高中数学第一章三角函数的简单应用与基本关系三角函数图象的平移和伸缩素材北师大版

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移

π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n 24y x ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移

1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，得2s in2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移

π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到

π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移

π

8

个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的

图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭而不是

πs i n 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛

⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，

在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛

⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．

根据题意，有ππ22224x a x --

=-，得π

8

a =-． 所以将sin 2y x =的图象向左平移

π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象．