高斯小学奥数含答案三年级(上)第14讲树形图
高斯小学奥数含答案三年级(上)第05讲 植树问题
第五讲植树问题这两讲我们将要学习一个新的问题——间隔问题．植树问题是间隔问题中重要的一种，像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们在日常生活中会遇到很多，这一讲我们就主要来解决这类问题．对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是环线上的植树问题．下面先来讲讲直线上的植树问题．对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意．§1直线上的植树问题6（1）马路的一侧种树，且两端种树．若每隔 5 米种一棵树，马路长 30 米， （2）马路的两侧种树，且两端种树．若每隔 5 米种一棵树，共有 20 棵树， 道路的两侧插红旗，且两端也要插上红旗．若每隔 6 米插一面，马路长 24 米，问有几面 ．． （1）一端有路灯，另一端没有．若每隔 4 米安一盏灯，马路长 40 米，问有 （2）两端都没有路灯．若每隔 6 米安一盏灯，共有 12 盏灯，问马路有多长？ 马路的两侧种树，且两端不种．若每隔 3 米种一棵树，马路长 30 米，问有几棵树？ ．． ．．问有几棵树？．． ．．问马路有多长？分析：审清楚题目，两端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习 1 ．． ．．旗？例题 2马路的一侧安路灯．．．．．．．．．．．．几盏灯？．．．．．．．分析：审清楚题目，一端种树中的间隔数和棵树是什么关系呢？练习 2 ．． ．．．．7．． ．．． ．． ． 有如图三条马路．现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树．已知北路长 40 米，东路和西路分别长 80 米．每隔 5 米种一棵树，问共种几棵树？北路西路东路分析：试着一条路一条路的求出有几棵树？并且把树画一画？练习 3 在如图两条马路的一 侧安路灯，且每条马路的两 端都没有路灯．若每隔 9 米安一盏路灯， 一共安了 20 盏路灯．已知北路长 81 米，问西路长多少米？北路西路§2 环线上的植树问题除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示意图：82端点2间隔3端点3间隔4端点4间隔5端点5间隔从图中不难看出，在环形上间隔数和端点数是相同的．例题4学校有一个圆形水池，（1）水池外的周长为40米．如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？（2）水池内的周长为30米．如果绕着水池内共有10个换水孔，且相邻两个换水孔的距离相等，问相邻的两个换水孔间的距离是多少米？分析：环形植树中，间隔数和棵树之间什么关系？练习4鸟巢外一周共有1000米，绕着鸟巢的一周有灯和树木，（1）如果每两盏灯之间的距离是5米，问鸟巢外一周有几盏灯？（2）如果鸟巢外共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离是多少？例题510个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等．现在，每相邻两个男生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等．请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米？分析：试着求出站好男生后有多少个间隔？每个间隔中加入2个女生后一共有多少人？例题6如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米．现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或9中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？5035中点中点分析：试着求出每条线上种几棵数？交点处要额外注意，加重了要去掉，少加了记得加上．课堂内外植树节“植树节”是一些国家以法律形式规定的以宣传森林效益，并动员群众参加造林为活动内容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总称植树节．通过这种活动，激发人们爱林、造林的感情，提高人们对森林功用的认识，促进国土绿化，达到爱林护林和扩大森林资源、改善生态环境的目的．是为了动员全民植树而规定的节日．中国的植树节开始时是为纪念孙中山先生逝世，1979年2月23日，中国第五届全国人大常务委员会第六次会议决定，以3月12日为中国的植树节，以鼓励全国各族人民植树造林，绿化祖国，改善环境，造福子孙后代．10作业1.一条长500米的路的两边都要种树，并且两头都要种，如果每隔5米种一棵树，请问一共要种多少棵树？2.一条路的一边种树，并且两头都不种树，如果每隔12米种一棵树，（1）共种了6棵，请问马路长多少米？（2）若马路长120米，则种了多少棵树？3.有如图三条马路，长度都是100米．现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树．每隔5米种一棵树，问共种几棵树？4.用蜡烛摆成一个周长60厘米圆形的造型，（1）若蜡烛每隔4厘米摆一个，一共需要多少根蜡烛？（2）如果共有20根蜡烛，且相邻两个蜡烛间隔相同，问相邻的两根蜡烛间的距离是多少厘米？5.同学12人围着长480米的操场玩游戏，每两名同学间距离相等．如果在每两名同学间插入3名老师，使每两人间距离相等．请问：有多少名老师？每两人间距离是多少米？11（ （（ （ （ 第五讲 植树问题1. 例题 1答案：（1）7 棵；（2）45 米详解：（1）共有 30 ÷ 5 = 6 个间隔，种 7 棵树．（2）每侧种 10 棵树，有10 - 1 = 9 个间隔，马路 长 5 ⨯ 9 = 45 米．2. 例题 2答案：（1）10 盏；（2）78 米详解： 1）共有 40 ÷ 4 = 10 个间隔，间隔和灯一样多，有 10 盏灯． 2）共有12 + 1 = 13 个间隔， 马路长13 ⨯ 6 = 78 米．3. 例题 3答案：41 棵详解：北路有 40 ÷ 5 + 1 = 9 棵树，东路和西路各有 80 ÷ 5 + 1 = 17 棵树．交点处的树被重复计算 了，要扣除，共 9 + 17 + 17 - 2 = 41 棵树．4. 例题 4答案：（1）10 棵；（2）3 米详解： 1）有40 ÷ 4 = 10 个间隔，要种 10 棵树．（2）有 10 个间隔，每个间隔长30 ÷ 10 = 3 米． 5. 例题 5答案：（1）20 个；（2）10 米详解：开始有 10 个间隔，加入了10 ⨯ 2 = 20 个女生．后来总共 30 人，30 个间隔，每个间隔长 300 ÷ 30 = 10 米．6. 例题 6答案：99 棵详解：每棵树的距离相等，间隔最长是 5 米，每条横线上种100 ÷ 5 + 1 = 21 棵，每条竖线上种 70 ÷ 5 + 1 = 15 棵，扣除重复的 9 棵，共种 21 ⨯ 3 + 15 ⨯ 3 - 9 = 99 棵．7. 练习 1答案：10 面简答：共有 24 ÷ 6 = 4 个间隔，每侧有 5 面旗，两侧共 5 ⨯ 2 = 10 面．8. 练习 2答案：18 棵简答：共有 30 ÷ 3 = 10 个间隔，每侧有 9 棵树，两侧共 9 ⨯ 2 = 18 棵．9. 练习 3答案：117 米简答：北路有81 ÷ 9 - 1 = 8 盏灯，西路有 20 - 8 = 12 盏灯．马路两端没有灯，不会重复计算．西 路长13 ⨯ 9 = 117 米．10. 练习 4答案：（1）200 盏；（2）4 米简答： 1）有1000 ÷ 5 = 200 个间隔，有 200 盏灯． 2）有 250 个间隔，每个间隔长1000 ÷ 250 = 4 米．11. 作业 1答案：202 棵简答：把 500 米长的路分成每段 5 米，共要分成 500 ÷ 5 = 100 段，单条线段端点数比段数多 1，所以共有100 + 1 = 101 棵树．由于路的两边都种树，所以是 202 棵．12. 作业 212（ 答案：（1）84 米；（2）9 棵简答： 1）因为两头不种，共种 6 棵树，所以共有 7 个间隔，每个间隔是 12 米，则长12 ⨯ 7 = 84 米；（2）共有120 ÷ 12 = 10 个间隔，两头不种，所以间隔比树多 1，那么有10 - 1 = 9 棵树．13. 作业 3答案：60 棵简答：三角形每条边种100 ÷ 5 + 1 = 21 棵，共种 21⨯ 3 - 3 = 60 棵．也可以看成环形问题来做．14. 作业 4答案：（1）15 根；（2）3 厘米简答：（1）环形排列间隔数和端点数相同，所以每隔 4 厘米放一根蜡烛，共需蜡烛60 ÷ 4 = 15根；（2）共有 20 根蜡烛，则相邻蜡烛的距离为 60 ÷ 20 = 3 厘米．15. 作业 5答案：（1）36 名；（2）10 米简答：12 名同学相当于将环形分为 12 个间隔，每两名同学间插入 3 名老师相当于每个间隔插入 3 名老师，所以共需插入老师12 ⨯ 3 = 36 名老师；插入老师后，环形上共有12 + 36 = 48 人，所以每两人之间的间隔是 480 ÷ 48 = 10 米．13。
小学三年级奥数精品讲义1-34讲全
小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在2012年是30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日．这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系．所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题．与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注．我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题．例题1今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变．抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了．例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的3倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？练习2今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍；10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍．请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄．对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来．例题3小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？练习3叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁．”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍．请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题，有倍数我们就要优先画出倍数关系．练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁．当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍．请问：姐姐现在的年龄是多少？例题51年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢？例题6哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数．你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？课堂内外年龄“外号”知多少总角：指童年．语出《诗经》，如《诗·卫风·氓》“总角之宴”．垂髫（chuí tiáo）：指童年．古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫”代指童年．束发：指青少年．一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄（jí jī）：指女子15岁．语出《礼记·内则》“女子……十有五年而笄”．待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠：指男子20岁．语出《礼记·曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．而立：指30岁．语出《论语·为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑：指40岁．语出《论语·为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．艾：指50岁．语出《礼记·曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲：指60岁．以天干地支名号错综参互而得名．古稀：指70岁．语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀．”皓首：指老年，又称“白首”．黄发：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·鲁颂·宫》“黄发台背”．老人头发由白转黄．鲐背：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·大雅·行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用．耄：古称大约七十至九十岁的年纪．老夫耄矣，无能为也．――《左传·隐公四年》养．作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍？2.今年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三．当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和．已知现在三兄弟年龄之和为28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时，爸爸就70岁了．”弟弟又对哥哥说：“当我到妈妈现在的年龄时，妈妈也70岁了．”已知爸爸比妈妈大2岁，那么哥哥比弟弟大多少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲 年龄问题1.例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高4倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“4”，差值为“3”，即30岁，则“1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前． 2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2”，爸爸今年年龄为“8”，4年后，儿子年龄为“3”，爸爸年龄为“9”，则“1”为4年，那么儿子今年8岁，爸爸今年32岁． 3.例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示．设年龄差为“1”，发现“3”恰好是3岁到39岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁． 4.例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示．设哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟年龄为“1”，哥哥年龄为“3”，年龄差为“2”，则现在弟弟年龄“3”，哥哥年龄为“5”，年龄和为“8”，即是32岁，则“1”为4岁，所以哥哥现在20岁． 5.例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据7倍和4倍，把两组年龄和之差统一为“6”．则1年前父母年龄和为“7”，兄弟年龄和为“1”，则4年后的父母年龄和为“8”，兄弟年龄和为“2”，则10岁为“1”，所以爸爸妈妈今年年龄和为72，所以妈妈今年36岁． 6.例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年高 师高 高 师师过现将“1” “1”“1”339弟 哥弟 哥过 现“1”“2”“3” “2”龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为“7”，则现在弟弟年龄为“3”，哥哥年龄为“5”，两个人的年龄和为“8”，32岁，则“1”为4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁． 7.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即20岁，则当小高5岁，父亲25岁时，父亲年龄是小高的5倍，这是在5年前；同理，当父亲年龄是小高6倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“6”，差值为“5”，即20岁，则“1”为4岁，小高为4岁，那是在6年前． 8.练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“2”，则儿子今年年龄为“1”，母亲今年年龄为“3”，10年后，儿子年龄为“2”，母亲年龄为“4”，则“1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁． 9.练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“1”，发现“3”恰好是24岁到60岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁． 10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4，画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“1”，姐姐年龄为“2”，年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“2”，姐姐年龄为“3”，年龄和为“5”，即35岁，则“1”为7岁，所以姐姐现在21岁． 11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45936-=岁．张伯伯年龄是小聪的3倍时，小聪的年龄为()363118÷-=岁，这是在1899-=年后，为2019年． 12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“3”．今年父亲的年龄是“4”，今年儿子的年龄是“1”，24年后儿子的年龄弟 哥弟 弟 哥哥过现 将 “2”“2”“2”“1”是“3”，父亲年龄是“6”．“1”份是12年，今年父亲的年龄是12448⨯=岁． 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“3”，老大的年龄为“4”，如下图所示．老三、老二的年龄差为“2”，则现在老三年龄为“3”，老二年龄为“5”，老大年龄为“6”，“1”为()283562÷++=岁．因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁． 14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差2岁画出线段图，如下所示．从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁，比哥哥与妈妈年龄差大224+=岁，所以哥哥和弟弟年龄差为4岁．15. 作业5答案：19年后简答：设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”，则5年前兄弟年龄和为“1”，明年兄弟年龄和为“3”，相差的“2”相当于()51212+⨯=年，即“1”相当于6年．5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为61060⨯=岁，今年兄弟年龄和为65216+⨯=岁，父母年龄和为605270+⨯=岁，父母年龄和与兄弟年龄和之差为701654-=岁．当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为()542154÷-=岁，是在()5416219-÷=年后．老三老二“1”“3”“2”“2”现在现在28岁老大“4”“2”现在爸爸 妈妈哥哥弟弟弟弟与妈妈年龄差弟弟与妈妈年龄差哥哥与爸爸年龄差 哥哥与爸爸年龄差70岁。
小学奥数 加法原理之树形图及标数法.学生版
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： ① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲 1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2005年，小数报 【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10例题精讲【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况． 【答案】14【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
高斯小学奥数二年级(上)第14讲 数规则图形
第十四讲数规则图形前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲只需换风格就行，与其它的风格相符．在数图形的时候，要认真仔细，必须要做到有次序、有条理，保证不重不漏，这样才能数得又快又准．【提示】找规律哦．数一数，下图共有几个点？并且列出算式．列算式：数一数，下图共有几个点？并且列出算式．例题1列算式：练习1【提示】从上到下，按行来数．数一数，下图共有几个点？并且列出算式．列算式：数一数，下图共有几个点？并且列出算式．例题2 列算式：练习2【提示】这是空心的哦，数的时候一共要注意正方形角的地方．数一数，下图共有几个点？并且列出算式．列算式：数一数，下图共有几个点？并且列出算式．例题3列算式：练习3【提示】在数图形时，要做到数和形结合，适当分类，找出规律，做到不重不漏．上题中的四种图形，都可以用同一种方法数，你知道是什么方法吗？仔细想想看，能发现什么规律呢？数一数，回答问题，并列出算式．例题4 共有几条线段？ 列算式：共有几个角？ 列算式：共有几个三角形？ 列算式：共有几个长方形？ 列算式：【提示】分层来数哦！请你帮小猪数一数，下图中共有几个三角形？例题6数一数，下图中共有几个三角形，并且列出算式？例题5列算式：练习4 数一数．下图中共有几条横着的线段？列算式：下图中共有几个三角形？ 列算式：【提示】分层来数哦！课堂内外小知识——猫和蜘蛛是“几何专家”在寒冷的冬天，猫睡觉时总要把身体抱成一个球形，因为球形使身体的表面积最小．这样，身体露在冷空气中的表面积最小，因而散发的热量也最少．蜘蛛结的“八卦”网，既复杂又非常美丽，这种八角形的几何图案，即使人们用直尺和圆规也难画得如蜘蛛网那样匀称．作业1.数一数，下图共有几个点？并且列出算式．列算式：2.数一数，下图共有几个点？并且列出算式．列算式：3.小狗用棋子摆成一个三角形，请你数一数，小狗一共用了几个棋子？并且列出算式．列算式：4.观察下图，数一数．共有几条横着的线段？列算式：共有几个三角形？列算式：5.数一数，下图共有几个三角形？并且列出算式．列算式：第十四讲 数规则图形1. 例题1答案：25详解：通过观察发现，每一行是5个棋子，一共5行，那么可以列出如下算式：5525⨯=（个）；5555525++++=（个）；12345432125++++++++=（个）．（方法不唯一）2. 例题2答案：45 详解：观察图形，从上到下看，都是1，2，3，4，5，6，7，8，9．所以共有12345678945++++++++=（个）．计算时，可以用凑十法．（方法不唯一）3. 例题3答案：20详解：方法一：每条边上有6个棋子，那么4条边，所以就是4624⨯=个，但是这时候把角的地方算了2次，那么就应该是24420-=个．方法二：每条边上有6个棋子，因为角的地方比较特殊，所以先不看，那么每条边上只看4个棋子，4条边，所以就是4416⨯=（个），再加上开始没算的4个，16420+=（个）． 方法三：用分组法，如下图所以：列算式为4520⨯=（个）．4. 例题4答案：（1）15；（2）10；（3）10；（4）6 详解：（1）如下图所示：把每个点标上字母.我们知道，两点间的直线部分是一条线段；从A 点出发的线段有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 共有5条线段；同理，从B 出发的线段有： BC 、BD 、BE 、BF 共有4条线段；从C 出发的线段有： CD 、CE 、CF 共有3条线段；从D 出发的线段有： DE 、DF 共有2条线段；从E 出发的线段有：EF 共有1条线段． 列算式：5432115++++=（条）；（2）如下图所示：把每个点标上字母.(1)从AF 出发的长方形有：AFGB 、AFHC 、AFID 、AFJE 共有4个长方形；同理，从BG 出发的长方形有：BGHC 、BGID 、BGJE 共有3个长方形；从CH 出发的长方形有：CHID 、CHJE 共有2个长方形；从DI 出发的长方形有：DIJE 共有1个长方形．列算式：432110+++=（个）．（3）如下图所示：把点和线标上字母．我们知道，从一个点起，用尺子向不同方向画两条射线，就得到一个角，角有一个顶点、两条边． 以OA 为边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠AOE ，共4个角；以OB 为边的角有：∠BOC 、∠BOD 、∠BOE ，共3个角；以OC 为边的角有：∠COD 、∠COE ，共2个角；以OD 为边的角有：∠DOE ，共1个角．列算式：432110+++=（个）．（4）如下图所示：把每个点标上字母.从OA 出发的三角形有：AOB 、AOC 、AOD 共有3个三角形；同理，从OB 出发的三角形有：BOC 、BOD 共有2个三角形；从OC 出发的三角形有：COD 共有1个三角形．总数列算式：3216++=（个）．5. 例题5答案：12详解：如下图所示：把每个点标上字母.这是一个比较复杂的图形，可以把它分成上下两层，先数上层有：从OA 出发的三角形有：AOB 、AOC 、AOD 共有3个三角形；同理，从OB 出发的三角形有：BOC 、BOD 共有2个三角形；从OC 出发的三角形有：COD 共有1个三角形．上层总数为：3216++=（个）．(4) OA B C D (3) O AB CD E A B C D E FG H I J (2)再数整体有：从OE 出发的三角形有：EOF 、EOG 、EOH 共有3个三角形；同理，从OF 出发的三角形有：FOG 、FOH 共有2个三角形；从OG 出发的三角形有：GOH 共有1个三角形．整体总数为：3216++=（个）．所以共有6612+=（个）三角形．6. 例题6答案：15详解：如下图所示：把每个点标上字母.把它分成上层、下层和整体三部分，先数上层有：从OA 出发的三角形有：AOB 、AOC 、AOD 共有3个三角形；同理，从OB 出发的三角形有：BOC 、BOD 共有2个三角形；从OC 出发的三角形有：COD 共有1个三角形．上层总数为： 3216++=（个）．再看下层：有ABE 、ACF 、ADG ，共有3个三角形．最后看整体：从OA 出发的三角形有：AOE 、AOF 、AOG 共有3个三角形；从OE 出发的三角形有：EOF 、EOG 共有2个三角形；从OF 出发的三角形有：FOG 共有1个三角形．整体总数为：3216++=（个）． 所以共有66315++=（个）三角形．7. 练习1答案：16简答：仔细观察发现，将这个图形旋转后，这个图像就是一个正方形，每一行是4个，一共4行，那么列算式：4416⨯=（个）或123432116++++++=（个）。
高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在 2012年是----------------- n,在多少岁吗？30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系•所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变•抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的 3 倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍•请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄•对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来.小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁•”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题, 有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问：姐姐现在的年龄是多少？1年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6 哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？年龄“外号”知多少总角：指童年•语出《诗经》，如《诗卫风氓》“总角之宴”.垂髫(chu iti co):指童年. 古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫"代指童年.束发：指青少年. 一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺.及笄(j i) j指女子15岁. 语出《礼记内则》“女子十有五年而笄待年：指女子成年待嫁，又称“待字弱冠：指男子20岁. 语出《礼记曲礼上》“二十曰弱，冠”.古代男子20岁行冠礼，表示已经成年.而立：指30岁. 语出《论语为政》“三十而立” •以后称三十岁为“而立”之年.不惑：指40岁. 语出《论语为政》“四十而不惑” •以后用“不惑”作40岁的代称.艾：指50岁•语出《礼记曲礼上》“五十曰艾” •老年头发苍白如艾.花甲：指60岁•以天干地支名号错综参互而得名.古稀：指70岁•语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀•” 皓首：指老年，又称“白首”.黄发：指长寿老人•语出《诗经》，如《诗鲁颂•宫》“黄发台背” •老人头发由白转黄.鲐背：指长寿老人.语出《诗经》，如《诗大雅行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用.耄：古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣，无能为也. 一一《左传隐公四年》耋： 年八十曰耊•字亦作耋. 一一《易 离》•马注：“七十曰耋•”期颐：指百岁•语出《礼记 曲礼上》“百年曰期，颐” •谓百岁老人应由后代赡养.孑«I-養十有A厨志于孝r *=十：r二^做 凹十两平孤.%--'「岂JI十帀知A4-作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的 3倍?2.今年，父亲年龄是儿子年龄的 4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的 2倍•今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三•当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的 3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为 28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时， 爸爸就70岁了. ”弟弟又对哥哥说：“当我 到妈妈现在的年龄时， 妈妈也70岁了. ”已知爸爸比妈妈大 2岁，那么哥哥比弟弟大多 少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲年龄问题1. 例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年龄为“ 2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄 是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高 4倍时，设小高年龄为“ 1”，父亲年 龄为“ 4”，差值为“ 3”，即30岁，则“ 1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前.详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2 ”, 爸爸今年年龄为“8 ”，4年后，儿子年龄为“ 3 ”, 爸爸年龄为“ 9”，则“ 1”为4年，那么儿子今 年8岁，爸爸今年32岁.1”，则4年后的父母年龄和为 “8”，兄弟年龄和为“ 2”，则10岁为“ 1 ”，所以爸爸妈妈今年年龄和为 72,所以妈妈今年36岁.6. 例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据 7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁3. 例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示.设 年龄差为“ 1”，发现“ 3”恰好是3岁到39岁, 即36岁，则“ 1”为12岁，所以现在小高和师 傅分别是15岁和27岁.4. 例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示•设哥哥像弟 1” ------ “ 3”__ I 45.弟现在这么大时，弟弟年龄为“ 1”，哥哥年龄为“ 3”，年龄差为“ 2”，则现在弟弟年龄“ 3”，哥哥年龄为“ 5”，年 龄和为“ 8”，即是32岁，则“ 1 ”为4岁，所以哥哥现例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据 之差统一为“ 6”.则1年前父母年龄和为“ 7”，兄弟年龄和为“ 倍和4倍，把两组年龄和 将龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为 “ 7 ”, 弟 1 则现在弟弟年龄为“ 3”哥哥年龄为“ 5 ” 两个人的年龄和为“ 8”，32岁，则“ 1”为 4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为 28岁.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄 差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时， 设小高年龄为“ 1 ”，父亲年龄为“ 5”，差 值为“ 4”，即20岁，则当小高5岁，父亲 25岁时，父亲年龄是小高的 5倍，这是在龄为“ 1”，父亲年龄为“ 6”，差值为“ 5”，即20岁，则“ 1”为4岁，小高为4岁，那是在6 年前.8. 练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“ 2”则儿子今年年龄为“ 1”母亲今年年龄为“ 3”，10年后，儿子年龄为 “2”母亲年龄为“ 4”，则“ 1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁.9. 练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“ 1 ”，发现“ 3”恰好是24岁到60岁，即36岁， 贝U“1 ”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是 36岁和48岁.10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4,画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“ 1 ”，姐姐年龄为“2”年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“ 2”，姐姐年龄为“ 3 ”，年龄和为“ 5”，即35岁，则“ 1 ”为7 岁，所以姐姐现在21岁.11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45 9 36岁.张伯伯年龄是小聪的 3倍时，小聪的年龄为36 3 1 18岁， 这是在18 9 9年后，为2019年.12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“ 3”.今年父亲的年龄是“ 4”，今年儿子的年龄是“ 1 ”，24年后儿子的年龄7.5年前；同理，当父亲年龄是小高 6倍时，设小高年是“ 3”，父亲年龄是“ 6”. “1”份是12年，今年父亲的年龄是12 4 48岁. 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“ 3”，老大的年龄为“ 4”，如下图所示•老三、老二的年龄差为“ 2”，则现在老三年龄为“ 3”，老二年龄为“ 5”, 老大年龄为“ 6”，“1 ”为28 3 5 62岁.因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁.现在现在卜28岁现在14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差 2岁画出线段图，如下所示•从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大 2岁，比哥哥与妈妈年龄差大 2 2 4岁，所以哥 哥和弟弟年龄差为4岁.为“3”，相差的“ 2”相当于5 1 2 12年，即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为6 1060岁，今年兄弟年龄和为 6 5 2 16岁，父母年龄和为60 5 270岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为 70 16 54岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为542 154岁，是在 54 162 19年后.老二1”，明年兄弟年龄和。
高斯小学奥数五年级下册含答案第14讲_数论相关的计数
第十四讲数论相关的计数在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？例6．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．回文联数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：斗鸡山上山鸡斗龙隐岩中岩隐龙其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：雾锁山头山锁雾天连水尾水连天其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：客上天然居居然天上客上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：人过大佛寺寺佛大过人上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：客上天然居居然天上客人过大佛寺寺佛大过人其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：邻居爱我爱居邻鱼傍水活水傍鱼作业1.1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？2.从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？5.有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?第十四讲 数论相关的计数例题：例7． 答案：18详解：一个数能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍数．6，7，8，9的最小公倍数为504，所有满足条件的数都是504的倍数．999950419423÷=，故1~9999中共有19个数是504的倍数．9995041495÷=，故1~999中共有1个数是504的倍数．则四位数中有19118-=个数是504的倍数．即能同时被6，7，8，9整除的四位数有18个．例8． 答案：72详解：用1，2，3，4，5，7各一次组成六位数，六个数字的和为22．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考虑到1，3，7可以互换，2，4，5可以互换，故共有3333A A 36⨯= 种填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36种填法，共72种填法．例9． 答案：（1）24；（2）15详解：（1）若两个数的乘积是3的倍数，则其中至少有一个数是3的倍数．1~10中是3的倍数的有3，6，9这3个数，不是3的倍数的有7个．分两种情况：<1>两个数中只有一个是3的倍数，有1137C C 21⨯=种选法；<2>两个数均为3的倍数，有23A 3=种选法．共有24种选法．另解：排除法：不加任何条件选两个数的方式减去，没有3的倍数的情况，22107C -C 24=；（2）将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类．除以3余0的有（3，6，9）， 除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若两数之和为3的倍数，分两种情况：<1>两个数除以3均余0．有23C 3=种选法．<2>其中一个数除以3余1，另一个数除以3余2．有1143C C 12⨯=种选法．共有31215+=种选法．例10． 答案：56详解：可以将题目条件分成两部分，先看能被8整除的数，200825÷=，因此能被8整除的数有25个．再看含有数字8的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字8的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除8以外的9个数，个位也可选除8以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字8．0~199共有200个数，含有数字8的有20016238-=个．考虑到有些数既能被8整除，又含有数字8，这样的数有8，48，88，128，168，以及80和184，共7个数．因此吉利数有2538756+-=个．例11． 答案：3479详解：若上升数的首位为1，剩下的3位可以从2~9中选，且顺序一定，有38C 56=种选法，即首位为1的上升数有56个．同理，若首位为2，剩下的3位可以从3~9中选，有37C 35=种选法，即首位为2的上升数有35个．再考虑首位为3的上升数，依次为3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100个上升数为3479．例12． 答案：900；900；200详解：六位“回文数”应为abccba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个．五位“回文数”应为abcba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个． 若回文数为4的倍数，则末两位为4的倍数，可为04，08，12，16，……，96共24个数，除去20，40，60，80这四个不满足条件的数，共有20种选择．考虑到c 有0~9这10种选择，故共有2010200⨯=个五位回文数是4的倍数．“练习：1. 答案：15简答：4、5、6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有99960115÷-≈个．2. 答案：8简答：用1，2，3，4各一次组成四位数，四个数字的和为10．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，偶位填2，4，考虑到1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有224⨯=种填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4种填法，共8种填法．3. 答案：38；22简答：解法同例3．4. 答案：55简答：先看能被9整除的数，2009222÷=，因此能被9整除的数有22个．再看含有数字9的数，仍可从反面考虑，即看不含有数字9的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除9以外的9个数，个位也可选除9以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字9．0~199共有200个数，含有数字9的有20016238-=个．考虑到有些数既能被9整除，又含有数字9，这样的数有9，99，189，90，198，共5个数．因此含有数字9或者能被9整除的有2238555+-=个．作业6. 答案：14，15简答：1007142÷=，7的倍数有14个；100298-=，98714÷=，14115+=．除以7余2的有15个．7. 答案：35简答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5个．和为3的倍数，那么两数可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一种有5525⨯=种选法，第二种有25C 10=种选法，一共有35种选法．8. 答案：432简答：能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数．而奇数位之和与偶数位之和的和是123458932++++++=，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能．偶数位有3个数字，和为16可能是952++，943++，853++．那么一共可以组成4343A A 3432⨯⨯=个能被11整除的七位数．9. 答案：157简答：前两位为12的上升数有7个，前两位为13的上升数有6个，前两位为14的上升数有5个．那么第19个上升数是156，第20个上升数是157．10. 答案：72简答：如果首位数字除以3余0，那么其余的所有数字也都除以3余0，这样的话一定会重复，这样的六位数不存在．如果首位数字除以3余1，那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2．这样的六位数有3333A A 36⨯=个．如果首位数字除以3余2，这样的六位数也有36个．一共有72个．。
小学数学三年级上学期 树形图 PPT+作业+答案
作业3
3.学校食堂里每天供应果汁和牛奶两种饮料。如果曼曼第 一天和第四天喝的都是牛奶，那么第二天她喝的饮料可 能有（ ）种情况，分别是（ ）。如果曼曼第二天 喝的是牛奶，那么第三天她喝的饮料可能有（）种情况， 分别是（ ）。
【答案】2；牛奶、果汁；2；牛奶、果汁。
作业4 4.如图：如果从 F 点出发，以 F➙C➙E 的路线行进，且要求同 一个点或同一条线段只能经过一次，那么从 E 点继续走，可以 直接到达（ ）点。
例题1 由1、2、3组成的三位数一共有多少个？
解析： ⚠️题目没有强调数字不能重复，因此画树形图时需注意。
百位 十位 个位
1 12
3 1 12 2
3 1 32
3
百位为1时，有9个三位数，同样地，百 位为2、3时也分别有9个三位数， 所以，一共有三位数：9☓3=27（个） 答：三位数一共有27个。
总结：画树形图解题，注意数字是否可以重复。
总结：注意数字卡片6和9可以颠倒。
练习2 用2、5、9三张数字卡片可以组成多少个不同的三位数？
59 2
95
29 5
92
25 9
52
数字卡片9可以倒过来变成6，因此一共 有三位数：6☓2=12（个） 答：可以组成12个不同的三位数。
例题3
一个快递员给A、B、C三栋写字楼送快递，每天去其中的一 栋写字楼，并且相邻的两天不能去同一栋写字楼。如果他 第一天去了A栋写字楼，第四天又去了A栋写字楼，那么这 四天的送货方式一共有多少种？
【答案】9 种。
作业7 7、由 0、1、2 所组成的三位数一共有多少个？
【答案】18 个
作业8 8、用 0、7、8、9 这四张数字卡片一共可以组成多少个不同的 两位数？ 【答案】14 个。 【解析】
高斯小学奥数含答案三年级(上)第20讲等差数列初步
依此类推 而相邻两项称为 末项首项第 5 项第 17 项比第 9 项大几个公差呢？第 5 项比第 2 项大几个公差呢？第 7 项比第 1 项大几个公差呢？在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即 最后 1 在上图中，你能看出第 3 项比第 1 项大几个公差吗？项的的差则被称为 公差首项 、末项 、项数和公差 ）之间的关系．请看下图第二十讲 等差数列初步大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况在等差数列中，称第 1 个数为第 1 项，第 2 个数为第 2 项，第 3 个数为第 3 项 别要注意的是，类似于 1，2，3，2，1，2，3，2，1，⋯和 1， 0，1，0，1，0，⋯的数列，虽然相邻两 个数的差都相等， 但这样的数列不是等差数列， 因为在同一个等差数列中， 必须要么每一项都比前一项数列中所有数的个数称为 项数 在等差数列中，第 n 项与第 m 项之间相隔 n m 个公差我们把等差数列第 1 项称为 首项 公差末项公差 公差 公差 公差 第 2 项 第 3 项第 4 项数列”就是一列数， 也就是一些数排成一列． “等差”，就是差相等， 也就是相邻两数的差都相等． 特就等于 项数 1 ．由此，我们就知道末项减去首项等于 项数 1 个公差的和，因此末项首项 项数 1 公差由此可以得到等差数列的 通项公式：末项 首项项数 1 公差同时我们还可以得到以下这些公式：首项末项 项数 1 公差公差 末项首项 项数 1 项数 末项首项 公差 1在运用这些公式时， 有一个共同的关键点：某两项之间相差的公差的个数． 抓住这个关键点，很多 问题便能迎刃而解．例题 1（ 1）一个等差数列共有 13 项．每一项都比它的前一项大 2，并且首项为 33，那么末项是多少？ （ 2）一个等差数列共有 13 项．每一项都比它的前一项小 2，并且首项为 33，那么末项是多少？ 分析 : 本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？练习 1一个等差数列共有 10 项．每一项都比它的前一项大 例题 2分析 : 本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大呢？更重要的是，首项其实就是第 1 项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数1，并且首项为 21，那么末项是多少？1）一个等差数列共有 10 项．每一项都比它的前一项大 7，并且末项为 125，那么首项是多少？ 2）一个等差数列共有 10 项．每一项都比它的前一项小 7，并且末项为 125，那么首项是多少？一个等差数列共有12 项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第 4 项为7 ，第10 项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？分析：第1项与第10项之间相差几个公差？第4项与第10项之间相差几个公差？7又与61 差了几？相当于几个公差？练习3一个等差数列第 5 项为25，第16 项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？分析：首项和末项之间差几？相当于几个公差？公差的数量和项数是什么关系？练习4已知等差数列2、9、16、23、30，⋯⋯那么709 是其中的第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19 项等于多少？305是第几项？分析：第 1 项与第10 项之间相差几个公差？与第19 项呢？305 又与200差了几？相当于几个公差？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+ 1，2+ 3，3+ 5，1+ 7，2+ 9，3+ 11，1+ 13，2+15，3+ 17 ，⋯⋯请写出其中所有结果为98 的算式．分析：每个算式的第一个数有什么周期规律？第二个数是什么数列？分别求出第98 个数是几？高斯生平高斯，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．1799 年高斯于黑尔姆施泰特大学因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称．18 岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法．通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果．在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线) ．其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布) ，并在概率计算中大量使用．高斯的肖像已经被印在从1989 年至2001 年流通的10 德国马克的纸币上．高斯( Johann Carl Friedrich Gauss )( 1777年4月30日－1855年2月23日)，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家．高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉．1792 年，15 岁的高斯进入布伦瑞克( Braunschweig )学院．在那里，高斯开始对高等数学作研究．独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”( Law of QuadraticReciprocity) 、质数分布定理(prime number theorem)及算术几何平均(arithmetic-geometric mean) ．1795 年高斯进入哥廷根大学．1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世．作业1. 一个等差数列共有10 项．每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是几？一个等差数列共有10 项．每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是几？3. 一个等差数列首项为13，第9 项为29，这个等差数列的公差为几？第20 项为几？4. 一个等差数列的第 5 项为47，第15 项为87，这个等差数列的公差等于几？63 是第几项？1 层有 1 块砖，第2 层有 5 块砖，第3 层有9 5. 如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第块砖，⋯⋯．按照这个规律，第19 层有多少块砖？5713○132364580101333①62①188①125⑩125⑩888 11122）92）13第二十讲等差数列初步35，37差10 19125差10 19125541 9 （个）6544 6 （个）99 （个）公差7 6363 1889 （个）公差7 6363 62例题 1答案：详解：差13 1 12 个公差12 2 2433 24 57例题 3 答案：（1）详解：如下：总差：61 7公差数：10公差：54 9总差：61 7公差数：10公差：54 6（1）57；（2）9如下图：差13 1 12 （个）公差12 2 2433 24 9例题 4 答案：（1）12 详解：如下：总差：93 5 公差数：88 项数：111例题 5 答案：21；389；15 详解：如下图：33，31，29，⋯⋯，_9①总差：130 50公差数：80 8项数：10 1 2例题 2 答案：（1）62；（2）188 详解：如下图：9 21 189200 189 38996，若为 95，应是等差数列 1、3、5⋯⋯中的第 48 项，对应的周期数列 1、2、3、1、2、3、 第 48 个数为 3，3 95等于 98，所以这个算式 3 95．若为 97，也满足，是 1 97 ． 7. 练习 1 答案： 30 简答：如下图：练习 2答案： 100 简答：如下图：56第 1 项到第 10 项：10 1 9 （个）公差 总差： 200 11 189 公差： 189 9 21200 ，总差： 305 11 294 公差数： 294 21 14（个） 141 15 （个）差 19 10 9（个）公差9.差 12 1 11 56 练习 3 答案： 6 简答：如下：114 44 44100总差： 91 公差数： 16 5 公差： 66 1125 6611（个） 610. 练习 4 答案： 102简答：项数 = 709 2 7 1 102 ． 作业 1 答案： 576. 例题 6 答案： 1 97； 3 95 详解：可能是 1 ___ 98， 298，398 ，则等差数列中可能是 97、 96、95，排除21， 22 ， 23，，_30○21差 10 1 9 (91 个）公差9 21 9308.12.13.14.答：公差为2，首项与末项相差10 1 9 个公差，首项为业2答案：93简答：首项与末项相差10 1 9 个公差，首项为75 作业3答案：2；51 简答：第9项与首项相差9 1 8个公差，公差为(29 作业4答案：4，9简答：第15项与第5项相差10 个公差，公差为(87 差 4个公差，所以是第9 项．75 9 2 57 ．92 93．13)47)8 2．第20项为1310 4 ．(63 47) 4(20 1) 2 51 ．4，63 与第5项15. 作业 5 答案：73 简答：每层的砖数构成一个等差数列，首项是1，公差是4．第19项为1 18 4 73．。
高思奥数导引小学三年级含详解答案第14讲 几何图形的认知.
第14讲几何图形的认知兴趣篇1、根据图中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：2、如图，数一数，图中共有多少个角？3、如图，将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形。
请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？4、用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？5、用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形。
请问：这个三角形的三条边长分别是多少？6、有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米。
不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？7、图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？8、图中的金字塔和图中的正八面体各有几条棱，几个面？9、一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母。
请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是什么？10、如图，在一个正方体的表面上写着1至6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6。
现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示。
如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？拓展篇1、如图，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？2、如图，数一数，图中共有多少个正方形？3、用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的（1）等腰三角形？（2）平行四边形？4、如图，有一张长方形纸片，长为2，宽为1，A点是长边上的中点。
沿着图中虚线将这张纸片剪成两块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来。
5、如图，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰三角形；再对折一次，得到一个较小的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜线上的高线剪开。
那么展开后，原来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？6、如图，用四个完全相同的边长分别为5、12、13的指教三角形拼成一个“风车”，求这个风车的周长。
小学奥数 加法原理之树形图及标数法 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：例题精讲图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．【答案】14【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题
第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中，年龄一般只与年份有关，比如某人在2012年是30岁，那么他在2013年一定是31岁，不用具体考虑他今年是否已经过完生日．这类应用题中，给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系．所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题．与其他和差倍问题相同，年龄问题也可以通过画线段图来分析，但和其他和差倍相比，年龄问题中时常包含着一些隐藏条件，需要大家格外关注．我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题．例题1今年小高12岁，他父亲42岁，请问：多少年后，父亲年龄是小高的2倍？多少年前，父亲年龄是小高的4倍？「分析」小高和父亲的年龄差是不变的，怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢？练习1今年小高10岁，他父亲30岁，请问：多少年前，父亲年龄是小高的5倍？多少年前，父亲年龄是小高的6倍？对于两个人来说，每过一年，两个人的年龄都会增长一岁，但是他们的年龄差不变．抓住这一不变量，很多问题就可以迎刃而解了．例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍，4年以后，爸爸年龄就只有儿子的3倍，请问今年爸爸、儿子各几岁？「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化，是一个典型的变倍问题，其中的不变量是什么呢？把不变量设为几份呢？练习2今年，母亲年龄是儿子年龄的3倍；10年后，母亲年龄是儿子年龄的2倍．请问：今年母亲的年龄是多少岁？年龄问题中，我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄．对这类问题，我们仍然像解决基本和差倍问题一样，画出线段图来．例题3小高问师傅多少岁，师傅说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”请问：师傅和小高现在分别多少岁？「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了，你能在一个图里把这些时间都表示出来吗？练习3叔叔对亮亮说：“当你像我这么大的时候，我已经60岁了；当我像你这么大的时候，你才24岁．”请问：亮亮和叔叔今年各多少岁？例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍．请问：哥哥现在多少岁了？「分析」这个题目中只有现在和过去，应该先画哪个时间点呢？和差倍问题，有倍数我们就要优先画出倍数关系．练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁．当姐姐是妹妹现在这么大时，姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍．请问：姐姐现在的年龄是多少？例题51年前，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸和妈妈同岁，妈妈今年多少岁？「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题，我们是不是应该把父母二人分成一组，兄弟二人分成另一组来计算呢？例题6哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园．”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍，请问：哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁？「分析」和差倍问题，有倍数时要优先画倍数．你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗？课堂内外年龄“外号”知多少总角：指童年．语出《诗经》，如《诗·卫风·氓》“总角之宴”．垂髫（chuí tiáo）：指童年．古时童子未冠，头发下垂，因而以“垂髫”代指童年．束发：指青少年．一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄（jí jī）：指女子15岁．语出《礼记·内则》“女子……十有五年而笄”．待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠：指男子20岁．语出《礼记·曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．而立：指30岁．语出《论语·为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑：指40岁．语出《论语·为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．艾：指50岁．语出《礼记·曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲：指60岁．以天干地支名号错综参互而得名．古稀：指70岁．语出杜甫《曲江》诗：“酒债寻常行处有，人生七十古来稀．”皓首：指老年，又称“白首”．黄发：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·鲁颂·宫》“黄发台背”．老人头发由白转黄．鲐背：指长寿老人．语出《诗经》，如《诗·大雅·行苇》“黄台背”，“台”与“鲐”通用．耄：古称大约七十至九十岁的年纪．老夫耄矣，无能为也．――《左传·隐公四年》养．作业1.2010年张伯伯45岁，小聪9岁，那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍？2.今年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；24年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍．今年父亲多少岁？3.李家有三兄弟，老大、老二、老三．当老二像老三那么大时，老二的年龄是老三的3倍，老大的年龄是老二、老三的年龄之和．已知现在三兄弟年龄之和为28岁，现在老大多少岁？4.哥哥对弟弟说：“当我到爸爸现在的年龄时，爸爸就70岁了．”弟弟又对哥哥说：“当我到妈妈现在的年龄时，妈妈也70岁了．”已知爸爸比妈妈大2岁，那么哥哥比弟弟大多少岁？5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍，明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍？第十四讲 年龄问题1.例题1答案：18年后；2年前详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高4倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“4”，差值为“3”，即30岁，则“1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前． 2.例题2答案：儿子8岁；爸爸32岁详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2”，爸爸今年年龄为“8”，4年后，儿子年龄为“3”，爸爸年龄为“9”，则“1”为4年，那么儿子今年8岁，爸爸今年32岁． 3.例题3答案：小高15岁；师傅27岁详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示．设年龄差为“1”，发现“3”恰好是3岁到39岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁． 4.例题4 答案：20岁详解：画出“过去、现在”图，如右图所示．设哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟年龄为“1”，哥哥年龄为“3”，年龄差为“2”，则现在弟弟年龄“3”，哥哥年龄为“5”，年龄和为“8”，即是32岁，则“1”为4岁，所以哥哥现在20岁． 5.例题5 答案：36岁详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据7倍和4倍，把两组年龄和之差统一为“6”．则1年前父母年龄和为“7”，兄弟年龄和为“1”，则4年后的父母年龄和为“8”，兄弟年龄和为“2”，则10岁为“1”，所以爸爸妈妈今年年龄和为72，所以妈妈今年36岁． 6.例题6 答案：28岁详解：如右图所示，根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年高 师高 高 师师过现将“1” “1”“1”339弟 哥弟 哥过 现“1”“2”“3” “2”龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为“7”，则现在弟弟年龄为“3”，哥哥年龄为“5”，两个人的年龄和为“8”，32岁，则“1”为4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁． 7.练习1答案：5年前；6年前详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即20岁，则当小高5岁，父亲25岁时，父亲年龄是小高的5倍，这是在5年前；同理，当父亲年龄是小高6倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“6”，差值为“5”，即20岁，则“1”为4岁，小高为4岁，那是在6年前． 8.练习2 答案：30岁详解：设年龄差为“2”，则儿子今年年龄为“1”，母亲今年年龄为“3”，10年后，儿子年龄为“2”，母亲年龄为“4”，则“1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁． 9.练习3答案：亮亮36岁；叔叔48岁简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“1”，发现“3”恰好是24岁到60岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁． 10. 练习4答案：21岁简答：方法同例4，画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“1”，姐姐年龄为“2”，年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“2”，姐姐年龄为“3”，年龄和为“5”，即35岁，则“1”为7岁，所以姐姐现在21岁． 11. 作业1答案：2019年简答：两人年龄差为45936-=岁．张伯伯年龄是小聪的3倍时，小聪的年龄为()363118÷-=岁，这是在1899-=年后，为2019年． 12. 作业2答案：48岁简答：设年龄差是“3”．今年父亲的年龄是“4”，今年儿子的年龄是“1”，24年后儿子的年龄弟 哥弟 弟 哥哥过现 将 “2”“2”“2”“1”是“3”，父亲年龄是“6”．“1”份是12年，今年父亲的年龄是12448⨯=岁． 13. 作业3答案：12岁简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“3”，老大的年龄为“4”，如下图所示．老三、老二的年龄差为“2”，则现在老三年龄为“3”，老二年龄为“5”，老大年龄为“6”，“1”为()283562÷++=岁．因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁． 14. 作业4答案：4岁简答：先根据父母年龄差2岁画出线段图，如下所示．从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁，比哥哥与妈妈年龄差大224+=岁，所以哥哥和弟弟年龄差为4岁．15. 作业5答案：19年后简答：设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”，则5年前兄弟年龄和为“1”，明年兄弟年龄和为“3”，相差的“2”相当于()51212+⨯=年，即“1”相当于6年．5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为61060⨯=岁，今年兄弟年龄和为65216+⨯=岁，父母年龄和为605270+⨯=岁，父母年龄和与兄弟年龄和之差为701654-=岁．当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为()542154÷-=岁，是在()5416219-÷=年后．老三老二“1”“3”“2”“2”现在现在28岁老大“4”“2”现在爸爸 妈妈哥哥弟弟弟弟与妈妈年龄差弟弟与妈妈年龄差哥哥与爸爸年龄差 哥哥与爸爸年龄差70岁。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第14讲 树形图
6我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将要学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实”．这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可．例题1乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个，请问它们共有多少种不同的站法？分析：第1个位置可以站哪些小动物？第2个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根”，用树形图表示出所有的站法．甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线．如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个，那么一共有多少种站队的方法？第十四讲 树形图练习17例题2小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任何一人．先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？分析：第1次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁．注意：只有第4次传球后回到小高手里上才是符合题意的传法．有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A 上，每次它都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A 上．请问：它一共有多少种不同的跳法？例题3一个四位数，每一位上的数字都是0、1、2中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有多少个满足条件的四位数？分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为“树根”来画树形图？一个三位数，每一位上的数字都是5、6、7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？例题4王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三位数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？分析：百位数字最小，有几种情况？把这些情况分别作为“树根”，画出树形图．练习 2练习38一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于5，那么这样的三位数一共有几个？例题5常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第4场后古力已经获胜，不符合题意．例题65块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？分析：注意开始是从1号毯开始，结束在5号地毯才能符合题意．2 3145古常古古常常练习4课堂内外汽车品牌家族树形图9作业1.一个三位数，个位、十位和百位的3个数字分别是2、3、4中的1个，如果百位不是2，十位不是3，个位不是4，请问符合要求的三位数有多少种？（填出所有的可能）2.甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？3.粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？4.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．请问一共有多少种不同的比赛过程？5.满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过2．例如：135、234为阶梯数，156就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？1011第十四讲 树形图1. 例题1答案：2种详解：可以画成树形图，如下图，共2种．2. 例题2答案：6种详解：可以画成树形图，第1次可以给萱萱，也可以给墨莫，如下图，共6种． 3. 例题3答案：16种详解：可以画成树形图，如下图，树根有1、2，树根有1的共有8种，2的也有8种，共16种．4. 例题4答案：10次详解：分别用1、2、3三个数作为树根，可以画出三幅树形图：121221 2112212121 211 02 0123 小墨萱墨4 小 小 小萱 墨小小 123 小萱墨萱4 小 小 小萱 墨小 小 12 3 龟兔鼠鼠龟 龟鼠兔兔鼠12 312所以，王老师最多试10次就肯定能打开包了． 5. 例题5答案：10种详解：第一场可能常昊胜也有可能古力胜：数一下最后的果实数目，总共有10种可能性． 6. 例题6答案：5种详解：可以画成树形图，共有5种．常常古常常常古常常 古古 常 常 常 古常 古 常古古古常常常常常常 常5 43553424555 134324 4137. 练习1答案：2种简答：可以画成树形图，如下图，共2种．8. 练习2答案：6种简答：可以画成树形图，第1次可跳在B 、C 荷叶上，跳了3次后不在A 荷叶上，如下图，共6种．9. 练习3答案：12种简答：可以画成树形图，如下图，树根有5、6、7，树根是5的共有4种，6的也有4种，7的也有4种，共12种．123 BCBACAABCBC A CB123 12 3 甲乙丙 丁 4 丁甲 甲 丙丁 甲 丙12 3甲 丙 4丁甲 乙乙乙 5133244 5 5 5451410. 练习4答案：10种简答：可以画成树形图，从个位开始枚举，如下图，共10种．11. 作业1答案：342；423 简答：可以画成树形图：12. 作业2答案：3简答：可以画成树形图：百 3、4 十 2、4 个2、33 42 4 22 3 6 579 8 8 7 百 十 个> >8 999 67 98 百 十 个> >8 9978 99百 十 个>>65765 75567 65 76 576 75 7 61513. 作业3答案：12简答：如下图．首位是2或7开头的密码也有4个，所以符合条件的有12个，最多要试12次．14. 作业4答案：6简答：可以画成树形图：15. 作业5答案：24个简答：如下图，可分别画出百位是1、2、3、4、5、6、7的树形图，百位为1的有4种，百位为2的有4种，百位为3的有4种，百位为4的有4种，百位为5的有4种，百位为6的有3种，百位为7的有1种，共有24个阶梯三位数．甲甲乙甲乙甲 乙 甲甲 甲乙 甲 乙甲甲百十 个 127 1 71 2……甲乙丙甲丙甲乙丙丙丙百十个123 34 4 5……16。
【思维拓展】小学数学三年级思维拓展之树形图（附答案）
三年级思维拓展之树形图
1.A B C三个小朋友互相传球，先从A开始发球，作为第一次传球，这样经过了5次传球，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？
2.一只青蛙在A B C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
3.甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出胜负为止，问：一共有多少种可能的情况？
4.如图，从起点走到终点，要求取出每个站点的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有几种不同的走法。
5.同室四个人各写一张贺卡，先集中起来，再每个人从中拿一张别人送出的贺卡，则不同的分配方式有几种？
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先胜三场谁胜。
第一场甲胜。
问到决出最后胜负为止，共有几种不同的情形？其中甲胜的情形有几种？
7.下图中有6个点，9条线段。
一只蚂蚁从A点出发，要沿着某条线段爬到C 点。
行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次。
这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法？
8.用123三张卡片可以组成多少个没有重复数字的三位数？
9.一个人在三个城市A B C中游览，他今天在这个城市，明天就必须到另外一个城市，这个人从A城出发，4天后还回到A城，问有几种旅游路线？。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第14讲树形图
用树形图练习就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法例题 1这样一直下去把所有米老鼠不站在第 3 个，请问它们共有多少种不同的站法？情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可甲、乙、丙每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实 乌龟、兔子、米老鼠站成一排， 如果乌龟不站在第 1 个，兔子不站在第 2个 分析：第 1 个位置可以站哪些小动物？第 2 个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根” 表示出所有的站法．2、3个，丙不站第3、4 个 画出树形图与一棵树的生长过程类似， 先从“树根”开始，然后不断长出新的 “树枝 学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法 4 个人站队，站成一条直线．如果甲不站第 1、 2 个，乙不站第丁不站第 4、1 个，那么一共有多少种站队的方法？我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将要 第十四讲树形图例题 2不同的跳法？例题 3图？例题 4画出树形图析：百位数字最小，有几种情况？把这些情况分别作为“树根”树根” 来画树形次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？一个四位数，每一位上的数字都是注意： 只有第 4 次传球后回到小高手数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有 比 5 大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任 呱呱”在荷叶 A 上，每次它都会从一片荷叶跳到分析： 四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为 分析： 第 1 次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁 里上才是符合题意的传法．不同，一共有多少个满足条件的四位数？何一人．先由小高拿球，第 1 次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过 4 3 次之后，不在荷叶 A 上．请问：它一共有多少种位上的数字都是 5、6、7 中的某一个，并且相邻的两个数字0、1、2 中的一个，并且相邻的两个数字王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三位 练习2 有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙 另一片荷叶上，结果它跳了 练习3 一个三位数不相同，一共有多少个满足条件的三位数？例题5常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有古常古古常常这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第 4 场后古力已经获胜，不符合题意．例题65 块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1 号地毯上，他想要走到5 号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→ 5 就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？分析：注意开始是从1号毯开始，结束在 5 号地毯才能符合题意．一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于数一共有几个？5，那么这样的三位汽车品牌家族树形图2. 甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了 3 次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？3. 粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7 三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？4. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第 1 局，并最终获胜．请问一共有多少种不同的比赛过程？5. 满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过2．例如：135、234 为阶梯数，156 就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？第十四讲 树形图2种 123123鼠龟兔鼠鼠兔21 次可以给萱萱12312344墨小小萱萱小萱墨小萱墨墨3 树根有 01122 022111211222112214例题 答案 详解 例题 答案 详解 例题 答案 详解 种． 1 的共有26种可以画成树形图，第1、2 1、2、3 三个数作为树根，可以画出三幅树形图316 种可以画成树形图，如下图，树根有8 种， 2 的也有 8 种，共 16 例题 4 答案： 10 次 详解：分别也可以给墨莫，如下图，共 6 种12种可以画成树形图，如下图，共鼠龟墨小例题6答案： 5 种详解：可以画成树形图，共有 5 种．5.例题 5 答案：10 种6.4 55 245 1453572种123 4 1 2 3 4甲甲甲乙丙 丙丁甲 丁 乙丁丙8跳了 123 1 2 3 BB AACCCBBABCAC练习 93练习 答案 简答 6种B 、C 荷叶上 5、6、7 26种可以画成树形图，第 1 次可跳在 答案： 12种3 次后不在 A 荷叶上，如下图，共 树根是 5的共有 4 种，6 的也有 4 种，7简答：可以画成树形图，如下图，树根有的也有 4 种，共 12 种3练习 1 答案： 2 种 简答：可以画成树形图，如下图，共566 655777 5675 5 5 77 6667练习 10 410 种个百 十 > 788 79 69865798 911 个百十 2 3244212 作业 2作业 1简答：可以画成树形图简答：可以画成树形图如下图，共2、33、42、4 答案： 10 种简答：可以画成树形图，从个位开始枚举 答案： 342；423 答案：3百＞ 十＞ 个 > 个百 > 十 >乙甲乙13. 作业3答案：12简答：如下图．首位是2或7开头的密码也有4个，所以符合条件的有12个，最多要试12次．2714. 作业 4答案：615. 作业 5 答案：24 个简答：如下图，可分别画出百位是1、2、3、4、5、6、7的树形图，百位为1的有 4 种，百位为 2 的有 4 种，百位为 3 的有 4 种，百位为 4 的有 4 种，百位为 5 的有 4 种，百位为 6 的有 3 种，百位为7 的有1种，共有24 个阶梯三位数．5。
高斯小学奥数含答案三年级（上）第03讲移多补少与等量代换
⾼斯⼩学奥数含答案三年级（上）第03讲移多补少与等量代换第三讲移多补少与等量代换做移多补少的题⽬，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给⼈⼀种直观的感觉，（1）第⼀⾏⽐第⼆⾏多___ 个．（2）第⼀⾏给第⼆⾏_____ 个才能使第⼀⾏与第⼆⾏⼀样多．（3）第⼀⾏给第⼆⾏______ 个才能使第⼀⾏⽐第⼆⾏多 2 个．（4）第⼀⾏给第⼆⾏______ 个才能使第⼆⾏⽐第⼀⾏多 2 个．分析：动⼿试试，移动下，弄清开始时第⼀⾏⽐第⼆⾏多⼏个？练习1阿呆和阿⽠分糖果，开始时阿呆有14 个，阿⽠有4个．后来阿呆给了阿⽠6 个，这时谁的糖果多？多⼏个？例题 2 ⼩⾼和墨莫分别有⼀些巧克⼒，⼩⾼⽐墨莫多10 块．（1）⼩⾼给墨莫8 个，这时谁的巧克⼒多？多⼏块？（2）⼩⾼给墨莫多少块才能使两⼈的巧克⼒⼀样多？（3）要让墨莫的巧克⼒⽐⼩⾼多 4 块，需要谁给谁巧克⼒？给⼏块？分析：可以画出增减⽰意图表⽰下给的过程？练习2⼀开始⽥⿏爸爸⽐⽥⿏妈妈多11块宝⽯，要让爸爸⽐妈妈多3 块宝⽯，需要爸爸给妈妈多少块宝⽯？例题 3 开始时卡莉娅⽐萱萱多30 张⾼思杀卡⽚．每次卡莉娅给萱萱 3 张．（1）给⼏次才能使两⼈的卡⽚⼀样多？（2）给⼏次才能使萱萱⽐卡莉娅多12 张？分析：能不能先算清楚⼀共给多少张才能使两⼈的卡⽚⼀样多？或者萱萱⽐卡莉娅多12练习 3刘⽼师有两盒糖果，红盒⽐蓝盒多 30 粒糖，每次从红盒取 5 粒糖放到蓝盒，取⼏次后两盒糖的粒数就同样多？之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表⽰数量关系⾮常直观的⽅法．除了画图之外，⽤简洁的语⾔来表⽰数量关系也⼗分重要．下⾯我们来看看等量代换的相关题⽬，同学们要⽤简洁的语⾔来表⽰数量关系．等量代换的思想是解决应⽤题时的常⽤技巧之⼀，在使⽤等量代换时，⼀般从问题开始分析．例题 4体重⼤⽐拼：（1）4只⼩狗=8只⼩猫，那么 5 只⼩狗等于多少只⼩猫的体重？（2）2 只⼩狗=4 只⼩猫， 1 只⼩猫=2 只鸭⼦，那么 12 只⼩狗等于多少只鸭⼦的体重？（3）3只⼩狗=4 只⼩兔， 5 只⼩兔=7 只⼩鸡，那么 12 只⼩狗加 4只⼩兔等于多少只⼩鸡的体重？分析：第（ 1）、（2）问中利⽤等量代换中的倍数关系，找清楚（3）问中能否将 12只⼩狗加 4 只⼩兔变为全是⼩兔？例题 51 只兔⼦的重量加上 1 只猴⼦的重量等于 8 只鸡的重量， 3 只兔⼦的重量等于9 只鸡的重量，那么 1 只猴⼦的重量等于多少只鸡的重量？分析：1 只兔⼦等于⼏只鸡的重量呢？再分析出猴⼦与鸡的重量关系？例题 6已知所有⼤鸭⼦的重量均相同，所有⼩鸭⼦的重量均相同． 3 只⼤鸭⼦和 2 只⼩鸭⼦共重1 只⼩狗等于⼏只⼩猫？第 7 头⼤象和 10 头长颈⿅重量相等，那么 40头长颈⿅和多少头⼤象重量相等？练习分析：能否将题⽬中的条件列出来？通过倍数关系将题⽬中都变为⼤鸭⼦或者⼩鸭⼦？求出⼤⼩鸭⼦各⼏千克？三藏西天去取经，⼀去⼗万⼋千程．每⽇常⾏七⼗五，问公⼏⽇得回程．这是明朝数学家程⼤位编写的趣题，收录在他的数学名著《算法统宗》⾥．诗中的三藏指的是唐朝⾼僧⽞奘．因为他被⼈们认为是唐朝第⼀⾼僧，所以⼜被称为“唐僧”．他受唐太宗李世民派遣，到印度钻研佛教典籍，译出经、论七⼗五部，⼀千三百三⼗五卷，促进了中印⽂化的交流．《西游记》⾥的唐僧便是以这位⾼僧为原型的．本题的意思是说：唐僧去西天取经，⼀共⾛了⼗万⼋千⾥．已知他每天⾛七⼗五⾥，问⼀共⾛了多少天？同学们，你们知道该怎么算吗？作业1. 阿呆有20 个西⽠，阿⽠有48 个西⽠，（1）阿⽠给阿呆多少个西⽠后，阿⽠和阿呆的西⽠数相等？（2）阿呆给阿⽠多少个西⽠后，阿⽠⽐阿呆多32 个？2. ⼀开始阿呆⽐阿⽠多87 个西⽠，要让阿呆⽐阿⽠多 3 个西⽠，需要阿呆给阿⽠多少个西⽠？3. ⼩⾼给萱萱28 个苹果后，1）⼩⾼和萱萱⼀样多，问之前谁多？多⼏个？2）⼩⾼⽐萱萱多10 个，问之前谁多？多⼏个？4. ⽤3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换 4 个鸽⼦蛋，⽤5个鹅蛋能换多少个鸽⼦蛋？5师傅和两个徒弟⼀起组装零件，师傅组装3个与⼤徒弟组装 2 个所⽤的时间相同，⽽⼤徒弟组装个与⼩徒弟组装 1 个所⽤的时间相同．请问：⼩徒弟组装 4 个的时间三个⼈⼀共能装⼏个零件？第三讲移多补少与等量代换1. 例题 1答案：（1）6 个；（2）3 个；（3）2个；（4）4 个详解：（1）观察出来第⼀⾏⽐第⼆⾏多 6 个；（2）第⼀⾏⽐第⼆⾏多 6 个，给 1 差2，则给6 2 3 个即可；（3）开始时第⼀⾏⽐第⼆⾏多 6 个，后来第⼀⾏⽐第⼆⾏多 2 个，则差 4 个，给 1 差2，则给4 2 2 个即可；（4）开始时第⼀⾏⽐第⼆⾏多 6 个，后来第⼀⾏⽐第⼆⾏少 2 个，则差8 个，给 1 差2，则给8 2 4 个即可．2. 例题 2 答案：（1）墨莫，多 6 块；（2）5 块；（3）⼩⾼给墨莫，7块详解：（1）墨莫多，多82 10 6 块；（2）5 块，10 2 5 块；（3）⼩⾼给墨莫，给10 4 2 7 块．3. 例题 3 答案：（1）5 次；（2）7 次详解：（1）卡莉娅⽐萱萱多30 张，卡莉娅给萱萱30 2 15张两⼈卡⽚才能⼀样多，⽽每次卡莉娅给萱萱 3 张，则需要15 3 5 次；2）卡莉娅⽐萱萱多30 张，后来萱萱⽐卡莉娅多12 张，则需要卡莉娅给萱萱30 12 2 21张，⽽每次卡莉娅给萱萱 3 张，则需要21 3 7 次．4. 例题 4答案：（1）10只；（2）48只；（3）28 只详解：（1）4狗=8猫，则1狗=2 猫，则5狗=10猫；（2）2狗=4猫，则12狗=24 猫，因为1猫=2鸭，则24猫=48鸭，则12 狗=48鸭；（3）因为3狗=4兔，则12狗=16兔，那么变为20兔，5兔=7 鸡，则20兔=28鸡．5. 例题 5答案： 5 只详解：1兔+1猴=8鸡，3兔=9鸡，则1兔=3鸡，那么3鸡+1猴=8鸡，所以1猴=5鸡．6. 例题 6答案：20 千克详解：① 3⼤+2⼩=32，② 4 ⼤+3⼩=44，算式相减② -①得到：③ 1⼤+1 ⼩=12，现在① -③，则 2 ⼤+1 ⼩=20．7. 练习 1答案：阿⽠；多 2 个简答：开始阿呆⽐阿⽠多10 个，后来阿呆给阿⽠ 6 个，这时阿⽠⽐阿呆多，多6 2 10 2 个．8. 练习 2答案： 4 块简答：11 3 2 4 块．9. 练习 3答案： 3 次11简答124213⼩⾼多14 1528 2多56 个；56个．（2）1）14 个；（2） 2个322）现在阿⽠⽐阿呆多28 个，要多32 个，相当于多了 4 个，则必须阿呆给阿⽠：4 2 228 头7 象=10 长，则40 长=28 象个．作业 2答案：42个简答：871 鹅蛋=3 鸡蛋，2 鸡蛋换 4 鸽⼦蛋化简为 1 鸡蛋=2 鸽⼦蛋，3 1鹅蛋=6 鸽⼦蛋，则5鹅蛋=30 鸽⼦蛋．则需要15 5 3 次练习 4 答案：简答：作业 1 答案：2）⼩⾼多，多66 个28 2 10 66 个．1）阿⽠给阿呆：48 20 2 14作业 3 答案：（1）简答：（1）作业 4 答案：30 个简答：3鹅蛋=9 鸡蛋，化简为鸡蛋=6 鸽⼦蛋，代换掉鸡蛋，变为作业5 答案：34 个简答：⼩徒弟组装4个的时间，⼤徒弟能装12 个，师傅能装18个．三⼈⼀共34 个。
三年级下册数学试题-奥数练习：树形图(含答案)全国通用
树形图(有特殊要求的树形图、比赛进程问题)1.一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3 中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有______个满足条件的三位数．2.一个三位数，每一位上的数字都是2、4、6 中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有______个满足条件的三位数．3.旦旦、雁雁和蒙蒙玩传球游戏，每次持球人要把球传给另外两人中的任何一人．先由旦旦拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过 4 次传球之后，球又回到了旦旦手里．那么一共有________种不同的传球过程．4.旦旦、雁雁和蒙蒙玩传球游戏，每次持球人要把球传给另外两人中的任何一人．先由旦旦拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过 4 次传球之后，球到了蒙蒙手里．那么一共有__________种不同的传球过程．5.一个三位数，百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，个位数字不小于5，那么这样的三位数一共有__________个．6.一个三位数，个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且都比 5 小．那么这样的三位数一共有__________个．7.阿呆、阿瓜、旦旦、雁雁四个人每个人写了一封信，把这4 封信放在一起，每个人拿一封信且不能拿自己写的信，那么一共有__________种不同的拿法．8.有4 本书排成一排，阿呆、阿瓜、旦旦、雁雁四个人选书，每人选1 本书．阿呆不要第 1 本书，阿瓜不要第2 本书，旦旦不要第3 本书，雁雁不要第 4 本书，那么一共有__________种不同的选法．9.旦旦和雁雁比赛乒乓球，约定三局两胜，如果最后旦旦获胜了，那么比赛的进程有__________种可能．10.文雯和蒙蒙比赛羽毛球，约定谁先赢两局就获胜，比赛就结束．如果最后文雯获胜了，那么比赛的进程有__________种可能．11.旦旦、雁雁和蒙蒙三个人在打牌（没有和局），一旦有人赢了2 局就获胜，牌局结束．最后旦旦赢了，那么打牌的进程有__________种不同的可能．12.阿呆、阿瓜和文雯三个人在打牌（没有和局），一旦有人赢了2 局就获胜，牌局结束．最后阿瓜赢了，那么打牌的进程有__________种不同的可能．13.小山羊、卡莉娅和小高三个人在打牌（没有和局），一旦有人赢了 2 局就获胜，牌局结束．最后小高赢了，那么有__________种不同的打牌进程．14.高高队和思思队进行足球比赛，高高队在比赛过程中从未让思思队比分领先过，最后以4 比3 取得胜利，那么比赛的进球顺序有__________ 种可能．15.高高队和思思队进行足球比赛，高高队在比赛过程中从未让思思队比分领先过，最后以 3 比2 取得胜利，那么比赛的进球顺序有__________种可能．答案：1.（12） 2.（12） 3.（6） 4.（5）5.（10）6.（4）7.（9）8.（9）9.（3）10.（3）11.（11）12.（11）13.（11）14.（14）15.（5）割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。
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我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举?接下来我们将要
学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法?所谓树形图法
就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法
画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可例题 1 乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第 1 个，兔子不站在第 2 个米老鼠不站在第 3 个，请问它们共有多少种不同的站法?
分析：第 1 个位置可以站哪些小动物？第 2 个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根” 表用树形图示出所有的站法.
甲、乙、丙4个人站队，站成一条直线?如果甲不站第1、2 个，乙不站第
2、3个，丙不站第
3、4 个丁不站第
4、1 个，那么一共有多少种站队的方法?
b
厂第十四讲\r1
树形图
II. fi li (
小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任 何一人 . 先由小高拿球，第 1 次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过 次传球之后，球又回到了小高手里 . 请问一共有多少种不同的传球过程 ?
分析：第 1 次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁 里 上才是符合题意的传法 .
不同，一共有多少个满足条件的四位数 ?
分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为
: 练习 3）一个三位数 位上的数字都是 5、6、 7 中的某一个，并且相邻的两个数字
不相同，一共有多少个满足条件的三位数 ?
☆
题2
注意：只有第 4 次传球后回到小高手
练习 2有 A 、B 、C 三片荷叶 ' 青蛙
另一片荷叶上，结果它跳了
呱呱”在荷叶 A 上，每次它都会从一片荷叶跳到
3次之后，不在荷叶 A 上. 请问：它一共有多少种
不同的跳法 ?
例题 3
一个四位数，每一位上的数字都是
0、1、2 中的一个，并且相邻的两个数字
树根”来画树形
例题 4
王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码 . 只记得密码是一个三位
数. 这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有
比 5 大的数字 . 试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个
公文包 画出树形图
卜析：百位数字最小， 有几种情况？把这些情况分别作为
“树根”
一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于数
一共有几个？
例题5
常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛. 如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来?注意：不会有
古常----- 古古- 常——（常）这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第 4 场
后古力已经获胜，不符合题意.
例题6
5 块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1 号地毯上，他想要走到5 号地毯上?如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1f 2—3—5 就是一种可能的走法. 请问：小高一共有多
少种不同的走法？
分析：注意开始是从 1 号毯开始，结束在 5 号地毯才能符合题意
汽车品牌家族树形图
甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了
次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？
2.
且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？
3. 粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7 三个数字中的某些数字构成的，
4. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜. 已知甲胜了第 1 局，并最终获胜. 请问一共有多少种不同的比赛过
程？
5. 满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过 2 . 例如：135 、234 为阶梯数，156 就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？
☆
2种 1
2
1
2
3
3
龟
兔
鼠
鼠
龟
兔
2
1
2
3
1
2
3
4
4
墨■
墨
小
小
萱
萱
小 墨
萱
小
墨
墨
曰
3
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2 2 2 1
00
1 2
2
14
1 第十四讲 树形图
可以画成树形图，如下
图，
共
详解 1 次可以给萱
萱
可以画成树形图，
第
8 种， 2 的也有 8 种，共 16
树根有 1 的共有
1、2 4 10 次
2、3 三个数作为树可以画出三幅树形分别详
例题 答案 例题
答例题 答案 详解 例题 答案
详解 种.
1 2种
2 6种
3 16 种
可以画成树形图，如下图，树
根有 也可以给墨莫，如下图，共 6 种
5. 例题 5
答案：10 种
6. 例题 6
答案： 5 种详解：可以画成树形
图，共有 5 种.
4
5
3
5
2
4
5 1
4
5 3
5
7
2种
1
2
3
4
1
2
4
3
甲
甲
甲
乙
丙
丁 甲
乙
丁 丁
8
1
2
3 1
2
3 B
B
A
A
C
C
C
B
B
C
A
A
C
练习9
3答案简答 练习 答案 简答 6种 12 种 2 6种
3 次后不在 A 荷叶上，如下图，
共
可以画成树形图，如下图，树根B 、 C 荷叶上 跳了 5、6、7 树根是 5的共有 4种，6 的也有 4种，7
的也有 4 种，共 12
可以画成树形图，第 1 次可跳在
B
丙 练习 1 答案： 2 种 简答：可以画成树 形图，如下图，共
5
10 练习
答
案：
简
答：
7
6
10 种
可以画成树形图，从个位开始枚
举
如下图，
共
百＞
9
8
5
8
1 作业 1
1
答案：
342;
423
简答：可以画成树形
图
3、4 2、2、3 12 作业 2
3
答案：
3
简答：可以画成树形
图7
10 种
百＞
5
13. 作业3
简答：如下图. 首位是 2 或7 开头的密码也有 4 个，所以符合条件的有12 个，最多要试12 次.
14. 作业 4
答案：6
15. 作业 5
答案：24 个简答：如下图，可分别画出百位是1、2、3、4、5、6、7的树形图，百位为1的有4种，百位为2的有
4 种，百位为 3 的有 4 种，百位为 4 的有 4 种，百位为
5 的有 4 种，百位为
6 的有 3 种，百位为
7 的
有 1 种，共有24 个阶梯三位数.
甲
丙
乙
丙
甲
丙
甲
丙
乙
丙
13. 作业 3
答案：
12
简答：
如下图．
首位是
2 或 7 开头的密码也有 4 个，所以符合条件的有 12 个，最多要试 12
次．
百
十
个
1
2
7 1
1
7
2
14. 作业 4
答案： 6
简答：可以画成树形图：
1、 2 、 3、 4、 5 、 6、 7 的树形图，百位为 1 的有 4 种，百 位
为 2 的有 4 种， 百位为 3 的有 4 种，百位为 4 的有 4 种，百位为 5 的有 4 种，百位为 6 的有 3 种，百位为 7 的有 1 种，共有 24 个阶梯三位数． 甲
甲
甲
乙 乙
甲
甲
乙 甲
乙
乙 甲
15. 作业 5
答案：
24 个
简答：如下图， 可分别画出百位是。