高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评10_双曲线的简单几何性质 含解析
2020-2021高中数学人教版1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。
22。
2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。
3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。
又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。
最新人教A版高中数学选修1-1 双曲线几何性质测试(含答案)
双曲线几何性质测试班级____________姓名______________1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF-=，则点P 地轨迹方程为______________2．如果双曲线地渐近线方程为34y x =±，则离心率为____________3．过原点地直线l 与双曲线221yx -=有两个交点，则直线l 地斜率地取值范围为_____________ 4．已知双曲线2214x y k+=地离心率为2e <，则k 地范围为____________________ 5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线地渐近线方程为_____6．已知双曲线地中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △地面积为1，则双曲线地方程为__________________ 7．若双曲线22221x y a b -=地一条渐近线地倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ． 8．双曲线22221x y a b -=地两条渐近线互相垂直，则双曲线地离心率为 ． 9．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线地一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线地左、右焦点，若13PF =，则2PF 地值为 ．10．若双曲线地两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线地标准方程为 ．11．若椭圆221(0)x y m n m n+=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同地焦点12F F ，，点P 是两条曲线地一个交点，则12PF PF ·地值为 ． 12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，左支上地一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △地内切圆圆心地横坐标为 ．13.过双曲线地一个焦点且与双曲线地实轴垂直地弦叫做双曲线地通径，则双曲线162y -92x =1地通径地长是_______________14.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0，y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= . 15．已知双曲线2221()4x y b b *-=∈N 地左、右焦点分别为12F F ，，P为双曲线上一点，若21212PF PFF F =·且24PF<，求双曲线地方程．16．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程． 17.试求以椭圆1692x +1442y =1地右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y =1地渐近线相切地圆方程. 1.221(3)169x y y -+=-≤ 2. 53或54 3. (1)(1)--+U ，，∞∞ 4.120k -<< 5.3x y= 6. 2214x y -= 7.1cos α8. 2 9. 7 10.2213y x -+=11.m a - 12.a - 13. 92 14. 215-15。
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程_word版含解析
高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评9_双曲线及其标准方程_word版含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A．17B．7C．7或17 D．2或22【解析】由双曲线方程x225－y29＝1得a＝5，∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.故选D.【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1 D.x22－y22＝1【解析】由双曲线定义知，2a＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.【答案】 A3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0) D.x 29－y 216＝1(x ＞0) 【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝526. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C.【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t－1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎨⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．【解析】设右焦点为F′，依题意，|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|P A|＝|PF′|＋4＋|P A|＝|PF′|＋|P A|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.【答案】9三、解答题9．求以椭圆x216＋y29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．【解】由x216＋y29＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a＝5，又c＝3，从而b2＝c2－a2＝4，又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝12sin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．【解】(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2)∵sin B－sin A＝12sin C，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4. 所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
2.2.2双曲线的简单几何性质课时目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0) ①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0) ②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于________．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1 B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝12．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M (1，2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a .2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)． 2．2.2 双曲线的简单几何性质答案知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性 质焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a )轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133 解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3. 又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y 24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－kx 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12. D[设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 而k BF ＝－bc，∴b a ·(－b c )＝－1， 整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵ P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x1＝512x2.∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x1＋x2＝1712x2＝－2a21－a2，x1x2＝512x22＝－2a21－a2，消去x2得－2a21－a2＝28960，即a2＝289169.又∵a>0，∴a＝1713.。
高中数学选修1-1全册章节测试题集含答案
人教A版高中数学选修1-1全册章节测试题目录1.1命题及其关系（同步练习）1.2 充分条件与必要条件同步测试.1.3_1.4试题（新人教选修1-1）.1.3简单的逻辑联结词（同步练习）1.4全称量词与存在量词同步测试（新人教选修1-1）.2.1《椭圆的几何性质》测试题2.1椭圆同步测试2.2双曲线几何性质测试2.2双曲线及其标准方程练习2.3抛物线及其标准方程习题精选2.3抛物线及其标准方程同步试题3.1变化率与导数（同步练习）3.2.1导数习题3.2.2 导数的运算法则习题3.3.3 函数的最大值与最小值练习题3.3《导数在研究函数中的应用》习题3.4生活中的优化问题举例（同步练习）1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.答案：312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.答案：逆命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假；否命题：200ac ax bx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为.答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案：假设三角形的内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ，<则55a b --<(B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. ）(A) (B)是有理数(C) (D)答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”的逆命题；⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则，”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是（） A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假； B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真； C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假； D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题的有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）． Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的（ ） Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22ac bc >则a b >”的逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”的逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p N Z Ü，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成的复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：N Z Ü或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z Ü且{0}∈N ，为假；非:p N Z Ú或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1）23≤；（2）()A A B Ú；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A A B ⊆ ，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 的形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”的否定；（6）“p 且q ”的否定；（7）“非p 或非答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则0m >”； 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”． 由方程的判别式14m =+ 得0> ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一．选择题：1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2．在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3．对下列命题的否定说法错误的是（）A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A. p真，q真B. p假，q假C. p真，q假D. p假，q真二．填空题：7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.4双曲线的简单几何性质(二)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.4 双曲线的简单几何性质（二）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 双曲线1b y a x 2222-=-的离心率为45，则其渐近线为A.016y9x =± B.09y16x =± C.04y3x =± D.03y4x =± 2. 双曲线的渐近线为43y ±=x ，则双曲线的离心率是A.45 B. 2 C.45或35 D.25或315 3. 双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是A. 45°B. 30°C. 60°D. 90°4. 求双曲线144y 9x 1622-=-的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标，渐近线方程。
题型二：由双曲线的几何性质求其方程 充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 、e 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。
5. 中心在坐标原点，离心率为35的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为A. x 45y ±=B. x 54y ±=C. x 34y ±=D. x 43y ±=6. 双曲线以椭圆125y 9x 22=+的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为___________。
7. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的离心率332e =，过A （0，b -）和B （a ，0）的直线与原点间的距离是23。
（1）求此双曲线的方程；（2）直线5kx y +=（0k ≠）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求k 的值。
题型三：创新应用8. 1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且∠=21PF F 60°，312S 21F PF =△，又离心率2e =，求双曲线方程。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评9 双曲线及其标准方程 Word版含解析.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线方程x 225－y 29＝1得a ＝5， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2×5＝10. 又∵|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝2或22. 故选D. 【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1【解析】 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.【答案】 A3．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0)D.x 29－y 216＝1(x ＞0)【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62，|MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝52 6.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C. 【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【导学号：26160046】【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋4＋|P A |＝|PF ′|＋|P A |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.【答案】 9 三、解答题9．求以椭圆x 216＋y 29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．【解】 由x 216＋y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A 点，由双曲线定义得2a ＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a ＝5，又c ＝3， 从而b 2＝c 2－a 2＝4， 又焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y28＝1，所以a＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．【导学号：26160047】图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. 由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意． 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2 3B.2C. 3D.1答案 A解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝2 3.故选A.3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解 把方程化为标准形式为x 212－y 222＝1，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c a＝5，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .知识点二求双曲线的离心率 4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 答案 B解析 ∵e ＝c a，c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.故b 2a 2＝12，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B. 5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c .∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2·c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 B解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c a ＝32，所以a ＝2.由c2＝a 2＋b 2知b 2＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2答案 C解析 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( ) A.43 B.53 C.2 D.3 答案 B解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b ＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c2.又b 2＝c 2－a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝53. 故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A.y ＝±54xB.y ＝±45xC.y ＝±43xD.y ＝±34x答案 D解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选D. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3答案 B解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y2＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a＝2·2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝ca＝ 3.5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 20＝1(x 0≥3)，可得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 23＋2x 0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值X 围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案 1 2解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b a＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案 x 2－y 2＝8解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值X 围是________．答案 (1，2]解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以|2b ±0|a 2＋b 2≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2，即e ≤2，所以离心率的取值X 围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－32a 2－232b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.解法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－329－23216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7×13a ＝3×13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评12 抛物线的简单几何性质 Word版含解析
【答案】 B
2．过点(1,0)作斜率为－2 的直线，与抛物线 y2＝8x 交于 A，B
两点，则弦 AB 的长为( )
A．2 13
B．2 15
C．2 17
D．2 19
【解析】 设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线
AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y＝－2(x－1)，代入
物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的
准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在抛物线上，
得 y21＝2px1，①
y2＝2px2，②
由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段 AB 的中点的
＋1＝ ，得 k2＝24， 12
1 代入 k2x2－(k2＋2)x＋ k2＝0
4
得 12x2－13x＋3＝0，
1
3
解之得 x1＝ ，x2＝ ，又|AF|＜|BF|，
3
4
15 故|AF|＝x1＋ ＝ .
26
【答案】 5 6
三、解答题
9．求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y2＝2x 只有一个公共点的直线
当
k≠0
时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝1.此时，直线方程为
1 y＝
2
2
x＋1.
1 可知，y＝1 或 y＝ x＋1 为所求的直线方程．
2 1
故所求的直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝ x＋1. 2
10．已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
{|������������1|2 + |������������2|2 = 4������2,
解析:因为 PF1⊥PF2,所以有 |������������1|·|������������2| = 4������������, ||������������1| - |������������2|| = 2������,
2
1
2 ������D.������ =± 2������
解析:由题意得 b=1,c = 3, ∴ ������ = 2.
∴双曲线的渐近线方程为
y=
±
������
������������,即y=
±
2
2 ������.
答案:C
2.若双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( )
对于双曲线16 - ������ ‒ 5 = 1,实轴长为2
16 - ������,虚轴长为2
5,焦距为2
16 - ������ + 5 = 2
21 - ������,因此两双曲线的焦距相等,故选 D.
答案:D
4.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程是( )
即 4c2-4a2=8ab,所以 b=2a,c2=5a2,即 e = 5. 答案: 5
9.求满足下列条件的双曲线方程:
(1)以 2x±3y=0 为渐近线,且经过点(1,2);
5
(2)离心率为4,虚半轴长为2; (3)与椭圆 x2+5y2=5 共焦点,且一条渐近线方程为 y ‒
3������ = 0.
2016-2017学年高中数学选修1-1学业分层测评10 双曲线的简单性质 含解析
学业分层测评（十）(建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0），则它的标准方程是( ）【导学号：63470045】A.错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C.x28－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1【解析】设等轴双曲线方程为错误!－错误!＝1（a＞0）．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18。
故双曲线方程为错误!－错误!＝1.【答案】B2．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2,则实数k的值是( ）A．－3 B．错误!C．3 D．－错误!【解析】双曲线x2＋ky2＝1可化为错误!＋错误!＝1,故离心率e＝错误!＝2，解得k＝－错误!。
【答案】D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的错误!倍，且一个顶点的坐标为（0，2）,则双曲线的标准方程为（）A。
错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项,a＝2,b＝2，c＝2错误!，∴2a＋2b＝错误!·2c符合题意．【答案】B4．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆（x－3）2＋y2＝r2（r＞0)相切,则r＝（）【导学号:63470046】A。
错误!B．2C．3 D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，圆心坐标为（3,0），由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝错误!＝错误!。
【答案】A5．双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1(a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝错误!,椭圆的离心率e2＝错误!，由e1e2＝1得（a2＋b2)(m2－b2）＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m＝________。
人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713.B 级 能力提升1．若0＜k ＜a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的虚线B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点解析：因为0＜k ＜a 2，所以 a 2－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且c 2＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k2－2≠0，Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，－2kk2－2＞0，2k2－2＞0，解得k的取值范围为{}k|－2＜k＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k ＝－6＋65，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
人教A版数学高二选修1-1检测 2-2-2 双曲线的简单几何性质
04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14 答案 A解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条 答案 A解析 设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA 、PB 的斜率k PA 、k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49 B.12C.23 D ．与P 点位置有关答案 A解析 设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， ∴k PA ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形答案 D解析 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝ m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题(每小题10分，共30分)10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解 由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)．∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2，∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.11．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解 设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎨⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ， 且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么：|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得：λ＝4，所以，所求双曲线方程是：x 24－y 2＝1.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y－b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32，又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k3k 2－1， x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12， 当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件．故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。
人教A版选修1-1教案：2.2.2双曲线的简单的几何性质(1)(含答案)
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（1）【学情分析】：1、学生已经学过椭圆的几何性质，对椭圆的几何性质有所了解；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程并能较熟练地求双曲线的标准方程；本节课将通过学生的类比、归纳、探究，培养学生的观察问题、研究问题的能力。
【教学目标】：知识与技能1、了解双曲线的简单的几何性质2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能从双曲线的标准方程出发，推导双曲线的几何性质；2、能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；3、培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力情感态度与价值观通过自主探究、讨论交流，培养学生良好的学习情感，激发学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的探究【教学难点】：双曲线的简单几何性质的探究【课前准备】：课件练习与测试：1．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 答案：C２．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14解：双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴m=14-，选A.3．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （ C ） A. 1或5B. 6C. 7D. 94．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.233解：双曲线22212x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π3 ，则2tan 6a π==，∴ a 2=6，双曲线的离心率为233，选D ．5. 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ B ） A.3 B .26 C.36D.336. 已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（ C ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 7. 曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．16x ±9y ＝0 C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【答案】 C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1.由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14. 故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝ac ，∴ca ＝3，即e ＝3.【答案】 37．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________．【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，∴|AB |＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2. 【答案】 28．若直线x ＝2与双曲线x 2－y2b 2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________.【导学号：26160051】【解析】 由双曲线为x 2－y2b 2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．∵S △AOB ＝12×2×4b ＝8，∴b ＝2. 又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±ab x ，即ax ±by ＝0， 所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255.又e ＝c a ＝52，所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1，解得a 2＝4，故双曲线方程为y24－x 2＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围．【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0.【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 【答案】 B3．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －24．(2016·荆州高二检测)双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x . (1)求双曲线C 的方程； 【导学号：26160052】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
人教A版选修1-1教案：双曲线的简单的几何性质(1)(含答案)
§2．2．2雙曲線的簡單的幾何性質（1）【學情分析】：1、學生已經學過橢圓的幾何性質，對橢圓的幾何性質有所瞭解；2、學生已學習了雙曲線的定義及標準方程並能較熟練地求雙曲線的標準方程；本節課將通過學生的類比、歸納、探究，培養學生的觀察問題、研究問題的能力。
【教學目標】：知識與技能1、瞭解雙曲線的簡單的幾何性質2、能運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單問題；過程與方法1、能從雙曲線的標準方程出發，推導雙曲線的幾何性質；2、能抓住橢圓與雙曲線幾何性質的異同進行類比、歸納；3、培養學生運用數形結合的思想，用聯想、類比、歸納的方法，提高解決問題的能力情感態度與價值觀通過自主探究、討論交流，培養學生良好的學習情感，激發學習數學的興趣。
【教學重點】：雙曲線的簡單幾何性質的探究【教學難點】：雙曲線的簡單幾何性質的探究【課前準備】：課件F 1三點共線以及P 與N 、F 2三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故選B四、小結 1．提問：雙曲線有什麼幾何性質？與基本量a 、b 、c 、e 之間的關係是什麼？2． 橢圓與雙曲線的幾何性質有什麼異同？ 五、作業 教科書習題2.2 3、4、5、6附表1：橢圓雙曲線 定義 |MF 1|+|MF 2|=2a ，(2a ＞|F 1F 2) |MF 1|-|MF 2|=2a圖形標準方程範圍 |x|≤a，|y|≤b，(x ，y 都有限) |x|≥a，y∈R ，(x ，y 都無限) 對稱性 關於x 軸，y 軸，原點都對稱關於x 軸，y 軸，原點都對稱頂點 (±a，0)，(0，±b)(±a，0) 橢 圓雙 曲 線離心率 漸近線無練習與測試：1．雙曲線19422=-y x 的漸近線方程是 （ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 答案：C２．雙曲線221mx y +=的虛軸長是實軸長的2倍，則m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14解：雙曲線221mx y +=的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為2214x y -+=，∴m=14-，選A.3．設P 是雙曲線19222=-y ax 上一點，雙曲線的一條漸近線方程為1,023F y x =-、F 2分別是雙曲線的左、右焦點，若3||1=PF ，則=||2PF （ C ） A. 1或5B. 6C. 7D. 94．已知雙曲線x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的兩條漸近線的夾角為π3 ,則雙曲線的離心率為A.2B. 3C.263D.233解：雙曲線22212x y a -=(a >2)的兩條漸近線的夾角為π3 ，則2tan 6a π==，∴ a 2=6，雙曲線的離心率為233，選D ．5. 雙曲線虛軸的一個端點為M ，兩個焦點為F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，則雙曲線的離心率為（ B ）A.3 B .26 C.36D.336. 已知雙曲線的兩個焦點為)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此雙曲線上的一點，且21PF PF ⊥，2||||21=•PF PF ，則該雙曲線的方程是（ C ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x 7. 曲線221(6)106x y m m m +=<--與曲線221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)准線相同【解析】由221(6)106x y m m m +=<--知該方程表示焦點在x 軸上的橢圓，由221(59)59x y m m m+=<<--知該方程表示焦點在y 軸上的雙曲線，故只能選擇答案A 。
人教A版选修1-1教案：双曲线的简单的几何性质(2)(含答案)
§2．2．2雙曲線的簡單的幾何性質（2）【學情分析】：1、學生已經學習了雙曲線的幾何性質，能理解雙曲線的幾何性質並能運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單的問題；2、學生已學習了雙曲線的定義及標準方程，會熟練地求雙曲線的標準方程；【教學目標】：知識與技能1、進一步瞭解雙曲線的標準方程和簡單的幾何性質；2、能運用雙曲線的幾何性質解決一些簡單問題；過程與方法1、能用座標法解決一些與雙曲線有關的簡單的幾何問題和實際問題，理解座標法的思路與步驟；2、瞭解直線與雙曲線的位置關係問題一般求解策略與技巧，進一步體會數形結合的思想；情感態度與價值觀通過運用雙曲線有關知識解決實際問題，使學生充分認識數學的價值，從而培養學生學習數學的興趣。
【教學重點】：雙曲線的簡單幾何性質的運用【教學難點】：直線與雙曲線的位置關係的求解技巧【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一．復習1．雙曲線的兩種標準方程是什麼？2.雙曲線的幾何性質有哪些？範圍、對稱性、頂點、離心率等。
通過復習，有利於學生在已有知識基礎上開展學習；提出新問題，引發學習興趣。
二．例題、練習1．例4：雙曲線型冷卻塔的外型，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m，試選擇適當的坐標系，求出此雙曲線方程（精確到1m）解：如圖建立直角坐標系，設雙曲線方程為12222=-byax，C（13，y）,B(25 , y-55),點B、C在雙曲線上，12=a雙曲線的幾何性質的簡單應用練習與測試：1．若雙曲線的漸近線方程為x y 3±=，它的一個焦點是()0,10，則雙曲線的方程是__________.答案：1922=-y x 2．雙曲線221x y -=的左焦點為F ，P 為左支下半支上任意一點（異於頂點），則直線PF 的斜率的變化範圍是（目的：能夠理解直線與雙曲線的位置與雙曲線的漸進線斜率有關） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：畫出圖形，利用數形結合法求解。
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高中数学人教a 版高二选修1-1学业分层测评10_双曲线的简单几何性质 含
解析
学业分层测评 (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．双曲线x 29－y 2
16＝1的渐近线方程是( )
A ．4x ±3y ＝0
B ．16x ±9y ＝0
C ．3x ±4y ＝0
D ．9x ±16y ＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±4
3
x ，即4x ±3y ＝0.
【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A ．x 2－y 2＝8
B ．x 2－y 2＝4
C ．y 2－x 2＝8
D ．y 2－x 2＝4
【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝1
2×16＝8，故选A.
【答案】 A
3．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线
方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2
2
x
D ．y ＝±12
x
【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上，
所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
2x .
【答案】 C
4．国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62
C.52
D ．1
【解析】 由题意得e ＝a 2＋3
a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，
∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D
5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 2
64＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.y 216－x 2
9＝1 B.x 216－y 2
9＝1 C.y 29－x 2
16
＝1 D.x 29－y 2
16
＝1 【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－
y 2
64＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2
－36λ
＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－1
4.
故所求双曲线的方程为y 216－x 2
9＝1.
【答案】 A 二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴c
a ＝3，即e ＝3.
【答案】 3
7．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________． 【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，
∴|AB |＝1＋(3)2·(－3)2－4×2＝2. 【答案】 2
8．若直线x ＝2与双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB
的面积为8，则焦距为________.
【解析】 由双曲线为x 2－y
2b
2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．
∵S △AOB ＝1
2×2×4b ＝8，∴b ＝2.
又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5 三、解答题
9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝5
2，顶点到渐近线
的距离为25
5
，求双曲线C 的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±
a
b x ，即ax ±by ＝0，
所以
ab a 2＋b
2＝ab c ＝25
5. 又e ＝c a ＝5
2
，
所以b ＝1，即c 2
－a 2
＝1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫52a 2
－a 2＝1，
解得a 2
＝4，故双曲线方程为y 24
－x 2
＝1.
10．双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使
|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜c
a≤3，即1＜e≤3.
[能力提升]
1．双曲线x2
4＋
y2
k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()
A．(－10,0)B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12)
【解析】双曲线方程化为x2
4－
y2
－k
＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝
c
a＝
4－k
2，
又∵e∈(1,2)，∴1<4－k
2<2，解得－12<k<0.
【答案】 B
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()
A.x2
3－
y2
6＝1 B.
x2
4－
y2
5＝1
C.x2
6－
y2
3＝1 D.
x2
5－
y2
4＝1
【解析】设双曲线的标准方程为x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a
2＋b2
＝9，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨
⎪⎧
x 21a 2－y 21b
2＝1，x 22a 2－y 22b
2＝1，
两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 2
5a 2，
又AB 的斜率是－15－0
－12－3
＝1，
所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 2
5＝1.
【答案】 B
3．已知双曲线x 2－y
23
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，
则P A 1→·PF 2
→的最小值为________． 【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)， 则P A 1→＝(－1－x ，－y )， PF 2
→＝(2－x ，－y )， ∴P A 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3， 代入上式得P A 1→·PF 2→＝4x 2－x －5 ＝4⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －182－8116
，
又x ≥1，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －2
4．双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，0，渐近线方程为y ＝±3x .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直
径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝2
33，渐近线方程为y
＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2
＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 21
3－y 2＝1，即
3x 2－y 2＝1.
(2)由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，
得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，
由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2
＋y 1y 2＝0.
又x 1＋x 2＝
－2k k 2－3，x 1x 2
＝2
k 2－3
，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)·(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2
k 2－3
＋1＝0，解得k ＝±1.。