2021年新高考数学一轮复习单元检测试卷：第九单元 圆锥曲线(A卷过关检测)(解析版)
2021版新高考数学：圆锥曲线含答案
设M(x、y)、由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|、|AO|＝2.
由于 ⊥ 、【关键点5：圆的几何性质向量化】
故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2、化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1、0)为焦点、以直线x＝－1为准线的抛物线、所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1、所以存在满足条件的定点P.
由题设知 ＝1、 ＝m、于是k＝－ .①
由于点M(1、m)(m>0)在椭圆 ＋ ＝1内、
∴ ＋ <1、解得0<m< 、故k<－ .
(2)由题意得F(1、0).设P(x3、y3)、
则(x3－1、y3)＋(x1－1、y1)＋(x2－1、y2)＝(0、0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1、y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.【关键点2、设出点P、借助向量的建立变量间的关系、达到设而不求的目的】
【点评】从本题可以看出、圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中、向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用、用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果．
途径四 设而不求、化繁为简
高考示例
方法与思维
(20xx·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A、B两点、线段AB的中点为M(1、m)(m>0).
所以l的方程为y＝－x＋ 、代入C的方程、并整理得7x2－14x＋ ＝0.
故x1＋x2＝2、x1x2＝ 、
代入②解得|d|＝ .【关键点3：借用根与系数的关系、达到设而不求的目的】
所以该数列的公差为 或－ .
【点评】本题(1)涉及弦的中点坐标、可以采用“点差法”求解、设出点A、B的坐标、代入椭圆方程并作差、再将弦AB的中点坐标代入所得的差、可得直线AB的斜率；对于(2)圆锥曲线中的证明问题、常采用直接法证明、证明时常借助等价转化思想、化几何关系为数量关系、然后借助方程思想给予解答．
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习(含答案解析)
2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
2021-2022年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A版
2021年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线真题演练集训理新人教A 版1．[xx·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案：D解析：直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.即k ＝－b 2a 2×2－2，∴b 2a 2＝12.③ 又a 2－b 2＝c 2＝9，④ 由③④得a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.2．[xx·新课标全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94答案：D解析：易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.3．[xx·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点， 所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解：因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0， 所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 4．[xx·山东卷]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解：由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ， 所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5), (*)且x 1＋x 2＝4m34m 2＋1，因此x 0＝2m34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m224m 2＋1， 因为y 0x 0＝－14m，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解：由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22.令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 22.又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 224m 2＋1，所以S 1＝12·|GF |·m ＝m 2＋1m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m 2m 2＋1284m 2＋1.所以S 1S 2＝24m 2＋1m 2＋12m 2＋12. 设t ＝2m 2＋1.则S 1S 2＝2t －1t ＋1t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，14， 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误[典例] 已知点A (0,2)和双曲线x 2－y 24＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－4kx －8＝0.当k 2＝4，即k ＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点． 当k 2≠4时，方程有一解时Δ＝(－4k )2－4×(4－k 2)×(－8)＝0， ∴k 2＝8，∴k ＝±22k ，k 为切线的斜率． 综上，共有4条直线．故选D.[易错分析] 得出方程(4－k 2)x 2－4kx －8＝0后，不考虑k 2＝4，直接由Δ＝0，得k ＝±22，错选B.[答案] D温馨提醒直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．。
北京专用2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文2021
北京专用2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文20210524333A组基础题组1.(2020北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.2.(2021北京东城一模)已知椭圆W:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P 满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD的面积的最大值.3.(2021北京西城期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且l与圆x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.4.(2021北京朝阳一模)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2.(1)求以线段F1F2为直径的圆的方程;(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.B组提升题组5.(2021北京海淀二模)已知F1(-1,0)、F2(1,0)分别是椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别在直线x=-2和x=2上,且AF1⊥BF1.(i)当△ABF1为等腰三角形时,求△ABF1的面积;(ii)求点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.6.(2021北京海淀二模)已知曲线C:+=1(y≥0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A,D两点,A,D两点在x 轴上的射影分别为点B,C.(1)当点B坐标为(-1,0)时,求k的值;(2)记△OAD的面积为S1,四边形ABCD的面积为S2.(i)若S1=,求|AD|的值;(ii)求证:≥.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.因此a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,因此·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,因此|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+++4=++4(0<≤4).因为+≥4(0<≤4),当且仅当=4时等号成立,因此|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.2.解析(1)由已知,得解得因此椭圆W的标准方程为+=1,离心率e==.(2)连接EO.由题意知EF1⊥EF2,因此|EO|=|F1F2|=1.因此点E的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.明显点E在椭圆W的内部.S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=|AC|·|BE|+|AC|·|DE|=|AC|·|BD|.①当直线l1,l2中的一条直线与x轴垂直时,不妨令l2⊥x轴,现在AC为长轴,BD⊥x轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±,则|BD|=,现在S四边形ABCD=|AC|·|BD|=4.②当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.因此y1+y2=,y1y2=,则|AC|==.同理,|BD|=.S四边形ABCD=|AC|·|BD|=××====4<4.综上,四边形ABCD的面积的最大值为4.3.解析(1)由题意,得=,a2=b2+c2,又因为点A在椭圆C上,因此+=1,解得a=2,b=1,c=,因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x=±2,易得直线OP1,OP2的斜率之积k1·k2=-.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m(k≠0).由得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,因此Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,即m2=4k2+1.由得(k2+1)x2+2kmx+m2-5=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因此k1·k2=====,将m2=4k2+1代入上式,得k1·k2==-.综上,k1·k2为定值-.4.解析(1)因为a2=4,b2=2,因此c2=2.因此以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2.(2)假设存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°,则直线QM和QN的斜率存在,分别设为k1,k2.则k1+k2=0.依题意,知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-4).由得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0.因为直线l与椭圆C有两个交点,因此Δ>0.即(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0,解得k2<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4).k1+k2=+=0,即(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(x1-m)k(x2-4)+(x2-m)k(x1-4)=0,当k≠0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,因此2·-(m+4)·+8m=0,化简得=0,因此m=1.当k=0时,也成立.因此存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°.B组提升题组5.解析(1)由题意可得a2-3=1,因此a2=4,因此椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设A(-2,m),B(2,n),因为AF1⊥BF1,因此·=0,因此(1,-m)·(-3,-n)=0,因此mn=3①.(i)因为AF1⊥BF1,因此当△ABF1为等腰三角形时,只能是|AF1|=|BF1|,即=, 化简得m2-n2=8②.由①②可得或因此=|AF1||BF1|=×()2=5.(ii)直线AB:y=(x+2)+m,化简得(n-m)x-4y+2(m+n)=0,设点F1,F2到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1+d2=+.因为点F1,F2在直线AB的同一侧,因此d1+d2==4.因为mn=3,因此m2+n2≥2mn=6(当且仅当m=n时取等号),d1+d2=4=4,因此d1+d2=4≥2.当m=n=或m=n=-时,点F1,F2到直线AB的距离之和取得最小值2.6.解析(1)因为B(-1,0),因此设A(-1,y0),代入+=1(y≥0),解得y0=,将A代入直线y=kx+1,得k=-.(2)(i)解法一:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,因此因为S1=|OE|(|x1|+|x2|)=×1·|x1-x2|=|x1-x2|,而|x1-x2|=,因此S1=·=,因此=,因此=,解得k=0,因此|AD|==.解法二:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,因此点O到直线AD的距离d=,|AD|=|x1-x2|=·.因此S1=|AD|·d=·==.因此=, 解得k=0.因此|AD|==.(ii)证明:因为S2=(y1+y2)|x1-x2|,因此==,而y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2,因此==≥=.11 / 11。
第九单元圆锥曲线( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)
第九单元 圆锥曲线A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2020全国高三课时练习（理）】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若1221,tan 2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（ ）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a+2yb =1（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1=2，∴12PF PF =2，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴x=23a ，∴|PF 2|=23a ，则|PF 1|==43a，由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2，∴解得， ∴e=c a故选A.2.【2020四川资阳高三其他（理）】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2b ，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选A.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选C ．4. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩， 故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选B ．5. 【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选D ．6. 【2020山东青岛高三二模】已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距22622415c =-=，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则2a =，6c =，∴离心率3==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为217y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选B.7.【2020陕西西安高三二模（理）】设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A ．27±B ．23±C ．7±D ．3±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为32±． 故选D ．8.【2020山东高三其他】如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．54C ．53D ．322【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选ACD ．10.【2020山东德州高三一模】 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选ABD .11. 【2020山东济南外国语学校高三月考】我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得2e =（舍去）或2e =12e ∴=故D 正确 故选BD.12.【2020山东泰安高三其他】已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆的方程为222x y += C ．点M的横坐标为 D ．12MF F △的面积为【答案】ACD【解析】由双曲线方程22142-=y x知2,a b ==y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是226x y +=，B 错；由226x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，由对称性知M点横坐标是，C 正确；12121122MF F M S F F x ==⨯=△D 正确． 故选ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】联立22222221x cx ya ba b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x cbya=⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AF c a=-，即()2223bc aac a a c a-==--，变形得3c a a+=，2c a=,因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．14.【2020肥城市教学研究中心高三其他】双曲线22:1916x yC-=的右支上一点P在第一象限，1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，Q为△12PF F的内心，若内切圆Q的半径为1，则直线1PF的斜率等于_____. 【答案】1663【解析】设1212PF PF F F、、与圆的切点分别为,,M N H.则,PM PN=11,MF HF=22NF HF=，所以121226,PF PF HF HF a-=-==又12+=10HF HF，解得18,F H=12.F H=连接1,F Q HQ11tan,8HFQ∴∠=则112168tan2163164k HFQ⨯=∠==-，故答案为：1663.15.【2020山东高三其他】已知抛物线22(0)y px p=>与直线:4320l x y p--=在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若||||AF FBλ=，则λ=________.【答案】4【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ， 得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为416. 【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a +=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.18．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.19．【2020浙江湖州中学高三其他】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【解析】（1）由已知，点2,1)在椭圆E 上.因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件， 则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x xkxx x x++==.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为22(,)B x y'-.又121122122111,QA QBy yk k k k kx x x x x'--==-==-+=--，所以QA QBk k'=，即,,Q A B'三点共线.所以12||||||||||||||||xQA QA PAQB QB x PB==='.故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||=QA PAQB PB恒成立.20．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于点M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若116p=，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p=得2C的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t=+≠≠，点00(,)A x y．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m =，10t =时，p 取到最大值10． 21. 【2020山东高三其他】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23【解析】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p ，||242OA ==2p =， 抛物线的方程为24y x =； （2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则1||||2S AM OM =⋅=221111(3)4S x x x =+， 又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=， 可得234y y k +=，234y y =-，则2||4(1)PQ k ===+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++， 可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅， 显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ， 当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ， 可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 可得2x =时，()f x 取得最小值23． 即求23||2S PQ +的最小值为23． 22. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.。
2021年高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测5理新人教A版
2021年高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测52理新人教A 版1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x 2－y 21m＝1，∴实轴长为2，虚轴长为21m，∴2＝2×21m，解得m ＝4.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( )A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1 C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 答案：A解析：由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．[xx·吉林长春模拟]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5答案：D解析：不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0 答案：A解析：由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y 2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．5．[xx·河南郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53 B.73 C.103D.153答案：C解析：如图所示，由 k PF ＝－1，得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a，得sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝b c ， cos ∠POF ＝a a 2＋b2＝a c， 所以sin ∠OPF ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c . 又∵S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c28，得|PF |＝c22，由正弦定理，得a ＋b 2c c ＝bcc22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 6．[xx·新课标全国卷Ⅰ]已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案：A解析：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴ F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴ MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵ MF 1→·MF 2→＜0，∴ (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵ 点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.故选A. 7．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案：44解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a . 又∵A (5,0)在线段PQ 上， ∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案：3＋1解析：因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1. 9．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案：2＋ 3解析：如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba，得到c ＝(2＋3)a ， 即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.10．[xx·江南十校联考]已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.[冲刺名校能力提升练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案：D解析：|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62.故选D. 2.[xx·广西柳州、北海、钦州三市联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0 D.3x ±y ＝0答案：D解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为直线x ＝－2，∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，则双曲线的半焦距c ＝2，∴a 2＋b 2＝4，①又∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x 得y ＝±26，则P (3，±26)， ∵点P 在双曲线上，则有9a 2－24b2＝1，②联立①②，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±3x .3．[xx·山西太原二模]已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( )A.6＋32 B.6＋ 3C.5＋222D.5＋2 2答案：B解析：∵|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°， ∴|BF 2|＝2|AF 2|.又由双曲线的定义知，|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＋|AB |－2|AF 2|＝2a ， 即|AF 1|＋(1－2)·|AF 2|＝2a . 又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2(2＋2)a ，|AF 1|＝2(1＋2)a . 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即[2(2＋2)a ]2＋[2(1＋2)a ]2＝(2c )2，∴c 2a2＝9＋62，∴e ＝9＋62＝6＋ 3.故选B. 4．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案：52解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝bax ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am3b －a ，bm3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， 而k AB ＝13，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点C 与点P 连线的斜率为－3，即k CP ＝3b 2m 9b 2－a2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝14，所以双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋14＝52. 5．[xx·甘肃兰州诊断]已知曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．(1)解：依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1， ∴m ＝0(舍去)或m ＝2， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，点M 的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1， ∴MA ⊥ x 轴．∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 此时，l 与双曲线左支有两个交点． 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
第九单元圆锥曲线( 滚动提升)-2021年高考数学一轮复习(原卷版)
第九单元 圆锥曲线B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020浙江吴兴湖州中学高三其他】设x 、y R ∈，条件甲：221259x y +≤，条件乙：53x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3. 【2020陕西咸阳高三三模(理)】若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()e x f x =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A ． 1e -B ． eC ． 2eD ． 9e4. 【2020天津高三二模】若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度5. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 86. 【2020浙江宁波华茂外国语学校高三一模】设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =的距离为3，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．437. 【2020河南南阳中学高三月考（理）】某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．238. 【2020四川省南充高级中学高三月考（理）】已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是 A ．ln 212-B ．ln 212+C ．2D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东高三其他】 已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310 D ．d 的值可以为2510. 【2020山东潍坊高三其他】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 的长轴长为517+ 11.【2020山东高三一模】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()26,0F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) A ．3B ．23C ．5D ．312. 【2020山东青岛高三三模】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ．14. 【2020的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．15.【2020山东潍坊高三其他】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.16. 【2020山东青岛高三二模】抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．18．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．19．【2020浙江高三二模】已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M ，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ.20.【2020浙江省高一单元测试】已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.21. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.22. 【2020山东高三其他】已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C于A ，B 两点.（1）若1F AB 的面积为11，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .。
21高考文科数学人教A一轮复习单元质检卷九解析几何 含解析
单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2019河南鹤壁高中模拟,8)抛物线C1:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x 2m −y21-m=1(0<m<1)的右焦点,点P是曲线C1,C2的交点,点Q在抛物线的准线上,△FPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线C2的离心率为()A.√2+1B.2√2+3C.2√10-3D.2√10+33.(2019贵州遵义一模,7)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线(光线不同过抛物线对称轴上任意两点)经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于x轴的光线从M(3,1)射出,经过抛物线y2=4x上过的点A反射后,再经抛物线上的另一点B反射出,则直线AB的斜率为()A.-43B.4 3C.±43D.-1694.(2019安徽合肥质检,7)已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3,则实数a的值等于()A.2或10B.4或8C.6±2√2D.6±2√315.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x 2-y2=1 B.x2-y2=1C.x 24−y212=1 D.x212−y24=16.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为()A.4B.2√5C.4√2D.37.(2019湖南、湖北八市十二校一调联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM||MN|=√55,则p的值等于()A.18B.1 4C.2D.48.(2019福建宁德质检,8)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,则△AFB周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)9.已知O是坐标原点,双曲线x 2a -y2=1(a>1)与椭圆x2a+2+y2=1(a>1)的一个交点为P,点Q(√a+1,0),则△POQ的面积为()A.a2B.a2C.1D.1210.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共有()A.0个B.1个C.2个D.4个11.已知双曲线C:x 2a2-4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于√34,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.412.抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为()A.34B.1C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是.14.(2019河北衡水联考,14)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.15.(2019重庆西南大学附中学校模拟,15)已知抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点A,过A 作直线l与抛物线交于M,N两点,则|FM|2+|FN|2的取值范围为.16.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为P,直线l:x-2y=0交椭圆于A,B两点,若|AF|+|BF|=2,点P到直线l的距离不小于√55,则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共70分)3417.(14分)(2019四川攀枝花模拟,19)已知圆C :x 2+y 2+Dx+Ey-2=0关于直线x-y=0对称,半径为2,且圆心C 在第一象限. (1)求圆C 的方程;(2)若直线l :3x-4y+m=0(m>0)与圆C 相交于不同两点M ,N ,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求实数m 的值.18.(14分)(2019山东临沂三模,20)已知直线l 过圆M :x 2+(y+2)2=1的圆心且平行于x 轴,曲线C 上任一点P 到点F (0,1)的距离比到l 的距离小1. (1)求曲线C 的方程;(2)过点P (异于原点)作圆M 的两条切线,斜率分别为k 1,k 2,过点P 作曲线G 的切线,斜率为k 0,若k 1,k 0,k 2成等差数列,求点P 的坐标.519.(14分)(2019山东临沂、枣庄二模,20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,P 为椭圆上一动点(异于左右顶点),若△PF 1F 2面积的最大值为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过点F 1交椭圆C 于A ,B 两点,问在x 轴上是否存在一点Q ,使得QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.20.(14分)(2019河南鹤壁高中模拟,20)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点为A 1,A 2,椭圆上任意一点M ,满足k MA 1k MA 2=-12,且椭圆过点1,√22. (1)求椭圆的标准方程;(2)设A ,B 是轨迹E 上的两个动点,线段AB 的中点N 在直线l :{x =-12,y =3t+1t 2(t 为参数)上,线段AB 的中垂线与E 交于P ,Q 两点,是否存在点N ,使以PQ 为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出N 点坐标,若不存在,请说明理由.21.(14分)(2019山东滨州二模,20)如图,已知P为抛物线y2=4x上在x轴下方的一点,直线PA,PB,PC 与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A,B,C,与x轴的正半轴分别相交于点L,M,N,且|LM|=|MN|=t(0<t<2),直线PB的方程为2x-y-4=0.(1)当t≠1时,设直线PA,PC的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2=k1k2;(2)求S△PABS△PBC关于t的表达式,并求出S△PABS△PBC的取值范围.6参考答案单元质检卷九解析几何,两直线垂1.A当a=1时,直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3,直线ax-3y+3=0的斜率为13直;当a=0时,两直线也垂直,所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的充分不必要条件,故选A.782.A 由题意知,抛物线焦点F (1,0),准线与x 轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q (-1,y ),△FPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形,即|PF|=|PQ|,结合P 点在抛物线上,所以PQ ⊥抛物线的准线,从而PF ⊥x 轴,所以P (1,2),∴2a=|PF'|-|PF|=2√2-2,即a=√2-1.故双曲线的离心率为e=√2-1=√2+1,故选A .3.A 将y=1代入y 2=4x ,解得x=14.即A 14,1.由抛物线的光学性质知,直线AB 经过焦点(1,0),所以直线AB 的斜率k=1-014-1=-43.故选A .4.B 由∠MPN=π可得∠MCN=2∠MPN=2π.在△MCN 中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C 3,-√3到直线MN ,即到直线l :x-√3y-a=0的距离为2sin π6=1. 所以√3×√3)-√1+3=1,解得a=4或8.故选B . 5.B双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点),可得c=2,b =√3,即b 22=3,c 2-a 22=3,解得a=1,b=√3,双曲线的焦点坐标在x 轴,所得双曲线的方程为x 2-y 23=1,故选B. 6.A 由x 2+y 2-4x+2y+1=0, 得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C (2,-1),半径r=2.由题意可得,直线l :mx+y-1=0经过圆C 的圆心(2,-1),∴2m-1-1=0,9∴m=1,点A (-2,1). ∵AC=√20,CB=r=2, ∴切线的长|AB|=√20-4=4.7.C 设F p2,0,MK 是点M 到准线的距离,点K 是垂足.由抛物线定义可得|MK|=|MF|,因为|FM ||MN |=√55,所以|MK ||MN |=√55,那么|KN|∶|KM|=2∶1,即直线FA 的斜率是-2,所以2-00-p 2=-2,解得p=2.故选C.8.B 抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,圆(y-1)2+x 2=4的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径r=2,∴|FB|=2,|AF|=y A +1,|AB|=y B -y A ,∴三角形ABF 的周长=2+y A +1+y B -y A =y B +3,∵1<y B <3,∴三角形ABF 的周长的取值范围是(4,6).故选B . 9.D 由题意知两曲线有相同的焦点,设左右两个焦点分别为F 1,F 2,根据双曲线的定义得到|PF 1|-|PF 2|=2√a ,根据椭圆的定义得到|PF 1|+|PF 2|=2√a +2, 联立两个式子得到|PF 1|=√a +2+√a ,|PF 2|=√a +2−√a ,由椭圆与双曲线的标准方程得|F 1F 2|=2√a +1,所以Q 与F 2重合,由余弦定理得到 cos ∠F 1PF 2=2(2a+2)-4(a+1)2=0,故∠F 1PF 2=π2, 则S △POQ =12S △PF 1F 2=12×12(√a +2+√a )·(√a +2−√a )=12,故选D.10.D 因为点M (4,m )在抛物线y 2=4x 上,所以可求得m=±4.由于圆经过焦点F 且与准线l 相切,所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又圆经过抛物线上的点M ,所以圆心在线段FM 的垂直平分线上,故圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点.结合图形知对于点M (4,4)和(4,-4),线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有两个交点.所以满足条件的圆有4个.故选D.1011.B 由双曲线方程x 2a 2-4y 2=1(a>0)可得,双曲线的右顶点为(a ,0),渐近线方程为y=±12a x ,即x ±2ay=0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于√34,∴√2=√34,解得a 2=34,∴双曲线的方程为4x 23-4y 2=1,∴双曲线的焦点为(1,0).又抛物线E :y 2=2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合,∴p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x ,焦点坐标为F (1,0).如图,设点M 到直线l 1的距离为|MA|,到直线l 2的距离为|MB|,则|MB|=|MF|,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MF|.结合图形可得当A ,M ,F 三点共线时,|MA|+|MB|=|MA|+|MF|最小,且最小值为点F 到直线l 1的距离d=√4+3=2.故选B.12.B 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),当直线l 不存在斜率时,易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.当直线l 存在斜率且不为0时,设方程为y=k (x-1),联立{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,解得A1+2k 2−2√k 2+1k 2,2k −2√k 2+1k2,D1+2k 2+2√k 2+1k 2,2k +2√k 2+1k2,联立{y =k (x -1),(x -1)2+y 2=1,得(k 2+1)(x-1)2=1,解得B 1-√k +1,-√k +1,C 1+√k +1,√k +1,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-1√k+1−2k2+2√k 2+1k2,-k√k+1−2k+2√k2+1k,CD⃗⃗⃗⃗⃗ =2k2+2√k2+1k2−1√k+1,2k+2√k2+1k−k√k+1,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =1.13.[-43,0]以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程整理可得(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.∵直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,整理为3k2+4k≤0.解得-43≤k≤0,则k的取值范围是[-43,0].14.4√3点P关于x轴的对称点为P'(-1,-2),由反射的对称性可知,直线P'Q与圆相切,|PQ|+|QT|=|P'T|,∵圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|=√|AP'|2-|AT|2=4√3,故答案为4√3.15.(8,+∞)由题意可得A(-1,0),设直线l方程为x=my-1(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由{y2=4x,x=my-1,1112消去x 得y 2=4(my-1),整理得y 2-4my+4=0,所以Δ=16m 2-16>0,解得m 2>1,又y 1+y 2=4m ,y 1y 2=4,因此 x 1+x 2=m (y 1+y 2)-2=4m 2-2,x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)+1=1,所以|FM|2+|FN|2=(x 1+1)2+(x 2+1)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2+2(x 1+x 2)+2 =(x 1+x 2+1)2-1=(4m 2-1)2-1,因为m 2>1, 所以|FM|2+|FN|2=(4m 2-1)2-1>9-1=8. 故答案为(8,+∞).16.(0,√32] 设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF'(图略),因为点A ,B 关于原点对称,所以|AF'|+|BF'|=|BF|+|AF|=2,则|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4,即2a=2,a=1,设P (0,b ),因为点P 到直线l 的距离不小于√55,所以√5≥√55,即b ≥12,即c=√1-b 2≤√32,即c a ∈0,√32,即椭圆离心率的取值范围是0,√32.17.解 (1)由C :x 2+y 2+Dx+Ey-2=0,得圆C 的圆心为C -D 2,-E2,∵圆C 关于直线x-y=0对称, ∴D=E.① ∵圆C 的半径为2,∴D 2+E 2+84=4.②又∵圆心C 在第一象限,∴D<0,E<0,由①②解得,D=E=-2, 故圆C 的方程为x 2+y 2-2x-2y-2=0,∴(x-1)2+(y-1)2=4. (2)取MN 的中点P , 则|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,13∴|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒2|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2⇒4-|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, ∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2,即|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,即|m -1|5=√2,又m>0,解得m=5√2+1.18.解 (1)易知直线l :y=-2,∵曲线C 上任一动点P 到点F (0,1)的距离比到l :y=-2的距离小1, ∴点P 到F (0,1)的距离等于到直线y=-1的距离,∴曲线C 是以F 为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,设抛物线方程x 2=2py , ∵p=2,∴曲线C 的方程为x 2=4y. (2)由(1)知曲线C :x 2=4y ,设Px 0,x 024,则k 0=x02,曲线C 上过P 点的切线方程为y-x 024=x 02(x-x 0),即y=x 02x-x 024,设过点P 所作圆M 的两切线方程为y-x 024=k 1(x-x 0),y-x 024=k 2(x-x 0),即k 1x-y+x 024-k 1x 0=0,k 2x-y+x 024-k 2x 0=0,又|2+x 024-k x |√1+k 1=1,即(x 02-1)k 12-4x 0+x 032k 1+2+x 0242-1=0,(*)同理k 2也适合(*)式,故k 1,k 2是方程x 02-1k 2-4x 0+x 032k+2+x 0242-1=0的两个不相等的根,∴k 1+k 2=4x 0+x 03202-1,14∵k 1,k 0,k 2成等差数列,∴k 1+k 2=2k 0,∴4x 0+x 032x 02-1=x0,解得x 0=±√10,∴y 0=52,∴点P 的坐标为±√10,52.19.解 (1)由题意,当P 在上或下顶点时,△PF 1F 2的面积取最大值,即最大值为bc=√3, 又ca =12,且a 2=c 2+b 2,解得a 2=4,b 2=3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知F 1(-1,0),设直线l 的方程为x=my-1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x 0,0),联立方程组{x 24+y 23=1,x =my -1,整理得(3m 2+4)y 2-6my-9=0,则y 1+y 2=6m3m 2+4, y 1y 2=-93m 2+4,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x 0,y 1)·(x 2-x 0,y 2)=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=x 1x 2+x 02-x 0(x 1+x 2)+y 1y 2,∵x 1=my 1-1,x 2=my 2-1,∴x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=m 2y 1y 2+1-m (y 1+y 2)=1-15m 23m 2+4,x 1+x 2=(my 1-1)+(my 2-1)=m (y 1+y 2)-2=6m 23m 2+4-2,∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-15m 23m 2+4+x 02−6m 23m 2+4x 0+2x 0-93m 2+415=x 02+82x 0-12m 2+52=(3x 02-12)m 2+4x 02+8x 0-52, 要使QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,则3x 02-123=4x 02+8x 0-54,解得x 0=-118, 所以在x 轴上存在点Q -118,0,要使QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值. 20.解 (1)设M (x 0,y 0),A 1(-a ,0),A 2(a ,0),则x 02a 2+y 02b2=1,∵k MA 1·k MA 2=-12,∴y 0x 0+a ·yx 0-a=y 02x 02-a 2=b 2(1-x 02a 2)x 02-a2=-b 2a 2=-12.① ∵椭圆过点1,√22,∴1a 2+12b2=1,②联立①②解得{a =√2,b =1,c =1,所求椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)将直线的参数方程l :{x =-12,y =3t+1t 2,(t 为参数)化为普通方程l :x=-12,当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 方程为l :x=-12, 此时P (-√2,0),Q (√2,0)与点(1,0)三点共线,不合题意;16当直线AB 不垂直于x 轴时,设存在点N -12,m (m ≠0),直线AB 的斜率为k , A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)·y 1-y2x 12=0,则-1+4km=0, 故k=14m, 此时,直线PQ 斜率为-4m ,PQ 的直线方程为y-m=-4m x+12,即y=-4mx-m ,联立{y =-4mx -m ,x 22+y 2=1,整理得(32m 2+1)x 2+16m 2x+2m 2-2=0. 所以x 3+x 4=-16m 232m 2+1,x 3x 4=2m 2-232m 2+1,由题意F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3-1)(x 4-1)+y 3y 4=x 3x 4-(x 3+x 4)+1+(4mx 3+m )(4mx 4+m ) =(1+16m 2)x 3x 4+(4m 2-1)(x 3+x 4)+1+m 2 =(1+16m 2)(2m 2-2)32m 2+1−16m 2(4m 2-1)32m 2+1+1+m 2=19m 2-132m 2+1=0,∴m=±√1919,因为N 在椭圆内, ∴m 2<78,∴m=±√1919符合题意.17综上,存在点N 符合条件的坐标为N -12,±√1919. 21.(1)证明 由{y 2=4x ,2x -y -4=0,解得x=1或x=4,则P (1,-2).易知M (2,0),由题意可得L (2-t ,0),N (2+t ,0)(0<t<2,且t ≠1), 所以k 1=21-t ,k 2=21+t , 所以k 1+k 2=2+2=41-t 2,k 1k 2=2×2=41-t 2. 所以k 1+k 2=k 1k 2.(2)解 由(1)得,当t ≠1时,直线PA 的方程为2x+(t-1)y+2t-4=0, 当t=1时,直线PA 的方程为x=1,适合上式, 所以直线PA 的方程为2x+(t-1)y+2t-4=0.由{y 2=4x ,2x +(t -1)y +2t -4=0,消去x 得y 2+(2t-2)y+4t-8=0, 所以-2+y A =2-2t ,解得y A =4-2t ,所以点A 的坐标为((2-t )2,4-2t ). 由(1)得,直线PC 的方程为2x-(t+1)y-2t-4=0, 由{y 2=4x ,2x -(t +1)y -2t -4=0,消去x 得y 2-(2t+2)y-4t-8=0, 所以-2+y C =2+2t ,解得y C =4+2t ,所以点C 的坐标为((2+t )2,4+2t ). 则点A 到直线PB 的距离为d 1=2√5=2√5, 点C 到直线PB 的距离为d 2=2√5=2√5, 所以S △PABS△PBC=12|PB |·d 112|PB |·d 2=d 1d 2=|t -3||t+3|=3-t3+t (0<t<2).因为0<t<2,所以3<3+t<5,所以15<3-t3+t=63+t-1<1,所以S△PABS△PBC的取值范围是15,1.18。
(2021年整理)高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷
高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学选修1-1《圆锥曲线》单元测试卷）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高二数学选修1—1《圆锥曲线》单元测试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分）．1． 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3.抛物线28y x =的准线方程是（ )(A) 2x =- （B ） 4x =- (C ） 2y =- (D ） 4y =-4.曲线221(6)106x y m m m+=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） （A ）焦距相等 (B ） 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同5.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦,则2ABF ∆的周长是 ( )A 。
a 2B 。
a 4 C.a 8 D 。
b a 22+6。
一动圆与圆221x y +=外切,同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆的圆心在（ ）.A 一个椭圆上 .B 一条抛物线上 .C 双曲线的一支上 .D 一个圆上7．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-± 8。
(2021年整理)高二数学圆锥曲线单元测试题及答案讲述
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高二数学《圆锥曲线》单元测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列曲线中离心率为26的是（ ) A 14222=-y x B 12422=-y x C 16422=-y x D 110422=-y x 2．椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．83．设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为32，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±=D x y 21±= 4．抛物线y x 412=上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ )A. 1617B. 1615 C 。
0 D 。
875．已知1F 、2F 分别为椭圆221169x y +=的左、右焦点，椭圆的弦DE 过焦点1F ,若直线DE 的倾斜角为(0)a α≠，则2DEF ∆的周长为（ )A ．64B ．20C ．16D ．随α变化而变化6．若双曲线222116x y b-=（b 〉0）的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值等于（ ）A 。
4 B. 8 C. 32 D 。
437．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅，则△F 1PF 2的面积为( ）A ．3错误!B ．2错误!C ．错误!D ．错误!8．如图， 直线MN 与双曲线C ： 错误!－ 错误!= 1的左右两支分别交于M 、N 两点, 与双曲线C 的右准线相交于P 点, F 为右焦点,若｜FM|=2|FN|， 又= λ (λ∈R)， 则实数λ的取值为( )A. 错误! B 。
第九单元圆锥曲线( 滚动提升)-2021年高考数学一轮复习(解析版)
第九单元 圆锥曲线B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020浙江吴兴湖州中学高三其他】设x 、y R ∈，条件甲：221259x y +≤，条件乙：53x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由于222125259x x y ≤+≤，可得2125x ≤，得5x ≤，同理可得3y ≤，所以，条件甲是条件乙的充分条件；必要性：当5x ≤，3y ≤，取5x =，3y =，则2221259x y+=>，所以，条件甲不是条件乙的必要条件. 综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件. 故选A.2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选B ．3. 【2020陕西咸阳高三三模(理)】若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()e x f x =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A ． 1e -B ． eC ． 2eD ． 9e【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()e xf x =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即1010101110101011e 1a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故选B ．4. 【2020天津高三二模】若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度【答案】D【解析】由条件可知函数的最小值为-1，即1A =， 对称中心和相邻的对称轴间的距离为4T，即1274123πππω⨯=-，解得：2ω=当712x π=时，7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈,2πϕ<，3πϕ∴=()sin 2cos 2cos 23326f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22266366x x x πππππ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭， 根据平移变换规律可知，只需向左平移6π个单位. 故选D.5. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．6. 【2020浙江宁波华茂外国语学校高三一模】设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =的距离为3，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】B【解析】依题意得，(,0)2pF ， 因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =， 因为0p >，所以4p =. 故选B.7. 【2020河南南阳中学高三月考（理）】某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．23【答案】C【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何体的体积为232333⨯=故选C ．8. 【2020四川省南充高级中学高三月考（理）】已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是 A ．ln 212-B ．ln 212+C ．2D ．【答案】D【解析】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+.下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东高三其他】 已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310 D ．d 的值可以为25【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤， 又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选ABC.10. 【2020山东潍坊高三其他】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 【答案】ACD【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确； D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得24===a ，2=，所以椭圆C 的，故正确. 故选ACD.11.【2020山东高三一模】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) AB．CD ．3【答案】AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C的离心率c e a==≤因为1e >.所以双曲线C的离心率的取值范围为(. 故选AC.12. 【2020山东青岛高三三模】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD【解析】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ， 所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线， 即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离，即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=， 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =由于双曲线的一条渐近线方程为5y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3214. 【20203的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：16315.【2020山东潍坊高三其他】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.16. 【2020山东青岛高三二模】抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：5四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【答案】（1）221252516x y +=；（2）52.【解析】（1）由题设可得54=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ = 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 18．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（1）22182x y +=；（2）1. 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.19．【2020浙江高三二模】已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M ，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）3tan 4θ=. 【解析】（1）证明：由题意知抛物线焦点()1,0F ，当直线AB 斜率不存在时，直线:1AB x =，易得()1,2A ，()1,2B -， 则直线()2:43AM y x =--，()2:43BM y x =-， 所以点()16,8C -，()16,8D ，此时直线:16CD x =；当线AB 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >， 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，化简得2440y y k--=，>0∆， 则114y y =-，221212144y y x x =⋅=，①当14x =时，则()4,4A ，所以2141y y -==-，21114x x ==，点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线:4AM x =，点()4,4C -，直线()4:415BM y x =-，则()244154y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得点()64,16D ， 所以直线116:33CD y x =-； ②当14x ≠时，此时直线()11:44y AM y x x =--， 则()112444y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，结合2114y x =化简得()2211116160x x x x x -++=，此方程有一根为1x ，所以3116x x =，所以3116y y =-，所以111616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得221616,D x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由114y y =-，121=x x ，2114y x =可得2116416,C y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，()2114,4D y y ， 所以1112211211646444CDy y yk y y y +==--，所以直线()211121:444y CD y y x y y -=--，化简得()12116:4x y CD y y -=-， 可得直线CD 过点()16,0； 综上，直线CD 恒过点()16,0；（2）由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，//AB CD ；当直线斜率AB 存在时，1212211221121616116164CDy y x x y y k k y y x x x x -+-==-⋅=--， 设直线AB 与直线CD 的夹角为α，2333tan 4144CD CD k k k k kk kkα，当且仅当2k =±时，等号成立， 所以对于直线AB 与直线CD 最大夹角θ，3tan 4θ=. 20.【2020浙江省高一单元测试】已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，此时8x π=；最小值为1-，此时2x π=.【解析】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，该函数的最小正周期为22T ππ==.解不等式()2224k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32244x πππ∴-≤-≤.当204x π-=时，即当8x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max f x =当3244x ππ-=时，即当2x π=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 314f x π==-. 21. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =-；（2）()12,11-- 【解析】（1）因为()f x 是奇函数， 所以()()0f x f x --=恒成立， 则()220a b x +=，所以=-b a ，所以()312f x ax ax =-，则()()()2312322x x f x a x a a =-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当()2,2x ∈-时，()0f x '<， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()2,2-单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()f x 的极小值为()2f ， 由()28241616f a a a =-=-=-， 解得1a =，所以1a =，1b =-，（2）由（1）可知()312f x x x =-，()2312f x x '=-，方程()32f x x m ='+，即为233122x x m -=+，即方程3223120x x m -++=有三个不等的实数根， 设()322312g x x x m =-++，只要使曲线有3个零点即可，设()2660g x x x '=-=，0x ∴=或1x =分别为()g x 的极值点，当(),0x ∈-∞和()1,+∞时，()0g x '>，()g x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩， 解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为()12,11--.22. 【2020山东高三其他】已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C于A ，B 两点.（1）若1F AB 的面积为11，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .【答案】（1）10x y ±-=；（2【解析】（1）当直线l 斜率为0时，不满足题意.当直线l 斜率不为0时，设()11A ,x y ，()22B ,x y ，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=由0∆＞得m R ∈. 由韦达定理得1221056m y y m -+=+①， 1222556y y m -=+②，则112121122F ABSF F y y =⋅-=⨯==， 整理得4250490m m --=，解得21m =，或24950m =-（舍去）， 所以1m =±，故直线l 的方程为10x y ±-=. （2）若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-，所以212y y =-， 代入上式①②得121056m y m =+，21225256y m =+消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以12121526AB y y y y =-=-===⨯+。
2021年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
2021年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1．（2021年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x相交于a,b两点,o 为坐标原点,当2?aob的面积挑最大值时,直线l的斜率等同于a．y?eb?bc?cd【答案】b（）33b．?33c．?33d．?3x22．（2021年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版））双曲线?y2?1的顶点到其渐4将近线的距离等同于a．（）b．2545c．255d．455【答案】c3．（2021年普通高等学校录取统一考试广东省数学（理）卷（氢铵word版））未知中心在原点的双曲线c的右3f?3,0?焦点为,离心率等于2,在双曲线c的方程是22x2y2xy??1??14545a．b．（）x2y2??125c．x2y2??125d．【答案】bx2y254．（2021年高考新课标1（理））已知双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,则c的渐近线ab2方程为a．y??（）1x4b．y??1x3c．y??1x2d．y??x【答案】cx2y2?2?1与5．（2021年高考湖北卷（理））已知0,则双曲线c1:2cos?sin?4?y2x2c2:2?2?1的sin?sin?tan2?a．实轴长成正比【答案】db．虚轴长相等c．焦距成正比d．离心率相等2（）y?1的渐近线的距离是（）6．（2021年高考四川卷（理））抛物线y?4x的焦点到双曲线x?322a．12b．32c．1d．3【答案】bx27．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）例如图,f1,f2就是椭圆c1:?y2?1与双曲线c24的公共焦点,a,b分别就是c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的距心率就是yaf1ob（第9题图）f2xc．（）a．2【答案】db．332d．62x2y28．（2021年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的ab两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别处设a,b两点,o为座标原点.若双曲线的距心率为2,△aob的面积为3,则p=a．1【答案】cc．2d．3b．32x2y2??1的左、右顶点分别为a1,a2,9．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））椭圆c:43点p在c上且直线pa2的斜率的值域范围就是??2,?1?,那么直线pa1斜率的值域范围就是（）a．?，?24【答案】b10．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））未知抛物线c:y?8x与点m??2,2?,过c的2?13b．?，?84?331?c．?，?1??2?1?d．?，?3??4焦点且斜率为k的直线与c处设a,b两点,若ma?mb?0,则k?a．（）12b．22c．2d．2【答案】dx2y211．（2021年高考北京卷（理））若双曲线2?2?1的离心率为3,则其渐近线方程为aba．y=±2x【答案】b（）b．y=?2xc．y??1x2d．y??2x212．（2021年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线c1y?:12x2p(p?0)x22?y?1c23cc的焦点与双曲线:的右焦点的连线交1于第一象限的点m.若1在点m处的切线平c2的一条渐近线,则p?（）3a．16【答案】d3b．823c．343d．3x2y213．（2021年中考新课标1（理））未知椭圆e:2?2?1(a?b?0)的右焦点为f(3,0),过点f的直线缴ab椭圆于a,b两点.若ab的中点坐标为(1,?1),则e的方程为（）x2y2??1a．4536【答案】dx2y2??1b．3627x2y2??1c．2718x2y2d．??118914．（2021年普通高等学校录取统一考试新课标ⅱ卷数学（理））设立抛物线c:y?2px(p?0)的焦点为f,2点m在c上,mf?5,若以mf为直径的圆过点(0,2),则c的方程为a．y2?4x或y2?8xc．y?4x或y?16x【答案】c22（）b．y2?2x或y2?8xd．y?2x或y?16x2215．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知a、b为平面内两定点,过该平面内动点m作直线ab2???的垂线,垂足为n.若mn??an?nb,其中?为常数,则动点m的轨迹不可能是a．圆【答案】c（）b．椭圆c．抛物线d．双曲线2216．（2021年普通高等学校录取统一考试重庆数学（理）试题（含答案））未知圆c1:?x?2y?3??1,圆c2:?x?3y?4??9,m,n分别是圆c1,c2上的动点,p为x轴上的动点,则pm?pn的最小值为a．52?4【答案】a二、填空题17．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））双曲线22（）b．17?1c．6?22d．17x2y2??1的两条渐近线的方程为_____________.169【答案】3y??x42x2y218．（2021年高考江西卷（理））抛物线x?2py(p?0)的焦点为f,其准线与双曲线??1相交于a,b33两点,若?abf为等边三角形,则p?_____________【答案】6x2y219．（2021年高考湖南卷（理））设f1,f2是双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,p是c上一点,ab?若pf1?pf2?6a,且?pf1f2的最轻内角为30,则c的距心率为___.【答案】320．（2021年中考上海卷（理））设ab就是椭圆?的长轴,点c在?上,且?cba??4,若ab=4,bc?2,则的两个焦点之间的距离为________【答案】21．（2021年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知直线y?a交抛物线y?x于a,b两点.246.3若该抛物线上存有点c,使?abc为直角,则a的值域范围为________.【答案】[1,??)22．（2021年普通高等学校录取全国统一录取考试江苏卷（数学）（已校订氢铵word版不含额外题））抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围起三角形区域为d(涵盖三角形内部与边界).若点p(x,y)就是区域d内的任一一点,则x?2y的值域范围就是__________.【答案】??2,?2??1??23．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题））在平面直角坐x2y2标系xoy中,椭圆c的标准方程为2?2?1(a?0,b?0),右焦点为f,右准线为l,长轴的一个端的ab点为b,设原点到直线bf的距离为d1,f到l的距离为d2,若d2?_______.【答案】6d1,则椭圆c的离心率为33x2y224．（2021年普通高等学校录取统一考试福建数学（理）试题（氢铵word版））椭圆?:2?2?1(a?b?0)的ab左.右焦点分别为f1,f2,焦距为2c,若直线y?3(x?c)与椭圆?的一个交点m满足mf1f22mf2f1,则该椭圆的距心率等同于__________【答案】3?1x2y2525．（2021年高考陕西卷（理））双曲线??1的离心率为,则m等于___9_____.16m4【答案】9x2y226．（2021年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版））已知椭圆c:2?2?1(a?b?0)ab的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,b,f 若ab?10,af?6,cos?abf?【答案】4,则c的离心率e=______.557227．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线y?8x的准线方程是_______________【答案】x??228．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））在平面直角坐标系xoy中,预设点a(a,a),p就是函数y?1(x?0)图象上一动点,若点p，a之间的最短距离为x22,则满足条件的实数a的所有值_______.【答案】?1或1029．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）设f为抛物线c:y?4x的焦点,过点p(?1,0)2的直线l交抛物线c于两点a,b,点q为线段ab的中点,若|fq|?2,则直线的斜率等同于________.。
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『高考一轮复习精品』『单元检测试卷AB双卷』第九单元 圆锥曲线A 卷 基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2020全国高三课时练习（理）】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若1221,tan 2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（ ）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a+2yb =1（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1=2，∴12PF PF =2，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴x=23a ，∴|PF 2|=23a ，则|PF 1|==43a，由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2，∴解得， ∴e=c a故选A.2.【2020四川资阳高三其他（理）】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选A.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选C ．4. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩， 故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选B ．5. 【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选D ．6. 【2020山东青岛高三二模】已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（ ）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切 【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距22622415c =-=，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则2a =，6c =，∴离心率3==ce a，B 正确； 对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为217y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选B.7.【2020陕西西安高三二模（理）】设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A ．27±B ．23±C ．7±D ．3±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为32±． 故选D ．8.【2020山东高三其他】如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．54C ．53D ．322【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD。