高中数学导数的几何意义测试题含答案

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导数的几何意义(人教A版)(含答案)

导数的几何意义（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.曲线在点处的切线斜率为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义2.曲线在处切线的斜率等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义3.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义4.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义5.设曲线在点处的切线与直线垂直，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义6.曲线在点处的切线与直线平行，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义7.已知函数的图象如图，则与的大小关系是( )A. B.C. D.不能确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义8.若函数，则在点处切线的倾斜角为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义9.如果是二次函数，且的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义10.若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：导数的几何意义。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线在点（1，3）处的切线方程为．【答案】．【解析】先求出导函数，然后令得，，再由所求切线方程过点（1，3），所以所求切线方程为：，化简整理得．故答案为．【考点】导数的概念及其几何意义．2.函数在点（1，2）处的切线的斜率是（）A．B．1C．2D．3【答案】C．【解析】依题意得，于是在点（1，2）处的切线的斜率等于2，故选C．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．3.函数在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，且，故所求切线方程为：，故选Ｃ．【考点】导数的几何意义．4.已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是______.【答案】.【解析】因为，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.【考点】导数的几何意义、一元二次不等式.5.设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为．【答案】．【解析】设点P(x0,y)（x>0）,由已知得（x>0）解得：x=-3a或x 0=a,注意到a>0，所以x=a;由于点为函数与图象的公共点，所以有，从而，所以当时；当时，故知当时，b取得最大值为：.故应填入．【考点】1.导数的几何意义;2.函数的最值.6.是的导函数，的图像如右图所示，则的图像只可能是（）【答案】D【解析】由的图象可知，那么单调递增,又导数值先减小后增大，那么函数图象先平后陡再平.所以选D.【考点】导数的几何意义.7.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．【答案】D【解析】函数y=f(x)e x求导可得，若x＝－1是其一个极值点，则当时，函数值为,可得.，图中可知满足条件，对于中，由切线斜率可得，又，，不可能满足条件，故选D.【考点】导数的几何意义.8.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.9.设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( )【答案】D【解析】根据f(x)的示意图，可得f(x)在上单调递增，则在上，>0,而f(x)在上先增后减再增，则在上，需满足先正后负再正，对照四个选项，只有D符合.【考点】导数的运用.10.已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f（1）+f′（1）=．【答案】3【解析】将代入可得，即。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若直线是曲线的切线，则的值为 .【答案】或.【解析】设直线是曲线的切点的坐标为，则，即，且，联立这两个方程解得：或，从而或.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴切线的斜率，切点坐标（0，1）∴切线方程为y-1=-（x-0），即x+y-1=0．故选A．【考点】导数的几何意义;函数的求导运算．3.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义4.（1）已知函数,过点Ｐ的直线与曲线相切，求的方程；（2）设，当时，在１,４上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】(1) 或(2) 最大值为【解析】(1) 根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以得设出切点坐标,根据导数的几何意义可知,曲线切线的斜率就是在切点横坐标处的导数,然后利用点斜式求得切线方程;代入点可求出切点,从而得切线方程.(2)首先利用导数求得极值点和函数的单调区间,根据的范围可判断出函数在所给区间上的单调性,从而得出在该区间上的最小值(含),令其等于可得,从而求出在该区间的最大值.试题解析：（1）根据题意可知,直线过点,但是并没有说明该点是不是切点,所以设切点为，因为函数的导函数为,所以根据导数的几何意义可知,切线的斜率，则利用点斜式可得:切线的方程.因为过点，所以，解得或故的方程为或，即或.（2）令得，，故在上递减，在上递增，在上递减.当时，有，所以在上的最大值为又，即.所以在上的最小值为，得故在上的最大值为【考点】导数法求切线方程;导数法求单调性和最值.5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题知，当时，，则倾斜角的正切值为，倾斜角为.【考点】1.导数的几何意义；2.斜率与倾斜角.6.下列关于函数的性质叙述错误的是（）A．在区间上单调递减B．在定义域上没有最大值C．在处取最大值3D．的图像在点处的切线方程为【答案】C【解析】因为，于是可得00极小值当时，，当时，所以可知A、B正确，C不正确，在处取得极大值3，并不是最大值而的图像在点处的切线的斜率为，故此时的切线方程为综上可知，只有C是错误的，故选C．【考点】导数在研究函数性质上的应用．7.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．【解析】（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．（1）当时，函数，，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即 3分（2）令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分（3）∵在上是减函数∴时，；时，，即①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数当时，，因为，所以，此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意②当时，由，所以又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数∴，不合题意 12分③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即，解得所以实数的取值范围是 15分．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．8.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。

导数的几何意义专题练习题含答案

导数的几何意义专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数f (x )在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f (4)+f ′(4)=( ) A.10 B.20C.30D.402. 函数f (x )=x 3−7x 2+1的图象在点(4,f (4))处的切线的斜率为( ) A.−8 B.−7C.−6D.−53. 已知三次函数y =f (x )的图像如右图所示，若f ′(x )是函数f (x )的导函数，则关于x 的不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集为（）A.{x|1<x <2或x >4}B.{x|x <7}C.{x|1<x <4}D.{x|x <1或2<x <4}4. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ，b =eD.a =1e ， b =−15. 已知曲线y =ae x +x ln x 在点(1,ae )处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.a =e ，b =−1 B.a =e ，b =1 C.a =1e ， b =−1 D.a =1e ，b =e6. 如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =2处的切线，则f ′(2)=( )A.1B.2C.3D.47. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象为（）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )=53x −ln (2x +1)，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)2Δx=( ) A.1 B.12C.43D.539. 已知直线y =ax +2a 与曲线y =ln (x +2)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2C.1eD.1e 210. 已知f(x)=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.(0, 1)D.(0, 1]11. 设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→0f (1+3Δx )−f (1)Δx=−3，则函数y =f (x )在x =1处的导数为( ) A.1 B.−1C.1或−1D.以上答案都不对12. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( )A.1B.2C.eD.2e13. 函数f(x)=2x3−2的图象在点(1,0)处的切线的斜率为________.14. 曲线y＝ln x−在x＝1处的切线的倾斜角为α，则sin2α＝________．15. 已知函数f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A=f′(a)，B=f′(a+1)，C=f(a+1)−f(a)(a+1)−a，则A，B，C的大小关系是________．16. 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线为l．若l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=________．17. 函数在点处的切线方程为________．18. 已知函数，则曲线在处的切线方程为________.19. 曲线f(x)=e x−x ln x+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.20. 若函数y=x3+ax2(a∈R)的图象在点(1,b)处切线的斜率为−1，则a+b=________.21. 曲线f(x)=x sin x在x=π2处的切线方程为________22. 已知直线y=kx+b是曲线y=e x的一条切线，则k+b的取值范围是________.23. 已知曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为________.24. 已知P是曲线y=14x2−12ln x上的动点，Q是直线y=34x−2上的动点，则PQ的最小值为________.25. 求函数y＝(2x−1)2在x＝3处的导数．26. 已知圆的面积S是半径r的函数S＝πr2，用定义求S在r＝5处的导数，并对S′(5)的意义进行解释．27. 求曲线y=1x+2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程．28. 已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>ln xx−1．29. 已知函数f(x)=ln x−12ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点(12,12)．（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)−(a−1)x(a>0)，求g(x)的最大值（用a表示）；（Ⅱ）若a=−4，f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥12．30. 已知函数f(x)=x2+a ln x．（Ⅰ）若曲线y=f(x)−1在点(1,0)上的切线与直线y=x垂直，求a的值；（Ⅱ）函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，若f′(x)≥ln xx恒成立，求a的取值范围．31. 已知函数f(x)=e x−a，g(x)=ln x−b.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若a=b+2，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．x3−x2+2，M为函数f(x)图象上一点，曲线y=f(x)在M处的32. 已知函数f(x)=13切线为l.(1)若M点坐标为(0,2)，求切线l的方程；(2)求当切线l的斜率最小时M点的坐标．33. 已知函数f(x)=ln x−mx，m∈R.(1)若f(x)在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求该切线的方程；(2)设函数g(x)=1x2+f(x)有两个相异的极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．2−8ln x (a∈R)34. 已知函数f(x)=2x−ax(1)若f(x)在点A(1,f(1))处取得极值，求过点A且与f(x)在x=a处的切线平行的直线方程；(2)若函数f(x)有两个都大于1的极值点x1,x2(1<x1<x2)，求证：当m≤1时，总有a ln x1>m(5x2−x22)成立．1−x135. 已知函数f(x)=−x3+ax2−4(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1, f(1))处的切线的倾斜角为π，求a的值；4(2)若存在t∈(0, +∞)，使f(t)>0，求a的取值范围．参考答案与试题解析导数的几何意义专题练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】根据切点在切线上可求出f(4)的值，然后根据导数的几何意义求出f′(4)的值，从而可求出所求．【解答】解：根据切点在切线上可知当x=4时，y=17，∴f(4)=17，∵函数y=f(x)的图象在x=4处的切线方程是y=3x+5，∴f′(4)=3，则f(4)+f′(4)=17+3=20．故选B．2.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f(x)=x3−7x2+1，所以f′(x)=3x2−14x，所以f(x)在(4,f(4))处切线的斜率为f′(4)=3×42−14×4=−8．故选A.3.【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等式.【解答】解：由图象可知， f (7)=0 ，即原不等式转化为(x −2)f ′(x )>0又由于三次函数y =f (x )的导函数是二次函数，结合f (x )的图象可知， x =1和x =4分别是函数f (x )的极小值点和极大值点，则x =1和x =4是函数f ′(x )的两个零点，我们可以做出导函数f ′(x )的图象如图，由图象可知，当x <1时， f ′(x )<0，当1<x <4时， f ′(x )>0，当x >4时， f ′(x )<0接下来利用符号法则即可求解，当x <1时，f ′(x )<0，而x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，故x <1满足题意；当1<x <2时， f ′(x )>0，但x −2<0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意；当2<x <4时， f ′(x )>0，且x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )>0，满足题意；当x >4时， f ′(x )<0，但x −2>0，故(x −2)⋅f ′(x )<0，不满足题意；综上所述，不等式x ⋅f ′(x )>0的解为x <1或者2<x <4，故不等式(x −2)f ′(x )>f (7)的解集 {x|x <1或2<x <4}. 故选D ． 4.【答案】 D【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1，由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1. 故选D . 5.【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用切线的斜率为2，切点坐标(1,a e )在切线上，列方程求解即可. 【解答】解：y ′=a e x +ln x +1，由题意可得{a e +1=2,a e=2+b,解得a =1e ，b =−1.故选C . 6.【答案】 A【考点】斜率的计算公式导数的几何意义【解析】由图象可知直线1经过(2,3) (0,1) ，由两点的斜率公式可得切线l 的斜率，再由导数的几何意义可得所求值．【解答】解：由图象可得直线l 与曲线y =f (x )相切的切点为(2,3)， ∵ 直线l 经过点(0,1)， ∴ 直线l 的斜率为k =3−12−0=1，由导数的几何意义可得f ′(2)=k =1. 故选A ． 7.【答案】 C【考点】导数的几何意义函数的图象【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果．【解答】解：由图可知，函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，∴ y =f ′(x )<0在(−∞,0)上恒成立，排除选项B 和D . 函数f (x )在(0,+∞)上先递减后递增再递减，∴ y =f ′(x )在(0,+∞)上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确．故选C ． 8.【考点】导数的几何意义【解析】无【解答】解：由题得f′(x)=53−22x+1，∴f′(1)=1．∵limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=1，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2Δx=12．故选B．9.【答案】C【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得y′=1x+2=a,解得x=1a−2，∴ a(1a −2)+2a=ln(1a+2−2),解得a=1e.故选C.10.【答案】A【考点】导数的几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立”转换成当x>0时，f′(x)≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，则f′(x)=ax+x≥2在(0, +∞)上恒成立，则a≥(2x−x2)max=1，即a的取值范围是[1, +∞). 故选A．11.【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】解：∵f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=−3，∴f′(1)=limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)3Δx=13limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=13×(−3)=−1，∴f′(1)=−1．故选B．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R，且F(−x)=F(x)，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵函数的定义域为R，且F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)，∴函数F(x)是偶函数，∵f(x)={e −x+2mx+m，x<0，e x(x−1)，x≥0，（e为自然对数的底），∴f(−x)={e −x(−x−1)， x≤0，e2−2mx+m， x>0，又因为F(x)有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、填空题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）13.【答案】6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为f ′(x )=6x 2，所以f ′(1)=6．故答案为：6．14.【答案】【考点】导数的几何意义【解析】先求出曲线y＝ln x−的导数，得到曲线在x＝1处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到tanα的值，进一步求出sin2α的值．【解答】由y＝ln x−，得y′＝，∴曲线y＝ln x−在x＝3处的切线斜率k＝2，∵曲线y＝ln x−在x＝2处的切线的倾斜角为α，∴tanα＝2，∴sin2α＝5sinαcosα＝．15.【答案】A>C>B【考点】导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义．【解答】解：设M(a,f(a))，N(a+1,f(a+1))，表示直线MN的斜率k MN；则C=f(a+1)−f(a)(a+1)−aA=f′(a)表示函数f(x)在点M处的切线的斜率；B=f′(a+1)表示函数f(x)在点N处的切线的斜率，作出函数f(x)的大致图像，由图易知f′(a)>k MN>f′(a+1)，所以A>C>B．故答案为：A>C>B．16.【答案】8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用．【解答】，解：函数f(x)=x+ln x的导函数为f′(x)=1+1x=2，所以切线l的方程为y−1=2(x−1)，则f′(1)=1+11即y=2x−1，因为直线l与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，所以方程ax2+(a+2)x+1=2x−1，即ax2+ax+2=0有两个相等的实数根，显然a≠0，则Δ=a2−4×2a=0，解得a=8．故答案为：8．17.【答案】7x−v−4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得切线方程．【解答】由函数f(x)=2x3+x，得f′(x)=6x2+1f′(1)=7，即曲线在点(1,f(1))处的切线斜率为k=7，又f(1)=3．曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=7(x−1)，即7x−y−4=0故答案为：7x−y−4=018.【答案】y=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程圆的切线方程导数的几何意义【解析】求出f(0)和f′(0)即可因为f(x)=x3，所以f(0)=0,f′(x)=3x2所以f′(0)=0所以曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为：y−0=0×(x−0)即y=0故答案为：y=019.【答案】92(e−1)【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求导得f′(x)=e x−ln x−1，故f′(1)=e−1，再结合f(1)=e+2和直线的点斜式方程得切线方程y−(e+2)=(e−1)(x−1)，进而求在坐标轴上的点的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：因为f′(x)=e x−ln x−1，所以f′(1)=e−1，又f(1)=e+2，故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e+2)=(e−1)(x−1)，切线交两坐标轴于点A(0,3)，B(31−e,0)，所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=92(e−1).故答案为：92(e−1).20.【答案】−3【考点】导数的几何意义利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求出a，b的值，即可得解．【解答】解：函数y=x3+ax2(a∈R)的导数为f′(x)=3x2+2ax，可得函数在点(1,b)处的切线斜率为：k=f′(1)=3+2a=−1，所以a=−2，因为点(1,b)在函数y=x3+ax2(a∈R)上，所以b=1+a=−1，所以a+b=−2+(−1)=−3.故答案为：−3.21.y=x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义抛物线的性质抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】略22.【答案】(−∞,e]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=e x，切点为(x0，e x0)，f′(x)=e x，∴ k=e x0，b=e x0−kx0=e x0(1−x0)，∴ k+b=e x0+e x0(1−x0)=e x0(2−x0).令g(x)=e x(2−x)，g′(x)=e x(2−x)−e x=e x(1−x)，当x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.又g(1)=e，∴ k+b的取值范围是(−∞,e].故答案为：(−∞,e].23.【答案】25【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线2x+3y=0的斜率为−23，设曲线y=1x +ln xa在x=1处的切线l的斜率为k，则k⋅(−23)=−1,k=32，又曲线y=1x +ln xa在x=1处有切线l，则y′=−1x2+1ax，y′(1)=1a−1=k,即1a −1=32，解得a=25.故答案为：25.24.【答案】6−2ln25【考点】导数的几何意义点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(0,+∞)，由y=14x2−12ln x内导数为y′=12x−12x,令12x−12x=34,可得x=2或x=−12(舍去),所以切点为(2,1−12ln2).它到直线y=34x−2即3x−4y−8=0的距离d=√9+16=6−2ln25,即点P到直线y=34x−2的距离的最小值6−2ln25.故答案为：6−2ln25.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）25.【答案】20【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】求出函数的导函数，然后求解在x＝3处的导数值即可．【解答】函数y＝(2x−1)2＝4x2−4x+1，y′＝8x−4．y′|x=3=8×3−4＝20．26.【答案】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】根据导数的定义即可求出．【解答】△S＝π(5+△r)2+π×52＝π(△r2+10△r)∴△S=π(△r+10)，△r∴limπ(△r+10)＝10π，△r→0S′(5)的意义是半径r＝5时，其圆的周长．27.【答案】+2，函数的导数f′(x)=−1x2在x＝1处切线的切线斜率k＝f′(1)＝−1+2＝1，f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y−3＝x−1，即y＝x+2．【考点】导数的几何意义【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】函数的导数f′(x)=−1x 2+2，在x ＝1处切线的切线斜率k ＝f′(1)＝−1+2＝1， f(1)＝1+2＝3，即切点坐标为(1, 3)，则对应的切线方程为y −3＝x −1，即y ＝x +2．28.【答案】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12，解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ，所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )．令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)，则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题考查导数的运算、几何意义、导数与函数的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：f ′(x)=a(x+1x−ln x)(x+1)2−b x 2．由于直线x +2y −3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故{f(1)=1，f ′(1)=−12，即{b =1，a 2−b =−12，解得a =1，b =1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=ln x x+1+1x ，所以f(x)−ln x x−1=11−x 2(2ln x −x 2−1x )．令ℎ(x)=2ln x −x 2−1x (x >0)，则ℎ′(x)=2x −2x 2−(x 2−1)x 2=−(x−1)2x 2．所以当x ≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0，故当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，可得11−x 2ℎ(x)>0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，可得11−x 2ℎ(x)>0．从而当x >0，且x ≠1时，f(x)−ln x x−1>0．即f(x)>ln x x−1．29.【答案】（Ⅰ）解：由f ′(x)=1x −ax +b ，得f ′(1)=1−a +b ，f(1)=−12a +b +1， ∴ 切线l 的方程为y −(−12a +b +1)=(1−a +b)⋅(x −1)，又切线l 过点(12,12)，∴ 12−(−12a +b +1)=(1−a +b)(12−1)，解得b =0．∵ g(x)=f(x)−(a −1)x =ln x −12ax 2+(1−a)x +1(x >0)， ∴ g ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x +1x=−a(x−1a )(x+1)x (a >0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．【考点】导数的几何意义不等式的综合【解析】本题考查导数的几何意义、导数、函数、不等式的综合应用．【解答】（Ⅰ）解：由f′(x)=1x−ax+b，得f′(1)=1−a+b，f(1)=−12a+b+1，∴切线l的方程为y−(−12a+b+1)=(1−a+b)⋅(x−1)，又切线l过点(12,12 )，∴12−(−12a+b+1)=(1−a+b)(12−1)，解得b=0．∵g(x)=f(x)−(a−1)x=ln x−12ax2+(1−a)x+1(x>0)，∴g′(x)=1x−ax+1−a=−ax2+(1−a)x+1x=−a(x−1a)(x+1)x(a>0)．当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，故g(x)max=g(1a)=ln 1a−12a(1a)2+(1−a)1a+1=12a−ln a．（Ⅱ）证明：∵a=−4，∴f(x)=ln x+2x2+1，∴f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=ln x1+2x12+1+ln x2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=ln(x1x2)+2(x1+x2)2+x1+x2−x1x2+2=2，∴x1+x2+2(x1+x2)2=x1x2−ln(x1x2)．令x1x2=m(m>0)，φ(m)=m−ln m，φ′(m)=m−1m，令φ′(m)<0得0<m<1，令φ′(m)>0得m>1，∴φ(m)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴φ(m)≥φ(1)=1，∴x1+x2+2(x1+x2)2≥1，又x1+x2>0，∴x1+x2≥12．30.【答案】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x2+a ln x−1，所以ℎ′(x)=2x+ax，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y=x垂直，所以ℎ′(1)=2+a=−1，所以a=−3．（Ⅱ）由题意可得f′(x)≥ln xx，即2x+ax ≥ln xx(x>0)，也即a≥ln x−2x2恒成立，令g(x)=ln x−2x2，g′(x)=1x −4x=1−4x2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12．所以a ≥−ln 2−12．【考点】函数的单调性与导数的关系导数的几何意义【解析】本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系．【解答】解：（Ⅰ）令ℎ(x)=f(x)−1=x 2+a ln x −1，所以ℎ′(x)=2x +a x ，又ℎ(x)在点(1,0)处的切线与直线y =x 垂直，所以 ℎ′(1)=2+a =−1，所以a =−3．（Ⅱ）由题意可得f ′(x)≥ln x x，即2x +ax ≥ln x x(x >0)，也即a ≥ln x −2x 2恒成立，令g(x)=ln x −2x 2，g ′(x)=1x −4x =1−4x 2x，令g ′(x)=0，解得x =12（舍去x =−12），所以g(x)=ln x −2x 2在(0,12)上单调递增，在[12,+∞)上单调递减，所以g(x)max =g (12)=ln 12−2×14 =ln 12−12=−ln 2−12．所以a ≥−ln 2−12． 31.【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=e x−1，f ′(x )=e x−1， ∴ f ′(1)=1，f(1)=1，∴ 曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线方程为y −1=x −1，即y =x .(2)设直线与曲线y =f (x )相切于点A (x 1,y 1)，与曲线y =g (x )相切于点B (x 2,y 2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】（1）当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，故k=f′(1)=1，再根据点斜式方程求解即可 .（2）设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，①则根据切点在切线上，也在曲线上得{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x2−a(x2−x1)②，，整理得(x1−1)(x2−1)=0，再分当x1=1时和x2=1时两种情况求解即可．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−1，f′(x)=e x−1，∴f′(1)=1，f(1)=1，∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y−1=x−1，即y=x.(2)设直线与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，则f′(x)=e x−a，g′(x)=1x，∵曲线y=f(x)在点A处的切线为y−e x1−a=e x1−a(x−x1)，与曲线y=g(x)相切于点B，∴{e x1−a=1x2①，ln x2−b−e x1−a=e x1−a(x2−x1)②，由①，得x1−a=ln1x2=−ln x2，即ln x2=a−x1，将e x1−a=1x2，ln x2=a−x1代入②，得a−x1−b−1x2=1x2(x2−x1)，又a=b+2，整理，得(x1−1)(x2−1)=0，当x1=1时，y−e1−a=e1−a(x−1)，即y=e1−a x；当x2=1时，a−x1=ln x2=0，x1=a，∴y−1=x−a，即y=x+1−a，∴存在这样的直线，直线为y=e1−a x或y=x+1−a.32.【答案】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意，得f′(x)=x2−2x，∵f′(0)=0，∴ k=0，∴ 切线l的方程为y=2．(2)∵f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，∴ 当x=1时，切线l的斜率最小，∴ y=13−1+2=43，∴ M点的坐标为(1,43)．33.【答案】解：(1)∵f(x)=ln x−mx，∴f′(x)=1x−m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2，解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)，∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ f (x )=ln x −mx ， ∴ f ′(x )=1x −m .∵ 直线x +2y +1=0的斜率为k =−12，∴ f (x )在点x =1处的切线斜率为−2． ∴ f ′(1)=1−m =2，解得m =−1，∴ f (x )=ln x +x ，f (1)=1， ∴ 切点坐标为(1,1)，∴ 切线的方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0 . (2)∵ f (x )=ln x −mx ，∴ g (x )=12x 2+f (x )=12x 2−mx +ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ g ′(x )=x −m +1x =x 2−mx+1x(x >0).∵ 函数g (x )=12x 2+f (x )有两个不相等的极值点x 1，x 2， ∴ 方程x 2−mx +1=0有两个不相等的正实数解x 1，x 2， ∴ {Δ=m 2−4>0,x 1+x 2=m >0,x 1x 2=1>0,解得m >2 ， ∴ g (x 1)+g (x 2)=(12x 12−mx 1+ln x 1)+(12x 22−mx 2+ln x 2)=12(x 12+x 22)−m (x 1+x 2)+(ln x 1+ln x 2)=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−m (x 1+x 2)+ln (x 1x 2) =12(m 2−2)−m 2+ln 1 =−12m 2−1.∵ m >2，∴ g (x 2)+g (x 2)<−3，∴ g (x 1)+g (x 2)的取值范围是(−∞,−3) . 34. 【答案】解：(1)f ′(x)=2+a x 2−8x=2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)，令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2，原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴ 2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x 11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值导数的几何意义【解析】【解答】解：(1)f ′(x)=2+ax 2−8x =2x 2−8x+ax 2(x >0)，由已知f ′(1)=2−8+a 12=0知a =6，f ′(6)=2×62−8×6+662=56，点A(1,−4)，故所求直线方程为5x −6y −29=0． (2)f(x)定义域为(0,+∞)，令t(x)=2x 2−8x +a ，由f(x)有两个极值点x 1，x 2(1<x 1<x 2)得：t(x)=2x 2−8x +a =0，有两个都大于1的不等的零点， {Δ=64−8a >0，t(0)=a >0，t(1)>0，∴ 6<a <8， {x 1+x 2=4，x 1x 2=a 2，∴ {x 2=4−x 1，a =2x 1x 2=2x 1(4−x 1)，由1<x 1<x 2知1<x 1<2，原不等式等价于:2x 1(4−x 1)ln x 11−x 1>m[5(4−x 1)−(4−x 1)2]，∵ 4−x 1>0， ∴2x 1ln x 11−x 1>m(1+x 1)，∴ x 11−x 1[2ln x 1+m(x 12−1)x 1]>0，①1<x 1<2，x11−x 1<0，令ℎ(x)=2ln x +m(x 2−1)x(1<x <2)，ℎ′(x)=mx 2+2x+mx 2，m ≤−1时，Δ=4−4m 2≤0，ℎ′(x)<0恒成立，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减． ∵ ℎ(1)=0，∴ ℎ(x)<0，不等式①成立， ∴ m ≤−1时原不等式成立． 35.【答案】解：(1)依题意f ′(x)=−3x 2+2ax ， f ′(1)=tan π4=1，∴ −3+2a =1，即a =2． (2)f′(x)=−3x(x −2a 3)．①若a ≤0，当x >0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】（1）求出f(x)的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；（2）求出f(x)的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在(0, +∞)上为减函数，又x=0时f(x)的值为−4且当x大于0时，f(x)小于−4，所以当a 小于等于0时，不存在x0>0，使f(x0)>0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f(x)的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．【解答】解：(1)依题意f′(x)=−3x2+2ax，f′(1)=tanπ4=1，∴−3+2a=1，即a=2．(2)f′(x)=−3x(x−2a3)．①若a≤0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在[0, +∞)上单调递减．又f(0)=−4，则当x>0时，f(x)<−4．∴a≤0时，不存在t>0，使f(t)>0．②若a>0，则当0<x<2a3时，f′(x)>0，当x>2a3时，f′(x)<0．从而f(x)在(0,2a3]上单调递增，在[2a3，+∞)上单调递减．∴当x∈(0, +∞)时，f(x)max=f(2a3)=−8a327+4a39−4=4a327−4，据题意，4a 327−4>0，即a3>27，∴a>3．综上，a的取值范围是(3, +∞)．试卷第31页，总31页。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。

【答案】或。

【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.2.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求点到直线的距离，需知点的坐标和直线的方程，由公式,计算可得.由于直线为已知曲线方程的切线，且已知切点，这样一般通过求导数得到切线的斜率，由点斜式得到直线方程.，，.【考点】（1）导数与切线的关系；（2）点到直线的距离.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由曲线在点处的切线方程为得：，从而可得：，所以曲线在点处切线的斜率为４；故选Ｂ．【考点】函数导数的几何意义．4.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.5.曲线在点处的切线斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．【考点】1．直线的斜率；2．导数的几何意义．6.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn ，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中x n为正实数．（1）用xn 表示xn+1；（2）若x1=4，记an=lg，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．解：（1）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（2）由，知，’同理．----6’故．-----7’从而，即．所以，数列成等比数列．---8’故．即．----9’从而,所以．----10’（3）由（Ⅱ）知，∴∴ ---11’当时，显然．-------12’当时，-----13’∴．综上，．【考点】1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．7.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．8.已知曲线：（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1）∵，∴，求导数得：，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即：．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得：，代入曲线方程得：切点为或，∴所求切线方程为：或，即：或．【考点】1、导数的计算；2、导数的几何意义．9.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义10.过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为；【答案】0或1或9【解析】设切点，则有所以或.因为过点恰可以作曲线的两条切线，，所以方程有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由得或，此时方程的根非零.当方程有零根时，，此时方程还有另一根【考点】导数求切线11.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为．【答案】【解析】曲线在点处切线的方程为：.【考点】导数的几何性质.12.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.13.在曲线处的切线方程为。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】因为曲线在点处的切线方程为，所以；由可得所以曲线在点处切线的斜率为.【考点】导数的几何意义.2.函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f ′（x）>0，a＝f（0），b ＝f（），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】B【解析】由于函数，因此，，当，，函数在区间为增函数，因此，所以.【考点】函数的导数与单调性.3.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.4.已知曲线（1）求曲线在点处的的切线方程；（2）过原点作曲线的切线，求切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）求导，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程写出切线方程，再化成一般式即可；（2）设切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，代入（0,0）求即可．规律总结：利用导数的几何意义求的切线方程：．注意点：要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”．试题解析:(1)，，则，所以曲线在点处的的切线方程为，即；设切点为,切线斜率；则切线方程，又因为切线过原点，所以，即，所以，即切线斜率为，切线方程为，即．【考点】导数的几何意义．5.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。

【答案】或。

【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.6.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．7.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．【解析】（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．（1）当时，函数，，曲线在点处的切线的斜率为从而曲线在点处的切线方程为，即 3分（2）令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是 7分（3）∵在上是减函数∴时，；时，，即①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数当时，，因为，所以，此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意②当时，由，所以又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数∴，不合题意 12分③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即，解得所以实数的取值范围是 15分．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性与导数；3．二次函数的图像与性质；4．分类讨论的思想．8.已知．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；（2）当时，求的单调区间．【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】（1）先求导，由直线方程可知此直线斜率为2，则曲线在处的切线的斜率也为2.由导数的几何意义可知。

高中数学导数及其几何意义精选题

导数及其几何意义精选题33道一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．13．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．234．设点P是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)πC ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．28．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π10．如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．111．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45-C ．35D ．35-12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）= ．17．已知点P 在曲线41xy e=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f xx=+'-，则f '（1）= ．19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是．20．曲线1yln x x =-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=．21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是．22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()y f x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为．（写出所有满足条件的函数的序号） 23．已知曲线2132y xln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为．24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为．25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为．26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3yx=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是．27．设直线3yx b=-+是曲线323y x x=-的一条切线，则实数b 的值是．28．已知函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=． 29．已知函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是．30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= ．四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．导数及其几何意义精选题33道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立”转换成1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()()2h x f x x=-，根据增减性求出导函数，即可求出a 的范围．【解答】解：对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，假设12x x >，1212()()22f x f x x x ->-，即1122()2()2f x x f x x ->-对于任意120x x >>成立，令()()2h x f x x =-，()h x 在(0,)+∞为增函数， ()20a h x x x'∴=+-…在(0,)+∞上恒成立，20a x x+-…，则2(2)1m a x a x x -=…故选：D ．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题． 2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为111()(1)x x x f x ex ex e---'=+=+，当1x=时，f '（1）2=，即曲线1x y x e-=在点(1,1)处切线的斜率k f ='（1）2=，故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 3．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．23【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在0(P x ，0)y 处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若313yx x=+，则1|2x y ='=，即曲线313yx x =+在点4(1,)3处的切线方程是42(1)3yx -=-，它与坐标轴的交点是1(3，0)，2(0,)3-，围成的三角形面积为19，故选A ．【点评】函数()yf x =在0xx =处的导数的几何意义，就是曲线()yf x =在点0(P x ，0)y 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：000()()y y f x x x -='-4．设点P 是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)π C ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【解答】解：23y x'=--ta n α-…，[0α∴∈，2)[23ππ，)π，故选：B ．【点评】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率． 5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-【分析】设切点坐标为(,)a ln a ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入(0,0)，求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：设切点坐标为(,)a ln a ，y ln x=，1y x∴'=，切线的斜率是1a，切线的方程为1()y ln a x a a -=-，将(0,0)代入可得1ln a=，a e∴=，∴切线的斜率是11ae=；故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标． 6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【分析】先从()f x 的图象判断出()f x 的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象【解答】解：由()f x 的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y 轴左侧先增，再减，在y 轴的右侧，函数单调递减，∴导函数()yf x ='的图象可能为区间(,0)-∞内，先有()0f x '>，再有()0f x '<，在(0,)+∞再有()0f x '<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题 7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．2【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出．【解答】解：()y f x =在点(1，f（1）)处的切线的斜率为f '（1）0(1)(12)lim12x f f x x→--==-，故选：A ．【点评】本题考查极限的定义的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题． 8．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --【分析】根据导数的几何意义，以及导数的极限表示形式0000()()()limx f x x f x f x x→+-'=进行化简变形，得到结论．【解答】解：000000()()()()limlim()x x f x x f x f x x f x f x xx→→----=-=-'-，故选：C ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的极限表示形式，本题属于中档题． 9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π【分析】根据题意，设曲线31233yx x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，求出曲线方程的导数，进而求出1|x y ='的值，即可得切线的斜率，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，设曲线31233y x x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，曲线方程为31233yx x =-+，其导数22y x '=-，则有1|121x y ='=-=-，则切线的斜率1k=-；则有ta n 1θ=-，故34πθ=；故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题． 10．如图，函数()yf x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．1【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出()f x '的式子，进而可求出()yf x =的式子，即可求得结果．【解答】解：由图象可得：函数()yf x =的图象在点P 处的切线是L 与x 轴交于(4,0)，与y 轴交于(0,4)，则可知:4L x y +=，f∴（2）2=，f '（2）1=-∴代入则可得f（2）f +'（2）1=，故选：D ．【点评】本题考查导数性质的基本应用，结合图形的基本性质即可求得答案． 11．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45- C ．35D ．35-【分析】曲线在1x =处的切线的倾斜角为α，所以1|ta n x y α='=，所以2222s in c o s 2ta n c o s (2)s in 221s in c o s ta n παααααααα+=-=-=-++，将ta n α代入即可．【解答】解：依题意，212y xx'=+，所以12ta n 311α=+=，所以22222s in c o s 2ta n 233c o s (2)s in 221315s in c o s ta n παααααααα⨯+=-=-=-=-=-+++，故选：D ．【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题． 12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数()f x 为偶函数求得a 的值，再求出()f x 的导函数()f x '，利用导数判断()f x '的单调性与极值，从而得出函数()f x '的大致图象．【解答】解：函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则10a-=，解得1a=，42()2f x x x∴=-+， 3()44f x x x∴'=-+；设()()g x f x ='，则2()124g x x '=-+，令()g x '=，解得3x=±∴当03x <<时，()g x '>，当3x>时，()0g x '<；()g x ∴在3x =34423339g =-⨯+⨯=<，∴导函数()f x '的图象大致为选项A 所示．故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程．【解答】解：设切点为0(x ，0)y ，过点P的切线方程为000(1)()x x y x ex x x e=+-+，代入点P坐标化简为200(1)x m x x e=---，即这个方程有三个不等根即可，令200()(1)x f x xx e=---，求导得到()(1)(2)xf x x x e'=--+，函数在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)--上单调递增，在(1,)-+∞ 上单调递减，故得到(2)(1)f m f -<<-，即231(,)ee--故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点【分析】根据题意，由函数()y x f x ='的图象分析导函数的符号，进而可得()f x 的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，由函数()y x f x ='的图象可知：当2x<-时，()0x f x '<，()0f x '>，此时()f x 为增函数，当20x -<<时，()0x f x '>，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当02x <<时，()0x f x '<，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当2x>时，()0x f x '>，()0f x '>，此时()f x 为增函数；据此分析选项：函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞，则B 正确，A 错误；2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，则D 正确，C 错误；故选：B D ．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题． 15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=【分析】通过解方程00()()f x f x '=，看是否有解即可解决此题．【解答】选项A 中，由00()()f x f x '=得：200234x x +=，△80=-<，无解，∴函数无巧值点，故不选A ；选项B 中，由00()()f x f x '=得：211x x =-，解得：01x =-，函数有巧值点1-，故选B ；选项C 中，由00()()f x f x '=得：0xx e e--=-，无解，∴函数无巧值点，故不选C ；选项D 中，由00()()f x f x '=得：01ln x x =，函数0y ln x =与01yx =在第一象限有一个交点，∴方程01ln x x =有一个解，∴函数有巧值点，故选D ；故选：B D ．【点评】本题考查导数运算、方程思想、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题．三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）=3- ．【分析】先将2x =代入切线方程可求出f （2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f '（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）1=-，切点处的导数为切线斜率，所以f '（2）2=-，所以f（2）f +'（2）3=-．故答案为：3-．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率． 17．已知点P 在曲线41xye=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是3[,)4ππ ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得24()21x xxe f x ee '=-++，4411222xxk e e=--=-+++…，且0k<则曲线()yf x =上切点处的切线的斜率1k -…，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得3[,)4παπ∈，故答案为：3[,)4ππ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f x x=+'-，则f '（1）= 0 ．【分析】根据题意，求出函数的导数22()32()13f x x f x '=+'-，令23x=可得：2222()3()2()1333f f x '=+'-，解可得2()3f '的值，即可得()f x '的解析式，将1x=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，322()()3f x x f xx=+'-，其导数22()32()13f x xf x '=+'-，令23x =可得：22222()3()2()13333f f '=+'-，解可得2()13f '=-，则2()321f x x x '=--，故f '（1）3210=--=，故答案为：0．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是[0，3][44ππ，)π ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．，再根据导数的几何意义可知ta n kα=-…，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得()c o s f x x'=，1co s 1x -剟，则曲线()y f x =上切点处的切线的斜率11k -剟，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得[0α∈，3][44ππ，)π，故答案为：[0，3][44ππ，)π．【点评】本题考查了导数的几何意义、正弦函数的导数、余弦函数的值域等基本知识，以及利用正切函数的图象求倾斜角，考查运算求解能力，考查数形结合思想． 20．曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=45．【分析】先求出曲线1yln x x=-的导数，得到曲线在1x=处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到ta n α的值，进一步求出s in 2α的值．【解答】解：由1yln x x=-，得211y xx'=+， ∴曲线1y ln x x =-在1x =处的切线斜率2k=，曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，ta n 2α∴=，22ta n 4s in 22s in c o s 1ta n 5ααααα∴===+．故答案为：45．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，三角恒等变换，二倍角公式和直线的斜率与倾斜角之间的关系，考查了转化思想，属基础题． 21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是[2，)+∞ ．【分析】先对函数()f x 求导，然后令导函数等于0得到关于a ，x 的关系式，再由基本不等式可求出a 的范围．【解答】解：211()()2f x xa x ln x f x x a x'=-+∴=-+由题意可知存在实数0x>使得1()0f x x a x'=-+=，即1a x x=+成立12a x x ∴=+…（当且仅当1x x=，即1x=时等号取到）故答案为：[2，)+∞【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率． 22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()yf x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ①④ ．（写出所有满足条件的函数的序号）【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；对于③，()(1)f x ln x =+在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数31()()2f x x =-在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题． 23．已知曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 3 ．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为0(x ，0)y 曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为20032y x x ∴'=-=解得：03x =或1-x > 03x ∴=故答案为：3【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域． 24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为 1 ．【分析】利用导数的几何意义即可得出．【解答】解：()x xf x e x e'=+，(0)1f ∴'=． ()f x ∴在0x=处的切线斜率为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 81 ．【分析】利用导数的求导法则先求出()f x '，然后由导数的几何意义求解f '（1）即可．【解答】解：函数3()(21)f x x x =+，所以32()(21)3(21)2f x x x x '=+++⨯，故f '（1）275481=+=．故答案为：81．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了导数几何意义的理解，考查了运算能力，属于基础题． 26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3y x=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是3(1,)e e ．【分析】先分析函数3y x=单调性，值域；再分两种情况当01a <<时，当1a>时，讨论xya=在(,)-∞+∞上单调性，值域，发现当1a>时，只能是在(0,)+∞上函数xya=与3yx=有两个交点⇒在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，⇒在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>，求导，分析单调性，最值，进而得出答案．【解答】解：函数3y x=在(,)-∞+∞上单调递增，在(,0)-∞上0y<，在(0,)+∞上0y>，当01a <<时，xya=在(,)-∞+∞上单调递减，且0y >所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意，当1a>时，xy a=在(,)-∞+∞上单调递增，且0y>，所以只能是在(0,)+∞上函数xy a=与3yx=有两个交点，即在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，所以在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>23(1)()ln x g x x-'=，在(0,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(,)e +∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()m a x g x g=（e ）33eln e ln e e==，所以3eln a ln e <<，所以31ea e <<．故答案为：3(1,)e e【点评】本题考查函数图象交点，方程的根，以及利用导数求最值，属于中档题． 27．设直线3yx b=-+是曲线323yx x=-的一条切线，则实数b 的值是 1 ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数b 和c 即可．【解答】解：236y x x'=-，2363kx x ∴=-=-，1x ∴=，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标(1,2)-它也在切线上，∴代入3yx b=-+，得1b=．∴常数b 为：1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 28．已知函数()yf x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=2- ．【分析】根据题意，由导数的定义可得0limx →000()()()f x x f x f x x+-='，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，即0()2f x '=-，而0limx →000()()()2f x x f x f x x+-='=-，故答案为：2-【点评】本题考查导数的几何意义，涉及极限的计算，属于基础题． 29．已知函数()yf x =的图象在点(1，f （1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是 2 ．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f '（1）的值，把f（1）和f '（1）代入f （1）2f '+（1）即可．【解答】解：点(1，f （1）)是切点，∴在切线上， 12f∴-（1）10+=，f（1）1=函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，∴切线斜率是12即f '（1）12=f∴（1）2f '+（1）11222=+⨯=故答案为2【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用． 30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= 3 ．【分析】先对()f x 求导数，再求f '（1）可解决此题．【解答】解：()2f x f '=（1）ln x +，1()f x x∴'=，f ∴'（1）1=，()2f x ln x∴=+，f∴（e ）3=．故答案为：3．【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A 处的值为切线方程的斜率可得答案．（2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（1）32232y x x y x '=-∴=-+当1x=时，1y '=-∴点(1,1)A 处的切线方程为：1(1)(1)yx -=--即：20xy +-=（2）设切点坐标为3(,2)m m m -则直线斜率322m m k m -=-，而223y m'=-，整理得到：32320m m-+=3222(1)0mmm---=2(1)2(1)(1)0m m m m --+-=2(1)(22)0m mm ---=解得11m =，21m =+31m =-当1m =时：2231k m=-=-，直线方程为(2)2yx x=--=-；当1m =+22310k m=-=--，直线方程为(102)y x =---当1m=-时，22310km=-=-+，直线方程为(102)yx =-+-【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率． 32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．【分析】（1）由利用导数研究函数的单调性得：当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）由利用导数研究函数的极值得：令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减，所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x-<-，(1)0x ln x-<，故()2(1)22h x x l n x x x l n x =--=--<-，所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．得解．【解答】解：（1）由题得22()2a xx a f x x x x -+'=-+=，其中0x>，考察2()2g x x x a=-+，0x>，其中对称轴为1x =，△44a=-．①若1a …，则△0…，此时()0g x …，则()0f x '…，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②若01a <<，则△0>，此时220x x a -+=在R 上有两个根11x =-21x =+121x x <<<，所以当1(0,)x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；当1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减；当2(x x ∈，)+∞时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()fx 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）证明：由（1）知，当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且122x x +=，12x x a=，所以11111()()22()2()()[()2]2()()(22)4222222f x f x x x a ln x x x a ln x x x x x a ln x ln x x x x x x x a ln x x a a ln a a ln a a +=-++-+=+-+++=+--++=--+=--．令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减，所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x -<-，(1)0x ln x -<，故()2(1)22h x xln x x x ln x =--=--<-，所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．综上，可得123()()2f x f x -<+<-，故命题得证．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属综合性较强的题型．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．【分析】求出函数在1x =出的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系，即可解出．【解答】解：233y x x '=--所以函数在1x=处的导数为：故该直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α，则ta n α=[0α∈，)π，∴23πα=．【点评】本题考查了导数的应用，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．。

高三数学导数的概念和几何意义试题

高三数学导数的概念和几何意义试题1.若曲线处的切线平行于直线,则点的坐标是_______.【答案】（１,０)【解析】设P点的横坐标为，因为=，所以，解得=1，所以P(1,0).考点:导数的几何意义2.已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.（1）求f（x）的单调区间；（2）问过坐标原点可以作几条直线与曲线y＝f（x）相切？并说明理由；（3）若在区间（0，1）内是单调函数，求a的取值范围.【答案】（1）在区间内单调递减，在内单调递增；（2）一条；（3）【解析】（1）利用导函数确定单调区间；（2）设出切线方程，根据切线过原点求出切线条数；（3）g（x）在（0，1）内单调，则g'（x）在（0,1）内大于0或者小于0恒成立，由此求a的范围.试题解析：（1）由得，（舍去）.所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增.（3分）（2）设切点，则切线方程为.因为过原点，所以，化简得（※）.设，则，所以在区间内单调递增.又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.（8分）（3）.设，则，显然在区间（0，1）内单调递减.①当时，，从而在（0，1）内恒成立，即在（0，1）内单调递增.注意到，所以即在（0，1）内恒成立.于是在区间（0，1）内单调递减，符合题意.②当时，，，从而，使得在内恒成立，在内恒成立.即在内单调递增，在内单调递减.又，所以，又，所以存在，使得即在内恒成立，即在内恒成立.因此在区间（0，1）内既有递减区间，也有递增区间，不符合题意.综上可知，实数的取值范围是.（14分）【考点】函数的导数，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题.3.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是( )A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0【答案】A【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，由f′(x)＝3x 2＋6x 得 f′(x 0)＝3x 02＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1，即切点坐标为(－1,1)．从而切线方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，故选A.4. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 A ． B ． C ．2D ．1【答案】C ．【解析】对求导，得，由导数的几何意义，得所求切线的斜率，故选C ．【考点】导数的几何意义．5. 已知函数（为常数）．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，试判断的单调性；（3）若对任意的，使不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）3；（2）在上是增函数；（3）. 【解析】（1）先求函数的定义域，，在由可求得；（2）在中由于，判断函数的正负号，从而确定函数在上的单调性；（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．分离变量恒成立，构造函数记，（），由导数法求解. 依题意，，（1）由已知得：，∴，∴．（3分）（2）当时，，因为，所以，而，即，故在上是增函数．（8分）（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立记，（），则，令，则所以，所以, 故，所以在上单调递减所以即实数的取值范围为．（13分）【考点】导数法求函数的单调性，构造法.6. 已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a>0，b>0.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝，b＝5（2）①M(a)＝②【解析】解：(1)由P(2，c)为公共切点，f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，＝4a，得f′(x)＝2ax，k1＝12＋b.g′(x)＝3x2＋b，k2又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，所以，解得a＝，b＝5.(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，所以32＋2a＋b＝0，得a2＝4b，所以h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；若－<－1<－时，即2<a<6时，最大值为h＝1；若－1≥－时，即a≥6时，最大值为h＝1，综上所述，M(a)＝②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以h为极大值，h＝1，h为极小值，h＝－＋1，因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，又h(0)＝1，所以即解得故实数a的取值范围是.7.已知).（1）若时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在实数，使在上的最小值是.【解析】（1）当时，，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；（2）函数在上是减函数，转化成在上恒成立；令，解即得；（3）假设存在实数，使在上的最小值是，根据，讨论当、、等三种情况时，令，求解即得.（1）当时， 1分,函数在点处的切线方程为 3分（2）函数在上是减函数在上恒成立 4分令，有得 6分7分（3）假设存在实数，使在上的最小值是38分当时，，在上单调递减，（舍去) 10分当且时，即，在上恒成立，在上单调递减，（舍去) 11分当且时，即时，令，得；，得在上单调递减，在上单调递增，满足条件 13分综上所述，存在实数，使在上的最小值是. 14分【考点】应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.8. （5分）（2011•重庆）曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为（） A ．y=3x ﹣1 B ．y=﹣3x+5 C ．y=3x+5 D ．y=2x【答案】A【解析】根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．解：∵y=﹣x 3+3x 2∴y'=﹣3x 2+6x ， ∴y'|x=1=（﹣3x 2+6x ）|x=1=3，∴曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为y ﹣2=3（x ﹣1），即y=3x ﹣1，故选A ．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．9. 若直线是曲线的切线，则实数的值为．【答案】－e【解析】设切点为，则有因此【考点】利用导数求切线10. 对于每一个正整数，设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则. 【答案】.【解析】利用导数求得曲线在点处的切线方程为，即，它与轴交于点，则有，，.【考点】1.利用导数求切线方程；2.裂项求和11. 已知曲线y=x 4+ax 2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a 等于( ) A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6【答案】D【解析】y′=4x 3+2ax 由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D.12. 已知曲线f(x)＝ln x 在点(x 0，f(x 0))处的切线经过点(0，－1)，则x 0的值为( ) A ． B ．1 C ．eD ．10【答案】B【解析】依题意得，题中的切线方程是y－ln x0＝ (x－x)；又该切线经过点(0，－1)，于是有－1－ln x0＝ (－x)，由此得ln x＝0，x＝1，选B.13.设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．【答案】（1）y＝x－1（2）见解析【解析】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．14.已知直线与曲线相切于点，则。

(完整版)导数的几何意义(基础练习题)

导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（） A ．0 B 。

1 C 。

2 D 。

33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。

高二数学导数的几何意义试题答案及解析

高二数学导数的几何意义试题答案及解析1. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，在R 上单调递增；当时，在和内单调递增，在内单调递减.【解析】（1）当a=1时，直接求出即是切线的斜率，然后写出点斜式方程，再化成一般式. （2）先求导，然后根据导数大（小）于零，确定其单调增（减）区间.要注意讨论a 的取值范围. （Ⅰ）当时，. 2分所以曲线在点处的切线斜率是 3分因为所以曲线在点处的切线方程是，即. 5分（Ⅱ）令，得. 7分 ①当时，，故在R 上为增函数. 9分 ②当，即时，列表分析如下：＋－＋所以函数在和内单调递增，在内单调递减. 13分综上，当时，在R 上单调递增；当时，在和内单调递增，在内单调递减.2. （本小题满分14分）已知函数（1）求函数在点（1，f(1)）处的切线方程. （2）求函数的单调区间和极值.【答案】（2），，【解析】(i)先求出f(x)在x=1处的导数值，也就是切线的斜率，再写出点斜式方程化成一般式方程即可.（2）直接求导，利用导数大（小）于零求出单调增（减）区间.进而可以确定极值，同时要注意函数的定义域.解：（2），3.曲线f(x)= x3+ x－2在P点处的切线平行于直线y=4x－1，则P点坐标（）A．(1,0);B．(2,8);C．(1,0)和(－1,－4);D．(2,8)和(－1,－4)【答案】C【解析】4.（本小题满分15分）已知函数,曲线在点处的切线为若时，有极值.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）在上的最大值为13，最小值为【解析】曲线在点处的切线为可以得出切线斜率，再根据点在切线上，得出点坐标，从而求得a,b关系式；时，有极值，得导数在处为0，得出的值；要求在上的最大值和最小值，需判断函数在上的单调性。

解：（1）由,得………………1分当时，切线的斜率为3，可得①…………2分当时，有极值，则,可得② ……4分由①②解得:……………………………………5分由于切点的横坐标为．…………………………………………8分（2）由（1）可得,∴令,得．………………10分当变化时，,′的取值及变化如下表：-3-21′+-+8单调递增 ↗13单调递减 ↘单调递增 ↗4∴在上的最大值为13，最小值为………………15分5. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵y="1/" 3 x 3+x ，∴y'=x 2+1∴f'（1）=2在点（1，4/ 3 ）处的切线为：y="2x-2" /3 与坐标轴的交点为：（0，2 /3 ），（1/ 3 ，0） S="1" /2 ×2/ 3 ×1 /3 ="1/" 9 ，故答案为：1/ 9 ．6. (14分)设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．【答案】（1）的最大值为； (2)；（3）. 【解析】第一问利用当时，解得或（舍去）当时，，单调增加，当时，，单调减少得到最值第二问中，由恒成立得恒成立因为，等号当且仅当时成立所以第三问中，时，方程即设，解得(<0舍去)，在单调增加，在单调减少，最大值为因为有唯一实数解，有唯一零点，所以最后求解得到。

高二数学导数的概念和几何意义试题

高二数学导数的概念和几何意义试题1.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义2.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.3.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．4.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）切线方程为；（2）直线的方程为，切点坐标为.．【解析】（1）根据导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，再用直线的点斜式写出直线方程即可；（2）先设出切点坐标，用（1）的方法求出直线的方程，把原点带入，可求直线方程及切点坐标．（1）切线方程为：，即（2）设切点为则…….①，直线方程为，直线过原点，则…….②联立①、②解得，所以直线方程为:，切点坐标为.【考点】导数的几何意义、直线方程的求法.5.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】又，所以,故，则.【考点】利用导数求函数的切线，倾斜角与斜率，基本不等式.6.曲线在点处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则有，从而，选A.【考点】导数的几何意义.7.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】或或或【解析】，由题意可得且，解得。

则，因为，时，。

高二数学导数的概念和几何意义试题

高二数学导数的概念和几何意义试题1.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）．【解析】解题思路：(Ⅰ)求导，利用导数的几何意义求解；（Ⅱ）求导，讨论的取值范围求函数的最值.规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析：(Ⅰ)当时， ,因为.所以切线方程是(Ⅱ)函数的定义域是当时，令得当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是；②当，即时，在上的最小最小值，不合题意；③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.综上所述有，.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.2.函数上过点（1，0）的切线方程（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,在点(1,0)处的斜率为,所以在点(1,0)处的切线方程为y-0=3(x-1),即y=3x-3.【考点】导数的几何意义.3.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则A．2B．C．D．【答案】C【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：C．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D.【考点】导数的定义6.已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】(1)根据导数的几何意义，当时，,得出，再代入点斜式直线方程；（2）讨论，当和两种情况下的极值情况.试题解析：解:函数的定义域为,.（1）当时,,,,在点处的切线方程为,即.（2）由可知:①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;②当时,由,解得;时,,时,在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值,无极大值.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求极值.7.若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．8.抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．【答案】2x－y－1＝0【解析】设点P(x0，y)，＝d＋2x，d→0时，d＋2xo →2x.抛物线在点P处的切线的斜率为2x，由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x＝1即P点坐标为(1,1)切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝09.曲线y=2lnx在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为_________.【答案】(0,0)【解析】有已知可知在处切线方程为，y轴交点的坐标即所求.【考点】在一点处切线方程.10.函数在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。

导数的几何意义,曲线的切线方程

导数的几何意义一、导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数)(0'x f ，表示曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-二、题型讲解题型一、求曲线在某点处的切线方程例题1.曲线x x y 12+=在点（1,2）处的切线方程为。

【答案：1+=x y 】练习1.1.曲线12++=x xe y x在点（0,1）处的切线方程为。

【答案：13+=x y 】练习1.2.曲线)1ln 3(+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为。

【答案：34-=x y 】练习1.3.曲线3x y =在点（1,1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形面积为。

【答案：38】练习1.4.曲线xe y =在点（2，2e ）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为。

【答案：22e 】题型二、过某点作曲线的切线方程例题2.过原点作曲线xe y =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为。

【答案：（1，e ）,e 】练习2.1.已知曲线2)(3+-=x x x f C ：。

求经过点)2.1(M 的曲线C 的切线方程。

【答案：x y 2=或4941+-=x y 】练习2.2.过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程。

【答案：x y 22-=或x y 22=】练习2.3.过点)2,0(M 作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程。

【答案：023=+-y x 或02=--y x 】练习2.4.已知曲线3431:3+=x y C ，求过点)4,2(P 的曲线的切线方程。

【答案：044=--y x 或02=+-y x 】题型三、已知曲线的切线方程，求曲线方程例题3.在平面直角坐标系中，若曲线xbax y +=2（b a ,为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是。

高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线处的切线平行于直线,则点的坐标是_______.【答案】（１,０)【解析】设P点的横坐标为，因为=，所以，解得=1，所以P(1,0).考点:导数的几何意义2.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，【解析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值；（2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间；试题解析：解：（1）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（2）由（1）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.【考点】1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.3.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于A．B．C．2D．1【答案】C．【解析】对求导，得，由导数的几何意义，得所求切线的斜率，故选C．【考点】导数的几何意义．4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．【答案】（1）b＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．所以b＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立，又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.所以b的最小值为.5.记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x)(b－a)成立，则称x为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数为________．【答案】2【解析】设函数f(x)的“中值点”为x0，则f′(x)＝＝＝1，即3x2－3＝1，解得x＝±＝±∈[－2,2]，故函数y＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数是2．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx．(1)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值－6，求y＝f(x)的单调递减区间；(2)若y＝f(x)的导数f′(x)对x∈[－1,1]都有f′(x)≤2，求的取值范围．【答案】（1）（2）(－∞，－2)∪[1，＋∞)【解析】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有，即解得，∴f′(x)＝3x2－5x－2．由f′(x)＜0，得－＜x＜2．∴y＝f(x)的单调递减区间是．(2)由，得不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由，得∴Q点的坐标为(0，－1)．设z＝，则z表示平面区域内的点(a，b)与点P(1,0)连线的斜率．∵k＝1，由图可知z≥1或z＜－2，PQ即∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．7.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B8.如图，是函数图像上一点，曲线在点处的切线交轴于点，轴，垂足为. 若的面积为，则与满足关系式（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由导数的几何意义知点处的切线方程为．令，则，即．又的面积为，∴，即，∴，即，故选B．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性．9.已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，，切线方程，即【考点】导数切线10.已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）试讨论函数的单调性；（3）证明：对任意，都有成立。

高二数学导数的几何意义试题答案及解析

高二数学导数的几何意义试题答案及解析1.过原点的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作轴的垂线交函数的图象于点C，若直线AC平行于轴，则点A的坐标是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为利用指数函数图像与直线图像的关系可知，要是满足题意点A的坐标为（-1,2），选B2.设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则…的值为【答案】【解析】解：由题意可得P（1，1）对函数f（x）=xn+1求导可得，f′（x）=（n+1）x n∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）令y=0可得，xn =∴x1x2…x2011=∴…=log2012（x1x2…x2011）=log2012=-13.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线所对应的方程为 .【答案】【解析】k最小为-3,此时切点为(0,1),所以切线方程为.4.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则的值为.【答案】-1【解析】因为.5.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为A．B．C．和D．和【答案】C【解析】，令即.解得或.所以交点坐标为和.6.曲线y=x3过点（1,1）的切线方程为或。

【答案】【解析】解：①若（1，1）为切点，k=3•12=3，∴l ：y-1=3（x-1）即3x-y-2=0 ②若（1，1）不是切点，设切点P(x 0，x 03)，k="3" x 02⇒2x 02-x 0-1=0⇒x 0=1（舍）或-∴l ：y-1= (x-1)即3x-4y+1=0．故答案为：3x-y-2=0或3x-4y+1=0． 7. 曲线在点处的切线方程是【答案】【解析】解：因为，则由点斜式方程可知点处的切线方程是8. 曲线在点处切线的倾斜角为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,所以倾斜角为.9. （本小题满分15分）已知函数,曲线在点处的切线为若时，有极值.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）在上的最大值为13，最小值为【解析】曲线在点处的切线为可以得出切线斜率，再根据点在切线上，得出点坐标，从而求得a,b 关系式；时，有极值，得导数在处为0，得出的值；要求在上的最大值和最小值，需判断函数在上的单调性。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)．【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

高中数学导数的几何意义测试题(含答案)

高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在[答案] B[解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B.2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4C.54 D．－4[答案] B[解析]∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x＝limx0(x＋12x)＝x切线的斜率k＝y|x＝1＝1.切线的倾斜角为4，故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是()A．(0,0) B．(2,4)C.14，116D.12，14[答案] D[解析]易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5[答案] B[解析]y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案] B[解析]limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交[答案] B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f(5)分别为()A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x －1，则P点的坐标为()A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案] A[解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，y＝3x20x＋3x0(x)2＋(x)3＋x，yx＝3x20＋1＋3x0(x)＋(x)2，f(x0)＝3x20＋1，又k＝4，3x20＋1＝4，x20＝1.x0＝1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()A.0，23B.0，56C.23D.2，56[答案] A[解析]设P(x0，y0)，∵f(x)＝limx0(x＋x)3－3(x＋x)＋23－x3＋3x－23x＝3x2－3，切线的斜率k＝3x20－3，tan＝3x20－3－3.0，23.故应选A.10．(2019福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12] B．[－1,0]C．[0,1] D．[12，1][答案] A[解析]考查导数的几何意义．∵y＝2x＋2，且切线倾斜角[0，4]，切线的斜率k满足01，即02x＋21，－1－12.二、填空题11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．[答案]4x－y－1＝0[解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2f(2)＝7，y＝f(2＋x)－f(2)＝4x＋(x)2yx＝4＋x.limx0yx＝4.即f(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)即4x－y－1＝0.12．若函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________．[答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)[解析]由f(x)＝x－1x＝0得x＝1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f(x)＝limx0(x＋x)－1x＋x－x＋1xx＝limx01＋1x(x＋x)＝1＋1x2.切线的斜率k＝1＋11＝2.切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案]3x－y－11＝0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.三、解答题15．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程．[解析]y＝limx01x＋x－1x－(x＋x－x)x＝limx0－xx(x＋x)－xx＋x＋xx＝limx0－1x(x＋x)－1x＋x＋x＝－1x2－12x.y|x＝4＝－116－14＝－516，曲线在点P4，－74处的切线方程为：y＋74＝－516(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．[解析](1)y＝limx0(x＋x)3－3(x＋x)－3x3＋3xx＝3x2－3. 则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率k1＝f(1)＝0，所求直线方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)，则直线l的斜率k2＝f(x0)＝3x20－3，直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)又直线l过点P(1，－2)，－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.故所求直线斜率k＝3x20－3＝－94，于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14.17．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析]y＝limx0f(x＋x)－f(x)x＝limx0x＋x＋1x＋x－x＋1xx＝limx0xx(x＋x)－x(x＋x)xx＝limx0(x＋x)x－1(x＋x)x＝x2－1x2＝1－1x2＜1，y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析](1)y|x＝1＝limx0(1＋x)2＋(1＋x)－2－(12＋1－2)x＝3，所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y|x＝b＝limx0(b＋x)2＋(b＋x)－2－(b2＋b－2)x＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y＝－13x－229.(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，即l1与l2的交点坐标为16，－52.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

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