导数测试及答案

　导数综合能力测试(Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能

是 ( )

A．y＝ln B．y＝ln

C．y＝ln(1－x) D．y＝ln

答案：A

解析：对选项求导．

(ln)′＝()′

＝·(1－x)－·(－1)

＝.故选A.

2．(2009·江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率

为 ( )

A．4 B．－ C．2 D．－

答案：A

解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.

∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，

∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，

∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.

3．(2009·辽宁)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程

为 ( )

A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2

C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1

答案：D

解析：y′＝()′＝，

∴k＝y′|x＝1＝－2.

l：y＋1＝－2(x－1)，则y＝－2x＋1.故选D.

4．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积

为 ( )

A.e2 B．2e2 C．e2 D.

答案：D

解析：∵y′＝e x，∴y＝e x在点(2，e2)的导数为e2.

∴y＝e x在点(2，e2)的切线方程为y＝e2x－e2.

y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝×1×e2＝.故选D.

5．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y ＝g(x)的图象可能是

( )

答案：D

解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f ′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f

′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D.

6．设y＝8x2－ln x，则此函数在区间(0，)和(，1)内分

别 ( )

A．单调递增，单调递减

B．单调递增，单调递增

C．单调递减，单调递增

D．单调递减，单调递减

答案：C

解析：y′＝16x－.

当x∈(0，)时，y′＜0，y＝8x2－ln x为减函数；

当x∈(，1)时，y′＞0，y＝8x2－ln x为增函数．

7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的

是 ( )

①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；

②f(－)是极小值，f()是极大值；

③f(x)没有最小值，也没有最大值．

A．①③ B．①②③

C．② D．①②

答案：D

解析：由f(x)＞0⇒(2x－x2)e x＞0⇒2x－x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；

f′(x)＝e x(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±，

由f′(x)＜0得x＞或x＜－，

由f′(x)＞0得－＜x＜，

∴f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(，＋∞)．

单调增区间为(－，)．

∴f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)，故②正确．

∵x＜－时，f(x)＜0恒成立．

∴f(x)无最小值，但有最大值f()．

∴③不正确．

8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)·f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上( )

A．至少有三个实根 B．至少有两个实根

C．有且只有一个实根 D．无实根

答案：C

9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )

A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6

C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞2

答案：C

解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．

若f(x)有极大值和极小值，

则Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，

从而有a＞6或a＜－3，故选C.

10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 ( )

A.cm B．100cm

C．20cm D.cm

答案：A

解析：设高为h，则半径为，

体积V＝πr2h＝π(202－h2)·h

＝－πh3＋πh(0＜h＜20)，

V′＝－πh2＋π.

令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)，

即当h＝时，V为最大值．

11．(2010·河南省实验中学)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的范围为 ( )

A．(－∞，－1) B．(－1,2)

C．(1,2) D．(0,2)

答案：C

解析：f′(x)＝

＝

由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，

又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，选C.