训练题B解答

MB2 交
2
1
2
1
2
(O, 2) 上的任意点，则 (O, 2) 上的点只有一色 s0 ，即 (O, 2) 不是好圆，矛盾！ (2) 、恰用七种颜色时，染法存在；
如右图，构造法，设 H1H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 是
(O, 2) 的六等分点，用 s0 , s1 ,
, s6 分别表示
七色， 将点 O 染色 s0 ， 而点 H1 , H 2 , H3 , H 4 , H5 , H 6 分别染色 s1 , s2 ,
0
A1
Aj
A1
Aj
As
Ak
As
Ak
O 的半径为 2 ； （下面将以点 P 为圆心， r 为半径的圆记为 ( P, r ) ）
是否可以将 (O, 2) 及其内部的每个点染上红黄蓝三种颜色之一， 使得 (O, 2) 和 (1) 、 内切于
(O, 2) 的半径至少为 1 的任意圆都是“好圆”？
(2) 、若将 (1) 中的“三种颜色”改为“恰用七种颜色”呢？（ 2007 保加利亚）
, s6 ， 将扇形 OH j H j 1
所围区域去掉一条边 OH j 1 （端点也去掉） ，剩下的半开扇形区域称为由点 H j 管控的开扇 形（此处约定 H 7 H1 ） ，今将将由点 H j 管控的开扇形 OH j H j 1 染色 s j （即与 H j 同色，
j 1, 2,
，显然， (O, 2) 的任一内接正三角形三顶点不同色；且对于内切于 (O, 2) ,6 ）
由

m
n
n 1 n n 1 2n 2n 1 b2 n ，不论 n 为奇数或偶数，左边必有一个
因式是 bn ，于是 bn b2 n ；又对于奇数 m ，由于 n 与 n 3m 异奇偶，而由

m 1 mn mn 2m n 2m n n n n3m n3m bn bn3m ，
解：(1) 、 不存在满足这种条件的染色法． 反证法， 若存在一种染法， 记三色为 s0 , s1 , s2 ， 如左图，在 显然
(O, 2) 上任取一点 M ，以 OM 为直径作圆，则此圆半径为 1 ，记为 (O1 ,1) ，
(O1 ,1) 内切于 (O, 2) ；以圆心 O 为一顶点，作 (O1 ,1) 的内接正三角形 OA1 A2 ，其
2 2
于是 an an1 an1an1 an an2 ，即 an1 (an1 an1 ) an (an an2 ) ，
2 2
所以
an 1 an 1 an an 2 a an 1 an an 2 ，由此， n 1 an an1 an an1
又因 b3r b23r ，得 b3r b23r (33r ) k ，即 b3r b3r (3k 2) ； 因此，对于任意正整数 n ，若 n 不是 3 的某个幂次，则 n 可以写成 n 3 (3k 1),(k 1) ，
r
或者 n 3 (3k 2),(k N ) 形式，这时 bn 有真因子 b ，从而 bn 不是质数，
3
再以 M 为顶点， 作
设射线 MB1 交 (O1 ,1) 的内接正三角形 MB1B2 ，
1 2
O, 3 于 C ，
1 0
O, 3 于 C ，则 MC C 为正三角形，其外接圆内切于 (O, 2) ，且半径大于1 ， 由于点 C , C 在 O, 3 上，若顶点 M , C , C 三色都有，则点 M 必为 s 色，而 M 是
A E
H
证：易知 M , N , F , E 共圆
N
P O2 G O O1
圆心 P 是欧拉线 OH 之中点， 即 O, G, P, H 四点 共线． 以 CO 为直径作 设 DC
O1 ， CH 为直径作 O2 ，
O2 T2 ，则因
B
F
M T
C
O1 T1 , DC
DM DN DT1 DC ， DF DE DT2 DC ，
0
, mm1 1 1, mm1 2 ,
, mn ) 为有效安排．
（2 ） 、 如果球队 A2 , A3 ,
, An 中， 有些队并未安排与 A1 比赛， 设在 A2 , A3 ,
, Am1 1 中， , Am1 1
自左至右， 第一个未安排与 A1 比赛的队是 A j ， 由于 A1 要赛 m1 场， 那么在 A2 , A3 , 之外必有一个队安排了与 A1 比赛，设为 Ak , (m1 1 k n) ，
0
, mm1 ） 、如果 A1 的 m1 场比赛，其对手恰好就是 A2 , A3 ,
, Am1 1 ，那么，直接去掉 A1（当
然 A1 所参与的所有比赛也就被取消了） ，则剩下的队 A2 , A3 ,
, An 之间的比赛，以
(m2 1, m3 1,
而在 ， 所以 P 中 ， D F D E DM D N
D
DT1 DT2 ，因此 T1 , T2 共点，记为 T ，即 TC 是 O1 , O2 的公共弦，故与两圆连心线垂直，
即 O1O2 CT ，因 O1O2 是 COH 的中位线， OH CT ，即有 GH CD ．
3 、一次足球邀请赛共安排了 n 支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是

a3 a1 3 ，则 a2
an1 3an an1 ，其特征根
n n
3 5 3 5 ， 1， , 2 2
3 5 3 5 n n n n n n an 2 2 ，令 an (1) bn ，即 bn (1) ，
2014 东南地区冬令营赛前训练题 B 解答
陶平生提供
2 an 5 , n 2 ． 1 、数列 an 满足： a1 3, a2 7, an 1 an1
证明：若 an (1) 为素数，则必存在某个 m N ，使得 n 3 ．
n
m
证： 据递推关系， 且当 n 2 时，an 5 an1an1 , an1 5 an an 2 ， a3 18 ，a4 47 ，
r
3r
于是其逆否命题成立：若 bn an (1) 为素数，则必存在某个 m N ，使得 n 3 ．
n
m
1
2 、如图，边不等的锐角三角形 ABC 中，高 AF , BE 相交于 H ，中线 AM , BN 相交
于 G ，若 EF
MN D ，证明： GH CD ．
， P （九点圆）
2
由于 m j mk ，故必有一个队 A s ，它被安排了与 A j 比赛而未安排与 Ak 比赛，如图所示． 今对原安排作如下调整： 取消 A1 , Ak 两队间、 A j , As 两队间的比赛， 改为 A1 , A j 两队间， As , Ak 两队间进行比赛， 其它比赛安排不变； 经过这一次调整之后， 所有球队的比赛场数不变， 且是一个有效安排． 而第一个不与 A1 比 赛的队的序号，至少后移了一个位置；故经有限次这样的调整之后，就化成了情形（ 1 ） ， 因此结论得证． 4 、如果一个圆的任意内接正三角形的三个顶点都被染上不同的颜色，则称这样的有色 圆为“好圆” ．设
(O, 2) 上移
边长为 3 ，设顶点 O 染色为 s0 ，则顶点 A1 , A2 应分别染色为 s1 , s2 ，当点在 动时，可知以 O 为圆心， 3 为半径的圆周
M A2 B1 O C1 A1 O1 B2 C2
1 2
O, 3 上的点只能属于 s , s 两色；
H5 H4
H6
O
H3
H1
H2
所以 bm
bn bn3m ，由此，若 bm bn ，则 bm
bn3m ，
同 理 可 得 ， 对 任 意 正 整 数 k ， 当 m 为 奇 数 且 bm bn ， 则 bm b n( 3 m ) k ； 今 在 此 式 中 取
m 3r n ，得到 b3r b3r (33r ) k ，即 b3r b3r (3k 1) ，
的半径至少为 1 的任意圆，其任一内接正三角形三顶点也不同色，于是皆为好圆．
4
m1 , m2 ,
, mn ，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称 (m1 , m2 ,
, mn ) 是一个有
效安排；证明：如果 (m1 , m2 ,
, mn ) 是一个有效安排，且 m1 m2
mn ，则可取掉一
支球队， 并重新调整各队之间的对局情况， 使得 (m2 1, m3 1, 是一个有效安排． 证：设预定比赛 mi 场的队为 Ai ， i 1, 2,