新课标2017春高中数学第3章不等式3.1不等关系与不等式第2课时不等式的性质课件新人教B版必修5

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542629 π π 已知－ <β<α< ，求 2α－β 的取值范围． 2 2 π π π π [解析] ∵－ <α< ，－ <β< ， 2 2 2 2
∴－π<2α<π π π 3π 3π ∴－ <－β< ，∴－ <2α－β< . 2 2 2 2 又∵β<α，∴2α－β>0， 3π ∴0<2α－β< . 2
[分析]
解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否
满足性质所需要的条件．
[解析] (1)错误．当 c＝0 时不成立． a b (2)正确．c ≠0 且 c >0，在 2> 2两边同乘以 c2，不等式方向不变，得 a>b. c c
2 2
(3)错误．例如：当 a＝1，b＝－1 时不成立. (4)错误．例如：a＝c＝1，b＝d＝－2 时不成立．
a>b>0 c<d<0 a>b>0 ⇒ －c>－d>0
ac<bd ac bd a b ⇒ < ⇒ < . ⇒－ac>－bd.⇒ cd>0 cd cd d c
〔跟踪练习 2〕 导学号 27542627 a＋b c＋d 若 bc－ad≥0，bd>0，求证： ≤ . b d
已 知 1≤a ＋ b≤5 ， － 1≤a － b≤3 ， 求 3a － 2b 的 取 值 范 围. 导学号 27542630
[错解] ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴两式相加可得 0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1，∴两式相加可得－1≤b≤3. ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.
命题方向3 ⇨利用不等式的性质求取值范围
a 已 知 － 6<a<8,2<b<3 ， 分 别 求 2a ＋ b ， a － b 、 的 取 值 范 b 围. 导学号 27542628
a [分析] 欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 的取值范围， b 1 应先求 的取值范围． b
[解析] ∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 1 1 1 a ∵2<b<3，∴ < < ，∵－6<a<8，∴－2< <4. 3 b 2 b
②推论1的推广
a>b>0，c>d>0，„，m>n>0⇒ac„m>bd„n. ③推论2 ④推论3 an>bn (n∈N＋，n>1)． a>b>0⇒________
n n
a> b a>b>0⇒____________( n∈N＋，n>1)．
1．若 a>b，则下列不等式中正确的是 导学号 27542619 ( D ) A．a >b
a＋c>b＋d a>b，c>d⇒__________.
③推论2的推广
a>b，c>d，„，m>n⇒a＋c＋„＋m>b＋d＋„＋n.
(4)性质4 a>b，c>0⇒________ ac>bc ； ac<bc a>b，c<0⇒________. ①推论1 ac>bd a>b>0，c>d>0⇒________.
[点评] 一定要在理解的基础上， 记准、 记熟不等式的性质， 并注意在解题中， 灵活、准确的加以应用．若是假命题，只需举一反例即可．
〔跟踪练习 1〕 导学号 27542625 对于实数 a、b、c，有下列命题 a a ①若 a＞b，则 ac＜bc；②若 a>b，c>b，则 a>c；③若 a>b，则 lg >0；④若 b c b > ，则 ad>bc；⑤若 a>b，c>d，则 a－d>b－c. d 其中错误命题的个数是( C ) A．2 C．4 B．3 D．5
命题方向2 ⇨利用不等式性质证明不等式
a b 若 a>b>0，c<d<0，求证： < . 导学号 27542626 d c
[分析] 已知的两个不等式为异向不等式， 所以必定要转化为同向不等式才能 用不等式的基本性质，已知不等式为整式，而要证的不等式为分式，所以必定要 两边同除一个数(或同乘一个数的倒数)．
[解析] ∵28<y<33，∴－33<－y<－28， 又∵60<x<84，∴27<x－y<56. 1 1 1 20 x 由 28<y<33，得 < < ，即 < <3. 33 y 28 11 y
课堂典例讲练
命题方向1 ⇨不等式的性质
判断下列命题是否正确，并说明理由. 导学号 27542624 (1)若 a>b，则 ac2>bc2； a b (2)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (3)若 a>b，ab≠0，则 < ； a b (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd.
[解析] 又
a>b>0 c<d<0
a>b>0 ⇒ －c>－d>0
⇒－ac>－bd.
cd>0 c<0，d<0⇒ －ac>－bd
ac bd a b a b ⇒－ >－ ⇒－ >－ ⇒ < . cd cd d c d c
[点评] 本题的难点在于找到由已知证结论的合理“线路”， 而要寻找到合理 “线路”，就要消灭已知与结论的差异(已知为整式，结论为分式)，统一形式，因 a b 此可以倒推， 把结论中的不等式变形为整式， 以启发思路： 要证 < ， 只要证 ac<bd. d c 到此思路就明晰了：
她为什么要踮起脚尖呢？
1．同向不等式 不等号方向相同 的不等式，叫做同向不等式． ________________ 2．不等式的性质 b<a ； (1)性质1(对称性)a>b⇔________ (2)性质2(传递性)a>b，b>c⇒________ a>c ； (3)性质3 ②推论2 a＋c>b＋c a>b⇔___________. a>c－b a＋b>c⇔________. ①推论1(移项法则)
[解析] 要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系． ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断 ac 与 bc 大小缺乏依据，故①错误． ②若 a>b，c>b，则 a>c，不符合不等式的传递性，故②错误． a a ③若 a>0>b，则 <0，lg 无意义，故③错误． b b a b ④当 > 且 cd<0 时，则 ad<bc，故④错误． c d ⑤若 c>d，则－d>－c， 又 a>b，∴a＋(－d)>b＋(－c)，即 a－d>b－c，故⑤正确． 综上可知，①、②、③、④错误，⑤正确，故选 C．
.
1 1 5 5 5 15 ∵1≤a＋b≤5， －1≤a－b≤3， ∴ ≤ (a＋b)≤ ， － ≤ (a－b)≤ ， ∴－2≤3a 2 2 2 2 2 2 －2b≤10.
2 2
1 1 B． < a b D．b－a<0
C．|a|>|b|
[解析] ∵a>b，∴b－a<0，故选 D．
2．已知实数 a、b、c 满足 c<b<a 且 ac<0，那么下列选项中一定成立的是 导学号 27542620 ( A ) A．ab>ac C．ab2>cb2 B．c(b－a)<0 D．a(a－c)<0
[Hale Waihona Puke 析]错误的原因是“由 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出 0≤a≤4，－
1≤b≤3”的过程是一个不等价变形．
[正解] 设 3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则 3a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b. 1 x＝2 x＋y＝3 从而 ，解得 x－y＝－2 y＝5 2 1 5 ∴3a－2b＝ (a＋b)＋ (a－b)． 2 2
[解析] 证法一：∵bc－ad≥0，bd>0， 1 c a 即 bc≥ad， >0，∴ ≥ ， bd d b c＋d a＋b c a ∴ ＋1≥ ＋1，即 ≥ ， d b d b a＋b c＋d 即 ≤ . b d
a＋b c＋d 证法二： － b d ad＋bd－bc－bd －bc－ad ＝ ＝ bd bd ∵bc－ad≥0，bd>0， －bc－ad a＋b c＋d ∴ ≤0，∴ ≤ . bd b d
4 ．已知 a ＞ b ＞ 0 ，且 c ＞ d ＞ 0 ，则 导学号 27542622
a 与 d
a b b ＞ d c 的大小关系是 __________. c
1 1 [解析] ∵c＞d＞0，∴ ＞ ＞0， d c a b ∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0，∴ d c a ＞ d b . c
x (27,56) 5．已知 60<x<84,28<y<33，则 x－y 的取值范围为________， 的取值范围为 y 20 ( ，3) 11 _________. 导学号 27542623
[解析] 由题意，知 a>0，c<0，b 的符号不确定．又不等式两端同乘以一个正 数，不等号的方向不改变，故选 A．
3．设 b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是 导学号 27542621 ( C ) A．a－c>b－d C．a＋c>b＋d B．ac>bd D．a＋d>b＋c