人教A版高中数学选修《导数综合练习题》
(完整word)人教A版高中数学选修2-2《导数综合练习题》
导数练习题1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分） （依题意得：9)32(272-=+a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表当2x )222(a，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分）∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分） ②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k+在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 解：（I ）226()26a xx af x x xx-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x-+'=-+>-+=，…………（8分） 设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x-'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>Q 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >- ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e xx -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln()0x g x g x x x x x <=--=； 222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）①②③。
高中数学第一章导数及其应用模块综合检测新人教A选修22
【优化方案】2021-2021学年高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测 新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(ex ＋2x)dx ＝(ex ＋x2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a2－b2的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i22＝－i ＝a ＋bi.所以a ＝0，b ＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2B ．(log2x)′＝1xln 2C ．(3x)′＝3xlog3eD ．(x2cos x)′＝－2xsin x解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C 不正确；(x2cos x)′＝2xcos x ＋x2·(－sin x)，所以D 不正确；(log2x)′＝1xln 2，所以B 正确．故选B.5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否认为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，x≠－2}，由于f′(x)＝3x ＋22＞0，故函数f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x|x2＋y2＝4}，集合B ＝{x||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A∩B ＝AD ．A∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x2＋1＜2，即x2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k2B ．(k ＋1)2＋k2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k2＋(k ＋1)2＋k2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比力P 与Q 的大小，只需比力P2与Q2的大小，只需比力2a ＋7＋2a a ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只需比力a2＋7a 与a2＋7a ＋12的大小，即比力0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q.10．如图，暗影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f(x)－g(x)]dx B ．⎠⎛ac [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx C ．⎠⎛ac [f(x)－g(x)]dx ＋⎠⎛cb [g(x)－f(x)]dx D ．⎠⎛ab [g(x)－f(x)]dx 解析：选B.∵在区间(a ，c)上g(x)＞f(x)，而在区间(c ，b)上g(x)＜f(x)．∴S ＝⎠⎛a c [g(x)－f(x)]dx ＋⎠⎛cb [f(x)－g(x)]dx ，故选B.11．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数y ＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中必然成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f′(x)＞0；当x ＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x ＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x ＝2时，f′(x)＝0；当x ＞2时，f′(x)＞0.由此可以获得函数f(x)在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列 第二列 第三列 第四列按照数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n2－1D ．2n －2解析：选D ．按照数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，获得z ＝－3＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i.答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大．解析：收入R ＝q·p ＝q(25－18q)＝25q －18q2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q －100(0＜q ＜200)，L′＝－14q ＋21，令L′＝0，即－14q ＋21＝0，求得独一的极值点q ＝84.∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x ＋y0y ＝r2.类比上述性质，可以获得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x a2＋y0y b2＝116．(2021·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f′(x 0)＝0，则x0是f(x)的极值点；②“可导函数f(x)在区间(a ，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a ，b)上有极值”；③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；④如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b]上必然能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f(x)＝x ＋1＞g(x)＝x ，但f′(x)＝g′(x)＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i 2＋i 2. 求：(1)z1＋z 2；(2)z1·z2；(3)z1z2.解：z2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝53－i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z1z2＝2－3i 1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i 1＋3i ＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f(x)＝ex x －2的单调区间． 解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝ex x －2－ex x －22＝ex x －3x －22. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex ＞0，(x －2)2＞0.由f′(x)＞0，得x ＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a2＋b2＋c2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a2＋19≥23a ，b2＋19≥23b ，c2＋19≥23c ，∴(a2＋19)＋(b2＋19)＋(c2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23.∴a2＋b2＋c2≥13.(2)∵a·13≤a ＋132，b·13≤b ＋132，c·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c)＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn ＋an ＝2n ＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由Sn ＋an ＝2n ＋1，当n ＝1时，S1＝a1，∴a1＋a1＝2×1＋1，得a1＝32.当n ＝2时，S2＝a1＋a2，则a1＋a2＋a2＝5，将a1＝32代入得a2＝74. 同理可得a3＝158.∴an ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即ak ＝2－12k ；当n ＝k ＋1时，Sn ＋an ＝2n ＋1，则a1＋a2＋…＋ak ＋2ak ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a1＋a2＋…＋ak ＝2k ＋1－ak ，∴2ak ＋1＝4－12k ，ak ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴按照上述知对于任意自然数n ∈N*，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋x ＋1，a ∈R.(1)若x ＝1时，函数f(x)取得极值，求函数f(x)在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝3x2＋2ax ＋1，f′(1)＝0，故a ＝－2，∴f(x)＝x3－2x2＋x ＋1，当x ＝－1时，f(－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)． 又f′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f(x)在区间(12，1)内不单调，即f′(x)＝0在(12，1)内有解，令f′(x)＝3x2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x .令h(x)＝－3x －1x ，由h′(x)＝－3＋1x2＝0，知h(x)在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增，∴h(1)＜h(x)≤h(33)，即h(x)∈(－4，－23]．∴－4＜2a≤－23，即－2＜a≤－ 3.而当a ＝－3时，f′(x)＝3x2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意． 综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝38x2－2x ＋2＋ln x.(1)求函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若函数y ＝f(x)在[em ，＋∞)(m ∈Z)上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝34x －2＋1x ＝3x －2x －24x ， 当f′(x)＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f′(x)＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]．(2)由(1)知y 极大值＝f(23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f(2)＝ln 2－12＞0.当x ＞0且x→0时f(x)＜0，故f(x)在定义域上存在独一零点x0，且x0∈(0，23)．若m≥0，则em≥1，[em ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0.当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f(1e )＝1＋38e2－2e ＞0，又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈[1e2，＋∞)，f(1e2)＝1e2(38e2－2)＜0，又(1e2，23)为增区间，且y ＝f(23)＞0，故x0∈(1e2，23)．综上，m 的最大值为－2.。
人教A版选修2-2章末综合测评(一) 导数及其应用.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【解析】 lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)，故选B .【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1， 所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5. 【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：62952063】A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】 由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪π20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 【答案】 (－ln 2,2)15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________.【导学号：62952064】【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】 由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ，所以S ＝⎠⎛0－ba (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3， ①又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0； 当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值，即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【导学号：62952065】【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，得f (x )>ln xx －1. 故当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.。
导数综合练习题(详细解答)
导数练习题（B ）1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分） 已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,](2.71828a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题（B ）答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f解得 6,1-==b a所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分）当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m（12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； …………（4分）（II依题意得：9)32(272-=+a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分）4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分）∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）ax a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得2a x =，列表当2x )222( …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22a e a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a，即2>a 时若0)2ln 1(2>-aa ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-aa ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-aa ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)ae 上，我们有结论： 当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；解：（I ）当1k =时，2()1xf x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k '∈++∞<时， ∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)xf x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=- ∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x xf ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4， 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-=所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<；令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a +≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min 14分8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x'=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分）∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->，∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827 ∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->1242x x >+ ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t << ()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-=由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f 10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,](2.71828a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a x x--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分）11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e =-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x x x x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，①②③200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-，当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分）方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分） （III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时，).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）。
人教A版高中数学选修一导数单元练习卷.docx
高二文科班选修1-1——导数及其应用单元练习卷班级 姓名 号数 成绩一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于（ ）A ．193B ．163C ．133D ．1032．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 3. 函数y =x 2cos x 的导数为（ ）A ．y ′=x 2cos x -2x sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=2x cos x -x 2sin xD ．y ′=x cos x -x 2sin x 4. 若曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为2x －y －1=0，则（ ）A ．f ′（x 0）>0B ．f ′（x 0）<0C ．f ′（x 0）=0D ．f ′（x 0）不存在 5．函数5224+-=x x y 的单调减区间为（ ）A.(]]1,0[,1,-∞-B.[)+∞-,1],0,1[C.[-1，1]D.[)+∞--∞,1),1,( 6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值依次是（ ） A.12, -15 B.5, -15 C.5, -4 D.-4, -15 7．若)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 为增函数，则（ ）A.032>-ac bB.0,0>>c bC.0,0>=c bD. 032≤-ac b8．已知函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分，答案写在横线上) 11．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是____________ 12．函数32y x x x =--的单调区间为___________________ 13、已知函数()f x 在1x =处可导，且0(13)(1)lim12t f t f t→+-=，则(1)f '=14、设函数12)(23+++=bx ax x x f 在3-=x 处有极大值，在2=x 处有极小值，则a =____,=b ______15、已知函数 n m mx x f -=)( 的导数为 38)('x x f =, 则 =n m .16、设函数1()22(0),f x x x x=+-< 则()f x 的最大值为 ．三、解答题：(本大题共4小题，共36分。
人教A版高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1) .docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)一、选择题1. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 xf x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．41 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为A.1B.2C.－1D.03. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）A ．(x-1)3+3(x-1)B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-14. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－61处的切线的倾斜角是 A.4π B.－4π C.43π D.－43π 5. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是A.0B.1C.3D.66. 若函数y=x ·2x 且y ’=0，则x 的值为 （ ） A ．-2ln 1 B ．2ln 1 C ．-ln 2 D ．ln 2 7．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23）D ．（49,23-） 8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x9.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)10.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 x y 12-=11.函数 的导数是A ．B ．C ．D ．12．函数A ．4x +3B ．4x -1C ．4x -5D ．4x -313．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定14．下列命题正确的是（ ）（A ）(lgx )’=1x （B ）(lgx )’=ln10x（C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 15．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是 （A ）2 （B ）－1 （C ）21 （D ）－2 16．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在二、填空题17．函数y =sin x cos x 的导数为 .18曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
人教A版高中数学选修导数及其应用同步练习(1)
第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题1 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A s i n αB c o s αC sin cos αα+D 2sin α2 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ),3[]3,(+∞--∞B ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞D )3,3(-4 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>5 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A 430x y --=B 450x y +-=C 430x y -+=D 430x y ++= 6 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二、填空题1 若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2 函数x x y sin 2+=的单调增区间为3设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为5 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题1 求函数3(1cos 2)y x =+的导数2 求函数y =3 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围4 已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由参考答案一、选择题1 A ''()sin ,()sin f x x f αα== 2 A 对称轴'0,0,()22bb f x x b -><=+，直线过第一、三、四象限 3 B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤≤4 C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5 A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1,1)处导数为4，此点的切线为430x y --=6 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→> 二、填空题1 6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c xc f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值2 (,)-∞+∞ '2c o s 0y x =+>对于任何实数都成立 36π''()))f x ϕϕϕ=-++=+()())3f x f x πϕ'+=++要使()()f x f x '+为奇函数，需且仅需,32k k Z ππϕπ+=+∈，即：,6k k Z πϕπ=+∈ 又0ϕπ<<，所以k 只能取0，从而6πϕ=4 (7,)+∞ ]2,1[-∈x 时，max ()7f x =5 122n +- ()()/11222,:222(2)n nn x y n y nx --==-++=-+-切线方程为， 令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+，所以21n na n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==-- 三、解答题1 解：3236(1cos 2)(2cos )8cos y x x x =+=='5'548cos (cos )48cos (sin )y x x x x =⋅=⋅-548sin cos x x =-2 解：函数的定义域为[2,)-+∞，'y ==当2x ≥-时，'0y >，即[2,)-+∞是函数的递增区间，当2x =-时，min 1y =- 所以值域为[1,)-+∞3 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-； （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或4 解：设2()x ax bg x x++=∵()f x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a经检验，1,1a b ==时，()f x 满足题设的两个条件。
高中数学新人教A版选修1-1练习导数及其应用
回扣验收特训(三) 导数及其应用1.下面求导运算正确的是()A. (2x)'= 2x log2eB. (x3sin x)'= 3x2cosx1贝U △= 1—4c>0,解得cv 1.43.已知函数f(x)= 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A. (2,3)B. (3,+s )C. (2 ,+^ )D.(―汽3)解析：选B 因为函数f(x) = 2x3+ ax2+ 36x—24在x = 2处有极值，又f' (x)= 6x2+ 2ax+ 36,所以f' (2) = 0 解得a=—15.令f' (x)> 0，解得x> 3 或x v 2,所以函数的一个递增区间是(3, + s).4.已知f(x) = 3x2+ ln x,贝V li A xm>0 f " 2&&f 1- & =( )A. 7時C . 21D . —21解析：选 C T f' (x) = 6x +1,f 1 + 2 A x —f 1 — A x/■ li mA x f0 A xf(1 + 2 A x fd —Z\ ,=3li m = 3f' (1) = 21.3 Ac ^0 3 A x1sin x, 1D. (x+ 1。
眇)=1+ 而解析：选 D (2x)' = 2x ln 2, (x3sin x)' 2 3=3x sin x+ x cosx,osx cosx+ xsin x离，(x+ log3x)' = 1+ xln 32.已知函数1 if(x)= 3x3—2x2+ cx+ d有极值，则c的取值范围为()3 2iA. c v 4 B.C< 11 C. c>41 c> 4解析：选A 由题意得f' (x)= x2—x + c,若函数f(x)有极值,C.5. 函数y= In x—x在x€ (0, e]上的最大值为()A. eB. 1C. —1D. —e解析：选C 函数y= ln x —x的定义域为(0 ,+^),1 1 一x又y' = -—1 = ------ ，令y' = 0 得x= 1,x x当x € (0,1)时，y' >0，函数单调递增；当x€ (1, e)时，y' <0，函数单调递减.当x = 1时，函数取得最大值一1,故选C.1 e c 一一6. 已知函数f(x)=—;x3+ 2x2+ 2x，若存在满足0W x°w 3的实数x°,使得曲线y= f(x)3在点(X0, f(X0))处的切线与直线x+ my—10 = 0垂直，则实数m的取值范围是()A. [6,+^ )B. ( — 8, 2]C . [2,6]D . [5,6]解析：选 C f' (x)=—x2+ 4x+ 2 =—(x —2)2+ 6,因为x°€ [0,3]，所以f' (x°)€[2,6],又因为切线与直线x + my—10= 0垂直，所以切线的斜率为m,所以m的取值范围是[2,6].7. _______________________________________________ 曲线y= C OS x在点M n, 0 '处的切线方程为_______________________________________________ .“ ,iCosx、—xsin x—cosx解析：y'=亍'= --------------- x2 --------- ,•••切线的斜率k= y' x=n =—2.2 n•所求切线的方程为y—0=—ni x—n即y= —2x +1.n答案：y= —2x+1n8. _________________________________________________ 函数f(x) = 12x —x3在区间[—3,3]上的最小值是__________________________________________ .解析：f' (x)= 12—3x2.令f' (x)= 0，得x= 2 或x =—2.因为f(—3) =—9, f( —2) =—16, f(2) = 16, f(3) = 9,所以函数f(x)在区间[—3,3]上的最小值是一16.答案：—169.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取值范围是_________ .解析：由题意得f' (x)= 3x2—4ax+ a2的两个零点X i, X2满足X i< 2< X2, 所以f' (2) = 12—8a+ a2< 0,解得2< a< 6.答案：(2,6)10. 已知函数f(x) = e x(ax+ b) —x2+ 4x，曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x—3.(1) 求a, b的值；⑵讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值.解：(1)f' (x)= e x(ax+ a+ b)—2x + 4.•••曲线在点(0, f(0))处的切线方程为y= 2x —3.••• f(0) = —3, f' (0) = 2,b= —3, b=—3,•解得a + b+ 4= 2, |a= 1.x 2(2) 由(1)知f(x) = e(x—3) —x + 4x,f' (x)= e x(x—2)—2x+ 4 = (x—2)(e x—2).令f' (x)= 0，得x= In 2 或x = 2.•••当x € (—a, In 2) U (2 ,+s)时，f' (x)> 0;当x € (In 2,2)时，f' (x)< 0,故f(x)在(—a, in 2), (2, + a)上单调递增，在(In 2,2)上单调递减.•••当x = 2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2) = 4—e2.11. 某工厂某种产品的年产量为 1 000x 吨，其中x € [20,100],需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x€ [20,80]时，C(x)= 土2—30x + 500;当x€ (80,100]时，C(x)=四輕.若每吨商品售价为血万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式;(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)= 1 000ln x—C(x) =9.设X i, X2是函数f(x) = x3—2ax2+ a2x的两个极值点，若x i< 2v x?,则实数a的取000ln x —x —30x + 500 , x€ [20, 80],1 000ln x —, x € 80, 100].⑵当x€•••L(x)在［20,50)上单调递增，在［50,80)上单调递减, •••当 x = 50 时，L(x)max = 1 000ln 50 - 250; 当 x € (80,100]时，L(x)= 1 000ln x - 20 000单调递增, px• L(x)max = 1 000ln 100 - 2 000.•/ 1 000ln 50 - 250 - (1 000ln 100 - 2 000) =1 750 -1 000ln 2 > 1 750 - 1 000 > 0,•••当x = 50,即年产量为 50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50 - 250)万元.12.已知函数f(x)= ax 3 + bx 1 2 + cx的导函数为h(x), f(x)的图象在点(一2, f( - 2))处的切 0，又直线y = x 是函数g(x)= kxe x 的图象的一条切线.(1)求函数f(x)的解析式及k 的值;⑵若f(x)w g(x)- m + 1对于任意x € [0,+^ )恒成立，求 m 的取值范围. 解：(1)由 f(x)= ax 3 + bx 2 + cx , 可知 h(x)= f ' (x)= 3ax 2+ 2bx + c.由f(x)在(-2, f(-2))处的切线方程为 3x -y + 4= 0可知， f( - 2)=- 8a + 4b - 2c =- 2, f ' (- 2)= 12a -4b + c = 3, 又由 h ' (x)= 6ax + 2b 可知,4a + 2b = 0,1由①②③，解得 a =云，b = 1, c = 1,xp (x) = e — x — 1,再令 0(x)= e x — x — 1, / (x)= e x — 1 = 0,解得 x = 0.1所以f(x)的解析式为f(x) = ?x 3+ x 2+ x.由题意，g(x)= kxe x 与y = x 相切可知函数在原点或 (—In k ,- In k)处切线斜率为1.因为 g ' (x)= k(e x + xe x ),所以 g ' (0) = k = 1 或 g ' (- ln k)= 1，得 k = 1. 综上可得k 的值为1.⑵若f(x)w g(x)- m + 1对任意x € [0, + g )恒成立, 即 £X 3+ x 2+ x < xe x - m + 1 恒成立， 2则 m - 1 w xe x - ^x 3 — x 2- x 恒成立. 设 q(x)= xe x -^x 3- x 2- x = x e x -护-x - 1 , x ：2线方程为3x - y + 4 = 0,且h '2 =所以当x€ ［0,+ g)时，(x)>0,所以g x)在［0, + g)上单调递增，所以g x)》机0) = 0,即卩p' (x) > 0,所以p(x)在［0，+ g)上单调递增，所以p(x)> p(0) = 0, 所以当x€ ［0,+g)时，q(x)>0恒成立，且q(0) = 0, 因此，m— 1 < 0即可，贝U m W 1.故m 的取值范围为(—g, 1］．。
人教A版数学高二选修2-2 第一章《导数及其应用》金牌综合能力检测题
消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.答案：C11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1π B.2π C.3πD.π4解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π.12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )．答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)； 当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)． ∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减，答案：a >016．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt ＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)．答案：130三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调．．．，求a 的取值范围． 解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3， 所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，x (－∞，－a ) －a (－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1，在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明a >0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围． 解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即。
导数的运算——综合练习(解析版)
导数的运算——综合练习一．选择题（共40小题）1．若f′（x）是函数f（x）=x3+2x+1的导函数，则f′（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．42．若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±23．下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3eC．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx4．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知函数f（x）=，若f′（1）=，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣17．已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣9．已知，则f'（2）=（）A．B．C．2 D．﹣210．下列求导运算正确的是（）A．（log2x）′=B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=11．若f（x）=，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）=（）A．f'（x）= B．f'（x）=C．f'（x）= D．f'（x）=12．已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（）A．2016 B．﹣2016 C．2017 D．﹣201713．已知f'（x）是f（x）=sinx+acosx的导函数，且f'（）=，则实数a的值为（）A．B．C．D．114．已知函数f（x）的导函数f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣1 B．﹣e C．1 D．e15．下列函数在点x=0处没有切线的是（）A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．D．16．f'（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）=﹣x2+2x f'（2017）+2017㏑x，则f'（1）=（）A．2016 B．6045 C．2017 D．604817．已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1 C．1 D．018．函数y=sin（lnx）的导数y′=（）A．ln（cosx）B．cos（lnx）C．﹣cos（lnx）D．cos（lnx）19．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．120．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2017（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx21．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx22．函数（x＞0），若x0满足f'（x0）=0，设m∈（0，x0），n∈（x0，+∞），则（）A．f'（m）＜0，f'（n）＜0 B．f'（m）＞0，f'（n）＞0 C．f'（m）＜0，f'（n）＞0 D．f'（m）＞0，f'（n）＜023．若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（）A．，B．（3，+∞）C．，D．，24．设函数f（x）=x3﹣ax2+2bx+1的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象关于直线x=对称，且当x∈[1，π]时，恒有f（x）≥1，则实数b的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）25．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）26．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有，则的最小值为（）A．2 B．C．3 D．27．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．428．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=（）A．0 B．1 C．2 D．201751129．[x]表示不超过x的最大整数，若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f′（x），则函数f=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}30．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m＜x1＜x2＜n）满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，3） C．（，1） D．（，1）31．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=（）A．2017 B．2016 C．2 D．032．已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）33．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1]B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣，]34．已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx35．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x3﹣1，h（x）=2x，φ（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α36．设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f（x）=f n′（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，则cosA的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣37．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则x0称为f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）①f（x）=x2；②f（x）=e﹣x；③f（x）=lnx；④f（x）=tanx；⑤f（x）=．A．①③⑤B．①③④C．②③④D．②⑤38．设函数f n′（x）是f n（x）的导函数，f0（x）=e x（cosx+sinx），f1（x）=，f2（x）=，…，（n∈N），则f2016（x）=（）A．e x（cosx+sinx）B．e x（cosx﹣sinx）C．﹣e x（cosx+sinx）D．e x（sinx﹣cosx）39．已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3]D．[﹣6，0]40．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）二．填空题（共6小题）41．已知在R上可导，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F′（1）=．42．已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．43．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．44．已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是．45．已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是．（1）f（）＞﹣1；（2）f（）＞；（3）f（）＜；（4）f（）＜f（）46．若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则f n（x）=；根据上述性质推断：当x1+x2+x3=π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx1+sinx2+sinx3的最大值为．导数的运算——综合练习参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．若f′（x）是函数f（x）=x3+2x+1的导函数，则f′（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【分析】先求函数f（x）的导函数，然后在导函数解析式中把x代﹣1求值．【解答】解：因为函数f（x）=x3+2x+1，所以其导函数f′（x）=x2+2，所以f′（﹣1）=（﹣1）2+2=3．故选B．2．若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2【分析】根据函数的导数公式解方程即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．3．下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3eC．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【分析】根据函数的导数公式进行判断即可．【解答】解：（cosx）'=﹣sinx，A不正确；（3x）'=3x ln3，B不正确（lgx）′=，C正确；（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，D不正确故选：C．4．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】求出f（x）的导函数，根据f′（x）=2f（x）列出关系式，计算即可求出tan2x的值．【解答】解：求导得：f′（x）=cosx+sinx，∵f′（x）=2f（x），∴cosx+sinx=2（sinx﹣cosx），即3cosx=sinx，∴tanx=3，则tan2x===﹣．故选C5．已知函数f（x）=，若f′（1）=，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据导数的公式即可得到结论【解答】解：函数f（x）=，则f′（x）=∵f′（1）=，即f′（1）==，∴a=4．故选：B6．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C7．已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选D．8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，x=2代入求解即可．【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，∴f′（2）=2f′（1）+=﹣2+=﹣．故选D．9．已知，则f'（2）=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），∴f′（2）=﹣+3f′（2），解得：f′（2）=，故选：A．10．下列求导运算正确的是（）A．（log2x）′=B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：=，=1﹣，（cosx）′=﹣sinx，=，可知：只有A正确．故选：A．11．若f（x）=，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）=（）A．f'（x）= B．f'（x）=C．f'（x）= D．f'（x）=【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=，故选：B12．已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（）A．2016 B．﹣2016 C．2017 D．﹣2017【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=2017代入导函数中，列出关于f'（2017）的方程，进而得到f'（2017）的值【解答】解：求导得：f′（x）=x+2f′（2017）﹣令x=2017，得到f′（2017）=2017+2f′（2017）﹣1，解得：f′（2017）=﹣2016，故选：B13．已知f'（x）是f（x）=sinx+acosx的导函数，且f'（）=，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【分析】求出f（x）的导数，由条件解方程，即可得到所求a的值．【解答】解：由题意可得f'（x）=cosx﹣asinx，由可得，解之得．故选：B．14．已知函数f（x）的导函数f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣1 B．﹣e C．1 D．e【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0），∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选A15．下列函数在点x=0处没有切线的是（）A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．D．【分析】根据导数的定义可得答案．【解答】解：∵在x=0处不可导．故选D．16．f'（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）=﹣x2+2x f'（2017）+2017㏑x，则f'（1）=（）A．2016 B．6045 C．2017 D．6048【分析】根据导数的运算法则求导，代值计算即可．【解答】解：∵f′（x）=﹣x+2f'（2017）+，∴f′（2017）=﹣2017+2f'（2017）+1，解得f′（2017）=2016，∴f′（1）=﹣1+2×2016+2017=6048，故选：D．17．已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1 C．1 D．0【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=f´（）cosx+sinx，∴f′（x）=﹣f´（）sinx+cosx，∴f′（）=﹣f´（）×+，∴f′（）=﹣1，∴f（π）=（﹣1）×（﹣）+=﹣1，故选：B18．函数y=sin（lnx）的导数y′=（）A．ln（cosx）B．cos（lnx）C．﹣cos（lnx）D．cos（lnx）【分析】根据题意，令t=lnx，则y=sint，根据复合函数的导数公式进行求导即可答案．【解答】解：根据题意，令t=lnx，则y=sint，则其导数y′=cos（t）•（lnx）′=cos（lnx）•（lnx）′=cos（lnx），故选：D．19．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得，由f'（2）=2，可得，解之得．故选：B．20．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2017（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【分析】由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f2010（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．【解答】解：由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2017=4×504+1，f2010（x）是一周中的第三个函数，故f2017（x）=cosx．故选：C．21．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【分析】对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）【解答】解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D22．函数（x＞0），若x0满足f'（x0）=0，设m∈（0，x0），n∈（x0，+∞），则（）A．f'（m）＜0，f'（n）＜0 B．f'（m）＞0，f'（n）＞0 C．f'（m）＜0，f'（n）＞0 D．f'（m）＞0，f'（n）＜0【分析】根据题意，对f（x）求导可得f′（x），若f'（x0）=0，则有=1，将m、n的值代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数（x＞0），其导数f′（x）=e x﹣=，若f'（x0）=0，则有=1，当m∈（0，x0），即m＜x0，f'（m）=＜0，n∈（x0，+∞），即n＞x0，f'（n）=＞0，故选：C．23．若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（）A．，B．（3，+∞）C．，D．，【分析】根据新定义得到x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设=b2﹣b，由已知可得x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则＞＞＞＞，解得＜b＜3，故选：C24．设函数f（x）=x3﹣ax2+2bx+1的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象关于直线x=对称，且当x∈[1，π]时，恒有f（x）≥1，则实数b的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【分析】根据f′（x）的图象判断f（x）在[1，π]上的单调性，列出不等式解出．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2ax+2b，∵函数f′（x）的图象关于直线x=对称，∴=，即a=2．∴f（x）=x3﹣2x2+2bx+1，f′（x）=3x2﹣4x+2b，△=16﹣24b，（1）若△=16﹣24b≤0，即b时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，π]上是增函数，∴f min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥，∴b≥．排除B，C．（2）若△=16﹣24b＞0，即b＜时，令f′（x）=0，解得x=．①若1≥，即b＜时，f′（x）在[1，π]上恒大于或等于0，∴f（x）在[1，π]上是增函数，∴f min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥，∴≤b＜．排除A．故选：D．25．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f （x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．26．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有，则的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知＞，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．27．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；则f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，则f′（x）=，若lnx=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tanx，则f′（x）=（）′=，即sinxcosx=1，变形可sin2x=2，无解，④不符合要求；故选：B．28．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=（）A．0 B．1 C．2 D．2017511【分析】先求导，再判断导函数f'（x）的奇偶性，f（x）=1+，设g（x）=，判断其奇偶性，即可求出答案．【解答】解：f（x）=1+，∴f′（x）=，∴f′（﹣x）==f′（x），∴f′（x）为偶函数，∴f'（2017511）﹣f'（﹣2017511）=0，设g（x）=，则g（﹣x）=﹣=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴f（2017511）+f（﹣2017511）=1+g（2017511）+1+g（﹣2017511）=2，∴f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=2，故选：C29．[x]表示不超过x的最大整数，若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f′（x），则函数f=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}【分析】先对函数g（x）进行化简，根据[x]表示不超过x的最大整数，针对x进行分类讨论，发现规律，问题得以解决．【解答】解：由题意可知g（x）=f（x）•f′（x）=，＞，＜，不妨设x＞0，则y=[g（x）]+[g（﹣x）]=[]+[]当∈（0，1），则∈（﹣1，0），[]=0，[]=﹣1，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=﹣1当=0，则=0，[]=0，[]=0，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=0依此类推可得y=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是{﹣1，0}，故选A．30．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m＜x1＜x2＜n）满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，3） C．（，1） D．（，1）【分析】令f′（x）=3x2﹣2x==a2﹣a，a2﹣a=3x2﹣2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，根据函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，可得方程3x2﹣2x﹣a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．必须满足：g（0）＞0，＜0，g（a）＞0．解出即可得出．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣2x==a2﹣a，∴a2﹣a=3x2﹣2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，∵函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，∴方程3x2﹣2x﹣a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．∴g（0）＞0，＜0，g（a）＞0．解得＜＜1．∴实数a的取值范围是，．故选：C．31．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′（2017）﹣f′（﹣2017）=f′（2017）﹣f′（2017）=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f（2016）=asin2016+b•20163+1，f（2016）=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f（2016）+f（﹣2016）=2，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=2+0=2，故选：C32．已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）【分析】根据题意，对函数f（x）求导，计算可得f′（x），将x=0代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．33．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1]B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣，]【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．34．已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得f n（x）+4=f n（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n（x）+4（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；∴f2017（x）=f504×4+1故选：A35．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x3﹣1，h（x）=2x，φ（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项【解答】解：①∵g（x）=x3﹣1，∴g′（x）=3x2，由g（x）=g′（x），得x3﹣1=2x2，∵2x2＞0，（x=0时不成立），∴x3﹣1＞0，∴x＞1，∴α＞1．②∵h（x）=2x，∴h′（x）=2，由h（x）=h′（x），解得x=1，∴β=1．③∵φ（x）=ln（x+1），∴φ′（x）=，由φ（x）=φ′（x），得到ln（x+1）=，令m（x）=ln（x+1）﹣，则m′（x）=+，因此函数m（x）在（﹣1，+∞）单调递增．∵m（0）=﹣1＜0，m（1）=ln2﹣＞0，∴0＜γ＜1．综上可知：α＞β＞γ．故选：A．36．设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f（x）=f n′（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，则cosA的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数f n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．（x）=f′n（x），【解答】解：∵f1（x）=sinx，f n+1∴f2（x）=f′1（x）=cosx，f3（x）=f′2（x）=﹣sinx，f4（x）=f'3（x）=﹣cosx，f5（x）=f′4（x）=sinx，f6（x）=f′5（x）=cosx，（x）=f′n（x），具备周期性，周期性为4．∴f n+1且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=cosx﹣sinx+sinx﹣cosx=0，∵f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，∴f1（A）+f2（A）=sinA+cosA=0，∴A=135°，故cosA=﹣，故选：D．37．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则x0称为f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）①f（x）=x2；②f（x）=e﹣x；③f（x）=lnx；④f（x）=tanx；⑤f（x）=．A．①③⑤B．①③④C．②③④D．②⑤【分析】求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．【解答】解：①中的函数f（x）=x2，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e﹣x=﹣e﹣x，由对任意的x，有e﹣x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，f （x）=tanx，f′（x）=，要使f（x）=f′（x），则tanx=，即sinxcosx=1，即sin2x=2，无解，∴原函数没有巧值点，故④错误；对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则=﹣，解得x=﹣1，原函数有巧值点；故有“巧值点”的函数为①③⑤．故选：A．38．设函数f n′（x）是f n（x）的导函数，f0（x）=e x（cosx+sinx），f1（x）=，f2（x）=，…，（n∈N），则f2016（x）=（）A．e x（cosx+sinx）B．e x（cosx﹣sinx）C．﹣e x（cosx+sinx）D．e x（sinx﹣cosx）【分析】我们易得到f n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2016÷8余0，故f2008（x）=f0（x），进而得到答案【解答】解：∵f0（x）=e x（cosx+sinx），∴f0′（x）=e x（cosx+sinx）+e x（﹣sinx+cosx）=2e x cosx，∴f1（x）==e x cosx，∴f1′（x）=e x（cosx﹣sinx），∴f2（x）==e x（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=e x（cosx﹣sinx）+e x（﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x sinx，∴f3（x）=﹣e x sinx，∴f3′（x）=﹣e x（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣e x（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2e x cosx，∴f5（x）=﹣e x cosx，∴f6（x）=﹣e x（cosx﹣sinx），∴f7（x）=e x sinx，∴f8（x）=e x（cosx+sinx），…，∴f2016（x）=f（0）=e x（cosx+sinx），故选：A．39．已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3]D．[﹣6，0]【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2，∴f′（x）=e x﹣2a＞﹣2a，g′（x）=﹣3x2﹣2ax=﹣3（x+）2+≤，∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），∴﹣2a≥，解得﹣6≤a≤0，故选：D．40．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）【分析】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A．二．填空题（共6小题）41．已知在R上可导，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F′（1）=0．【分析】根据题意，由F（x）的解析式对其求导可得F'（x），将x=0代入，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F'（x）=3x2f'（x3﹣1）﹣3x2f'（1﹣x3），则F'（1）=3f'（0）﹣3f'（0）=0．故答案为：0．42．已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【分析】由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=f（1），f′（3）=﹣f′（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．43．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．【分析】由题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：144．已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣8，0] ．【分析】由题意函数的导函数f'（x）=cosx﹣5＜0恒成立，故函数是减函数，再由函数是奇函数将不等式f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0转化为f（1﹣ax）＜f（ax2﹣1），由单调性及定义转化为不等式，再分类讨论即可求出a的取值范围【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴f'（x）=cosx﹣5＜0，∴函数f（x）在R上单调递减，∵f′（x）=cosx﹣5为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数由f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0可得，f（1﹣ax）＜﹣f（1﹣ax2）=f（ax2﹣1）即1﹣ax＞ax2﹣1∴a（x2+x）＜2，当x＜﹣1或x＞0时，x2+x＞0，则a＜=∵＞0，∴a≤0，当﹣1＜x＜0时，x2+x＜0，则a＞=当x=﹣时，（x+）2﹣有最小值，则有最大值﹣8，∴a＞﹣8，当x2+x=0时，恒成立，综上所述a的取值范围为（﹣8，0]，故答案为（﹣8，0]．45．已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是（1），（2），（4）．（1）f（）＞﹣1；（2）f（）＞；（3）f（）＜；（4）f（）＜f（）【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，（1），（2）分别取x=，x=判断即可，（4）根据函数的单调性判断即可．【解答】解：∵f′（x）=，且f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，对于（1），令x=，即有f（）+1＞•k=1，即为f（）＞0，故（1）正确；对于（2），当x=时，f（）+1＞•k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故（2）正确；对于（3），由（2）可得f（）＞＞﹣1=，故（3）不正确，对于（4），函数递增，故（4）正确．故正确个数为3，故选；（1）（2）（4）46．若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则f n（x）=﹣sinx；根据上述性质推断：当x1+x2+x3=π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx1+sinx2+sinx3的最大值为．【分析】构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）=﹣sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，根据函数的性质sinx1+sinx2+sinx3≤3sin（），即可求得sinx1+sinx2+sinx3的最大值．【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）=﹣sinx，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sinx1+sinx2+sinx3≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值为，故答案为：﹣sinx，。
高中数学 第一章导数及其应用综合测试 新人教A版选修22
高中数学 第一章导数及其应用综合测试 新人教A 版选修22第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、已知函数21y x =+的图象上一点(1,2)及邻近一点()12x,y +∆+∆,则yx∆∆等于( )A.2B.2xC.22()x +∆ D.2x +∆ 2、设1(),f x x =则()()limx a f x f a x a→--等于( ) 221211. . . .A B C D a a a a--3、曲线221y x =-+在点()0,1处的切线的斜率是( ) A.4- B.0 C.4 D.不存在4、如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为230x y +-=,那么( ) A.0()0f x '> B.0()0f x '< C.0()0f x '= D.不存在5、下列函数在点0x =处没有切线的是( ) A.23cos y x x =+ B.sin y x x = C.1cos y x =D.12y x x=+ 6、函数222y x ln x =-的的单调递增区间是 ( )A.1(0,)2 B.2(0,)4 C.1(,)2+∞ D.1(,0)2-和1(0,)27、若函数()y f x =是定义在R 上的可导函数,则0()0f x '=是0x 为函数()y f x =的极值点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8、下列各式中值为1的是 ( )A.10xdx ⎰ B.()101x dx +⎰ C.101dx ⎰ D.1012dx ⎰9、若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数()f x '的图象是( )10、曲线()by f x ax x==-在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=,则,a b 的值分别为 ( )A.13a b =⎧⎨=⎩ B.13a b =-⎧⎨=⎩ C.13a b =⎧⎨=-⎩ D.13a b =-⎧⎨=-⎩11、设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为'()f x ,'()f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ,若在(,)a b 上,''()0f x <恒成立,则称函数函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知当2m ≤时,3211()62f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”.则()f x 在(1,2)-上 ( )A.既有极大值,也有极小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值D.没有极大值,也没有极小值12、如图,曲线()y f x =上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ,过P 作PT 垂直于x 轴于T ,若PTQ ∆的面积为12,则y 与'y 的关系满足 ( )A.'y y =B.'y y =-C.2'y y =D.2'y y =第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是_____________ 14、曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 15、已知函数b ax x ax x f +-+=63)(23在x =2处取得极值9,则2a b +=16、已知函数32()(,)f x x ax bx a b =++∈R 的图象如图 所示,它与直线0y =在原点处相切,此切线与函数图象所围 区域(图中阴影部分)的面积为274,则a 的值为 . 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)Oyx求由曲线2,,y x y x ==及2y x =围成的平面图形面积.18、(12分)已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点成中心对称. (1)求,a b 的值;(2)求()f x 的单调区间及极值.19、(12分)某厂生产产品x 件的总成本32()120075c x x =+(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x 满足:2kP x=,生产100件这样的产品单价为50万元. (1)设产量为x 件时,总利润为()L x (万元),求()L x 的解析式;(2)产量x 定为多少件时总利润()L x (万元)最大?并求最大值(精确到1万元).20、(12分) 设函数329()62f x x x x a =-+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围.21、(12分)已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+,其中0a > (1)若()f x 在x =1处取得极值,求a 的值; (2)求()f x 的单调区间;(3)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围。
人教A版选修一高二数学测试题：导数与定积分.docx
1.已知32()967,f x ax x x =++-若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1332.下列求导运算正确的是 （ ）A ． 2212)1(xx x x +='+ B ． x a x a ln )(log =' C ． 2(cos )'2sin x x x x =- D ． 3211)1(x x x -='+3.曲线13-=x y 在1=x 处的切线方程为 ( )A.22-=x yB. 33-=x yC.1=yD.1=x4.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A 12B 1C 2D 3 5、x x x x f --=23)(的单调减区间是( ) A.()31,-∞- B.),1(∞ C.()31,-∞-,),1(∞ D.)1,31(- 6.函数a x x y +-=2332的极大值是6，则a 的值为（ ）A ．6B ． 5C ．7D ．1 7.32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）(A)－2 (B)0 (C)2 (D)48.曲线x y e =在点（2，2e ）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为（ ） A 294e B 22e C 2e D 22e 9.、在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635；当2χ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2χ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2χ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2χ=20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病 10.设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是11.复数iz -=11的共轭复数是 12.函数()x ax x f -=3在R 上为减函数，则a 的取值范围是_______13.（理）函数()2sin(3)4f x x π=+，则=)('x f ; （理）定积分dx x ⎰+102)1(的值是 ；(文)函数sin x y x=的导数为______ ； (文)已知函数4532)(23+-+=x x x x f ，则=-')3(f ____ ；14、已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在x=-3和x=1时取得极值.（2）求函数()f x 在[-4,2]上的最大值和最小值.15、已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数f (x )的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有写出极值．16、（本小题满分10分）已知与曲线32y x x=+-相切的直线与直线261035-+=互相垂直x y（Ⅰ）求切点坐标；（Ⅱ）求切线方程。
高中数学导数及其应用测试卷新人教A版选修
导数应用测试题一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分, 共60分) 1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于 （ ）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．)('0x f --D ．)(0x f -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)('0x f 等于 （ ） A ．32 B ．23C ．3D ．2 3．曲线x x y 33-=上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）A ．（-1，2）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（-1，2）或（1，-2）4．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切 线的倾斜角为（ ）A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角5．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－1D ．5，－166．一直线运动的物体，从时间t 到t+△t 时，物体的位移为△s ，那么ts t ∆∆→∆0lim 为（ ）A ．从时间t 到t+△t 时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为△t 时该物体的速度D ．从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数8．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 （ ） A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f9．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -1610．抛物线y=x 2到直线x-y-2=0的最短距离为 （ ）A ．2B 。
人教A版高中数学选修一 选修1-1第三章导数综合练习(2).docx
高二数学选修1-1第三章导数综合练习（2）一、选择题1.设M 和m 分别是函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，若m =M ，则f ′(x )A.等于0B.小于0C.等于1D.不确定2.设f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0),则f (x )为增函数的充要条件是A.b 2－4ac ＞0B.b ＞0,c ＞0C.b =0,c ＞0D.b 2－3ac ＜03. 函数y =1＋3x －x 3有A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值34、已知f(x)=2x 3-6x 2+m （ m 为常数），在[ -2，2]上有最大值3，那么函数在[ -2，2]上的最小值为（ ）A ．-37B ．-29C ．-5D ．-115、下列函数存在极值的是（ ） A ．y= x1 B ．y= x2 C ．y=x3 D ．y=2 6、若f(x)=mx 3+12mx 2+36mx-13(m<0)有极大值33m ，则极小值为（ ）A ．0B ．33C ．-13D -267. 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =A ．2B ．3C ．4D ．58．已知二次函数y =ax 2+(a 2+1)x 在x =1处的导数值为1，则该函数的最大值是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是A. B. C. D.1625825425225o x y o x y o x y o x y y o x10．下列说法：000000000000000()()(1)lim ,()()lim ,()()(3)lim ,tan ()()(4)lim ()x x x x x x x x f x f x A A x x x x f x f x A A x x x x f x f x A art A x x f x f x y f x x x x x →→→→-=--==--=--==-若则是物体在到内的平均速度(2)若则是物体在时的瞬时速度若则的倾斜角为若不存在,则曲线在处无切线 其中错误的说法的个数是 A ．1 B 、2 C 、3 D 、411．函数f (x) =x 3 +ax 2 +bx +c,其中a,b,c 为实数，当a 2 – 3b<0时，f (x)是A ．增函数；B 、减函数C ．常数；D 、不是单调函数，也不是常数12．(2005年高考·湖南卷·理6)设f 0(x ) ＝ sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x ) ＝ f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝ A ．sinx B ．－sinx C ．cos x D ．－cosx13．设f (x )在点x =x 0处可导，且0(7)()limx f x x f x x∆→+∆-∆=1，则f ’(x 0)=（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）7 （D ）71 14．函数y =x 3－3x 2－8x +5在区间[－4, 4]上的最大值是（ ）（A ）－22 （B ）－71 （C ）－15 （D ）1015．函数f (x )=x 2+x 在闭区间[－1, 0]上的最小值为（ ） （A ）0 （B ）－41 （C ）21 （D ）－2 16．给出下面四个命题：① 函数y =x 2－5x +4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－49；② 函数y =2x 2－4x +1 (2<x <4)的最大值为17，最小值为1；③ 函数y =x 3－12x (－3<x <2)的最大值为16，最小值为－16；④ 函数y =x 3－12x (－2<x <2)无最大值，也无最小值，其中正确的命题有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题17.设函数f (x )在区间［a ,b ］上满 足f ′(x )＜0,则f (x )在［a ,b ］上的最小值为______, 最大值为18．设 。
最新人教A版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用 综合检测习题(含答案解析)
第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
人教A版高中数学选修一高二(文)导数综合测试
1．函数 f ( x) x eln x 的单调递增区间为（）
A. ( 0, ) B. ( ,0) C. ( 0, ) 和 ( ,0) D. R
2. 若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则切线 l 的方程为 ()
A． 4 x y 3 0 B． x 4 y 5 0 C． 4 x y 3 0 D． x 4 y 3 0
所以 f (x) 在 ( 1,1) 上单调递减，在 ( , 1], 1, 上单调递增 . …………… 5 分
所以 f (x) 的极小值为 f (1) 2 . …………………………………… 7 分
（Ⅱ）因为 f ( x) 3x2 3a ≥ 3a ，…………………………………… 9 分
所以，要使直线 x y m 0 对任意的 m R 总不是曲线 y f ( x) 的切线，当且仅当
AB的斜率恒大于 1，求实数
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------------------------------------
高二数学（文）导数综合测试
1． A 2． A 3． B 4． B 5． A 6．－ 4
7． (0,3) .
高三导数练习题 高三数学选修单元测试题五套 人教版 高三数学选修单元测试题五套 人教版
（高三）导数--对数函数与指数函数的导数练习题A.（x +x 1)′=1+21x； B.(log 2x )′=2ln 1x ； C.(3x )′=3x log 3e ； D.(x 2cos x )′=－2x sin x y =ln(3－2x －x 2)的导数为 A.32+x B.2231x x -- C.32222-++x x x D.32222-+-x x x y =lncos2x 的导数为A.－tan2x B.－2tan2xx x y =xx a22-(a >0且a ≠1),那么y ′为 A.xx a22-ln a ； B.2(ln a )xx a22-； C.2(x －1)xx a22-·ln a ； D.(x －1)xx a 22-ln ay =x ln 的导数为x x ln ； B.xx ln 2 ； C.xx ln 1 ；D.xx ln 21y =sin32x 的导数为A.2(cos32x )·32x ·ln3 ；B.(ln3)·32x ·cos32x ； 2x ；2x ·cos32xy =xx e e 2)12(+,则y ′=___________.y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为 9.（1）函数y =x22的导数为y ′=__________；（2）函数y =log 3cos x 的导数为__________. y =e x －e ln x 在点（e ,1)处的切线方程为___________. y =ln(21x +－x )的导数.y =x x (x >0)的导数.f (x )满足：af (x )+bf (x 1)=xc(其中a 、b 、c 均为常数，且|a |≠|b |),试求f ′(x ).高三第三章导数--复合函数的导数练习题y =2)13(1-x 的导数是A.3)13(6-x ；B.2)13(6-x ；C.－3)13(6-x ；D.－2)13(6-x y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 ； B.既有最大值，又有最小值的偶函数 ； y =sin 3(3x +4π)的导数为 2(3x +4π)cos(3x +4π2(3x +4π)cos(3x +4π) 2(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) y =cos(sin x )的导数为A.－［sin(sin x )］cos x ；B.－sin(sin x )；C.［sin(sin x )］cos x ；D.sin(cos x ) y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x ；x +x x 2cos ；C.－2sin2x +x x 2sin ；x －xx2cos y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 y －8x +7=0y +8x +7=0 C.2y +8x －9=0y －8x +9=0 y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成.y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________. y =x sin(2x －2π)cos(2x +2π)的导数是.10.（1）y =)32cos(π-x 的导数为；（2）y =cos 3x 1的导数是___________.11.若可导函数f (x )是奇函数，求证：其导函数f ′(x )是偶函数.12.用求导方法证明：21C 2C n n + +…+n nn C =n ·2n －1.高三第三章导数--函数的单调性练习题f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且x ∈(a ,b )时，f ′(x )>0,又f (a )<0,则 A.f (x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )>0；B.f (x )在［a ,b ］上单调递增，且f (b )<0C.f (x )在［a ,b ］上单调递减，且f (b )<0；D.f (x )在［a ,b ］上单调递增，但f (b )的符号无法判断 y =3x －x 3的单调增区间是A.(0,+∞)；B.(－∞,－1) ；C.(－1,1)；D.(1,+∞) y =f (x )=ax 3+x 在x ∈(－∞,+∞)内是增函数，则A.a >0；B.a <0 ；C.a =1；D.a =31 4.f (x )=x +x2(x >0)的单调减区间是A.(2,+∞)；B.(0,2) ；C.(2,+∞)；D.(0,2) y =sin x cos 2x 在（0，2π）上的减区间为A.(0,arctan22)； B.(arctan2,22π) ； C.(0,2π) ；D.(arctan 2,21π) y =x ln x 在区间（0，1）上是A.单调增函数B. 在（0，e 1）上是减函数，在（e 1,1）上是增函数 C.单调减函数 D.在（0,e 1）上是增函数，在（e1,1)上是减函数7.（1）函数f (x )=cos 2x 的单调减区间是__________； （2）函数y =2x +sin x 的增区间为_________. 8.（1）函数y =232+-x x x 的增区间是_________； （2）函数y =x x ln 的减区间是___________.9.已知0<x <2π,则tan x 与x +33x 的大小关系是tan x ___________x +33x .10.已知函数f (x )=kx 3－3(k +1)x 2－k 2+1(k >0).若f (x )的单调递减区间是（0，4）， （1）求k 的值；（2）当k <x 时，求证：2x >3－x1.11.试证方程sin x =x 只有一个实根.12.三次函数f (x )=x 3－3bx +3b 在［1，2］内恒为正值，求b 的取值X 围.(高三)§3.3 函数的和、差、积、商的导数练习题f (x )=sin α－cos x ,则f ′(α)等于α；α ；α+cos α；α 2.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于A.319；B.316 ；C.313； D.310 y =22xax + (a >0)的导数为0，那么x 等于A.a ；B.±a ；C.－a ；D.a 2y =x sin x 的导数为A.y ′=2x sin x +x cos xB.y ′=xx 2sin +x cos xC.y ′=xx sin +x cos x; D.y ′=xx sin －x cos xy =xxsin 的导数为 A.y ′=2sin cos x x x x + B.y ′=2sin cos x x x x - C.y ′=2cos sin x x x x - D.y ′=2cos sin x x x x +y =x 2cos x 的导数为A.y ′=2x cos x －x 2sin x;B.y ′=2x cos x +x 2sin x ;C.y ′=x 2cos x －2x sin x;D.y ′=x cos x －x 2sin x x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是____ s =t 2(1+sin t ),则当t =2π时，瞬时速度为_______ 9.(1)f (x )=354337xx x x ++,则f ′(x )=______; (2)f (x )=xx++-1111,则f ′(x )=_______.10.已知f (x )=xx2cos 12sin +,则f ′(x )=_______.11.求过点（2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程.12.水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度.高三第三章导数--函数的极值练习题f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极大值 ; f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极小值 f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极值; f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时,则f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①②B.②③ C.③④D.①③ y =216x x+的极大值为 ; ; ; y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为 ; ; ; 5.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为A.e －1B.0 C.－1 6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于B.0C.5 f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. y =3x 5－5x 3共有___________个极值.y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________.f (x )=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________.y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值,在x =3时有极小值,则a =______,b =______.f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当xa 、b 、c 的值.f (x )=x +xa+b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.y =f (x )为三次函数,且图象关于原点对称,当x =21时,f (x )的极小值为－1,求函数的解析式.(高三)§《函数的最值》练习题（ ）y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x )（ ） 0 C.小于0 y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为（ ） ;B.－2 ;C.－1;D.1213 212xx y +=在（ ） A ．()()间内是减函数；内是增函数，在其余区，内是增函数；11.,.-+∞∞-B A ()()间内是增函数内是减函数，在其余区，内是减函数；11.,.-+∞∞-D C5.函数y =122+-x x x 的最大值为（ ） A.33； C.21； D.236函数x x x f cos 3sin )(3+=的值域为（ ） [][][)()3,3.;4,4.;3,3.;4,4.----D C B Ay x ,为正实数，且满足,3,3,2=+≤≤y x y x ，则334y x +的最大值是（ ）A.24 ;B. 27 ;C. 33 ;D. 458.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则（ ） A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2D.a =－2,b =－3 9.函数f (x )=sin2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为____ 10.函数x x x y 9623+-=在[]2,1-上当=x 时,=max y ；当=x 时,=min y11.函数4431)(3+-=x x x f 的极大值是，极小值是. 12.函数21x x y -+=的最大值是，最小值是13．函数x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，则a 的取值X 围是.14.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____.15.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大.16.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？17．函数b ax ax x f ++=233)(在区间[]2,1-的最大值为10，最小值为8-，求b a ,的值18．设曲线()0≥=-x ey x在点()t e t M -,处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为().t S 求：（1）切线l 的方程；（2）().t S 的最大值(高三)§几种常见函数的导数练习题s =41t 4－3,则t =5时的瞬时速率为A.5 m/s ;B.25 m/s ;C.125 m/s ;D.625 m/s y =x n(n ∈N )在点P （2，)22n 处切线斜率为20，那么n 为 ; B.6 ;; f (x )=x x x 的导数是A.81x(x >0)B.－887x(x >0);C.8781x(x >0);D.881x- (x >0)4.f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足A.f (x )=g (x ) ;B.f (x )－g (x )为常数函数 ;C.f (x )=g (x )=0 ;D.f (x )+g (x )为常数函数 5.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A 车向北行驶，速率为30 km/h,B 车向东行驶，速率为40 km/h,那么A 、B 两车间直线距离的增加速率为 A.50 km/hB.60 km/h C.80 km/hD.65 km/hAB 长为20 cm,AM 段的质量与A 到M 的距离平方成正比，当AM =2 cm 时，AM 段质量为8 g,那么，当AM =x 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为x; B .4x ; x; x y =x 4的斜率等于4的切线的方程是___________.l 1为曲线y 1=sin x 在点（0，0）处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点（2π,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________. y =cos x 上的点（21,6π）且与过这点的切线垂直的直线方程为. y =sin x (0<x <π)上取一点M ，使过M 点的切线与直线y =x 23平行，则M 点的坐标为___________.11.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v .12.已知直线x +2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P ，使△P AB 面积最大.。
人教A版高中数学选修导数及其应用高考试题
导数的概念与运算第1题. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． 答案：3第2题.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．52 Ｃ．2 Ｄ．32答案：Ｃ第3题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5答案：B第4题.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．12 答案：A第5题.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ．答案：520x y +-=第6题.已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）Ａ．()0f x '>，()0g x '>Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '> Ｄ．()0f x '<，()0g x '<答案：B导数的概念和性质第1题.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5 答案：B第2题. ()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A ． ()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 答案：A第3题. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）答案：D 第4题.已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 答案：B A ． B ． C ． D ．。
人教A版高中数学选修导数及其应用综合测试—
数学选修2-2第一章试卷一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2C ．2(x - 1)D ．x - 1 3. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3limx f x f x x→--+=( )A ．3B ．23-C ． 13D ．32-4. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 （ ）A.0B.1C.3D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x 6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B.52C. 3D. 2 7．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2,则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C.极小值－1，极大值3D. 极小值－2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J 11、一物体在力()41F x x =-(单位:N)的的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x=1m 处运动到x=3m 处, 则力()F x 所作的功为（ ）A. 10JB. 12JC. 14JD. 16J12、若函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则（ ）()A 01b << ()B 1b < ()C 0b > ()D 12b <13、函数32()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是（ ）（A ）5 , －15 (B )5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－1614、若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于（ ） A. 、321x -+ B 、1x + C.、4x - D 、323x x -+15、函数2sin(2)y x x =+导数是（ ） A..2cos(2)x x +B.22sin(2)x x x +C.2(41)cos(2)x x x ++D.24cos(2)x x +16、函数2()2ln f x x x =-的递增区间是 ( )A.1(0,)2 B.11(,0)(,)22-+∞及 C.1(,)2+∞ D.11(,)(0,)22-∞-及 二、填空题：（每题4分共24分）11．函数32y x x x =--的单调增区间为___________________________________。
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导数练习题1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f（I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分） （依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22a x =，列表当2x )222(a，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分）∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=， xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x-'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>Q 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >- ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >． 解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分） 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）①②③。