线性代数练习册-答案
(完整版)线性代数习题集(带答案)(最新整理)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315 (B) 14325(C) 41523(D)243512.如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).n n j j j 21k 12j j j n (A)(B)(C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C) (D) 2-n )!2(-n )!1(-n 4.( ).=0001001001001000(A) 0 (B) (C) (D) 21-15.( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C) (D) 21-16.在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0(B) (C)(D) 21-17. 若,则 ( ).21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=3231333122212321121113111222222a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D) 4-2-8.若,则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B) (C) (D)ka ka -a k 2ak 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则().x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若,则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-011. 若,则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组有非零解.k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x ( )(A) (B)(C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n 2.在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3.四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4.若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=01001110101001116.行列式.=-0100002000010 nn 7.行列式.=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a 8.如果,则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211=---=3232333122222321121213111333333a a a a a a a a a a a a D 9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x 11.阶行列式.n =+++λλλ11111111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式,为D 中第四行元的代数余子式,5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 则.=+++44434241234A A A A 14.已知, D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b b a b c a c b a D =15.设行列式,为的代数余子式,则62211765144334321-==D jA 4)4,3,2,1(4=j a j ,.=+4241A A =+4443A A16.已知行列式,D 中第一行元的代数余子式的和为nn D10301002112531-=.17.齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18.若齐次线性方程组有非零解,则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k 三、计算题1.; 2.;cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222yx yx x y x y y x y x +++3.解方程; 4.;0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x5. (); na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ; 8.; n a b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++210001200000210001210001211..aa a a a a a a aD ---------=111100011000110001四、证明题1.设,证明:.1=abcd 011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a 2..3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3..))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=4..∏∑≤<≤=----=nj i i j n i i nnn nn nn n nna a a a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115.设两两不等,证明的充要条件是.c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk k n 3,2-≠k 7=k 三.计算题1.; 2. ;))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4.1,0,2-=x ∏-=-11)(n k kax 5.;6. ;)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. .)1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
线性代数练习册第三章部分答案(本)

线性代数练习册第三章部分答案(本)第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列,则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. (A )0; (B )1; (C )-1; (D )2.(A )18; (B )19; (C )20; (D )21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.(A )!n ; (B )!n -; (C )(1)!nn -; (D )(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A )-1; (B )1; (C )2; (D )3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解:3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解:44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解:414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ,证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明:设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ,则12n k k k k +++= ,且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ,则i i i k t n a +=-,所以,i i i t n a k =--,所以,排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-(另解:因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序,所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ,即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1.下列说法正确的是( C )A.n 元齐次线性方程组必有n 组解;B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解;C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解;D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B )A 。
当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解;B 。
当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解;C 。
若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题1.已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ,μ= 0 。
2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解:832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以,125,62D Dx y D D====- 2.123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解:213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----, 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3.21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解:132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=,2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4.12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解:2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以, 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1.已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -,12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解,k 为任意常数,则方程组0AX =的通解为( D )。
线性代数练习册第五章部分答案(本)

第五章 相似矩阵与二次型§5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-=2(1)(2)λλλ--2.设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 01020101A 的特征值,则=a 13.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 .4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅(共n 个)二、选择题1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D )(A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1A -有一个特征值等于 ( C )A 、2;B 、-2;C 、12; D 、-12; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B )A 、充分条件;B 、充要条件;C 、必要条件;D 、无关条件;三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭解:A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时,解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2.100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解:B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时,解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量.当232λλ==时,解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四、设α为n 维非零列向量,证明:α是矩阵Tαα的特征向量, 并求α对应的特征值. 证明:因为(),0T T ααααααα=≠;所以,α是矩阵Tαα的特征向量,α对应的特征值为T αα。
南昌工程学院线性代数习题册参考答案

第一部分 练习1.11. 5, 1,abc -;2.4,16;3.②④;4.(1)0;(2)4.练习1.21.-4,-24;2.(1)0;(2)160;(3)2(2)!n --;(4)211ni i=-∑;(5)1[(1)]()n a n b a b -+--;(6)1211(1)nn i ia a a a =+∑ . 练习1.311k =-或2k =; 2.2k ≠; 3.(1)232330;30M A =-=;(2)0;(3)-45; 4.132)(2+-=x x x f 练习2.11.1y x =+2.322133342-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3.34- 4. 1 5.略 6.010212131⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,202000010-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦练习2.21.BE AB CA D ⎡⎤⎢⎥++⎣⎦ 2.(1) 12(,,,)s Ab Ab Ab ,(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s TT b b b 21 练习2.31.D2.1n A -,A A3.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----202121602,274 4. 11A O O B --⎡⎤⎢⎥⎣⎦,11OB A O --⎡⎤⎢⎥⎣⎦5. 327212151500250037--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--011111110)(1E A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=221031X 练习2.41.初等变换2.(1)1513133312713A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, (2)11000100010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 3. 10221451332X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦练习2.51.相等2.(1)× (2)√ (3)× (4)√3.94λ= 4.3R = 练习3.11.()(,)R A R A b <, ()(,)R A R A b =,()(,)R A R A b n =<2.(1)无解, (2)无穷多解,121234100010211000x x c c x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(12,c c 为任意常数)3 .(1)110100110000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,(2)111001x c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(c 为任意常数)4. 12341704x x c x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦(c 为任意常数) 5当2k =-时,无解;当1k ≠且2k ≠-时,有唯一解;当1k =时,有无穷多解。
线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)

⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题(正确的打√,错误的打×)
1. 可逆矩阵一定是方阵.
(√)
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵,则 AB 可逆.
(√)
3. 设 A, B 均为可逆矩阵,则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
(X)
4. 若 A 可逆,则 AT 也可逆.
分析: |
r1 A|
↔
r2
− | B |,所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
,
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析:题中对可逆矩阵也要成立,所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13
线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx

A 组1.判别Q (厉)二{0 +勿亦|0,处0}是否为数域?解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x),/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴,所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ;(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解(1)用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥)十岭心)W(2)用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以,q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数,证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时,/(兀)能被g(x)整除?(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1;(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知,要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.(2)方法同上.先做多项式除法,所得余式为厂(兀)=加(2 — ”一nr )兀+ (1 + @ —卩一加〜),所以 m (2-p-/772) = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加[q = l 时,可以整除.7. 求/(兀)与gCr )的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ; (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ;(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解(1)用辗转相除法得到用等式写出來,就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・(2)同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法,可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%)):(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法,可以得到/(x) = g (A :) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而,(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法,可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而,(/⑴,g(Q) = x-1,并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法,可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式,求/,凤的值.解利用辗转相除法,可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意,/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式,所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ;=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤(兀)=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明:如果/(x)与g(x)不全为零,且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q),证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零,所以(/(x),g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明:如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合,那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式,即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明:(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知,(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式,又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零,所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀),有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零,证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则,若+ +1可约,有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式,从而它有有理根,但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式,设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况:① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾; ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况,即证.17. 求下列多项式的有理根: (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ;(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1;(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式,所以有理根必为整数根,且为-14的因数.-14的 因数有:±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知,g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知,兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地,加兀)的可能的有理根为:±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(]、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = -\是/z(x)的4重根,兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数,/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性,令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d,即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0,故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明:如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此,令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约?(1)土 (%) = F+1;(2)/;(X)= X4-8?+12X2+2;(3)人(x) = x" +『+1 ;(4)厶(无)=* + "; + 1,门为奇素数;(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./;(兀)的可能的有理根为:±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法,取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C;-2y2 + (Cf* + p)y-p,取素数p,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X),g(X),加兀)是实数域上的多项式,(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题是否成立?证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时,有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零,不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时,a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数;当加兀)工0时,因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式,所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式,于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题不成立.例如,设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x),/(X)H0,则g2(x)\f2(x);(2)若g2(x)|/;(x)/;(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀),/O)|gi(X),故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/;(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时,/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的?并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明:对于任意正整数斤,都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式,从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如,有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/;(兀)和g|(x)的最大公因式,即(/(x), g(x)) = (/;(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零,证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式,则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知,d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式,证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素,则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀), g(x) -c ad -be a ad -be g](x),/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/;(x), 0 — 1)|/;(兀)・T;®所以,^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/;(^3) + x/;(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/;(X')+/(F),故有y 窗)+ £/(郃)=0,[爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /;(l) = o,从而(兀—1)|久(兀),(x-1)|/;(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。
昆明理工大学线性代数第1章习题册答案

习题1.1 (逆序数、行列式定义及行列式性质)、求下列各排列的逆序数:⑴ 24351 ;解:T 2 4 3 5 1) = 1+2+1+1 = 5 ⑵ 13 425 ;解:T 1 3 4 2 5) = 0+1+1+0 = 2⑶ n(n -1)…2 1.解:T n(n -1)…2 1)=( n-1)+( n-2) + …+ 2 + 1 = n( n -1)/2 、写出五阶行列式中含有ana 23a 35及的所有项.解:五阶行列式中含有 耳£23玄35的项为-/P^ana 23a 35a 4p 4a 5p 5,其中P 4P 5为2、4两个数的排列,共有2! = 2个,所以五阶行列式中含有a 11a 23a 35的项分别是:ana 23a 35a 42a 54 = -ana 23a 35a 42354、 ana 23a 35a 42a 54 =ana 23a 35a 44a 52。
五阶行列式中含有az 24的项为(-1)耳煞Wb 12a 24a 3p 3a 4p 4a 5p 5,其中P 3P 4P 5为1、3、5三个数 的排列,共有3! = 6个,所以五阶行列式中含有a 12a 24的项分别是:、计算下列三阶行列式:2-10⑴34-2 ; 1 31解:D =2 4 1(-1)(-2) 10 3 3 -0 4 1 -(-1) 3 1-2 (-2) 3 = 251 -10 ⑵ 01 -1 . 1 23解:D =1 1 3 (-1) (-1) 1 0 0 2 -0 1 1 -(-1) 0 3-1 (-1) 2=6x y x + y 四、计算行列式yx + y x-1 24135 a 12a 24a 31a 43a 55=_a 12a 24a 31a 43a 55、 -「Ia 12a 24a 31a 45a 53 = a 12a 24a 31a 45a 53、 -1 24315a 12a24a 33a 41a 55-a 12a 24a 33a 41a 55、-1「a 12a 24a 33a 45a 51 = _a 12a 24a 33a 45a 51、\ 1812824935843851-a 12a 24a 35a 43a 51、i …1「 a 12a 24a 35a 41a 53 = _a12a 24a 35a 41a 53。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
.word资料. 第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式
(1)23112; (2)cossin1sincos;
(3)1111121221212222abababab1122112211221122aaabbabb 1221122112211221aaabbabb (4)1112111221222122aabbaabb 1122112212211221aabbaabb 2.计算下列三阶行列式 (1)10312126231;
(2)1112132223323300aaaaaaa112233112332aaaaaa1122332332aaaaa (3)acbbaccba3333abcabc 3.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)3214; (2)614235. 123t 112217t
(3)12322524212nnnn 当n为偶数时,2nk,排列为 143425212221223412kkkkkkkk
1122(1)(1)tkkk(1)(2)21kk 22(1)1313142nkkkkkkn .word资料.
其中11(1)(1)kk为1434252122kkkk的逆序数;k为21k与它前面数构成的逆序数;(1)(2)21kk为 23,25,,2(21)kkkk与它们前面数构成的逆序数的和;
113131kkkk为2k,22,24,,2kk
与它们前面数构成的逆序数的和. 当n为奇数时,21nk,排列为 142345212223225412kkkkkkkk1122tkk (1)21kk 2213323432nkkkkkkn
其中1122kk为1423452122kkkk的逆序数;(1)21kk为23,25,,2(21)kkkk与它们前面数构成的逆序数的
和;3323kkkk为2,22,,2kk与它们前面数构成的逆序数的和. 4.确定,ij,使6元排列2316ij为奇排列. 解:4,5ij,23162431655tijt为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321aa的项. 解:13213244aaaa;13213442aaaa 6.按定义计算下列行列式:
(1)0001002003004000(4321)(1)2424
(2)000000000000acdb(1342)(1)abcdabcd .word资料.
7. 求1230312()123122xxfxxxx的展开式中4x和3x的系数. 4x的系数为6;含3x的项只有(4231)(1)(3)3txxx,所以3x的系数为
(4231)(1)3(3)119t
行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式:
(1)200819861964200919871965201019881966;
解:32212008198619641110111rrrrD (2) 123123123111aaaaaaaaa; 解:2312323231(1)1111aaDaaaaaaa各列加到第一列后提取公因式 21312312331(1)01001rrrraaaaaa123(1)aaa (3)41232013201116011601110111031023500rrD 213314116116(1)1110273500818rrr20
.word资料.
(4)2112011101116112611121122111001000ccD 3141
101100
(1)26126116221223
cc.
(5)001001001D. 4
010100101D
32212DDDDD432234 2.证明:
(1)011cbadbadcdacbdcbaD11; 证明:将D的各列都加到最后一列再提出公因式有 1111(1)01111abcdabbcadbcDabcdcdabcddabcda11
11 (2)33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy.
证明:左式12axayazbybzbxaybzazbxaxbyaybzazbxaxbyDDazbxaxbyaybzazbxaxbyaybz .word资料.
311
rbrxyzxyzDaaybzazbxaxbyaaybzazbxaxbyazbxaxbyaybzazaxay
23223
rbrxyzxyzxyzaaybzazbxaxbyaayazaxayzxzxyzxyzxy
类似有1323322(1)rrrryzxxyzDbzxyyzxxyzzxy, 所以33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy 3.计算n阶行列式
(1)nD=abbbbabbbbabbbba...........................; 各行加到第一行后提取公因式有: 111...1...(1).....................nbabbDanbbbabbbba211111...100...0(1)00...0...............000...nrbrrbrabanbab
ab 1(1)nanbab
(2)12121212nnananDna12(0)naaa. 2112121112121212112100120000nnn
rrnrrrnrraannanaaanaaaaaaaaaa
.word资料.
1112221211nnnniianaiaaaaaaaa
4.利用德猛行列式计算: 1111123414916182764
D.
22223333
11111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234
克拉默法则部分习题答案 1.用克拉默法则解线性方程组
(1)122313223(0)0bxaxabcxbxbcabccxax;
解:002350baDcbabcca,212023500abaDbccbabca 22200350babDbcbabcca,2202500baabDcbcabcc
123,,xaxbxc
(2)123412341234123432125323348246642xxxxxxxxxxxxxxxx.
解:132125321734826164D,1132135323444822164D .word资料.
211212332034826264D,3131125321734426124D,132125338534846162D
12342,0,1,5xxxx 2.当为何值时,齐次线性方程组
0 0 0433221321xxxxxxx(1) 仅有零解;(2) 有非零解.
解:3410(1)(3)01D, (1)1且3时0D,该齐次线性方程组只有零解。 (2)要使该齐次线性方程组有非零解,则1或3时。经验证,1时方程组有非零解,1231,1xxx就是一组非零解. 3时方程组有非零解,
1233,1,3xxx就是一组非零解.
第一章自测题与答案
第一章自测题
一.判断题(每题3分,共15分)
1.1423142332413241000000000000aaaaaaaa. ( 错 ) 2.在四阶行列式4ijDa 中,23a的余子式23M与代数余子式23A互为相反数. ( 对 ) 3.1112131112132122232122233132333132331,1,aaabbbaaabbbaaabbb则1111121213132121222223233131323233330ababababababababab.(错)
4.1112132122233132331aaaaaaaaa,则1323331222321121311aaaaaaaaa. ( 错)