高中数学第一章三角函数的简单应用与基本关系三角函数图象的平移和伸缩素材北师大版

三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()yAxk的图象与函数sinyx的图象之间可以通过变化
Ak，，，

来相互转化．A，影响图象的形状，k，影响图象与x轴交点的位置．由A引起的变换称
振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，
由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
变换方法如下：先平移后伸缩

sinyx
的图象向左(>0)或向右(0)平移个单位长度

得sin()yx的图象()横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变
得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变
得sin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度
得sin()yAxk的图象．
先伸缩后平移

sinyx
的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变

得sin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位
得sin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk的图象．
例1 将sinyx的图象怎样变换得到函数π2sin214yx的图象．
解：（方法一）①把sinyx的图象沿x轴向左平移π4个单位长度，得πsin4yx的
图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin24yx的图象；③将所得图象的
纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin24yx的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移
1个单位长度得到π2sin214yx的图象．

（方法二）①把sinyx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sinyx的图象；②
将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin2yx的图象；③将所得图象沿x轴向左平移
π
8
个单位长度得π2sin28yx的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到

π
2sin214yx




的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2yx的图象向左平移π8个单位长
度得到的函数图象的解析式是πsin28yx而不是πsin28yx，把πsin4yx的
图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin24yx而不是
π
sin24yx




．

对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin2yx的图象怎样变换得到函数πcos24yx的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin2cos2cos222yxxx，

在πcos22yx中以xa代x，有ππcos2()cos2222yxaxa．
根据题意，有ππ22224xax，得π8a．
所以将sin2yx的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos24yx的图象．