T T ，[]1|,0∞T 。

如果 ()C T T >-122σ，则2/σC s =，s T S +=1， ]2[ 否则， ()()1122σσT T C s --=，s T S +=0， ]1[ 无解或仅一个解。

1/σC s =矢量<3>：如果 00<z ，起点在真空中 []0|,00T ，[]1|,0∞T 。

s T S +=0 ]1[ 矢量<4>：否则，起点在块样中，[]1|,0∞。

s S = ]1[结束 球在真空中的情形如果R z R <<-'（球半嵌在固体中）如果 ()2202020'R z z y x ≤-++，起点在球内或球面上：矢量<4>：如果 100T T ≤≤，[]2|,01T ，[]1|,1∞T 矢量<5>：如果 00≤T ， []2|,01T ，[]1|,1∞T如果 C T >12σ，则2/σC s =，s S =， ]2[ 否则， ()112σσT C s -=，s T S +=1， ]1[ 矢量<2>：如果 010T T <<，[]2|,01T ，[]0|,01T T ，[]1|,0∞T如果 C T >12σ，则2/σC s =，s S =， ]2[ 否则， ()112σσT C s -=，s T S +=0， ]1[ 否则，起点在球外：将直线方程代入球方程，看有没有T 的解： 有两个解：矢量<1>：如果 021T T T ≤≤，[]0|,01T ，[]2|,21T T ，[]0|,02T T ，[]1|,0∞T 。

如果 ()C T T >-122σ，则2/σC s =，s T S +=1， ]2[ 否则， ()()1122σσT T C s --=，s T S +=0， ]1[ 矢量<3>：如果 201T T T <<，[]0|,01T ，[]2|,21T T ，[]1|,2∞T 。

如果 ()C T T >-122σ，则2/σC s =，s T S +=1， ]2[ 否则， ()()1122σσT T C s --=， s T S +=2， ]1[矢量<6>：如果 100T T ≤≤，[]0|,00T ，[]1|,10T T ，[]2|,21T T ，[]1|,2∞T 。

C s s s =++312211σσσ如果 ()C T T >-011σ，则1/σC s =，s T S +=0， ]1[ 如果 ()C T T ≤-011σ，()()C T T T T >-+-122011σσ，()()2011σσT T C s --=，s T S +=1， ]2[ 否则，()()()1122011σσσT T T T C s ----=，s T S +=2， ]1[矢量<7>：如果 00≤T ，[]1|,01T ，[]2|,21T T ，[]1|,2∞T 。

如果C T >11σ，则1/σC s =，s S =， ]1[ 如果 C T ≤11σ，()C T T T >-+12211σσ，()211σσT C s -=，s T S +=1， ]2[否则，()()112211σσσT T T C s ---=，s T S +=2， ]1[无解或仅一个解。

1/σC s =矢量<8>：如果 00<z ，起点在真空中 []0|,00T ，[]1|,0∞T 。

s T S +=0 ]1[ 矢量<9>：否则，起点在块样中，[]1|,0∞。

s S = ]1[结束 球半嵌在固体中的情形如果 R z ≥'（球在固体中）如果 ()2202020'R z z y x ≤-++，起点在球内或球面上：矢量<2>：[]2|,01T ，[]1|,1∞T如果 C T >12σ，则2/σC s =，s S =， ]2[ 否则， ()112σσT C s -=，s T S +=1， ]1[否则，起点在球外：将直线方程代入球方程，看有没有T 的解： 有两个解：矢量<1>：如果 00≥T ，[]0|,00T ，[]1|,10T T ，[]2|,21T T ，[]1|,2∞T 。

如果 ()C T T >-011σ，则1/σC s =，s T S +=0， ]1[ 如果 ()C T T ≤-011σ，()()C T T T T >-+-122011σσ，()()2011σσT T C s --=，s T S +=1， ]2[ 否则，()()()1122011σσσT T T T C s ----=，s T S +=2， ]1[矢量<3>：如果 00≤T ，[]1|,01T ，[]2|,21T T ，[]1|,2∞T 。

如果C T >11σ，则1/σC s =，s S =， ]1[ 如果 C T ≤11σ，()C T T T >-+12211σσ，()211σσT C s -=，s T S +=1， ]2[否则，()()112211σσσT T T C s ---=，s T S +=2， ]1[无解或仅一个解。