2016年山东省济南市历城区中考数学一模试卷及答案

2016年山东省济南市历城区中考数学一模试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）6÷（﹣3）的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣182．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140° D．40°3．（3分）2015年济南生产总值（GDP）达6280亿元，在全国排第21名，在山东排第3名．6280用科学记数法表示为（）A．62.8×102B．6.28×103C．0.628×104D．6.28×1024．（3分）下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．掷一次骰子，向上的一面是5点C．找到一个三角形，其内角和为360°D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2a2）3=﹣8a66．（3分）图中所示的几何体的左视图是（）A． B．C．D．7．（3分）化简（2x﹣3y）﹣3（4x﹣2y）结果为（）A．﹣10x﹣3y B．﹣10x+3y C．10x﹣9y D．10x+9y8．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如表：则这14件衬衫领口尺寸的众数与中位数分别是（ ）A ．39cm 、39cmB ．39cm 、39.5cmC ．39cm 、40cmD ．40cm 、40cm9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，0），B （﹣2，3），C （﹣3，1）．将△ABC 沿y 轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（2，3）C ．（4，1）D ．（0，2）10．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．（3分）已知一次函数y=kx +b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＞0B ．y ＜0C ．﹣2＜y ＜0D ．y ＜﹣212．（3分）如图，点O 是△ABC 的内心，∠A=62°，则∠BOC=（ ）A．59°B．31°C．124° D．121°13．（3分）直线y=﹣x﹣1与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，与x 轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣814．（3分）如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于点D，已知AB=10，AD=2，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．815．（3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）16．（3分）分解因式：a2﹣2a+1=．17．（3分）计算：﹣=．18．（3分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．19．（3分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AB=12，BC=5，则四边形BDFG的周长为．21．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC 交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=．三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．（7分）（1）解方程组：（2）解方程：=．23．（7分）（1）如图1，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC 交于点D，求AD的长．24．（8分）我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了名同学，其中C类女生有名，D类男生有名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．25．（8分）某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买1个足球和2个篮球共需210元．购买2个足球和6个篮球共需580元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据学校的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共100个．要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，这所中学最多可以购买多少个篮球？26．（9分）如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM 交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．27．（9分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：：3，求∠AED的度数；（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．28．（9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴负半轴交于点C．（1）若△ABD为等腰直角三角形，求此时抛物线的解析式；（2）a为何值时△ABC为等腰三角形？（3）在（1）的条件下，抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点（点M在点N 的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长．2016年山东省济南市历城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）6÷（﹣3）的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣18【解答】解：6÷（﹣3）=﹣2，故选：A．2．（3分）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140° D．40°【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故选：C．3．（3分）2015年济南生产总值（GDP）达6280亿元，在全国排第21名，在山东排第3名．6280用科学记数法表示为（）A．62.8×102B．6.28×103C．0.628×104D．6.28×102【解答】解：6280=6.28×103，故选：B．4．（3分）下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．掷一次骰子，向上的一面是5点C．找到一个三角形，其内角和为360°D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；B、掷一次骰子，向上的一面是5点可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；C、在找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意；D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．故选C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．a6÷a3=a2C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2a2）3=﹣8a6【解答】解：∵a2•a3=a5，故选项A错误；∵a6÷a3=a3，故选项B错误；∵4x2﹣3x2=x2，故选项C错误；∵（﹣2a2）3=﹣8a6，故选项D正确；故选D．6．（3分）图中所示的几何体的左视图是（）A． B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选：A ．7．（3分）化简（2x ﹣3y ）﹣3（4x ﹣2y ）结果为（ ）A ．﹣10x ﹣3yB ．﹣10x +3yC ．10x ﹣9yD ．10x +9y【解答】解：（2x ﹣3y ）﹣3（4x ﹣2y ）=2x ﹣3y ﹣12x +6y=﹣10x +3y ．故选B ．8．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如表：则这14件衬衫领口尺寸的众数与中位数分别是（ ）A ．39cm 、39cmB ．39cm 、39.5cm C．39cm 、40cm D ．40cm 、40cm【解答】解：同一尺寸最多的是39cm ，共有5件，所以，众数是39cm ，14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸是40cm ，所以中位数是40cm ．故选C9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，0），B （﹣2，3），C （﹣3，1）．将△ABC 沿y 轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（2，3）C ．（4，1）D ．（0，2）【解答】解：∵将△ABC 沿y 轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．10．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由第一个不等式得：x＞﹣1；由x+2≤3得：x≤1．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1．故选B．11．（3分）已知一次函数y=kx+b的图象（如图），当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．﹣2＜y＜0 D．y＜﹣2【解答】解：一次函数y=kx+b的图象经过点（0，﹣2），且函数值y随x的增大而增大，∴当x＜0时，y的取值范围是y＜﹣2．故选D．12．（3分）如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（）A．59°B．31°C．124° D．121°【解答】解：∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣62°=118°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×118°=59°，∴∠BOC=180°﹣59°=121°．故选D．13．（3分）直线y=﹣x﹣1与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，与x 轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图，对于y=﹣x﹣1，令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣2，∴B点坐标为（﹣2，0），∵CB⊥x轴，∴C点的横坐标为﹣2，对于y=，令x=﹣2，则y=﹣，∴C点坐标为（﹣2，﹣），∵AC=AB，AD⊥BC，∴DC=DB，∴D点坐标为（﹣2，﹣），∴A点的纵坐标为﹣，而点A在函数y=的图象上，把y=﹣代入y=得x=﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣），把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1得﹣=﹣×（﹣4）﹣1，∴k=﹣4．故选B．14．（3分）如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于点D，已知AB=10，AD=2，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：作∠A的平分线交CD于点E，过点E作EF⊥AC于点F，∴∠BAC=2∠DAE，∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠B，∴△ADE∽△BDC，∴，∴CD=4ED，∵AE平分∠DAC，ED⊥AB，EF⊥AC，∴AD=AF=2，DE=EF，设DE=a，∴CD=4a，EF=a，∴CE=3a，∴由勾股定理可求得：CF=2a，∵△CEF∽△CAD，∴，∴，∴a=，∴CF=4，∴AC=6，故选（B）15．（3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3 D．4【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴=，=，∵AM=PM=（OA﹣OP）=（4﹣2x）=2﹣x，即=，=，解得：BF=x，CM=﹣x，∴BF+CM=．故选A．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）16．（3分）分解因式：a2﹣2a+1=（a﹣1）2．【解答】解：a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=（a﹣1）2．故答案为：（a﹣1）2．17．（3分）计算：﹣=x+1．【解答】解：原式=．故答案为x+1．18．（3分）如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．19．（3分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为6．【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，∴AB=2EF=6，又∵AB=CD，∴CD=6．故答案为：6．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AB=12，BC=5，则四边形BDFG的周长为26．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG=GF=DF=BD，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，由勾股定理得：AC=13，∵BD为△ACB的中线，∴BD=AC=，∴BG=GF=DF=BD=，故四边形BDFG的周长=4GF=26．故答案为：26．21．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=．【解答】解：如图作OM∥BC交AB于M，连接EC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AO=OC，∵EO⊥AC，∴EA=EC，∵∠EBC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BOE=∠ECB，∵OM∥BC，AO=OC，∴AM=BM．OM=BC=2，∠AMO=∠ABC=90°，=6，∵S△AOE∴•AE•OM=6，∴AE=EC=6，∴cos∠BOE=cos∠ECB===．故答案为．三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．（7分）（1）解方程组：（2）解方程：=．【解答】解：（1），①+②得：3x=6，即x=2，把x=2代入①得：y=，则方程组的解为；（2）去分母得：2x=x+3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．23．（7分）（1）如图1，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC 交于点D，求AD的长．【解答】（1）证明：∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F，∴∠E=∠CFD=90°，∵AD是中线，∵BD=CD，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF；（2）解：∵AC是圆的切线，∴∠BAC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，由三角形面积公式得：BC×AD=AC×BC，××AD=×1×2，解得：AD=．24．（8分）我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了20名同学，其中C类女生有2名，D类男生有1名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【解答】解：（1）3÷15%=20，20×25%=5．女生：5﹣3=2，1﹣25%﹣50%﹣15%=10%，20×10%=2，男生：2﹣1=1，故答案为：20，2，1；（2）如图所示：（3）根据张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况：∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等，∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：P（一男一女）==．25．（8分）某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买1个足球和2个篮球共需210元．购买2个足球和6个篮球共需580元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据学校的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共100个．要求购买足球和篮球的总费用不超过6000元，这所中学最多可以购买多少个篮球？【解答】解：（1）设一个足球元、一个篮球为y元，根据题意得，解得：答：一个足球50元、一个篮球80元；（2）设可买篮球m个，则买足球（100﹣m）个，根据题意得：80m+50（100﹣m）≤6000，解得：m≤33，∵m为整数，∴m最大取33答：最多可以买33个篮球．26．（9分）如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM 交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）把A（3，2）代入得：k=6，∴反比例函数的解析式为：y=；把m=4代入反比例解析式得：n==1.5，∴M（4，1.5），设直线AM的解析式为：y=kx+b；根据题意得：，解得：k=﹣0.5，b=3.5，∴直线AM的解析式为：y=﹣0.5x+3.5；（2）根据题意得：P（m，0），M（m，），B（0，2），设直线BP的解析式为：y=kx+b，把点B（0，2），P（m，0）代入得：，解得：k=﹣；设直线AM的解析式为：y=ax+c，把点A（3，2），M（m，）代入得：，解得a=﹣，∵k=a=﹣，∴直线BP与直线AM的位置关系是BP∥AM，∵AB∥PQ，∴四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，理由为：若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，∴m2+22=9，即m2=5，此时m=，则在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形．27．（9分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：：3，求∠AED的度数；（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．【解答】解：（1）CE=AF；证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°∴∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴CE=AF，（2）设DE=k，∵DE：AE：CE=1：：3∴AE=k，CE=AF=3k，∴EF=k，∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，即AE2+EF2=AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠BEF=90°∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；（3）∵M是AB中点，∴MA=AB=AD，∵AB∥CD，∴=，在Rt△DAM中，DM===2，∴DO=，∵OF=，∴DF=，∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴，∴，∴DN=，∴CN=CD﹣DN=4﹣=．28．（9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴负半轴交于点C．（1）若△ABD为等腰直角三角形，求此时抛物线的解析式；（2）a为何值时△ABC为等腰三角形？（3）在（1）的条件下，抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点（点M在点N 的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长．【解答】解：（1）如图1，∵△ABD是等腰直角三角形，∴过点D作直线l∥y轴，直线l与x轴交于点I．∴AI=ID=IB=AB=2，∴D（1，﹣2），∴设y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，∴a﹣2a﹣3a=﹣2，∴a=，∴y=x2﹣x﹣，（2）∵△ABC为等腰三角形，∴①AB=BC=4，∴OC==，∴﹣3a=﹣，∴a=，②AB=AC=4，∴OC==，∴C（0，﹣），∴﹣3a=﹣，∴a=．（3）如图2，∵抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点，∴，∴，，∴M（2，﹣），N（，﹣）．作点M关于对称轴l的对称点G，点N关于x轴的对称点H，连接GH交l于E，x轴于F，∴EM=EG，FN=FH∴点P运动的总路径为GH，∵G（0，﹣），H（，），∴GH=．。