高三数学资料导数专题复习

合集下载

数学高三导数知识点

数学高三导数知识点导数是数学中的重要概念，为了帮助高三学生更好地理解和应用导数知识，本文将详细介绍数学高三导数的相关知识点。

1. 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，使用符号f'(x)或dy/dx表示。

导数的定义为：f'(x) = lim(h→0)(f(x+h) - f(x)) / h其中，f(x)为函数f在点x处的取值。

2. 导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)等于函数图像在该点切线的斜率。

导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。

3. 导数的基本性质- 若函数f(x)在点x处可导，则该点处的导数存在。

- 若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点处连续。

- 函数常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。

- 导数与基本函数的求导法则：- 若f(x)和g(x)是可导函数，则(cf(x))' = c(f'(x))，(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)，- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) -f(x)g'(x)) / (g(x))^2。

- 链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=dy/du * du/dx。

4. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0。

- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

- 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

- 对数函数f(x) = log_a(x)的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数的导数- 正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

高考导数16个核心专题

高考导数16个核心专题
1、数列：解决数列问题的基本方法、等差数列、等比数列、定义数列的性质及其应用。

2、函数：函数的概念、函数的图形、一次函数、二次函数、奇偶性及其应用。

3、极限：极限的概念及计算方法、无穷小量、无穷大量及其应用。

4、微积分：定义积分、不定积分、定积分、积分的几何意义及应用。

5、向量：向量的概念、向量的运算、极坐标表示、曲线长、圆面积及应用。

6、三角函数：正弦、余弦及正切函数的概念、函数的图像、正弦定理及应用。

7、几何：多边形的面积、椭圆面积、空间三角形体积及应用。

8、统计：概率的概念、期望、方差、协方差及应用。

9、概率：事件的概率、独立事件、条件概率及其应用。

10、常用函数：对数函数、指数函数、幂函数及其应用。

11、方程：一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程及其应用。

12、不等式：不等式的概念、不等式的解法、不等式的范围及应用。

13、解几何：直线、圆、椭圆、双曲线及其应用。

14、复数：复数的概念、实部、虚部、复数的运算及应用。

15、矩阵：矩阵的概念、计算、行列式及其应用。

16、空间几何：立体几何的概念、平面几何、平行四边形、直线与平面的位置关系及应用。

导数知识点总结大全高中

导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。

函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。

当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。

2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。

当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。

3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。

导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。

4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。

二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。

函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。

2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。

3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。

三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。

直击2024年高考——高三数学导数考点精讲(全国版)

导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程（1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

(完整版)高三复习导数专题

导数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数（1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >）其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。

高中导数题所有题型及解题方法

高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。

导数答题专题5大题型练习题高三数学一轮复习

1导数大题专题训练一、导数恒成立（存在）问题类型一分离参数1.已知函数()ln (0)f x x x x =>.(分离参数,恒成立2问)(1) 求()f x 的单调区间和极值.(2) 若对任意23(0,),()2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.2.已知函数ln()(),().xxf x ax e a Rg xx=-∈=（分离参数，存在2问）（1）求函数()f x的单调区间.（2）o (0,),()()xx f x g x e∃∈+∞≤-使不等式成立，恒成立，求实数a的取值范围.233. 已知函数()ln f x x =（1）求函数()(1)g x f x x =+-的最大值.（2）若对任意0x >时，不等式2()1f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围.4. 已知函数2()ln +(0)f x x x a ax=+≠ （1）当1()a f x =时，求的极值.（2）若对任意1()2,x e e f x x -∈<+（,）,时求实数a 的取值范围.4类型二最值定位法解双参不等式恒成立问题1.设函数()2cos ,()ln (0)k f x x x g x x k x =--=-->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意11[0,]2x ∈，总存在21[,1]2x ∈，使得12()()f x g x ≤，求实数k 的取值范围.52. 已知函数1()ln ,()(0)2a f x x mx g x x a x =-=->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若21221,,[2,2]2m x x e e=∀∈，都有12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.63. 已知函数32333(),()(1)31,.x+12x f x g x x a x ax a -==-++--其中为常数（1）当=1a 时，求曲线()y g x =在0x =处的切线方程；（2）若0a <，对与任意1[1,2]x ∈，总存在2[12]x ∈，，使得12()=()f x g x ，求实数a 的取值范围.7类型三做差法构造函数（讨论参数成立时的范围）1. 已知函数22()ln f x a x x ax =-+（1）当1a =-时，求()f x 的极值;（2）若()0+f x <∞在（0，）上恒成立，求实数a 的取值范围.82. 已知函数21()1,(),.2x f x x a e g x x ax a =+-=+（）其中为常数（1）当2a =时，求函数()f x 在点(0)f （0，）处的切线方程; （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.93. 函数2()2ln ,().f x x ax x a R =-+∈（1）若曲线()y f x =在点(1)f （1，）处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值;（2）若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-在区间0]e （，上恒成立，求实数a 的取值范围.10 二．导数与函数零点问题类型一、讨论函数零点的个数1. 已知函数()cos .x f x e x =-（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点.11 2. 已知函数()cos 2x f x e x x =--（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求()f x 在(,)2π-+∞上的零点个数.123. 已知函数()cos 1f x ax x =-在[0,]6π31π- （1）求a 的值;（2）求证：()f x 在(0)2π，上有且仅有2个零点.13类型二、由函数的零点个数确定参数取值范围4. 已知函数2()+ln 1()f x ax x a R =+∈（1）若函数()f x 在(1)+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间1(,)e e 上有且只有两个零点，求实数a 的取值范围.145. 已知函数()(2)x f x e a x =-+（1）若1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6. 已知函数2=-+-∈f x a x x a x a R()ln(21)()f x的单调区间；（1）若1a=时，讨论()f x的极值；（2）求函数()f x有两个不同的零点，求a的取值范围. （3）若函数()1516三、导数与不等式证明类型一构造函数证明不等式（()()()h x f x g x =-）1. 已知函数()2ln 1f x x x =+（1）求()f x 的最小值；（2）证明：21()2ln f x x x x x ≤-++.172. 已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1,(1,),a x =∈+∞证明：32()3f x x <3. 已知函数()=x-的图象在点（0,1）处的切线斜率为1-.f x e axf x的极值；（1）求a的值及()（2）证明：2当时，.0x><x x e1819类型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较（隔离分析最值法）4. 已知函数()ln ,().x x f x x x x g x e=+= （1）若不等式2()()f x g x ax ≤对[1,+x ∈∞）恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()+1().f x x g x ->5. 已知函数2()lnf x ex x x=-.求证：当1 0()xx f x xee ><+时，20216. 已知函数()ln ()f x e x ax a R =-∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20.x xf x e ex -+≤22类型三适当放缩证明不等式（1,ln 1x e x x x ≥+≤-）1. 已知函数2()ln(1),.1f x a x a x =-+-其中为实数（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当2x >时，()(1)2.x f x e a x a <+--232. 已知函数()ln 1f x ax x =--（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.（2）求证：ln 10xe x x x ++-≥.24四．极值点偏移类型一利用1212,x x x x +问题转化，构造函数1. 已知函数21()ln 2f x x x a x =-+（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12ln 23()()24f x f x +>--25类型二比值换元1. 已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>262. 设函数()=(),x x x f x g x ae x a e=-，其中的实数.，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()g x 有两个零点1212,x x x （<x ），证明：1201x x << .273. 已知函数2()22ln ,f x ax x x a R =-∈（1）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围.（2）若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，证明：122ln ln 1x x +>-.284. 已知函数()ln (,)mx n f x x m n R x-=-∈ （1）求函数()f x 在(1)f （1，）处的切线与直线0x y -=平行，求实数m 的值;（2）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,x x x （0<<x ），证明：122x x +>.29类型三对称构造()()(2)F x f x f a x =--1.已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>五．隐零点问题30。

(完整版)高三复习导数专题

直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)

导数题型专练【利用公式和四则运算求导】【例1】下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e x C.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 【答案】 AD【解析】 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．【复合函数求导】【例2】设函数，若，则．【答案】 1; 【解析】函数，，，，解得，故答案为：．【根据导数构造抽象函数】【例3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）．A.B.C.D.【答案】 A; 【解析】设，由，得：，故函数在递减，由为奇函数，得， ∴，即，∵不等式，∴，即，结合函数的单调性得：，故不等式的解集是．故选．【求在某点处的切线方程】【例4】曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．【答案】 5x －y ＋2＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.【求过某点处的切线方程】【例5】y =2x 2+8过点P(1,2)的切线方程是( )． A. y =−4x +6B. y =12x −10C. y =−4x +6或y =12x −10D. y =4x +6或y =12x −10【答案】 C;【解析】设切点坐标为(x 0 ,2x 02+8)，y ′=4x ，∴切线斜率k =4x 0，则2x 02+8−2x 0−1=4x 0，解得x 0=−1或3，∴所求切线方程为y =−4x +6或y =12x −10．【根据切线求参数问题】【例6】直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】 A【解析】 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝ax ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.【例7】过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞)【解析】由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y =＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea <e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．【两曲线的公切线】【例8】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3【答案】 D【解析】由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3.【利用导数确定函数图象】【例9】已知函数，则的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A;【解析】令，则，由，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，，于是对任意的，有，故排除、，因为函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故排除．故选．【利用导数求具体函数的单调性】【例10】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)【答案】A【解析】∵f′(x)＝2x－2 x＝2(x＋1)(x－1)x(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．【例11】若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递减区间为________．【答案】(1，＋∞)【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．【利用导数求含参函数的单调性】【例12】已知函数．讨论的单调性．【答案】当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【解析】函数的定义域为：，，①当时，恒成立，在上单调递增，无减区间；②当时，令，解得，∴增区间为，减区间为综上：当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【例13】已知函数是自然对数的底数）．讨论的单调性．【答案】当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【解析】，当时，，在上单调递减；当时，由得，所以在上单调递减；由得，所以在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【导数解决单调性的应用-比较大小】【例14】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【答案】 A【解析】因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.【导数解决单调性的应用-解不等式】【例15】已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞【解析】 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ， f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”， ∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32， ∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.【导数解决单调性的应用-求参数范围】【例16】已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.【根据函数图象判断极值】【例17】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)【答案】D【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．【利用导数求函数的极值】【例18】已知函数，其中．求函数的极值．【答案】当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【解析】，，令得，，当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【例19】已知函数．判断函数的极值点的个数，并说明理由．【答案】当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【解析】因为，所以．（）当时，有，令，得．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数只有一个极值点．（）当时，令，得，．①当时，．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点．②当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，函数无极值点．③当时，，当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点，综上，当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【已知极值(点)求参数】【例20】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6【答案】 A【解析】由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.【利用导数求函数的最值】【例21】函数的最小值为．【答案】 ; 【解析】当时，，，此时单调递减，此时．当时，，，当时，，单调递减，时，，单调递增， ∴此时，∵，∴的最小值为．【例22】已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．【答案】(1) e 2－3e ＋1；(2) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【解析】 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【数形结合法研究函数零点】【例23】已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2e x ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时，φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.【利用函数性质研究函数零点】【例24】已知函数f (x )＝x －a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝12x 2－ax －f (x )的零点个数．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，由f ′(x )>0可得x >a ；由f ′(x )<0可得0<x <a ，所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由g (x )＝12x 2－ax －x ＋a ln x＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，可得g ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x令g ′(x )＝0可得x ＝1或x ＝a ，因为g (1)＝12－a －1＝－a －12<0，g (2a ＋3)＝12(2a ＋3)2－(a ＋1)(2a ＋3)＋a ln(2a ＋3)＝a ＋a ln(2a ＋3)＋32>0，当a >1时，g (x )在(1，a )上单调递减，所以g (1)>g (a )，所以g (a )<0，所以g (x )有一个零点，当a ＝1时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )有一个零点，当0<a <1时，g (x )在(0，a )上单调递增，在(a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时g (a )＝12a 2－(a ＋1)a ＋a ln a＝－12a 2－a ＋a ln a <0，g (x )只有一个零点，综上所述，g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．【导数构造问题】【例25】已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，若a＝2f (1)，b ＝f (2)，c ＝4f ⎝⎛⎭⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <b <c 【答案】 B【解析】构造函数g (x )＝f (x )x (x >0)，得g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )－f (x )x ，由题知当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)2>f (1)1>f ⎝⎛⎭⎫1212，即f (2)>2f (1)>4f ⎝⎛⎭⎫12，即b >a >c .【例26】(多选)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)<e 2f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C ．e 2f (－1)>f (1)D ．e 2f (－1)<f (1)【答案】 AC【解析】构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知A ，C 选项正确．【例27】(多选)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 【答案】 CD【解析】构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2. 则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3，同理g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4，即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4.【同构法导数构造】【例28】若存在x ，y ∈(0，＋∞)使得x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，则实数a 的最大值为( ) A.1eB.12eC.13eD.2e【答案】 B【解析】由x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，得ln(2a )＝ln y x －y x ，令t ＝y x >0，g (t )＝ln t －t ，则g ′(t )＝1t －1＝1－t t ，当0<t <1时，g ′(t )>0，当t >1时，g ′(t )<0，所以g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＝1时，g (t )取得极大值即最大值g (1)＝－1，因为当t →0时，g (t )→－∞，所以g (t )∈(－∞，－1]，所以ln 2a ≤－1，所以0<a ≤12e ，所以实数a 的最大值为12e .【分参法解决恒成立问题】【例29】已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0.(2)方法一当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立．即⎝⎛⎭⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立.当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R .当x >2时，12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x＝2e x x 恒成立．设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2，因为x >2，所以g ′(x )>0，所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2.综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．【整体法解决恒成立问题】【例30】已知函数f (x )＝e x －1－ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线与直线3x －y ＝0平行，求a 的值；(2)若不等式f (x )≥ln x －a ＋1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝e x －1－a ＋1x ，∴f ′(1)＝2－a ＝3，∴a ＝－1，经检验a ＝－1满足题意，∴a ＝－1，(2)f (x )≥ln x －a ＋1可化为e x －1－ax ＋a －1≥0，x >0，令φ(x )＝e x －1－ax ＋a －1，则当x ∈[1，＋∞)时，φ(x )min ≥0，∵φ′(x )＝e x －1－a ，①当a ≤1e 时，φ′(x )>0，∴φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1－a ＋a －1＝0≥0恒成立，∴a ≤1e 符合题意．②当a >1e 时，令φ′(x )＝0，得x ＝ln a ＋1.当x ∈(0，ln a ＋1)时，φ′(x )<0，当x ∈(ln a ＋1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增．当ln a ＋1≤1，即1e <a ≤1时，φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴1e <a ≤1符合题意．当ln a ＋1>1，即a >1时，φ(x )在[1，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(ln a ＋1)<φ(1)＝0与φ(x )≥0矛盾．故a >1不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．【双变量的恒(能)成立问题】【例31】设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立． g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23，∵g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1， ∴当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， ∴M ≤1－⎝⎛⎭⎫－8527＝11227， ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2有f (s )≥g (t )，则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (2)＝1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立，即a ≥x －x 2ln x 恒成立．令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令φ(x )＝1－2x ln x －x ， ∴φ′(x )＝－3－2ln x <0，h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，又h ′(1)＝0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )≥0，当x ∈[1,2]时，h ′(x )≤0，∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1，故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【利用导数证明不等式】【例32】已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32；若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ，令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0，当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .【例33】已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x .当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2.令函数g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e ，令函数h (x )＝e x x 2，则h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24.因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0，所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e x x 2，从而xf (x )<e x 得证．【例34】已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2，则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)．【隐零点问题】【例35】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【解析】 (1) f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)设函数φ(x )＝e x －2－ln x (x >0)，则φ′(x )＝e x －2－1x ，可知φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x 0，且1<x 0<2，则φ′(x 0)＝02ex −－1x 0＝0，即02e x −＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )≥φ(x 0)＝02ex −－ln x 0，结合02e x −＝1x 0，知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x )≥φ(x 0)＝1x 0＋x 0－2＝x 20－2x 0＋1x 0＝(x 0－1)2x 0>0，则φ(x )＝e x －2－ln x >0，即不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【极值点偏移问题】【例36】已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1，x 2.证明：x 1＋x 2>2.【解析】由f (x )＝a e x －x ＝0，得x e x －a ＝0，令g (x )＝x e x －a ，则g ′(x )＝1－x e x ，由g ′(x )＝1－x e x >0，得x <1；由g ′(x )＝1－x e x <0，得x >1.所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，由于x 1，x 2是方程g (x )＝0的实根，不妨设x 1<1<x 2，方法一 (对称化构造函数法)要证x 1＋x 2>2，只要证x 2>2－x 1>1.由于g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g (x 2)<g (2－x 1)，由于g (x 1)＝g (x 2)＝0，故只要证g (x 1)<g (2－x 1)，令H (x )＝g (x )－g (2－x )＝x e x －2－x e 2－x (x <1)，则H ′(x )＝1－x e x －1－x e 2－x ＝(e 2－x －e x )(1－x )e 2，因为x <1，所以1－x >0,2－x >x ，所以e 2－x >e x ，即e 2－x －e x >0，所以H ′(x )>0，所以H (x )在(－∞，1)上单调递增．所以H (x 1)<H (1)＝0，即有g (x 1)<g (2－x 1)成立，所以x 1＋x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2，由g (x 1)＝g (x 2)，得1212e e x x x x −−=，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1. 所以x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0，设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，所以g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以当t >1时，g (t )单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，所以ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.。

(完整版)高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点处的切线方程为（）。

A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。

对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，因此切线方程为即。

故本题正确答案为B 。

2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分）设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。

新高三数学导数知识点归纳

新高三数学导数知识点归纳导数是高等数学中的重要概念，是微积分中的基础内容。

在高三数学学习中，导数知识点是必学的内容之一。

本文将对新高三数学导数知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)，读作"f关于x的导数"，也可以读作"f的导数"。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x处有极限lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x) )/△x=lim┬(△x→0)⁡(△f(x)/△x=f'(x)〗其中Δf(x)表示函数f(x)在点x处的增量，Δx表示自变量的增量。

二、常用函数的导数1. 常数函数的导数：对于常数函数f(x)=c (c为常数)，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n (n为正整数)，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=logₐx (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=1/(x*lna)。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数(sin、cos、tan等)的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x。

三、导数的运算法则1. 基本运算法则：（1）常数的导数为0；（2）导数的线性性，即导数与常数的乘积等于常数乘以导数。

2. 加减法法则：（1）两个函数的和(差)的导数等于两个函数的导数的和(差)；（2）即(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。

3. 乘积法则：（1）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；（2）即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

(完整word版)高三数学导数知识点归纳总结,推荐文档

导数知识点总结考试内容：导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景.（2）理解导数的几何意义.（3）掌握函数，y=c（c为常数）、y=xn（n 6 N+）的导数公式，会求多项式函数的导数.（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.知识要点：1 .导数(导函数的简称)的定义：设X 0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X 在X 0处有增量x ,则函数值y 也引起相应的增量y f(x o x) f(x o );比值-1 !^°一x)f(X o)称为函数 y f(x)在点x o到X xx ox 之间的平均变化率；如果极限lim 」limf(x 0x) f(x 0)存在，则x 0 x x 0x称函数y f(x)在点x o 处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x o 处的导数，记作 f ’(x 0)或 y 底，即 f '(x 0) = lim ，lim f(x 0x) f(x o). x o x x 0 x注：①x 是增量，我们也称为“改变量”，因为x 可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A, y f ’(x)的定义域为B,则A 与B 关系为A B .2 .函数y f(x)在点x o 处连续与点x o 处可导的关系：⑴函数y f(x)在点x o 处连续是y f(x)在点x o 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x o 处可导，那么y f(x)点x o 处连续. 事实上，令x x °x,则xx o 相当于x o .于是 lim f(x) lim f (x ox) lim [ f(x x o ) f (x o ) f(x o )]x %x ox of (x o x) f (x o )f(x ox) f(x o )'l o--------- L 一x f (x o )] lim o------------- - 37lim lim f(x o ) f (x o ) o f(x o )x o x x o x x o x o⑵如果y f(x)点x o 处连续，那么y f(x)在点x o 处可导，是不成立的. 例：f(x) |x|在点x o o 处连续，但在点x o o 处不可导，因为」此, x x 当x>o 时，工1；当x<o 时，，1,故lim 」不存在. x x x ox注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.f(x o ).3 .导数的几何意义：函数y f(x)在点x o 处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x o ,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P (x 0,f(x))处的切线的斜率是f'd),切线方程为 y y o f '(x)(x x o ).4 .求导数的四则运算法则：.‘‘ ''-'.、_'.、(u v) uv y f1(x) f 2(x)... f n (x) y f i (x) f 2(x) ... f n (x)(uv) vu vu (cv) c v cvcv ( c 为常数)注:①u,v 必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 ^例如：设 f (x) 2sinx 2, g(x) cosx -,则 f(x),g(x)在 x 0 处均不可导, x x 但它们和f (x) g(x)sin x cosx 在x 0处均可导.5 .复合函数的求导法则：f x( (x)) f '(u) '(x)或y 'x y 'u u 'x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .6 .函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数 y f(x)在某个区间内可导，如果f '(x)>0,则y f(x)为增函数；如果f ’(x)<0,则y f(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I 内恒有f '(x)=0,则y f(x)为常数.注：①f(x)。

(完整版)高三总复习导数——专题总结归纳

历年高考题型总结及详解——倒数内容简介：1.有关倒数考试方向及常考点.2.常考点方法总结及名师点拨.3.2014——2016各地历年高考题及解析.4.名校有关模拟题——母题.【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力.【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【得分要点】1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.4.含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论. 5.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)；(2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7. 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8. 函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.9. 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．10. 函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集. 11.函数的极值与导数（1）函数极值的概念设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x .注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取.（2）函数极值与导数的关系当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/()0f x >，那么0()f x 是极小值.注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3y x =，导数为/23y x =，在0x =处导数为0，但不是极值点；②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0(0)(0)lim x x x-∆→-+∆--∆=-1，有导数0(0)(0)lim x x x+∆→+∆-∆=1，在0x =处的导数不存在. （3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.12.最值问题（1）最值的概念对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意x ，都有()f x ≤0()f x （()f x ≥0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值.注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系.1.(2016高考山东理数)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（II ）略考点：应用导数研究函数的单调性【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 2.(2016高考天津理数)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；(II)略；（Ⅲ）略错误!未找到引用源。

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义瞬时速率。

一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义曲线的切线，当点趋近于P时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线的斜率是当点趋近于P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即二. 导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则3.复合函数求导y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理与证明1.合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

2.类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

高三数学导数和函数知识点

高三数学导数和函数知识点一、导数的定义及性质导数是函数在某一点上的斜率，表示函数在该点的变化率。

具体来说，如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么导数可以通过以下公式计算：f'(x)=lim[x→x0](f(x)-f(x0))/(x-x0)导数具有以下性质：1. 导数存在的条件：函数在某一点处的导数存在，意味着该点是函数的可导点。

函数可导的必要条件是在该点上函数的左右导数存在且相等。

2. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x0处可导，则在该点上函数是连续的。

但是函数在某一点处连续并不意味着导数存在。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点上的切线的斜率，切线的方程为y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)。

4. 导数的运算法则：导数满足加减乘除的运算法则，例如导数的和的导数等于各个导数的和，导数的乘积的导数等于各个因子的导数之积等。

5. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为高阶导数，记作f''(x)，依此类推。

二、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x *ln(a)，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))，其中ln(a)表示以自然对数为底的a的对数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数正弦函数f(x)=sin(x)、余弦函数f(x)=cos(x)和正切函数f(x)=tan(x)的导数分别为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)和f'(x)=sec^2(x)。

三、导数应用导数在数学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 极值问题：通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值点。

导数复习知识点总结

高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=fx,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0,比值x y∆∆叫做函数y=fx 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=fx 在点x 0处可导,并把这个极限叫做fx 在点x 0处的导数,记作f’x 0或y’|0x x =;即fx 0=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00;说明：1函数fx 在点x 0处可导,是指0→∆x 时,x y ∆∆有极限;如果x y∆∆不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数;2x ∆是自变量x 在x 0处的改变量,0≠∆x 时,而y ∆是函数值的改变量,可以是零; 由导数的定义可知,求函数y=fx 在点x 0处的导数的步骤可由学生来归纳： 1求函数的增量y ∆=fx 0+x ∆－fx 0；2求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；3取极限,得导数f’x 0=x yx ∆∆→∆0lim;2．导数的几何意义函数y=fx 在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率;也就是说,曲线y=fx 在点px 0,fx 0处的切线的斜率是f’x 0;相应地,切线方程为y －y 0=f/x 0x －x 0; 3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x ex '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差,即：.)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -v ≠0;形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数;复合函数求导步骤：分解——求导——回代;法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X2010高考数学复习详细资料——导数应用知识清单单调区间：一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,如果'f )(x 0>,则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ,则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正； 3．最值：一般地,在区间a,b 上连续的函数f )(x 在a,b 上必有最大值与最小值; ①求函数ƒ)(x 在a,b 内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒa 、ƒb ；③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒa 、ƒb 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值;4．定积分1概念：设函数fx 在区间a,b 上连续,用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间a,b 等分成n 个小区间,在每个小区间xi －1,xi 上取任一点ξii ＝1,2,…n 作和式In ＝∑ni f1＝ξi △x 其中△x 为小区间长度,把n→∞即△x→0时,和式In 的极限叫做函数fx 在区间a,b 上的定积分,记作：⎰badxx f )(,即⎰badxx f )(＝∑=∞→ni n f1lim ξi △x;这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数fx 叫做被积函数,x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式; 基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋Cm ∈Q, m≠－1；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x＝xe＋C ；⎰dx a x ＝a a xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sinx ＋C ；⎰xdx sin ＝－cosx ＋C 表中C 均为常数;2定积分的性质 ①⎰⎰=babadxx f k dx x kf )()(k 为常数；②⎰⎰⎰±=±bab ab adxx g dx x f dx x g x f )()()()(；③⎰⎰⎰+=ba ca bc dxx f dx x f dx x f )()()(其中a ＜c ＜b );3定积分求曲边梯形面积由三条直线x ＝a,x ＝ba<b,x 轴及一条曲线y ＝fxfx≥0围成的曲边梯的面积⎰=badxx f S )(;如果图形由曲线y1＝f1x,y2＝f2x 不妨设f1x≥f2x≥0,及直线x ＝a,x ＝ba<b 围成,那么所求图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadxx f dx x f )()(21;课前预习1．求下列函数导数 1)11(32x x x x y ++= 2)11)(1(-+=x x y 32cos 2sin x x x y -= 4y=x x sin 25y ＝x x x x x 9532-+-2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=3．过点－1,0作抛物线21y x x =++的切线,则其中一条切线为A 220x y ++=B 330x y -+=C 10x y ++=D 10x y -+=4．半径为r 的圆的面积Sr ＝πr2,周长Cr=2πr,若将r 看作0,＋∞上的变量,则πr2`＝2πr 错误!,错误!式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数;对于半径为R 的球,若将R 看作0,＋∞上的变量,请你写出类似于错误!的式子：；错误!式可以用语言叙述为： ;5．曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ;6．对于R 上可导的任意函数fx,若满足x －1f x '（）≥0,则必有 A ．f0＋f2<2f1 B. f0＋f2≤2f1 C ．f0＋f2≥2f1 D. f0＋f2>2f17．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 8．已知函数()11axx f x e x -+=-;Ⅰ设0a >,讨论()y f x =的单调性；Ⅱ若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >,求a 的取值范围;9．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 A －2 B0 C2 D410．设函数fx=3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 Ⅰ求fx 的单调区间；Ⅱ讨论fx 的极值;11．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）,该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求I 求点A B 、的坐标； II 求动点Q 的轨迹方程.12．请您设计一个帐篷;它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥如右图所示;试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大 13．计算下列定积分的值 1⎰--312)4(dxx x2⎰-215)1(dxx ； 3dxx x ⎰+2)sin (π；4dxx ⎰-222cos ππ；14．1一物体按规律x ＝bt3作直线运动,式中x 为时间t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时,阻力所作的功;2抛物线y=ax2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值,并求Smax ．典型例题一导数的概念与运算EG ：如果质点A 按规律s=2t3运动,则在t=3 s 时的瞬时速度为A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s 变式：定义在D 上的函数)(x f ,如果满足：x D ∀∈,∃常数0M >,都有|()|f x ≤M 成立,则称)(x f 是D 上的有界函数,其中M 称为函数的上界.文1若已知质点的运动方程为at t t S ++=11)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.理2若已知质点的运动方程为at t t S -+=12)(,要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. EG ：已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是A.41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim,430--='→A ．－１Ｂ．－2 C ．－3 D ．1变式2：()()()00003,limx f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f '根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。

完整版)高中数学导数知识点归纳总结

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。

但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。

2024高三数学二轮专题复习11-导数中的同构问题

函数与导数—导数中的同构问题专题综述同构法在近几年的模考中频繁出现，把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数，利用函数的单调性转化成比较大小,或者解恒成立，求最值等问题.同构法在使用时，考验“眼力”，面对复杂的结构，仔细观察灵活变形，使式子两则的结构一致.构造函数，判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.专题探究探究1：指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构，()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln xx xxe e+=；②ln x x x e e x-=；③ln x x x x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln x e x x x -=.答题思路：1.直接变形：（1）积型：b b ae aln ≤⇒()ln ln abx a e b ef x xe ⋅≤⋅⇒=（同左）；ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右）；⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()xe f x x⇒=（同左）；ln ln a a e b e b ⇒<⇒xxx f ln )(=（同右）；⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）.（3）和差型：b b a e aln ±>±⇒ln ln abe a eb ±>±⇒x e x f x ±=)(（同左）；ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有：①x ae axln >ln ax axe x x ⇒>；②[]ln 1ln()ln (1)1ln ln(1)1x xx a e a ax a a e a x e a x a->--⇒>--⇒->--ln ln(1)ln ln(1)1ln(1)x a x e x a x x e x --⇒+->-+-=+-；③ln ln ln log (ln )ln ln xx ax a a xa x ex a e x x a>⇒>⇒>；(2021重庆市市辖区模拟)若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(],e -∞ C.(],1-∞ D.(],2-∞【审题视点】不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上x ，即能出现同构法中的“和差型”.【思维引导】由不等式的结构判断，通过将不等式变形为ln x a e x a x x -+-≥+，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.【规范解析】解：ln x aex a -+ ，ln x a e x a x x -∴+-+ ，ln ln x a x e x a e x-∴+-+ 指对数结构同时存在，若选择直接含参讨论较麻烦，通过配凑，符合和差型结构，构造函数判断单调性设()tf t e t =+，则()10tf t e '=+>∴()f t 在R 上单调递增故ln ln x ax ex a e x -+-+ 即()()ln f x a f x - ，即ln x a x - 即ln x x a - 设()ln g x x x =-，则()111x g x x x-'=-=，令()0g x '>，则1x >∴()g x 在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递减故()()min 11g x g ==，故1a 故选.C 【探究总结】不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度.故要对常见不等关系的结论（专题1.3.8）及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.(2021山东省泰安市一模)已知()2ln 12a f x x x x =++.（1）若函数()()cos sin ln 1g x f x x x x x x =+---在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有1个零点，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()212x aa xef x x ax -=-+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围.探究2：双变量型含有同等地位的两个变量12,x x 的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有：①[]12211121()()()()()()()()g x g x f x f x g x f x g x f x λλλ->-⇒+>+化繁为简：根据同构后的不等式，构造函数，判断单调性，转化为x a -与ln x 的恒成立问题()()()h x g x f x λ⇒=+；②12121212112212()()()()()()()f x f x k x x f x f x kx kx f x kx f x kx x x -><⇒-<-⇒-<--()()h x f x kx ⇒=-；③1212121212121221()()()()()()f x f x k x x k k k x x f x f x x x x x x x x x --<<⇒->=--1212()()k k f x f x x x ⇒+>+()()k h x f x x⇒=+.(2021江西省萍乡市联考)已知函数()()21ln011x ax f x a x e -=+>--，（1）求函数()f x 的定义域；（2）对1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，都有212111()()11x x f x f x e e -<---成立，求实数a 的取值范围．【审题视点】第（2）问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.【思维引导】双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形212111()()11x x f x f x e e -<---，构造函数()h x ，由不等式得出函数()h x 的单调性.【规范解析】解：（1）由题意得20110x ax x e -⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，即2()(1)00a x x ax ⎧-->⎪⎨⎪≠⎩，①当02a <<时，21a >，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,1)(,)a-∞+∞ ；②当2a =时，21a =，函数()f x 的定义域为{|1x x ≠且0}x ≠，③当2a >时，21a <，函数()f x 的定义域为2(,0)(0,)(1,)a-∞+∞ ；（2）由题意得1x ∀，21(0,)2x ∈，当21x x >时，212111()()11x x f x f x e e -<---双变量的不等式，注意变量分离，使不等式两侧的结构一致，转化为新函数的单调性问题设()12()ln11x ax h x f x e x -=-=--，则()()21h x h x <()h x ∴在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减设2(1)22()111ax a x a a u x a x x x --+--===+---，即函数()u x 在1(0,)2上是减函数，且1()02u ，2012201120a a a ->⎧⎪⎪-⎪∴⎨⎪-⎪⎪>⎩ ，解得24a < ，∴实数a 的取值范围为(2,4].【探究总结】典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确.针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性.构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.(2021江苏省苏州市联考)已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意1x ，212[2,)()x x x ∈+∞≠，存在3[1,]2a ∈，使1212()()f x f x m x x ->-成立，则实数m 的取值范围是（）A.(,2]-∞ B.(,6)-∞ C.5(,]2-∞ D.11(,]4-∞探究3：同构放缩或同构换元共存型有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等.常见的放缩模型：（1）利用1xe x ≥+放缩：①ln ln 1xx xxe ex x +=≥++；②ln ln 1xx x e e x x x-=≥-+；③ln ln 1n x x n x x e e x n x +=≥++对于函数单调性的判断，可以利用单调性性质、复合函数单调性、导数，解题时要灵活选择方法（2）利用x e ex ≥放缩：①ln (ln )x x xxe ee x x +=≥+；②ln ln 1x x x xe x x e-=≥-+；③ln (ln )n x x n x x e e e x n x +=≥+.（3）利用ln 1x x ≤-放缩：①ln ln()1xxx x xe xe +=≤-；②ln ln()1n x n x x n x x e x e +=≤-.（4）利用ln x x e≤放缩：①1ln ln()x x x x xe xe -+=≤；②1ln ln()n x n x x n x x e x e -+=≤.(2021河北省石家庄市联考)已知函数()()1ax f x x ea R -=⋅∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，求证：0x >时，1ln ()0.xf x x e +⋅ 【审题视点】待证明的不等式中有x xe ，ln x x +，容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.【思维引导】第（2）问，求出1a =，显化不等式()1ln 0xf x xe +≥，进行指对变形，换元简化函数.【规范解析】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为.R 当0a =时，()exf x =，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．当0a ≠时，1111()e e e ()ax ax ax f x ax a x a---'=+=+，令()0f x '>，即1()0a x a +>①当0a <时，1x a <-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递增；在区间1(,)a -+∞上单调递减．②当0a >时，1x a >-∴()f x 在区间1(,)a -∞-上单调递减，在区间1(,)a-+∞上单调递增．（2）若函数()f x 的图象经过点(1,1)，则1(1)1a f e -==，得1a =，则111ln ()ln 1ln 1e e ex x x x f x x x xe x x x +=++-=+-， 1.利用常见的同构变形结论，对待证不等式进行变形，换元使构造的函数较为简单；2.方法不唯一，也可直接构造函数()1ln 1x g x x x xe=++-，判断单调性，涉及隐零点问题（专题1.3.9）设xt xe =，则当0x >时，()0,t ∈+∞设()1ln 1g t t t =+-，则()22111t g t t t t-'=-+=令()0g t '>，则1t >∴()g x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增∴()()()min 10g x g x g ≥==∴当0x >时，1ln ()0xf x xe + 恒成立．【探究总结】同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“一致性”，再换元，大大降函数研究的难度.但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为()()f x g x >的结构，比较最值.(2021江苏省南京市模拟)已知函数()ln f x x ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设1()()x g x exf x -=+，若()0g x 恒成立，求a 的取值范围．专题升华同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.①方程中的应用：()()0f a f b ==⎧⎨⎩⇒两式结构相同，转化为,a b 为方程()0f x =的两根；如：若函数()1f x x m =-在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎣⎦，则实数m 的取值范围是.思路：由()f x 单调递增⇒()()22a f a bf b ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⇒,a b 为方程()2x f x =的两个根.②不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；不等式的证明问题转化为构造函数求函数最值问题如：若()[)5533cos sin 7cos sin ,0,2θθθθθπ-<-∈，则θ的取值范围是.思路：()55335353cos sin7cos sin cos 7cos sin7sin θθθθθθθθ-<-⇒-<-，构造函数()537f x x x =-研究单调性.③解析几何中的应用：如点()()1122,,,A x y B x y 的坐标满足相同的关系式，即01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩则直线AB 的方程为01y y mx =-，或得出两点在同一条曲线上；④数列中的应用：将递推公式变形为关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，如()113121311n n n n a a a a n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++⇒+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，可以构造辅助数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭解题.解题时，针对除变量外完全相同的结构式，要灵活的利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,从而找到解决问题的思路方法.同构法体现了发现、类比、化归等思想,是一种富有创造性的解决问题的方法.同构法为解题提供了突破口,从同构式中挖掘隐含条件,能让数学难题豁然开朗.【答案详解】变式训练1【解答】解：（1）由题意得2()cos sin 2a g x x x x x =+-，(0x ∈，2π，则()(sin )g x x a x '=-，①当1a 时，sin 0a x - ，()0g x '>∴所以()g x 在(0，]2π单调递增，(0)0g =，故()g x 在(0，]2π上无零点；②当01a <<时，0(0,2x π∃∈，使得0sin x a =，∴()g x 在0(x ，2π上单调递减，在0(0,)x 上单调递增，又(0)0g =，2()128a g ππ=-故()()000g x g >=∴()g x 在区间()00,x 上无零点i ）当21028a g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭即28a π>时，()g x 在(0，]2π上无零点，ii ）当21028a g ππ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭即280a π< 时，()g x 在(0，]2π上有一个零点，③当0a 时，sin 0a x -<，()0g x '<∴()g x 在(0，]2π上单调递减，()g x 在(0，]2π上无零点，综上所述：当280a π<时，()g x 在(0，2π上有一个零点；（2）由2()1(0)2x a a xe f x x ax x -=-+->得x a xe xlnx ax -=+，即x a e lnx a -=+，则有()ln x a x a e e x lnx --+=+，令()h x x lnx =+，0x >，1()10h x x'=+>，∴函数()h x 在(0,)+∞上递增，∴方程()()x a h e h x -=即为方程x a e x -=即ln a x x =-有2个不同的正实根设()x x lnx ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，当1x >时，()0x ϕ'>，所以函数()x x lnx ϕ=-在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()min x ϕϕ=（1）1=，当0x →时，()x ϕ→+∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，∴当1a >时，方程ln a x x =-有2个不同的正实根综上所述：()1,a ∈+∞.变式训练2【解析】解：令21()()ln 2g x f x mx x a x mx =-=+-，由1212()()f x f x m x x ->-得()1212()0g x g x x x ->-∴()g x 在[2,)+∞递增，[)()2,,0a x g x x m x '∴∀∈+∞=+-≥，即am x x+ 恒成立，设()a h x x x =+，[)2,x ∈+∞，3[1,]2a ∈，则()ah x x x=+在[2,)+∞上单调递增，∴min ()(2)22a h x h ==+，故有22am + ，3[1,]2a ∃∈ ，使得22am + 成立，故(2max 2a m + ，即11.4m 故选：D .变式训练3【解析】解：（1）由题意得1().f x a x'=-①当0a 时，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增;②当0a >时，令()0f x '=得到1x a=，当10x a <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减;（2）12()ln x g x ex x ax -=+-，令1x =，则(1)10g a =- ，故1a ，当1a 时，()l 2n 1211()ln 1ln ln 1x x x x g x ex x ax e x x x e x x x ----⎡⎤=--=+--⎦-+⎣- ，设()ln 1h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=令()0h x '>，则1x >∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增()()()min 10h x h x h ∴≥==设()[)1,0,x t x e x x =--+∞，则()10x t x e '=-≥∴()t x 在[)0,+∞上单调递增()()00t x t ∴≥=故()ln 1ln 110x x e x x ------≥，即()ln 1ln 110x x x e x x --⎡⎤----≥⎣⎦综上所述：当1a 时，()0g x ≥.。

高三数学资料导数专题复习

数学高三导数知识点

高考导数16个核心专题

导数知识点总结大全高中

直击2024年高考——高三数学导数考点精讲(全国版)

(完整版)高三复习导数专题

高中导数题所有题型及解题方法

导数答题专题5大题型练习题 高三数学一轮复习

(完整版)高三复习导数专题

直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)

(完整版)高考导数专题(含详细解答)

新高三数学导数知识点归纳

(完整word版)高三数学导数知识点归纳总结,推荐文档

(完整版)高三总复习导数——专题总结归纳

高中数学导数相关知识点总结+解题技巧

高三数学导数和函数知识点

导数复习知识点总结

完整版)高中数学导数知识点归纳总结

2024高三数学二轮专题复习11-导数中的同构问题

导数答题专题5大题型练习题高三数学一轮复习