2020年新课标高考数学大纲解析
全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版)
全国统一高考数学试卷（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．全国统一高考数学试卷（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以∁U A={3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【考点】DA：二项式定理．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．=C x 8﹣r2 r【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1令8﹣r=6得r=2，∴展开式中x6的系数是2 2C82=112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求+a n=0【解答】解：∵3a n+1∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣6【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=﹣1．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为0．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值=F（1，1）=﹣1+1=0∴z最小值故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A ﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f （2）≥0成立，进而可得a的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．第21页（共21页）。
2020年高考数学《考试大纲》新解理.docx
2020 年高考理科数学《考试大纲》新解《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据. 国家教育部有关部门每年都邀请专家，依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化，对《考试大纲》进行修订，以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.日前教育部考试中心函件《关于 2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函﹝2020﹞ 179 号），公布了 2020 年高考各学科考试大纲的修订内容，其中数学学科的修订内容如下：1．在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体. 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第二点内容. 2．在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余 2 个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲” 2 个模块中任选 1 个作答 . 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第三点内容 .“一不变”：核心考点不变2020 年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点 . 在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容 .备考锦囊1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；“二变”：数学文化解读名师解读教育部考试中心函件《关于2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. 比如，在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.样题展示一、数学文化与算法【例 1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为S0，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A． 414B． 504C． 462D． 540【答案】 C【例 2】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为，则输入的a的值为214593189 A．8B．16C．32D．64【答案】 C【解析】起始：m2a 3 ， i 1 ，第一次循环：m2(2a3)34a 9， i 2 ；第二次循环：m2(4 a9)38a 21， i3；第三次循环：m2(8a21)3 16 a45， i 4 ；接着可得93m2(16a45)332a 93，此时跳出循环，输出m的值为32a93 ．令 32a93，解得a32 ，故选 C．二、数学文化与数列【例 3】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为5345A．3 钱B．2 钱C．3钱D．4钱【答案】C【例 4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”则这个数学问题中动物有 ______________只．（数字作答）【答案】 590490【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项a 19，公比q 9的等比数列a n，其通项公式为 a n 9 9n 19na 5 a 6 95 96 951 9 590490（只）．，则动物的数量为三、数学文化与概率统计【例 5】欧阳修《卖油翁》中写到： （翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为 1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为49A ． 9B ． 44C ． 9D ． 4【答案】 Ar2(1.5)29 (cm 2 )0.520.251(cm 2 )【解析】圆的面积为216 ，正方形的面积为4，所以油（油滴14P49 9的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为16，故选 A.【例 6】南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 π3.1415927之间，的值在 3.1415926与 成为世界上第一个把圆周率的值精确到7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值 的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平 . 我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 80 颗豆子中，落在圆内的有64 颗，则估算圆周率的值为A ． 3.1B ．3.14C ． 3.15 D．3.2【答案】 D四、数学文化与立体几何【例 7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第十二章 12.2 几何概型含解析
§12.2 几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝作为所求概率的近似值．MN 概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝.( × )19题组二 教材改编2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D ．1121314答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.133．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B.π4π－22C. D.π64－π4答案 D解析 如题干图所示，区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D 内到坐 AC 标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，4－π4故选D.题组三 易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________.56答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．2m 656当2<m <4时，由题意得＝，解得m ＝3.故m ＝3.m －(－2)6566．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)．由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.81223题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C .(1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率．解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝|AC |.2由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.|AC ′||AB ||AC |2|AC |22(2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.∠ACC ′∠ACB π－π42π234思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334答案 B解析 如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝＝，故选B.10＋104012(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧3，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． DE答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为＝＝.∠CAB ∠DAB 30°90°13题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14π812π4答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝S 圆＝，所以12π2由几何概型知，所求概率P ＝＝＝.S 黑S 正方形π24π8命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概300－96300率计算公式，可得＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.S 椭圆S矩形(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.820思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．跟踪训练2 (2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.B. C. D.4n m 2n m 4m n 2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，π41mn∴π＝，故选C.4mn题型三 与体积有关的几何概型例4 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于的概率为________．16答案 12解析 过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于，只要M 在截面以下即可小于，当V M —ABCD ＝时，即×1×1×h ＝，解得h ＝，即161616131612点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝＝.1×1×121×1×112思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B.π C. D.6π323π233π答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积V 2＝π×3＝π，3243(32)32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.V 1V 2233π1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤”发生的概率为( )12A. B. C. D.34231213答案 D解析 在[0，π]上，当x ∈∪时，sin x ≤，故概率为＝.[0，π6][5π6，π]12π3π132．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则实数m 为( )12A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得＝，解得m ＝1(舍)，m ＋1412当0<m ≤1时，由＝，则m ＝1.故m ＝1.2m 4123．(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( )A.B. C. D.132783818答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为＝，故选D.216184．(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )π3A ．2－B ．4－33π63πC ．－－D.1332π23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24＝4πr 2－6r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概(16πr 2－34r 2)3率为＝4－，故选B.S S ′63π5．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随PB → PC → PA → 机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A. B. C. D.14132312答案 D解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则＋＝，因为＋＋2＝0，PB → PC → PD → PB → PC → PA →所以＋＝－2，得＝－2，PB → PC → PA → PD → PA →由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的，12所以S △PBC ＝S △ABC ，12所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为＝，故选D.S △PBC S △ABC 126．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在3黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134答案 D解析 设勾为a ，则股为a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为a －a ，所以题图中大正33方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为3＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.(3－1)2432(1－32)7．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为______．答案 34解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴<3，解得－<k <，由几|5k |k 2＋13434何概型得P ＝＝.34－(－34)1－(－1)348．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案 33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC ＝a ，则所求概率P ＝＝.33a a 339.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．答案 16解析 因为＝＝AA 1×S △ABD 1A A BD V -1A ABD V -13＝×AA 1×S 矩形ABCD ＝V 长方体，1616故所求概率为＝.V 长方体1610．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上x 2m 2y 2n2的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .x 2m 2y 2n 2如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分(不包括m ＝n 这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为.1211．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a ·b ＝－1的概率为＝.336112(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21，12故满足a ·b <0的概率为.212512．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝＝.506.5576 1 0131 15213．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．12答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A ，则A ＝Error!，如图中阴影部分所示，12空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P (A )＝＝.12121214121－1413414．向圆C ：(x －2)2＋(y －)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．3答案 －1634π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，3所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝－×2×＝－60°×π×22360°1232π3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝＝－.32π3－34π1634π15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥”的概率，p 2为事件“|x －y |≤”1313的概率，p 3为事件“xy ≤”的概率，则( )13A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，13事件“|x －y |≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤”表示的平面区1313域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝＋×1×1－＝1，π412(π4－12×1×1)所以整个图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，14所以P ＝.2π。
2020年高考数学新课标3
2020年高考数学新课标3
引言：
数学是一门基础学科，对于学生而言，在高考中数学试卷占据着很大
的比重。
2020年高考数学新课标3试卷是考查学生对于数学知识和解
题能力的综合考试，以下是对这份试卷的详细解析。
一、选择题部分：
选择题是数学试卷中常见的题型，也是考查学生对基础知识掌握程度
的一种方式。
在2020年高考数学新课标3试卷中，选择题占据了较大
的篇幅，共有20道选择题。
这些题目主要考查学生对于数学概念的理
解和能够运用基本的计算方法。
二、填空题部分：
填空题是考查学生计算能力和推理能力的题型，在2020年高考数学新
课标3试卷中，填空题占据了一定的比重。
这些题目常涉及到数学运
算和应用题的解答。
三、解答题部分：
解答题是高考数学试卷中比较难度较大的部分，需要考生综合运用所
学的数学知识和解题方法来解答。
在2020年高考数学新课标3试卷中，解答题部分共有4道题目，涉及到图形的证明、函数的性质和应用题
的解答。
四、评分标准：
高考数学试卷的评分标准是根据题目的难易程度和题目的要求来确定的。
在2020年高考数学新课标3试卷中，选择题和填空题的评分标准
一般比较明确，按部分给分和答案是否正确来评分。
解答题的评分标
准则相对较灵活，根据解答的步骤、思路和答案的准确性来综合评定。
结论：
2020年高考数学新课标3试卷是一份较为综合、全面的考试，旨在考
查学生对于数学知识和解题能力的掌握程度。
希望广大考生能够认真
复习、细心答题，取得优异的成绩。
2020年高考新课标二(理科数学)解析
绝密★启用前2020年高考理科数学新课标2解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}-1,0,1A =，{}1,2B =，则()UA B =A.{}2,3-B.{}2,2,3-C.{}2,1,0,3--D.{}2,1,0,2,3--解：{}1,0,1,2,A B =-(){}2,3UAB =-2.若α为第四象限角，则A.cos20α>B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<解：因为α为第四象限角，所以sin 0,cos 0,sin 22sin cos 0,D ααααα<>∴=<答案：3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 解：为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则最少需配送2100份，而超市每天能完成1200份订单的配货，因此志愿者需要至少配送900份，因为志愿者每人每天能完成50份订单的配货，所以至少需要志愿者18名.答案：B4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、 下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。
(新课标全国卷)2020年高考数学考试说明 理
2020年高考考试说明——数学（理）根据教育部考试中心《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》（以下简称《大纲》），结合基础教育的实际情况，制定了《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》（以下简称《说明》）的数学科部分。
制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合本省（自治区、直辖市）普通高等学校招生全国统一考试工作指导方案和普通高中课程改革试验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。
Ⅰ．命题指导思想1．普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程标准对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求．3．命题注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性．既要考查考生的共同基础，又要满足不同考生的选择需求．合理分配必考和选考内容的比例，对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等，力求难度均衡．4．试卷应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．二、试卷结构全卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12个选择题，全部为必考内容．第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．必考部分题由4个填空题和5个解答题组成；选考部分由选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若多做，则按所做的第一题给分．1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比约为：选择题40%左右，填空题10%左右，解答题50%左右．2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题界定为难题．三种难度的试题应控制合适的分值比例，试卷总体难度适中．Ⅲ．考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是知道（了解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（运用、迁移），且高一级的层次要求包括低一级的层次要求．1．知道（了解、模仿）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.2．理解（独立操作）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.3．掌握（运用、迁移）：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1．空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.2．抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.3．推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.4．运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.5．数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.6．应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.7．创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题。
2020江苏高考大纲数学考点变化解读
2020 江苏高考纲领数学考点变化解读数学典型示例中填空题难度增添解读人：江苏教育学院隶属高级中学高三数学备课组长林兴炎【变化】数学与2013 年考试说明比较，整体保持稳固。
《考试内容及要求》与《考试学生及试卷构造》没有变化。
在《命题指导思想》中增添了命题性质( 昨年语文和外语都有 ) ，此中“高考试卷应拥有较高的信度、效度、以及必需的划分度、和适合的难度”这句话让人内心更为扎实 ; 在典型题示例中，填空题部分有 8 道简单题、 4 道中档题、 2 道难题。
令人关注的是： 2 个难题都改换了，且难度有提高 ; 解答题中 4 道中档题保存三题，换了一个三角题，但难度没有变化 ; 难题中的数列题换成了 2011 年的江苏高考题。
附带题部分，必做题没有变化 ; 四选二中将昨年供给的《矩阵与变换》示例换成了 2013 年江苏考题。
【建议】 1、复习中要做到三个“回归”。
(1) “回归”教材。
高三复习中“高考高于天、教材放一边”的现象极为广泛，教材向来是高考命题的“源泉”，每年高考试题中有大批题都能在课本中找到“影踪”，比方 2013 年高考有 8 成以上的题取自课本或由课此题改编 ;(2) “回归”基础。
在《纲领》中重申对数学基础知识和基本技术的考察，重申对数学思想方法和数学能力的考察一定与数学基础知知趣联合、以数学基础知识为载体。
所以，数学基础知识的全面、系统掌握。
《考纲》中的 38 个 A 级考点、 72 个 B 级考点、 8 个C级考点 ( 理科 ) 要了然于胸，不留盲点：抓住“骨干”知识，理清线索形成知识网络 ;(3) “回归”近几年的高考题。
每年的高考题是众多半学专家心血的结晶，它覆盖了教材的全部知识点，聚集了各式各种的题型，对高三复习无疑有引领作用。
2、重视解题思路的训练、提高运算求解能力。
在历年的高考取，常常考生最单薄的，就是解不出正确的结果，有些学生只知足“会解”不求“优解”，常常是思路对了，方法也有了，但因为过程太繁或运算能力不够算不究竟而得不到分数。
2020年高考数学考试大纲解读
2020年⾼考数学考试⼤纲解读2020年⾼考考纲做了较⼤修订，有三⼤变化，增加了中华传统⽂化的考核内容，完善了考核⽬标，调整了考试内容。
那么，数学考纲有哪些调整呢?以下是百分⽹⼩编搜索整理的关于2020年⾼考数学考试⼤纲解读，供参考复习，希望对⼤家有所帮助!对应这些变化，数学学科也做了相应调整：1、增加了数学⽂化的要求。
2、在能⼒要求内涵⽅⾯，增加了基础性、综合性、应⽤性、创新性的要求，同时对能⼒要求进⾏了加细说明，使能⼒要求更加明确具体。
3、在现⾏考试⼤纲三个选考模块中删去《⼏何证明选讲》，其余2个选考模块的内容和范围都不变，考⽣从《坐标系与参数⽅程》、《不等式选讲》2个模块中任选1个作答。
总体上，这些变化对2020年⾼考数学考试影响不⼤。
基于两个原因：⼀是在这次⾼考考纲修订基本原则 “坚持整体稳定，推进改⾰创新;优化考试内容，着⼒提⾼质量;提前谋篇布局，体现素养导向”中，将“整体稳定”放在了⾸位。
2015年、2016年全国数学2卷就突出了稳中求变，约有80%的试题是稳定的，只有约20%的试题是创新的，2020年⾼考仍然还会沿⽤这种思路命制试卷。
⼆是近两年⾼考试卷已先于2020年⾼考考纲在命题中渗透了⼀些变化与创新，全国数学2卷最⼤的变化点是，突出了社会主义核⼼价值观，强调了中国传统数学⽂化精髓。
在数学⽂化⽅⾯，2016年⾼考全国2卷理科数学第8题、⽂科数学第9题涉及到了我国南宋著名数学家秦九韶提出的多项式求值的算法，2015年⾼考全国2卷⽂、理科数学的第8题涉及到了我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
这就是说，今年考纲中所提到的新要求、新变化，在两年前的⾼考中就已经有所体现了，所以2020年⾼考对我们⽽⾔变化不会很⼤。
⽽第三项变化是选考题由“三选⼀”变为“⼆选⼀”，这将减轻学⽣的课业负担。
综上，我们可以得出结论，2020年⾼考命题形式会有⼀些变化，但整体难度变化不⼤。
针对上述分析，现就2020年⾼考备考复习提出以下建议：回归教材⾄少解决两件事——通过回归教材重视基础知识、基本技能和基本数学思想⽅法，进⼀步强化数学学科核⼼素养，聚⼒共性通法。
2020年高考数学考纲解读与热点难点突破专题15算法复数_最新修正版
算法、复数
【2020年高考考纲解读】
1.对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．
2.对于程序框图要掌握基本算法语句尤其是含循环结构的程序框图，往往与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在一起考查，读题审题要仔细．
【重点、难点剖析】
一、复数的概念与运算
1．复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可． 【变式探究】执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．12
D ．－1 【解析】S 和n 依次循环的结果如下：S ＝11－a ，n ＝2；S ＝1－1a ，n ＝4.所以1－1a
＝2，a ＝－1.故选D ． 【答案】D
【变式探究】若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n＝12，i＝1；n＝6，i＝2；6≠5；n＝3，i＝3；3≠5；n＝10，i＝4；10≠5；n＝5，i＝5；5＝5成立，程序结束，输出i＝5.故选B．
【答案】B。
全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版)(1)
全国统一高考数学试卷（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或111．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n （x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．全国统一高考数学试卷（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD=×S△EBD×h=×2×h=∴V A﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx ﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n （x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，＜x k+2＜3，从而结论成立．可以证明2≤x k+1（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）
22 12 直线 l 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB MP ，所以
PM
AB
2S△PAM
2 1 PA 2
AM
2 PA ，而 PA
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. 5 1 4
B. 5 1 2
C. 5 1 4
D. 5 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】
设 CD a, PE b ，利用 PO2 1 CD PE 得到关于 a, b 的方程，解方程即可得到答案. 2
C. a b2
D. a b2
【答案】B 【解析】
【分析】
设 f (x) 2x log2 x ，利用作差法结合 f (x) 的单调性即可得到答案.
【详解】设 f (x) 2x log2 x ，则 f (x) 为增函数，因为 2a log2 a 4b 2 log4 b 22b log2 b
在
y2 x
Tr 1
C5r x4r yr2 中，令 r
1，可得：
y2 x
T2
C51x3 y3 ，该项中
x3 y3 的系数为 5
所以 x3 y3 的系数为10 5 15
故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题.
9.已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （ ）
，即12
9
p 2
，解得
p
=6
2020北京高三数学高考考试大纲说明及解析素材
推理论证能力是伴随着课标中推理与证明的内容产生的，课标指出，推理与证明的内容是对学生已经学过的基本证明方法的总结，所以对于这部分内容我们更加注重方法层面的考查，注重各种推理与证明方法的应用，而对概念的抽象表述不做过多追究。
√表示现行《考试说明》的要求；△或☆表示原《考试说明》的要求，用☆，√表示提高要求，用√，△意味降低要求； ◇表示新增的考点.
理科二、考试范围与要求层次
考试内容1
要求层次
A
B
C
集合与
常用逻辑用语
集合
集合的含义
√
△
集合的表示
√
集合间的基本关系
√
集合的基本运算
√
常用
逻辑
用语
“若 ，则 ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题
一、 总体分析：
1.试卷结构：
全卷共20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型。三种题型题目的个数分别为8、6、6，分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等题、难题组成，并以中等题为主，总体难度适当.2020年北京市数学高考试卷不设选做题.
2.考试内容：
2020年北京高考数学理科考试含19个板块内容，其中包括课标必修的5个模块和选修系列2、选修系列4的4-1和4-4.其中，对选修系列4中的4-1及4-4内容，试题将按照实际难度排列在试卷中，题型为选择题或填空题，分值为10分.文科数学考试含16个板块内容，其中包含课标中必修的5个模块及选修系列１的相关内容.
条件概率
√
事件的独立性
2020版高考数学新增分大一轮新高考第一章 1.1 集合的概念及运算 Word版含解析
§集合的概念及运算
最新考纲.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
．集合与元素
()集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
()元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
()集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
()常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号*(或＋)
.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言 图
子集 集合中所有元素都在集合中(即若∈，则∈)
⊆(或⊇)
真子集
集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中
(或
)
集合相等 集合，中的元素相同或集合，互为子集
＝
.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
图
交集 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合
∩＝{∈且∈}
并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合
∪＝{∈或∈}
补集
由全集中不属于集合的所有元素组成的集合
∁＝{∈且∉}
概念方法微思考
．若一个集合有个元素，则集合有几个子集，几个真子集． 提示－.
．从∩＝，∪＝可以得到集合，有什么关系？ 提示∩＝⇔⊆，∪＝⇔⊆.
题组一思考辨析。
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)教学提纲
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考理科数学（模拟试题卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若512z i=+,则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2．集合{|}310A x x ≤≤＝，27{|}B x x =<<，A B I =（ ） A ．{|210}x x <… B ．{|210}x x << C ．{|37}x x <… D ．{|37}x x 剟3．已知向量,a b r r ，满足2,2,1a b a b ==⋅=r r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．2 C ．23D ．2 4．，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a5．已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若23MN =,则k 的值为A ．122或B ．122--或 C ．122或-D ．122-或6．设函数()cos23sin2f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移()2πϕϕ<个单位后，得到的部分图象如图所示，则()f ϕ的值等于（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（）A．8B．12C．16D．248．过抛物线：的焦点F作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年新高考(全国卷)数学试卷结构与评析
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明:新高考数学试卷结构:第一大题, 单项选择题, 共8小题, 每小题5分, 共40分；第二大题, 多项选择题, 共4小题, 每小题5分, 部分选对得3分, 有选错得新高考选择题部分分析:①新高考与之前相比, 最大的不同就是增加了多项选择题部分, 选择题部分由原来的12道单选题, 变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距, 过去学生错一道单选题, 可能就会丢掉5分, 在新高考中, 考生部分选对就可以得3分, 在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力, 总体上难度不大, 只要认真复习, 一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上, 前两道较为基础, 后两道难度较大, 能够突出高考的选拔性功能, 总体上来看, 学生比以往来讲, 更容易取得一个不错的成绩, 但对于一些数学基础比较的好的同学来说, 这些题比以往应该更有挑战性。
过去, 只需要在四个选项中选一个正确答案, 现在要在四个选项中, 选出多个答案, 比以往来说, 要想准确的把正确答案全部选出来, 确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题, 第6题和第12题都体现了创新性。
第4题, 以古代知识为背景, 考察同学们的立体几何知识, 这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来, 对于这类题目也是屡见不鲜, 平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作, 如《九章算术》, 《孙子算经》等等, 通过对这些著作的了解, 再遇到这类题目时, 在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生, 关注社会热点。
以新冠疫情为背景, 考察了指数与对数函数, 这也启示我们, 在未来, 数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活, 平时我们对这些内容有所关注, 可以减少我们的焦虑感, 增强我们做题的自信心。
把握方向精准备考——2020年高考数学考试大纲解读及全国数学卷试题分析与高考备考策略
《通知》中列了“北京、天津、河北、辽宁、江苏、福建、
数学核心素养是学生在学习过程中，形成的适应 个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与 关键能力以及相关的情感、态度与价值观。
数学核心素养的各个方面既有独立性，又互相交 融，形成有机的整体。
高考改革的背景分析
《高中数学课程标准》（2017年版） 提出的高中数学核心素养
1. 数学抽象 4. 直观想象 2. 逻辑推理 5. 数学运算 3. 数学建模 6. 数据分析
新高考改革后，统考科目只有语、数、外三门。
在新高考中，对三个统考科目提出了新的功能定位和更 高的区分选拔要求。
现行高考只有数学文理分科，文理不分科对数学科提出 了艰巨的任务和严峻的挑战。
高考改革的背景分析
主要变化二：高中数学新课标 建立不分文理科的课程体系
明确提出了数学学科核心素养
2020年起，第二批和第三批高考综合改革 试点省份将开始新高考，数学学科将采用 文理不分科的新高考试卷。针对各地所使 用的课程方案设置的差异和教学内容范围 的不同，经研究决定在新高考过渡期内， 教育部考试中心命制基于旧课程和新课程 要求的两类新高考试卷。现就两类试卷的 考试范围进行具体说明。
第一类
考试范围以《普通高中数学课程标准（ 2017年版）》中必修课程与选择性必修课程 的内容要求为基础，适当调减部分内容。所 调减内容见上面的文件。因此，使用新教材 的省（市）在复习时，应对所调减内容作淡 化处理。
2020年新课标高考数学大纲解析
2020 年新课标高考数学大纲剖析由教育部考试中心编写的《 2014 年一般高等学校招生全国一致考试大纲》已新鲜出炉。
此次出炉的新考试大纲与昨年对照可否有变化 ?兰州一中、西北师大附中、兰大附中的高三老师对大纲进行解读为考生支招。
据介绍，今年《考试大纲》与昨年对照，变化较小，高考命题将保持牢固。
数学：提高解题正确性和速度兰大附中教师刘瑞平李虎【大纲剖析】2014 年新课标全国卷高考数学考试大纲和 2013 年《考试大纲》比较，在内容，能力要求，时间 ( 分值 ) ，题型 , 题量，包括考试说明后边的题型示例等都没有发生变化，考生可正常复习，不用注意增减知识点。
【备考建议】一是整合、牢固。
一轮复习方才结束，但二轮复习要注意回归课本，浓缩课本知识，进一步夯实基础，掌握方法，凝练思想，提高解题的正确性和速度。
二是查漏补缺，保强攻弱。
在二轮复习中，对自己的单薄环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，依照自己的本质作出合理的安排，每天进步一点。
三是提高运算能力，加强训练。
历年高考中运算题型都占很大比率，高考中的三角函数题，立体几何题，剖析几何题，函数与导数题，都要求很强的运算能力。
在二轮复习中必然要重视运算技巧，粗中有细，提高运算正确性和速度。
四是解题快慢结合，改错反思。
审题拟定解题方案要慢，不要急于解题，要合适地选择好的方案，多想少算，一旦方法选定，解题动作要快要自信，立足一次成功，平时要注意积累错误，特别是易错点纠正要认真，更重要的是搜寻错误原因，及时总结。
取人之长补己之短，把问题解决在高考从前。
五是重视和加强选择题的训练和研究。
对于选择题不仅需答案正确，还要优化解题过程，提高速度。
尽量灵便运用特值法、消除法、数形结合法、估计法等。
2020年高中数学新课标解读
2020年高中数学新课标解读2020年高中数学新课标继续延续了以往的教学体系，但也加入了一些新的内容和要求。
本文将对2020年高中数学新课标进行解读，主要从目标要求、教学内容、教学方法和评价方式四个方面进行分析。
首先，2020年高中数学新课标明确了学科目标和知识要求。
数学学科的结构分为数与代数、函数与方程、几何与图形、统计与概率四个大领域，强调了数学思想、方法、过程和应用。
学科目标旨在培养学生的数学素养和实际应用能力，提升学生的逻辑思维和问题解决能力。
同时，数学的知识要求更加注重数学概念的清晰和数学运算的准确性，注重培养学生的数学思想和数学语言表达能力。
其次，教学内容方面，2020年高中数学新课标加入了一些新颖的数学内容。
比如，引入了函数的概念和性质，要求学生能够运用函数的基本性质解决实际问题；加强了对几何的学习，要求学生能够利用几何知识解决实际问题；在统计与概率领域，加强了数据分析和统计推断的能力培养。
通过这些新颖的内容，旨在培养学生的抽象思维和实际应用能力。
第三，教学方法方面，2020年高中数学新课标提出了新的教学方法。
除了传统的讲授和习题训练，还强调了探究性学习和实践性学习的重要性。
教师应当引导学生主动探究数学问题，通过实际操作、实验和统计等方式进行实践性学习。
同时，教师也应当注重培养学生的问题解决能力，通过让学生解决实际问题来提升他们的数学思维。
最后，评价方式方面，2020年高中数学新课标强调了素质评价的重要性。
除了传统的考试成绩，还要求教师对学生的创新能力、团队协作能力、实践能力等方面进行评价。
通过多元化的评价方式，可以更全面地了解学生的数学素养和实际应用能力。
综上所述，2020年高中数学新课标在目标要求、教学内容、教学方法和评价方式等方面都有一些新的要求和要点。
通过引入新颖的数学内容，注重探究式学习和实践性学习，以及多元化的评价方式，旨在提升学生的数学思维和实际应用能力。
教师应当根据新课标要求，灵活运用教学手段，培养学生的数学素养和实际应用能力。
2020版高中数学新课标解读
2020版高中数学新课标解读在教育改革的浪潮中，2020版高中数学新课标的发布引起了广泛关注。
这一版本的课标不仅对数学学科的教学内容进行了调整，更对教学方式、评价标准等方面进行了全面的革新。
本文将对2020版高中数学新课标进行深入解读，以期为教育工作者和家长提供有益的参考。
一、背景与意义随着时代的发展，数学在日常生活和工作中的应用越来越广泛。
高中数学作为学生数学学习的重要阶段，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有至关重要的作用。
2020版高中数学新课标的发布，旨在适应新时代的需求，提高学生的数学素养，为学生的未来发展奠定坚实基础。
二、内容与特点1. 教学内容的调整与旧版课标相比，2020版高中数学新课标在教学内容上进行了大幅调整。
更加注重数学知识的实际应用，增加了数据分析、概率统计等方面的内容，同时对传统数学内容进行了优化整合。
这样的调整有利于培养学生的数学应用意识和实践能力。
2. 教学方式的变化新版课标强调学生的主体地位，提倡采用探究式、合作式等教学方式，激发学生的主动性和创造性。
同时，注重信息技术与数学教学的融合，利用现代教学手段提高教学效果。
3. 评价标准的完善在评价方面，新版课标强调过程性评价和结果性评价的有机结合，关注学生的个体差异和全面发展。
评价方式更加多样化，包括考试、作品评定、口头表达等，以全面反映学生的数学素养。
三、实施与建议1. 教师角色的转变面对新课标的要求，教师需要转变传统的教学观念，从知识的传授者转变为学生学习数学的引导者和合作者。
教师应不断提升自身的专业素养，以适应新课标的教学需求。
2. 课程资源的开发学校和教育部门应积极开发适应新版课标的课程资源，如教材、教具、网络资源等。
同时，鼓励教师根据实际情况，创造性地开发具有地方特色的课程资源。
3. 家校共育的加强家长是学生学习的重要支持者。
学校应加强与家长的沟通与合作，引导家长理解新课标的理念和要求，共同关注学生的数学学习进展，形成良好的家校共育氛围。
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2020年新课标高考数学大纲解析
由教育部考试中心编写的《2014年普通高等学校招生全国统一
考试大纲》已新鲜出炉。
此次出炉的新考试大纲与去年相比是否有
变化?兰州一中、西北师大附中、兰大附中的高三老师对大纲进行解
读为考生支招。
据介绍，今年《考试大纲》与去年相比，变化较小，高考命题将保持稳定。
数学：提高解题准确性和速度
兰大附中教师刘瑞平李虎
【大纲解析】
2014年新课标全国卷高考数学考试大纲和2013年《考试大纲》
对比，在内容，能力要求，时间(分值)，题型,题量，包括考试说明
后面的题型示例等都没有发生变化，考生可正常复习，不用注意增
减知识点。
【备考建议】
一是整合、巩固。
一轮复习刚刚结束，但二轮复习要注意回归课本，浓缩课本知识，进一步夯实基础，掌握方法，凝练思想，提高
解题的准确性和速度。
二是查漏补缺，保强攻弱。
在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，根据自己
的实际作出合理的安排，每天进步一点。
三是提高运算能力，加强训练。
历年高考中运算题型都占很大比例，高考中的三角函数题，立体几何题，解析几何题，函数与导数题，都要求很强的运算能力。
在二轮复习中一定要重视运算技巧，
粗中有细，提高运算准确性和速度。
四是解题快慢结合，改错反思。
审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，多想少算，一旦方法选定，解题
动作要快要自信，立足一次成功，平时要注意积累错误，特别是易
错点纠正要认真，更重要的是寻找错误原因，及时总结。
取人之长
补己之短，把问题解决在高考之前。
五是重视和加强选择题的训练和研究。
对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。
尽量灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。