2011年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二

2011年高数二考试大纲

2011全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲考试科目高等数学、线性代数试卷结构试卷满分为150分，考试时间180分钟内容比例高等数学约78 %线性代数约22 %题型结构单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：，函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限的关系。

掌握极限的性质及四则运算法则。

掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

一元函数微分学考试内容导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径考试要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2011年考研数学二真题及答案解析

x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3

f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记为曲线 l

2011-数二真题、标准答案及解析

0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )

考研数学二真题2011年

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中。

只有一个选项符合题目要求．(1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则( )．(A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4(C) k=3，c=4 (D) k=3，c=-4(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=( )．(A) -2f'(0) (B) -f'(0)(C) f'(0) (D) 0(3) 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )．(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3(4) 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )．(A) a(eλx+e-λx) (B) ax(eλx+e-λx)(C) x(aeλx+be-λx) (D) x2(aeλx+be-λx)(5) 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．(A) f"(0)＜0，g"(0)＞0 (B) f"(0)＜0，g"(0)＜0(C) f"(0)＞0，g"(0)＞0 (D) f"(0)＞0，g"(0)＜0(6) 设．则I，J，K 的大小关系是( )．(A) I＜J＜K (B) I＜K＜J(C) J＜I＜K (D) K＜J＜I(7) 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．(A) P1P2(B)(C) P2P1(D)(8) 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为( )．(A) α1，α3(B) α1，α2(C) α1，α2，α3(D) α2，α3，α4二、填空题(9) =______．(10) 微分方程y'+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=______．(11) 曲线的弧长s=______．(12) 设函数则=______．(13) 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=______．(14) 二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) 已知函数．设，试求α的取值范围．(16) 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．(17) 设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求(18) 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式．(19) ①证明：对任意的正整数n，都有成立．② 设(n=1，2，…)，证明数列{an)收敛．(20) 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ) 求容器的容积；(Ⅱ) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)．(21) 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，．其中D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分(22) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T，不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示(Ⅰ) 求a的值；(Ⅱ) 将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．(23) 设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)[考点] 无穷量的比较[答案解析] 因为，所以f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(C)．(2)[考点] 导数的定义[答案解析]，故选(B)．(3)[考点] 确定f'(x)的零点个数[答案解析] 求出f'(x)：由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(C)．(4)[考点] 微分方程的求解[答案解析] 原方程对应的齐次方程的特征方程y2-λ2=0，解得y1=λ y2=-λ，则y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλx C1y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λx C2故原方程的特解 y=x(C1eλx+C2e-λx) 故选(C)．(5)[考点] 利用导数求函数的极值[答案解析] z=f(x)g(y)在(0，0)点，A=f"(0)g(0)B=f'(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0)AC-B2＞0且A＞0f"(0)＜0，g"(0)＞0故选(A)．(6)[考点] 定积分的计算[答案解析] sinx＜eosx＜1＜cotx 则lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx故即 I＜K＜J 故选(B)．(7)[考点] 矩阵的初等变换[答案解析] 显然P2AP1=E，，因为，所以，故选(D)．(8)[考点] 线性方程组的基础解系[答案解析] 因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又A*A=|A|E=0且r(A)=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，故α1，α2，α4或α2，α3，α4线性无关，显然α2，α3，α4为A*x=0的一个基础解系，故选(D)．(9)[考点] 极限的计算[答案解析](10) e-x sinx[考点] 一阶微分方程求解[答案解析](C+sinx)，由于y(0)=0，则C=0，故y=e-x sinx．(11)[考点] 曲线积分的计算[答案解析](12)[考点] 反常积分计算[答案解析](13)[考点] 二重积分的计算[答案解析](14) 2[考点] 二次型[答案解析]特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2．三、解答题(15) [考点] 极限的逆问题[答案解析] 当a=0时，因为，所以结论不正确；当a＜0时，因为，所以结论也不正确；当a＞0时，所以a＜3，于是1＜a＜3．(16)[考点] 利用导数求函数的凹凸区间及拐点[答案解析]当t=1时，因为，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1．当t=1时，因为，所以当t=1即时，函数取极小值．令得t=0，当t＜0时，，当t＞0时当t＜0时即时，函数为凸函数，当t＞0即时，函数为凹函数．(17)[考点] 二元函数求偏导[答案解析] 由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0．(18)[考点] 利用导数求曲线的切线[答案解析] ，两边对x得，即(1+y'2)y'=y"，于是有令y'=P，则，于是有，变量分离得，两边积分得由P(0)=1得，代入得解出由y(0)=0．面积分得：(19)[考点] 数列与积分中值定理综合题[答案解析] 证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理其中②其中易知a n+1-an ＜0，则an+1＜an即{an}单调递减又所以{an }单调递减有界，故{an}收敛．(20)[考点] 积分的应用[答案解析] (Ⅰ)(Ⅱ)(21)[考点] 二重积分的计算[答案解析]于是(22)[考点] 向量的线性相关性[答案解析] (Ⅰ) 因为，所以r(α1，α2，α3)=3又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．(Ⅱ)于是(23)[考点] 矩阵的特征值、特征向量[答案解析] (Ⅰ) 易知特征值-1对应的特征向量为特征值1对应的特征向量为，由r(A)=2知A的另一个特征值为0．因为实对称矩阵不同特征值得特特向量正交，从而特征值0对应的特征向量为故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征值向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T，其中k1，k2，k3均是不为O的任意常数．(Ⅱ) 由得。

2011年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二

2011年硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学78%线性代数22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西( Cauchy )中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数平均值.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.3.会用降阶法解下列形式的微分方程：和.4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.5.会用初等行变换求解线性方程组.五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.W hen you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

(整理)考研数学二大纲(文字版).

2011考研数学二大纲(文字版) 考试科目：高等数学78%、线性代数22%试卷满分为150分，考试时间为180分钟.试卷题型结构为：1.单项选择题8小题，每小题4分，共32分2.填空题6小题，每小题4分，共24分3.解答题(包括证明题) 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容．．．．：．函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数函数关系的建立.数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求．．．．：．:1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容．．．．：．导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径。

2011年数学二真题解析

【解析】由通解公式得
y edx ( ex cos x edxdx C)
ex ( cos xdx C)
ex (sin x C) ．
由于 y(0) 0, 故 C =0．所以 y ex sin x ．
(11)【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
x0
xa
ax x0
a1
ax a x0
a1 x0
所以 3 a 0 即 a 3 ．
又因为 0 lim x
x ln(1 t2 )dt
0
xa
ln(1 x2 )
lim
x
axa1
2x
lim
x
1 x2 a(a 1)x
a2
2 a(a 1)
x3a
lim
x
1
x2
所以 3 a 2 ，即 a 1，综合得1 a 3 ．
(15) (本题满分 10 分)
【解析】如果 a 0 时， lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim xa
x ln(1 t2 )dt ，
x
xa
x
0
显然与已知矛盾，故 a 0 ．
当 a 0 时，又因为 lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim
ln(1
x2 )
lim
x2
lim 1 x3a 0 ．
g(x) f2xy, yg(x) yg(x) f12[xy, yg(x)] x f22[xy, yg(x)]g(x)．
因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则
d2z dxdy
|x1
y 1

考研数学二真题2011年

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中。

只有一个选项符合题目要求．(1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则( )．(A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4(C) k=3，c=4 (D) k=3，c=-4(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=( )．(A) -2f'(0) (B) -f'(0)(C) f'(0) (D) 0(3) 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )．(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3(4) 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )．(A) a(eλx+e-λx) (B) ax(eλx+e-λx)(C) x(aeλx+be-λx) (D) x2(aeλx+be-λx)(5) 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数Z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．(A) f"(0)＜0，g"(0)＞0 (B) f"(0)＜0，g"(0)＜0(C) f"(0)＞0，g"(0)＞0 (D) f"(0)＞0，g"(0)＜0(6) 设．则I，J，K 的大小关系是( )．(A) I＜J＜K (B) I＜K＜J(C) J＜I＜K (D) K＜J＜I(7) 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B．再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．(A) P1P2(B)(C) P2P1(D)(8) 设A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为( )．(A) α1，α3(B) α1，α2(C) α1，α2，α3(D) α2，α3，α4二、填空题(9) =______．(10) 微分方程y'+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=______．(11) 曲线的弧长s=______．(12) 设函数则=______．(13) 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=______．(14) 二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) 已知函数．设，试求α的取值范围．(16) 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．(17) 设函数Z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求(18) 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式．(19) ①证明：对任意的正整数n，都有成立．② 设(n=1，2，…)，证明数列{an)收敛．(20) 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ) 求容器的容积；(Ⅱ) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m．重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)．(21) 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，．其中D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分(22) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T，不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示(Ⅰ) 求a的值；(Ⅱ) 将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．(23) 设A为三阶实矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求矩阵A．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)[考点] 无穷量的比较[答案解析] 因为，所以f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(C)．(2)[考点] 导数的定义[答案解析]，故选(B)．(3)[考点] 确定f'(x)的零点个数[答案解析] 求出f'(x)：由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(C)．(4)[考点] 微分方程的求解[答案解析] 原方程对应的齐次方程的特征方程y2-λ2=0，解得y1=λ y2=-λ，则y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλx C1y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λx C2故原方程的特解 y=x(C1eλx+C2e-λx) 故选(C)．(5)[考点] 利用导数求函数的极值[答案解析] z=f(x)g(y)在(0，0)点，A=f"(0)g(0)B=f'(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0)AC-B2＞0且A＞0f"(0)＜0，g"(0)＞0故选(A)．(6)[考点] 定积分的计算[答案解析] sinx＜eosx＜1＜cotx 则lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx故即 I＜K＜J 故选(B)．(7)[考点] 矩阵的初等变换[答案解析] 显然P2AP1=E，，因为，所以，故选(D)．(8)[考点] 线性方程组的基础解系[答案解析] 因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又A*A=|A|E=0且r(A)=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，故α1，α2，α4或α2，α3，α4线性无关，显然α2，α3，α4为A*x=0的一个基础解系，故选(D)．(9)[考点] 极限的计算[答案解析](10) e-x sinx[考点] 一阶微分方程求解[答案解析](C+sinx)，由于y(0)=0，则C=0，故y=e-x sinx．(11)[考点] 曲线积分的计算[答案解析](12)[考点] 反常积分计算[答案解析](13)[考点] 二重积分的计算[答案解析](14) 2[考点] 二次型[答案解析]特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2．三、解答题(15) [考点] 极限的逆问题[答案解析] 当a=0时，因为，所以结论不正确；当a＜0时，因为，所以结论也不正确；当a＞0时，所以a＜3，于是1＜a＜3．(16)[考点] 利用导数求函数的凹凸区间及拐点[答案解析]当t=1时，因为，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1．当t=1时，因为，所以当t=1即时，函数取极小值．令得t=0，当t＜0时，，当t＞0时当t＜0时即时，函数为凸函数，当t＞0即时，函数为凹函数．(17)[考点] 二元函数求偏导[答案解析] 由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0．(18)[考点] 利用导数求曲线的切线[答案解析] ，两边对x得，即(1+y'2)y'=y"，于是有令y'=P，则，于是有，变量分离得，两边积分得由P(0)=1得，代入得解出由y(0)=0．面积分得：(19)[考点] 数列与积分中值定理综合题[答案解析] 证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理其中②其中易知a n+1-an ＜0，则an+1＜an即{an}单调递减又所以{an }单调递减有界，故{an}收敛．(20)[考点] 积分的应用[答案解析] (Ⅰ)(Ⅱ)(21)[考点] 二重积分的计算[答案解析]于是(22)[考点] 向量的线性相关性[答案解析] (Ⅰ) 因为，所以r(α1，α2，α3)=3又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．(Ⅱ)于是(23)[考点] 矩阵的特征值、特征向量[答案解析] (Ⅰ) 易知特征值-1对应的特征向量为特征值1对应的特征向量为，由r(A)=2知A的另一个特征值为0．因为实对称矩阵不同特征值得特特向量正交，从而特征值0对应的特征向量为故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征值向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T，其中k1，k2，k3均是不为O的任意常数．(Ⅱ) 由得感谢您的支持与配合，我们会努力把内容做得更好！。

2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析.doc

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。

【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。

从而应选（C ）。

法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。

，从而应选（C ）。

2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。

通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。

【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。

(整理)2011年与年考研数学大纲变化对比表——数二63281.

章节 2010年数学考试大纲考试内容和考试要求 2011年数学考试大纲考试内容和考试要求变化对比高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．对比：无变化本章的重点内容之一是极限，考生不仅要准确的理解极限的概念和极限存在的充要条件，而且还要能正确求出各种极限，由于篇幅所限，有关求极限的各种方法和本章的其它考点，详见由高等教育出版社出版的《2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲配套强化指导》第二部分，第一篇，第一章函数、极限、连续。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解

= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3）函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C）【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4）微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。（13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（（A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C）【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）

2011年考研数学大纲(数一、数二、数三)

2011考研数学大纲（数一）2011年考研数学大纲，从卷种分类，到题型，题量以及各科所占的分值比例，再到各部分的考试内容和考试要求考试科目高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构一、试卷满分及答题时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟二、内容比例高等数学约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%三、题型结构单项选择题8小题,每小题4分,共32分填空题6小题,每小题4分,共24分解答题(包括证明题) 9小题,共94分试卷结构的变化2009年大纲与2008年大纲比较1.内容比例无变化2.题型结构无变化高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．本章考查焦点1.极限的计算及数列收敛性的判断2.无穷小的性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。

2011数二考研大纲

考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学 78%线性代数 22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西( Cauchy )中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数平均值.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.3.会用降阶法解下列形式的微分方程：和 .4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.5.会用初等行变换求解线性方程组.五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.。

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