【数学】黑龙江省牡丹江一中2012-2013学年高二上学期期末考试(文)

牡一中2012--2013学年度上学期期末考试高二学年数学（文科）试题一、选择题：1、点M的直角坐标是1)-，在0,02ρθπ≥≤<的条件下，它的极坐标是（ ）A 11(2,)6πB 5(2,)6πC )6πD 11)6π2、椭圆22321x y +=的焦点坐标是（ ）A (0,)、(0,66) B (0,-1)、(0,1) C (-1,0)、(1,0) D(,0)、(66,0) 3、“0x ≠”是“0x <”的 （ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件. 4、命题：“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是( )A 若11,x x ≥≤-或则21x ≥B 若21x <，则11x -<<C 若21x >，则11x x ><-或D 若21x ≥，则11x x ≥≤-或 5、在极坐标系中，点 (,)π2到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）6、在方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数且θ∈R ）表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）A （2，-7）B （1，0）C （21，21） D （91，32） 7、直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A (3,3)-B (C 3)-D (3, 8、若0ab ≠，则方程22()()0ax y b bx ay ab -++-=表示的曲线只可能是（ ）B C DA B C D9、双曲线2221(0,0)x y a b a b >>2－＝的一条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e ，则2a eb＋的最小值为（ ）C10、直线12(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数）被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A12511、直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为（ ）1 D 4-12、直线4mx ny +=与圆224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点的个数是（ ）A 至多一个B 2个C 1个D 0个 二、填空题：13、如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是 14、命题“存在()0,x ∈+∞，使得ln 10x x +-≤成立”的否定是________________； 15、已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ，若点(,)P x y 在该圆上，则xy的最大值是_______ 16、已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点到准线的距离为14，且C 上的两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线y x m =+对称，并且1212x x =-，那么m =_______三、解答题：（17题10分，其余每题12分）17、已知下列两个命题：:p 函数224()[2,)y x mx x R =-+∈+∞在上单调递增；:q 关于x 的不等式244(2)10()x m x m R +-+>∈的解集为R ，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围。

18、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 2倍后得到曲线2C ，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.19、已知圆:C 1cos sin x θy θ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线2cos :sin x t αl y t α=+⎧⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角），如果直线l 与圆C 有公共点，求α的取值范围．20、在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ，（1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．21、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12），（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线l 的方程.22、如图，斜率为1的直线l 过抛物线)0(2:2>=Ωp px y 的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B ，（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设C 为抛物线弧AB 上的动点（不包括A ，B 两点），求ABC ∆的面积S 的最大值； （3）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）答案一、选择题：AABDD CDACB CB二、填空题13、 4 14、任意()0,x ∈+∞， ln 10x x +->成立 15、2、32三、解答题：17、解：:2,:2;:13,:13p m p m q m q m m ≤⌝><<⌝≤≥则则或，由题知,p q 一真一假，若p 真q 假，则1m ≤，若p 假q 真，则23m <<， 综上，m 的取值范围是123m m ≤<<或18、解：（1）222:1,:26034x y C l x y +=--=，2C的参数方程是(2sin x ααy α⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）（2）2C上一点到直线的距离为|4cos()6|παd +-==，所以，当4cos()16πα+=-时，d取得最大值d =3(,1)2P - 19、解：圆O 的普通方程为：22(1)1x y -+=，将直线l 的参数方程代入圆O 普通方程，得2cos )30t ααt +++=，关于t 的一元二次方程有解所以012)cos sin 3(42≥-+=∆αα，43)6(sin 2≥+πα解得：23)6sin(≥+πα或23)6sin(-≤+πα因为πα≤≤0，所以26παπ≤≤20、解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ，即⎩⎨⎧==12b a ，所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-).将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =,得3cos 21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ),所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x .（II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上,所以1sin 4cos 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ, 所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1122222221=+++=+θθθθρρ.21、解：（Ⅰ）∵221,4e c b a =∴== 故所求椭圆为：222241x y a a+=12） ∴22311a a += ∴224,1a b ==∴2214x y += (Ⅱ)设1122(,),(,),P x y Q x y PQ 的中点为00(,)x y将直线y kx m =+与2214x y +=联立得222(14)8440k x kmx m +++-=， 222216(41)0,41k m k m ∆=+->∴+> ①又0x =12120224,214214x x km y y my k k +-+===++ 又（-1，0）不在椭圆上，依题意有0001,(1)y x k-=---整理得2341km k =+ ②…由①②可得215k >，∵0,0,m k k >∴>>, 设O 到直线l 的距离为d ，则OPQ S ∆=1122d PQ ⋅==分）当211,2OPQ k =∆时的面积取最大值1，此时km = ∴直线方程为y222、解：设),,(),,(2211y x B y x A（1）由条件知直线.2:p x y l -=由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 2,22消去y ，得.04322=+-p px x ………1分 由题意，判别式.044)3(22>⋅--=∆p p 由韦达定理，.4,322121p x x p x x ==+ 由抛物线的定义，.43)2()2(||21p p p px p x AB =+=+++=从而.42,84==p p 所求抛物的方程为.42x y =………3分（2）设),2(020y py C 。

由（1）易求得).)21(,2)223(,)21(,2)223((p pB p p A ++-- 则.)21()21(0p y p +<<-，点C 到直线02:=--py x l 的距离.2|22|020p y p y d --=将原点O （0，0）的坐标代入直线02:=--p y x l 的左边，得.022<-=--pp y x 而点C 与原点O 们于直线l 的同侧，由线性规划的知识知.022020<--py p y因此.222020p y p y d ++-=……6分由（1），|AB|=4p 。

222421||21020p y p y p d AB S ++-⋅⋅=⋅⋅=22220002)()2]y py p y p p =-++=--+ 由,)21()21(0p y p +<-知当22max 02222,p p S p y =⋅==时…8分 （3）由（2），易得.2,21221p y y p y y =+-=设),(00y x P 。