最新高三理科数学一轮单元卷：第二十一单元 统计、统计案例、概率 A卷
备战高考数学一轮复习第12单元统计、统计案例与概率单元训练(A卷,文,含解析)
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第12单元 统计、统计案例与概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识A “谢谢惠顾”、标识B “再来一瓶”以及标识C “品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,A B C 标识的饮料数量之比为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ） A ．39人B ．49人C ．59人D ．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,,599,600⋅⋅⋅从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）． 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1y x =-+，则a 的值等于（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ）A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____． 16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈， 根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度， 学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m ，并将评分不超过m 、超过m 分别视为“基本满意”、 “非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意? ②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2000.0100.0050.0016.6357.87910.828P K k k ≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程50.8169.7y x=+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae=的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bxy ae=．（a精确到个位，b精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n nv w v w v w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()ni iiniiw w v vw vv vβαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第12单元 统计、统计案例与概率 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110:，1120:，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110:，1120:，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适， 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．故选A ． 6．【答案】 A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85， 故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确； 甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误； 甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确； 故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x ++++===，1210733255a ay +++++==，()x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y \=-?=，则32=7.45a+，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是14，故选C ．12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954y x =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=， 同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=， 又，∴21222ππMON S =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35．【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）． （2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ， 则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6．【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==． （2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=， 所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i iix y x yb xx--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-． （2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈．其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大， 最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=． 答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握． 【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725， 又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35．【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2， 选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )， (B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析． 【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。
2021届全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷：专题13 统计、统计案例与概率(A卷)(含解析)
2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编 从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（ ） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（ ） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”． 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈， 根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率 答 案+解 析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578， 则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦， 故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85， 故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确； 甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误； 甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确； 故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种， 概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=， 同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=， 又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35． 【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）． （2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ， 则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6． 【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==． （2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=， 所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-． （2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈． 其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大， 最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=． 答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握． 【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725， 又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35． 【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2， 选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析． 【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。
高考数学一轮复习《统计》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《统计》练习题（含答案）一、单选题1．已知条件p ：11x -<<，q ：x >m ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．(],1-∞-2．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ） A ．11B ．15C ．25D ．373．一组数据的方差为()20S S ≥，将该组数据都乘以2，所得到的一组新数据的标准差为（ ）A ．22S B ．SC ．2SD ．2S4．甲、乙两所学校的男女生比例如图所示，已知甲校学生总数为1500，乙校学生总数为1000，下列结论错误的是（ ）A ．甲校女生比乙校女生多B ．乙校男生比甲校男生少C ．乙校女生比甲校男生少D ．甲校女生比乙校男生少5．某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本，其中高一抽取40人，高二抽取30人，则该校高三学生人数为（ ） A ．600B ．800C ．900D ．12006．设某高中的男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,，，，，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8580.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该高中某男生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该高中某男生身高为170cm ，则可断定其体重必为63.79kg 7．x 是12100,,,x x x 的平均值，5为4120,,,x x x 的平均值，10为4142100,,,x x x 的平均值，则x =（ ） A ．8B ．9C ．15D ．1528．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.769．某样本点)()(,1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的经验回归方程为ˆ0.50.7yx =+，当8x =时，y 的实际值为4.5，则当8x =时，预测值与实际值的差值为（ ）． A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．若数据9，m ，6，n ，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，21m -，17，21n -的平均数和方差分别为（ ） A ．13，4B ．14，4C ．13，8D ．14，811．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）（1）中位数为3，众数为2 （2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4 （4）均值为2 A ．（1）（3）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为20，则抽取的样本容量为______.14．已知具有线性相关的变量x 、y ，设其样本点为()(1,2,,,8)i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx b =+，若128(6,2)OA OA OA +++=(O 为原点），则b =_______.15．已知一组数据按顺序排列为：12，16，20，n ，46，51，58，60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第50百分位数相等，则n 的值为___________.16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+，其中20b =-，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为__________件．三、解答题17．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h ）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(]12,16内的人数为92．(1)求n 的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且在(]16,20，(]20,24内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．18．由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息：（1）这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生有多少人？（2）估计这40位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中位数分别是多少？（精确到0.1）（3）如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？19．省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实全国、全省教育大会部署，坚持社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进育人方式变革，引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观，切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担，遵循教育教学规律，促进中小学生健康成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．从某市抽取1000名一年级小学生进行调查，统计他们每周做作业的时长（单位：小时），根据结果绘制的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①为了进一步了解，现采用分层抽样的方法从[8,10]和[10,12]组中抽取50名学生，则两组各抽取多少人？②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言，求[8,10]小组中恰有2人发言的概率？20．为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在[)15,20的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望．21．道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示： 成绩/分 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100人数/个 44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；(2)假设处于[)20,40的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数； (3)以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在[)80,100间的数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X .22．某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x 的值；(2)估计这组数据的平均数；(3)若成绩在[)50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在[)50,60内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.23．某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图及频率折线图．24．某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率，进行了如下试验：一是对该农作物的10000粒种子进行培育，发现有20粒种子未发芽；二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中，各试验田种植的种子数及未发芽数如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程； （2）在上述试验下，若以1nN-表示该农作物种子的培育有效率，其中n 为进行培育的10000粒种子的未发芽数，N 为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数，请估计该农作物种子的培育有效率（结果保留3位有效数字）．参考公式；在回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-参考答案1．D2．A3．D4．D5．C6．D7．A8．D9．B10．C11．A12．D 13．7014．18-##-0.12515．34 16．6017．（1）由已知可得，0.25(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a =-+++=． 则0.1150492n ⨯⨯=，得922000.11504n ==⨯．（2）设中位数为x ，则0.050040.01254(16)0.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=，得13.83x ≈．（3）按照分层抽样的方法从(16，20]内选取的人数为0.050540.05000.0125⨯=+，从(20，24]内选取的人数为0.0125510.05000.0125⨯=+．记二等奖的4人分别为a ，b ，c ，d ，一等奖的1人为A ，事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．从这5人中随机抽取2人的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a A ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b A ，(,)c d ，(,)c A ，(,)d A ，共10种，其中2人均是二等奖的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种， 由古典概型的概率计算公式得()63105P E ==． 18．（1）因为频数=样本容量⨯频率，一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35，所以一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数为400.3514⨯=（人） （2）40位同学的线上学习时间估计值为：0.1569.90.2589.90.35109.90.20129.90.05149.9104.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，设在99.9~119.9靠近左侧长度为x ,则0.15+0.25+0.350.5x =解得0.27x ≈； 所以中位数估计值是99.9+0.27=100.17100.2≈（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理. 19．（1）设抽查学生做作业的平均时长为x ，中位数为y ，0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=，解得203y =即抽查学生做作业的平均时长为6.8，中位数为203． （2）①[8,10]组的人数为10000.15150⨯=人，设抽取的人数为a ，[]10,12组的人数为10000.1100⨯=人， 设抽取的人数为b ，则50150100250a b ==，解得30a =，20b = 所以在[8,10]和[]10,12两组中分别抽取30人和20人，②再抽取5人，其中[8,10]和[]10,12两组中分别抽取3人和2人，将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ，将[]10,12中的标记为1B ，2B ． 设事件C 表示从[8,10]小组中恰好抽取2人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况；其中在[8,10]中恰好抽取2人有3种，则3()10P C =． 20．（1）由题意得，()20.040.080.0651a +++⨯=，解得0.01a =，故所求平均数为17.50.427.50.332.50.0537.50.0524.25⨯0.2+22.5⨯+⨯+⨯++=（元）； （2）由题意得，消费在[)15,20，[)20,25的高中女生分别有3人和6人，故X 的可能取值为0，1，2，3，∴()6033395021C C P X C ===，()21633915128C C P X C ===，()1263393214C C P X C ===，()0363391384C C P X C ===， 故X 的分布列为：∴()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 故答案为：1. 21．(1)估计这次测试的平均分为1043045010702290106250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）；设这次测试的中位数为0x ，显然()060,80x ∈，则060441022200.550x -+++⋅=，解得066x ≈（分）. 即估计这次测试的中位数为66.(2)由于5010%5⨯=，所以表中成绩的10%分位数为2026232+=. (3)X 所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在[)80,100间的概率为101505=. 所以()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21341481C 55125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()122341122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31135125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为故X 的数学期望()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．(1)由频率分布直方图得()0.0050.0350.0300.010101x ++++⨯=，解得0.020x =， 所以图中x 的值是0.020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数： (550.005650.020750.03585x =⨯+⨯+⨯+⨯)0.030950.0101077+⨯⨯=， 所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在[)50,60内的人数为0. 005101005⨯⨯=(人)，其中男生人数为540%2⨯=(人)，则女生人数为3人，记2名男生分别为1A ，2A ，3名女生分别为1B ，2B ，3B ，从数学成绩在[)50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：121112132122A A A B A B A B A B A B ,,,,,,23121323A B B B B B B B ,,,，共10个不同结果，它们等可能， 其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种结果， 所以2人中恰有1名女生的概率为为63105=. 23．（1）解：频率分布表如下：（2） 频率直方图及频率折线图如图所示．24． (1)依题意，3004005006007005005x ++++==，2466755y ++++==， 513002400450066006700713700ii i x y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑， 52222221(34567)100001350000i i x==++++⋅=∑， 于是得512252113700550051200ˆ0.01213500005500100000i ii i i x y nx y b x nx==-⋅-⋅⋅====-⋅-∑∑，ˆˆ50.0125001ay bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.0121yx =-； (2)由(1)知，估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数N 约为：ˆ0.012100001119y =⨯-=，而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽，即20n =， 所以该农作物种子的培育有效率为209910832119119-=≈。
2021届高考数学(理)一轮专题重组卷：第一部分专题二十统计、统计案例
专题二十统计、统计案例本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·陕西榆林二中模拟)某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()A．①系统抽样，②分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样答案 C解析由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.2．(2019·湖南六校联考)对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析甲同学的成绩折线图有较好的对称性，最高130分，平均成绩低于130分，①错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内，②正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，具有正相关，③正确；乙同学在连续九次测验中第四次，第七次成绩较上一次有退步，故④不正确，故选C.3．(2019·贵阳监测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18 C．20 D．25答案 A解析根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4．(2019·成都市高三第二次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C.5．(2019·上海市复旦附中模拟)一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是()A．5800 B．6000 C．6200 D．6400答案 D解析∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，∴当另外两名员工的工资都不超过5300时，中位数为5300＋55002＝5400，当另外两名员工的工资都不小于6500时，中位数为6100＋65002＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.故选D.6．(2019·河南省名校联考)如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．腾讯与百度的访问量所占比例之和B．网易与搜狗的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和答案 B解析由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%，故选B.7．(2019·济南模拟)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍答案 C解析2018年食品消费占0.2,2014年食品消费占0.4，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A错误.2018年教育医疗消费占0.2,2014年教育医疗消费占0.2，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年教育医疗消费额是2014年的两倍，故B错误.2018年休闲旅游消费占0.25,2014年休闲旅游消费占0.1，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年休闲旅游的消费额是2014年的五倍，故C正确.2018年生活用品消费占0.3,2014年生活用品消费占0.15，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年生活用品消费额是2014年的四倍，故D错误．故选C.8．(2019·日照二模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案 D解析由题图易知互联网行业从业人员90后占56%，A正确；仅90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176超过20%，B正确；90后从事运营岗位的人数占总人数比为0.56×0.17＝0.0952>0.03，C正确；90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176<0.41，而题中未给出80后从事互联网行业岗位分布情况，故D不一定正确．9．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.10．(2019·新疆高三一模)在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：“该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地总体均值为3，中位数为4B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0C ．丙地中位数为3，众数为3D ．丁地总体均值为2，总体方差为3答案 D解析 由于平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，A 不正确；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，B 不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，C 不正确；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，D 正确．故选D.11．(2019·沈阳市东北育才学校高三一模)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲、x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A.x －甲<x －乙，σ甲<σ乙B.x －甲<x －乙，σ甲>σ乙C.x －甲>x －乙，σ甲<σ乙D.x －甲>x －乙，σ甲>σ乙答案 C解析 甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，由折线图得x －甲>x －乙，σ甲<σ乙．故选C.12．(2019·南阳市一中第九次目标考试)为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是()A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果答案 B解析由题图可得服用药物A的患病人数少于服用药物B的患病人数，而服用药物A的未患病人数多于服用药物B的未患病人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·江苏省海安高级中学月考)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．答案80解析由频率分布直方图得，时速在区间[40,60)内的汽车的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∴时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．14．(2019·湖北名校4月模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．答案32解析样本间隔为23－14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为23＋9＝32.15．(2019·兰州二模)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取________人．答案15解析40～50岁年龄段应抽取50×30%＝15人．16．(2019·北京模拟)如图是某地区2002年至2018年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.利用这两个模型，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值分别为________，________；并且可以判断利用模型________得到的预测值更可靠．答案226.1(亿元)256.5(亿元)②^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)，解析①y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)；②y当年份为2018时，对于模型①：t＝17，y^＝－30.4＋13.5×17＝199.1(亿元)，对于模型②：t＝7，y^＝99＋17.5×7＝221.5(亿元)，所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择模型②得到的预测值更可靠．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·徐州联考)某人在甲、乙两社区各经营一个小商品店，他记录了连续25天的营业额(单位：拾元)，结果用茎叶图表示如下图．(1)根据茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论；(2)若从两店营业额超过3300元的天中随机抽取4天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X，求X的均值．解(1)由茎叶图可以得到如下结论：①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数．②甲店营业额较乙店营业额更分散．(或：乙店营业额较甲店营业额更集中(稳定)．甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大)③甲店营业额的中位数为3070元，乙店营业额的中位数为3180元．④乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲店营业额除一个特殊值(3520)外，也大致对称，其分布较均匀．(2)由茎叶图可知，两店营业额超过3300元的共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天．由题意得X可能的取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 36C 14C 410＝821， P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 16C 34C 410＝435， P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210. 于是，X 的概率分布列如下：X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210故X 的均值E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝5635.18．(本小题满分12分)(2019·广西联考)某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y (单位：万件)之间的关系如表：x1 2 3 4 y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据(1)中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数加以说明；(3)建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？参考数据： ∑4i ＝1 (y i －y －)2≈32.7，5≈2.24，∑4i ＝1x i y i ＝418. 参考公式：相关系数r ＝∑n i ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑n i ＝1 (x i －x －)2∑n i ＝1 (y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b^x －.解 (1)作出的散点图如图：(2)由(1)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得，x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418,∑4i ＝1(y i －y －)2≈32.7，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －＝418－4×52×692＝73，∑4i ＝1(x i －x －)2＝∑4i ＝1x 2i －4x －2＝30－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5≈2.24，∴r ＝∑4i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑4i ＝1(x i －x －)2∑4i ＝1(y i －y －)2≈732.24×32.7≈0.9966.∵y 与x 的相关系数近似为0.9966，说明y 与x 的线性相关程度相当强， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(3)由(2)知x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418，∑4i ＝1x 2i ＝30，∴b^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y－∑4i ＝1x 2i －4x－2＝735，a ^＝y －－b ^x －＝692－735×52＝－2.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝735x －2， 当x ＝5时，y ^＝735×5－2＝71， ∴预测第5年的销售量约为71万件．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15， 故a ＝0.35，b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.20．(本小题满分12分)(2019·晋江模拟)中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道．某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查．现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计(1)0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行座谈．设抽到的消费者中40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)临界值表：P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828解0.3)＝120人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下 75 45 120 40岁或40岁以上25 55 80 总计1001002002K 2＝200×(75×55－25×45)2120×80×100×100＝754＝18.75>10.828.故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关．(2)从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者中抽取5名进行座谈，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X ，则X 的可能取值为3,4,5且P (X ＝3)＝C 22C 36C 58＝2056＝514，P (X ＝4)＝C 12C 46C 58＝3056＝1528，P (X ＝5)＝C 02C 56C 58＝656＝328，则X 的分布列为X 3 4 5 P5141528328E (X )＝3×514＋4×1528＋5×328＝154＝3.75. 故X 的数学期望为3.75.21．(本小题满分12分)(2019·昆明模拟)某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位：万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位：个)关于x 的回归方程z ^＝－2x ＋30.(2)试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县养殖山羊的数量与第1年相比减少了？参考统计量：∑9i ＝1(x i －x －)2＝60，∑9i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝12.附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u －)(v i －v －)∑ni ＝1(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －.解 (1)设y 关于x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋99＝5，y －＝1.2＋1.5＋1.6＋1.6＋1.8＋2.5＋2.5＋2.6＋2.79＝2，b^＝∑9i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑9i ＝1 (x i －x －)2＝1260＝0.2，a^＝2－0.2×5＝1. 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.2x ＋1.(2)估计第x 年山羊养殖的只数为z ^·y ^＝(0.2x ＋1)·(－2x ＋30)＝－0.4x 2＋4x ＋30. 令x ＝1，则－0.4＋4＋30＝33.6， 故该县第一年养殖山羊约33.6万只． 由题意，得－0.4x 2＋4x ＋30<33.6，整理得 (x －9)(x －1)>0，解得x >9或x <1(舍去)，所以到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了．22．(本小题满分12分)(2019·北京东城一模)改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增长率(%)．(1)从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；(2)从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)解(1)设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故P(A)＝410＝25.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且2007年至2016年10年中有6年年增长率没超过20%，所以P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.所以X的分布列为X 0123P 1612310130故X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019届高三理科数学一轮单元卷：第二十一单元统计、统计案例、概率A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十一单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19B．20C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48 ，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3B．16C．38D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取51袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是（）A ．6，12，18，24，30C ．2，12，23，35，48B ．2，4，8，16，32D ．7，17，27，37，475．某校高二（16）班共有 50 人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在100,120内的学生人数为（ ）A ．36B ．25C ．22D ．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品 中抽取（）件．A ．24B ．18C ．12D ．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A ． 99%B ． 97.5%C ． 95%D ． 90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如 2下表所示：若 x ， y 线性相关，线性回归方程为 y 0.6 x a ，估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为（）A ． 7.2 万盒B ． 7.6 万盒C ． 7.8 万盒D ． 8.6 万盒9．现有大小形状完全相同的 4 个小球，其中红球有 2 个，白球与蓝球各 1 个，将这 4 个小球排成一 排，则中间 2 个小球不都是红球的概率为（）A ．1 6B ．1 3C ．5 6D ．2 310．“ rand 0 ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次 rand 0 函数，就产生一个在区间0,1内的随机数．我们产生 n 个样本点 Pa ,b ，其中a 2 rand 0 1 ，b 2 rand 0 1 ．在这 n 个样本点中，满足 a 2b 2rand 0 的样本点的个数为 m ，当 n 足够大时，可估算圆周率 的近似值为（）A ．4m nB ．m4nC ．4n mD ．n4m11．下面给出的是某校高二（2）班 50 名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供 的信息，则下列结论正确的是（）A ．成绩是 50 分或 100 分的人数是 0 C ．成绩为 60 分的频率为 0.18B ．成绩为 75 分的人数为 20D ．成绩落在 60—80 分的人数为 2912．如果一组数 x ， x ，…， x 的平均数是 x ，方差是 s12n3x2 的平均数和方差分别是（ ）n2，则另一组数3 x2 ， 3x2 ，，12A ． 3x ， s 2B ． 3x 2 ， s 2C ． 3x 2 ， 3s2D ． 3x2 ， 3s 22 6s 23二．填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为 400 的样本进行检测，如图是检 测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25,30 的一为等品，在区间20,25和30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线 方程为 y 0.95 x 0.15 ．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数 x (天)繁殖个数 y (千个)324354657c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博 拉病毒疫苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式： K ＝n ad bc 2a bc da cb d16．已知如图所示的矩形，长为 12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆，数得落在阴影部分 的黄豆为 600 颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．42三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表）和使用了节水龙头50日用水量0,0.10.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，0.10.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6频数1513101655（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？6附：K 2n ad bca b c d a cb dP K 2k 0.0500.0100.001，|k 3.8416.63510.828．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：bt t y yi ii 1t t2i，aˆy bt．i 121．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．2ˆnnˆ722．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：时间点甲游乐场乙游乐场8 点101310 点3412 点12314 点6216 点12618 点2019（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为x，y（i 1，2，3，4，5，6），现从i i该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足x y的概率．i i一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第二十一单元统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】设2名男同学为A，A，3名女同学为B，B，B，从以上5名同学中任选2人总共有A A，1 2 1 2 3 1 2A B ，A B，A B，A B，A B，A B，B B，B B，B B共10种可能，选中的2人都是女同学 11 12 13 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3的情况共有B B，B B，B B共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P1 2 1 3 2 33100.3，故选D．2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08 ，09，12，15，18，20 ，20，23，23，28，31，32，根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B．3．【答案】C8【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4 个个体的编号为38，故选C．4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D符合，故选D．5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：0.015a 0.030a 0.0100.005101，解得a 0.020，所以在100,120之间的概率为P 0.0300.020100.5，所以在100,120之间人数为500.525人，故选B．6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为3003，20040030010010根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取60 7．【答案】A31018，故选B．【解析】∵K2168（6838-2042）288801105811.377，且11.377＞6.635．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A．8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：x 1 2 34555 6 6 83，y556，即样本中心为3,6，代入回归直线yˆ0.6x aˆ，解得aˆ 4.2，即yˆ0.6x 4.2令x 6，解得yˆ0.66 4.27.8万盒，故选C．9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A，蓝球为B，红球为C C，则不同的排列情况为ABCC，ACBC，ACCB，B ACC，B CAC ，B CCA ，C ABC，C ACB，C BCA，CBAC，C CAB，C CBA共12种情况，其中红球在中间的有ACCB，BCCA两种情况，所以红球都在中间的概率为21，126所以中间两个小球不都是红球的概率为1 915，故选C．6610．【答案】A【解析】 x 2y 21 发生的概率为 121，在这 n 个样本点中，满足 a4 42b 2rand 0 的样本点的 个数为 m ，当 n 足够大时，可估算圆周率 的近似值为， m 4m ，即n 4 n，故选 A ． 11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故 A ，B ，C 选项是错误的，对于 D 选项，60—80 的人数为 500.018 0.04 1029 ，故选 D ．12．【答案】C2【解析】∵ x ， x ，…， x 的平均数是 x ，方差是 s1 2 n∴ 3x2 ， 3x2 ，…， 3x2 的平均数是 3x 2 ，方差是12n32s23s ，故选 C ．二．填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间10,15，15,20和35,40内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为0.0125 0.0250 0.012550.25 ，∴样本中三等品的件数为 400 0.25 100 ．14．【答案】9【解析】根据上表的数据，根据平均数的公式可得： x3 4 5 6 7 2 3 4 5 c 14 c5 ， y5 5 5，把x ，y代入回归直线方程，得 14 c 50.95 5 0.15，解得 c 9 ．15．【答案】 5%【解析】由题意，计算观测值 K2＝100103020 40 50 50 30 704.762 3.841 ，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5% 的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗 有关”．故答案为 5% ．16．【答案】362210S600【解析】，所以S 36．601000三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}；（ii）P（M ）521．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M ）521．18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）47.45m 3．【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为110.20.110.1 2.60.120.050.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x 11500.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.48．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x 21500.0510.1550.25130.3510 0.4516 0.5550.35．估计使用节水龙头后，一年可节省水0.480.3536547.45m 3．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知m 列联表如下：7981280 ．超过m不超过m12第一种生产方式 第二种生产方式155515（3）由于 K240 15155 52 10 6.635 ，所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异． 20 20 20 2020．【答案】（1） y ˆ10t 46 ；（2）预测该商城 8 月份的销售额为 126 万元．【解析】（1）由所给数据计算得 t171234 5 6 7 4，y1 75866 72 88 96 104 11886 ，t tii 129 4 1 0 1 4 9 28 ，t t y y 32822011402110218332280iii 1bttii 1tiyyit 2280 2810 ， a ˆy bt 86 10 4 46 ．i 1所求回归方程为 y ˆ10t 46 ．（2）由（1）知，b 10 0 ，故前 7 个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加 10 万．将 t 8 ，代入（1）中的回归方程， y ˆ10 8 46 126 ．故预测该商城 8 月份的销售额为 126 万元．21．【答案】（1） 0.752 万元， 0.76 万元；（2）2 7． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.55 0.15 0.65 0.20 0.75 0.25 0.85 0.30 0.95 0.08 1.05 0.02 0.752 （万元），设所求中位数为 x 万元，由 1.5 2.0 0.1x 0.7 2.50.5 ，解得 x 0.76 ，所以该 100 名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752 万元， 0.76 万元．（2）由题意可知，前 4 组分别应抽取 3 人，4 人，5 人，6 人，nn ˆn nˆˆ在前2组所选取的人中，第一组的记为x，y，z，第二组的记为a，b，c，d，所有情况有x,y，13x,z ，x,a ，x,b ，x,c ，x,d ，y,z ，y,a ，y,b ，y,c ，y,d ，z,a ，z,b ，z,c，z,d ，a,b ，a,c ，a,d ，b,c ，b,d ，c,d共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有a,b ，a,c ，a,d ，b,c ，b,d ，c,d共6种，故这2人都是来自第二组的概率P 62．2171822．【答案】（1）；（2）．315【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6 个时间点，所以所求概率为P 21．63（2）依题意，x y有4个时间点，记为A，B，C，D；x y有2个时间点，记为a，b；i i i i故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为A，B ，A，C ，A，D ，A，a ，A，b ，B，C ，B，D ，A，B ，B，b ，C，D ，C，a ，C，b ，D，a ，D，b ，a，b共15种，其中满足条件的为A，a ，A，b ，A，B ，B，b ，C，a ，C，b ，D，a ，D，b共8种，故所求概率P815．14。
高中数学第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布练习含解析新人教A版必修
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布A级基础巩固一、选择题1．没有信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是( )A．总体密度曲线B．茎叶图C．频率分布折线图D．频率分布直方图答案：B2．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )B．C．D．解析：数据总个数n＝10，又落在区间[22，30)内的数据个数为4，故所求的频率为410＝0.4.答案：B3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．下图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可得出将被处罚的汽车数为( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆解析：车速大于或等于70 km/h的汽车数为×10×300＝60(辆)．答案：C4．一个社会调查机构就某地区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000)(单位：元)月收入段应抽出的人数为( )A．5 B．25 C．50 D．2 500解析：组距＝500，在[2 500，3 000)的频率＝0.000 5×500＝，样本数为100，则在[2 500，3 000)内应抽100×＝25(人)．答案：B5．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，仅知道后5组的频数和为62.设视力在到之间的学生数为a，最大频率为，则a的值为( )A．27 B．48 C．54 D．64解析：由已知，视力在到之间的学生数为100×＝32，又视力在到之间的频率为1－＋0.5)×－62100＝，所以视力在到之间的学生数为100×＝22，所以视力在到之间的学生数a ＝32＋22＝54.答案：C二、填空题6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组/分频数频率[80，90)①②[90，100)[100，110)[110，120)36[120，130)[130，140)12③[140，150]合计④根据上面的频率分布表，可以①处的数值为________，②处的数值为________． 解析：由位于[110，120)的频数为36，频率＝36n＝，得样本容量n ＝120，所以[130，140)的频率＝12120＝，②处的数值＝1－－－－－－＝； ①处的数值为×120＝3. 答案：37．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数应为________．解析：所有小矩形的面积和等于10×＋＋0.020＋a ＋0.035)＝1，解得a ＝；100名同学中，身高在[120，130)内的学生数是10××100＝30，身高在[130，140)内的学生数是10××100＝20，身高在[140，150]内的学生数是10××100＝10，则三组内的总学生数是30＋20＋10＝60，抽样比是1860＝310，所以身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为10×310＝3.答案： 38．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15，25)内的人数为________．答案：60三、解答题9．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00－10：00间各自的点击量，得到如图所示的茎叶图．(1)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ (2)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？请说明理由．解：(1)甲网站点击量在[10，40]内的有17，20，38，32，共有4天，则频率为414＝27. (2)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．10．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ 解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.(2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.B 级 能力提升1．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18解析：志愿者的总人数为20（＋）×1＝50，所以第三组的人数为50×＝18，有疗效的人数为18－6＝12.答案：C2．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．解析：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在区间[139，151]上的运动员恰有4组，则运动员人数为4.答案：43．从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分): [40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70，80)分的学生所占总体的百分比．解：(1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40，50)2[50，60)3[60，70)10[70，80)15[80，90)12[90，100]8合计50(2)由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图：(3)由频率分布直方图，可估计成绩在[70，80)分的学生所占总体的百分比是×10＝＝30%.。
高三文科数学一轮单元卷：第二十一单元 统计概率综合 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）第二十一单元统计概率综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如下图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．D．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个．2．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆．全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结東，一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）A．411B．712C．511D．11123．把[]0,1内的均匀随机数x 分别转化为[]0,4和[]4,1-内的均匀随机数1y ，2y ，需实施的变换分别为（ ） A ．14y x =-，254y x =- B ．144y x =-，243y x =+ C ．14y x =，254y x =-D ．14y x =，243y x =+4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（ ） 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．0.01B ．0.025C ．0.10D ．0.055．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000颗米粒（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内米粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．2506．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（）A．14B．13C．12D7．某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为（）A．110B．15C．310D．258．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值mn=（）A．13B．12C．2 D．39．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有328=种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（）A．18B．14C．38D．1210．设不等式组22xyxy≥≥≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所表示的可行域为M，现在区域M中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线12y x=左上方的概率为（）A．34B．12C．13D．1411．一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为12．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（）A．38B．34C．37D．6712．做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数，然后请他们各自检查一下，所写的两数与1是否构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，作为主角的你，只需将每个人的结论记录下来就行了．假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么由此可以算得圆周率π的近似值为（）A．nm n+B．mm n+C．4nm n+D．4mm n+二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据．4y x a=-+10x=件．14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．15．如图所示，已知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正ACE△，现向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为__________．16．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下． 理科：79，81，81，79，94，92，85，89 文科：94，80，90，81，73，84，90，80 （1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差：()()()2222121n s x xx xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数）18．（12分）某市一中毕业生有3000名，二中毕业生有2000名．为了研究语文高考成绩是否与学校有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生，先统计了他们的成绩（折合成百分制），然后按“一中”、“二中”分为两组，再将成绩分为5组，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分别加以统计，得到如图频率分布直方图：（1）从成绩在90分（含90分）以上的学生中随机抽取2人，问至少抽到一名学生是“一中”的概率；（2）规定成绩在70分一下为“成绩不理想”，请根据已知条件构造22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分）近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx=+与xc d⋅（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现:使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受折优惠，有15名乘客享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入． 参考数据：其中lg i i y υ=，117ii υυ==∑，参考公式：对于一组数据()i i u υ，，()22u υ，，…，()n n u υ，，其回归直线ˆˆ+ˆa u υβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i ni i u nu unu υυβ==-=-∑∑，ˆˆau υβ=-．20．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：用（单位：元），n表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若10n=，求y与x的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？21．（12分）2018年3月3日至20日中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第一次会议在北京胜利召开，两会是年度中国政治生活中的一件大事，受到了举国上下和全世界的广泛关注．为及时宣传国家政策，贯彻两会精神，某校举行了全国两会知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分100分，最低分不低于50分）进行统计，得出频率分布表如下：（2）若从成绩较好的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人担任两会知识宣传员，再从这6人中随机选出2人负责整理两会相关材料，求这2人中至少有1人来自第4组的概率．22．（12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．（ⅰ）问男、女学生各选取多少人？（ⅱ）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第二十一单元 统计概率综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个．所以D 错误． 故选D ． 2．【答案】C【解析】如图，时间轴点所示，概率为55512111P ==，故选C ．3．【答案】C【解析】由随机数的变换公式可得14y x =，()241454y x x =-+--=-⎡⎤⎣⎦．故选C ． 4．【答案】B【解析】根据表中数据得到()2250181589 5.059 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以，若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过0.025，故选B ． 5．【答案】C【解析】因为BIC GOH ≅△△，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 331444EFOHDOF BDFAS S S ==⨯△△，所以落在阴影部分的概率316EFOH BDFA S P S ==四边形四边形，3200037516⨯=，故选C ． 6．【答案】C【解析】设圆的半径为r ，则AO r =，2r OM =，2rMD =，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为12OM OD=．故选C ．7．【答案】C【解析】由题得试验的所有基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有()1,3，()1,5，()3,5共3个， 由古典概型的概率公式得310P =．故选C ． 8．【答案】A【解析】由题意得，甲组数据为：24，29，30m +，42；乙组数据为：25，20n +，31，33，42．∴甲、乙两组数据的中位数分别为592m+，31，且甲、乙两组数的平均数分别为 ()2429304212544m mx +++++==甲，()252031334215155n n x ++++++==乙．由题意得5931212515145mm n+=++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得3 9m n =⎧⎨⎩=，∴3193m n ==．故选A ． 9．【答案】C【解析】在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数328n ==，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件3m =，∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是38m p n ==．故选C ． 10．【答案】A【解析】设粒子落在直线12y x =上方区域内的概率为P ， 如图所示，不等式组围成的区域的面积为4，直线12y x =上方区域的面积为142132-⨯⨯=，所以相应的概率为34P =，故选A ．11．【答案】C【解析】设一个“”的面积为1，在一个显示数字8的显示池中，有7个“”，故深色区域面积为7，因为点落在深色区域内的概率为12，设矩形的面积为S ，所以712S =，14S =，在一个显示数字0的显示池中有6个“”，故深色区域面积为6，所以若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B ，则点B 落在深色区域的概率为63147=，故选C ． 12．【答案】D【解析】设所写的两个数为x ，y ，则01x <<，01y <<，()x y ，在以1为边长的正方形内，∵x ，y ，1组成锐角三角形，1为最大边，∴2210x y +->，221x y +>，()x y ，在以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆外，∴211411n m n π⨯-=+，得4m m nπ≈+，故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】66 【解析】由题得：()11345678962x =+++++=，()1908483807568806y =+++++=， ∴1380410ˆ62a=+⨯=，∴101064ˆ066x y=⇒=-=，故答案为66． 14．【答案】13【解析】由题意可知了，比赛可能的方法有339⨯=种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马， 结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为3193p ==． 15．【答案】2【解析】设正方形的边长为2，则AC =ACE △为正三角形∴(21sin602ACE S =⨯︒=△，∴阴影部分面积为1322322S =-⨯=-∴向四边形区域ABCE 内投一点Q ，则点Q 落在阴影部分的概率为2P ==，故答案为216．【答案】59【解析】如图，设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ，则015x ≤≤，015y ≤≤，甲、乙两人到达汽车站的时刻x y （，）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足05515 05515|x x x y y y ⎧⎫≤≤≤≤⎪⎪⎨⎬≤≤≤≤⎪⎪⎭⎨⎩⎧⎧⎨⎩⎩（，）或，即x y （，）必须落在图形中的2个带阴影的正方形内，所以由几何概型的计算公式得25510105915P ⨯+⨯==．故答案为59．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好，见解析；（3）910． 【解析】（1）理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：（2）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下：理科同学成绩的平均数179798181858918929485x ⨯+++++++==（），方差是22217981[318.25]s ⨯-+-+-+-+-+-+-==+-（）（）（）（）（）（）（）（）；文科同学成绩的平均数273808081849018909484x ⨯+++++++==（）．方差是22227381[418.75]s ⨯-+-+-+-+-+-+-==+-（）（）（）（）（）（）（）（）；由于12x x >，2212s s <，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好． （3）设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A ，B ，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a ，b ，c ，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa ，ABb ，ABc ，Aab ，Aac ，Abc ，Bab ，Bac ，Bbc ，abc ．其中全是文科组同学的情况只有abc 一种，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则()1911010P M -==． 18．【答案】（1）910；（2）没有90%的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”，见解析．【解析】（1）由分层抽样抽取的100名学生中，一中有60名，二中有40名，所以成绩在90分以上的人中，一中有600.005103⨯⨯=人；二中有400.005102⨯⨯=人，至少抽到一名学生是“一中”的概率1911010p =-=． （2）22⨯列联表如下：()()()()()22210015261445) 1.1656 2.70629716040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯（所以没有90%的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”．19．【答案】（1）见解析；（2）()0540251010xy =⋅．．，3470；（3）199200元．【解析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型．（2）∵x y c d =⋅，两边同时取常用对数得:()1g 1g 1g 1g x y c d c d x =⋅=+⋅； 设1g y v =，∴1g 1g v c d x =+⋅ ∵4x =， 1.54v =，721140ii x==∑，∴1227217750.1274 1.54710.2528140747ˆi i i i i x v xvgd xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 把()4,1.54代入1g 1g v c d x =+⋅，得：ˆlg0.54d =， ∴0.540.ˆ25vx =+，∴105ˆ4025gy x =+．．，∴()054025054054101010ˆxx y +==⋅．．．．；把8x =代入上式，∴05402582542054ˆ10101010347y +⨯===⨯=．．．．；∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为347103470⨯=∴y 关于x 的回归方程为:()0540251010xy =⋅．．，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）由题意可知：一个月中使用现金的乘客有1000人，共收入100022000⨯=元；使用乘车卡的乘客有6000人，共收入6000 1.69600⨯=元； 使用扫码支付的乘客有3000人，其中：享受7折优惠的有500人，共收入500 1.4700⨯=元 享受8折优惠的有1000人，共收入1000 1.61600⨯=元 享受9折优惠的有1500人，共收入1500 1.82700⨯=元所以，一辆车一个月的收入为：200096007001600270016600++++=（元） 所以，一辆车一年的收入为：1660012199200⨯=（元）．20．【答案】（1）50200010 500250010x x y x x x +≤⎧=∈N ⎨->⎩；（2）11；（3）应购买10次维修服务． 【解析】（1）()200105010 250105001010xx y x x ⨯+≤⎧⎪=⎨⨯+->⎪⎩，即50200010500250010x x y x x x +≤⎧=∈N ⎨->⎩．（2）因为“维修次数不大于10”的频率1020300.60.8100++==<，“维修次数不大于11”的频率102030300.90.8100+++==≥，所以若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，则n 的最小值为11． （3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：12400102450202500303000303500102730100y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）若每台都购买11次维修服务，则有下表：22600102650202700302750303250102750100y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）因为12y y <，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务． 21．【答案】（1）12a =，0.12b =，0.14c =，100n =；（2）35．【解析】（1）由频率分布表得：40.04100n =÷=，100414284212a =----=， 121000.12b =÷=，141000.14c =÷=．（2）∵第3、4、5组共有84名学生，∴利用分层抽样在84名学生中抽取6名学生，每组分别为： 第3组：614184⨯=人，第4组：628284⨯=人，第5组：642384⨯=人， ∴第3、4、5组应分别抽取1人、2人、3人．记第3组的1位同学为A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的3位同学为1C 、2C 、3C ，则从6位同学中抽2位同学有()1A B ，、()2A B ，、()1A C ，、()2A C ，、()3A C ，、()12B B ，、()11B C ，、()12B C ，、()13B C ，、()21B C ，、()22B C ，、()23B C ，、()12C C ，、()13C C ，、()23C C ，，共15种可能，其中第4组至少有1人入选的有()1A B ，、()2A B ，、()12B B ，、()11B C ，、()12B C ，、()13B C ，、()21B C ，、()22B C ，、()23B C ，，共9种，∴这2人中至少有1人来自第4组的概率为93155=． 22．【答案】（1）有，见解析；（2）（ⅰ）男生6人，女生2人，（ⅱ）37． 【解析】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．（2）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人．（ⅱ）从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N=++++++=种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M=+=种，所以，所求概率123287P==．。
数学高考一轮复习概率与统计单元专项练习题(含参考答案)
数学2019高考一轮复习概率与统计单元专项练习题(含参考答案)经常做题可以帮助考生查缺补漏。
下面是概率与统计单元专项练习题，希望考生好好利用。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)。
1.(理)设，则的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
2025年高考数学一轮复习-抽样方法、统计图表、用样本估计总体-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-抽样方法、统计图表、用样本估计总体-专项训练基础巩固练1.(2023连云港期中)下列一组数据的第30百分位数是()2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.A.3.0B.3.2C.3.3D.4.42.从某中学抽取10名同学,得到他们的数学成绩(单位:分)如下:88,85,82,92,90,92,96,92,96,98.这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为()A.92,92B.92,96C.96,92D.92,903.(2023宿迁月考)统计某样本数据得到的频率分布直方图如图所示,已知该样本容量为300,则样本数据落在[6,14)内的频数为()A.68B.170C.204D.2404.如图,这是某市2023年国庆节假期的楼房认购量与成交量的折线图,小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位:套)与成交量(单位:套)作出如下判断,则下列判断正确的为()A.日成交量的中位数是16B.日成交量超过日平均成交量的有2天C.10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅D.日认购量的方差大于日成交量的方差5.(多选题)在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.方法1:采用简单随机抽样的方法,将零件分别编号为00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个.方法2:采用分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.对于上述问题,下列说法正确的是()A.无论采用哪种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15B.采用不同的方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同C.在上述两种抽样方法中,方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体的特征D.在上述两种抽样方法中,方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征6.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则()甲乙A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差7.在一次竞选中,规定一个人获胜的条件如下:(1)在竞选中得票最多;(2)得票数不低于总票数的一半.在计票时,周鹏得票的数据丢失.候选人赵明钱红孙华李丽周鹏得票数3001003060x如果周鹏获胜,那么周鹏的得票数x的最小值为.8.(2023盐城调研)已知某8个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数据的方差为.9.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男、女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成[20,30),[30,40),…,[80,90]七组,并整理得到如图所示的频率分布直方图:(1)从样本中随机抽取一人,求其分数小于70的频率.(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男、女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比.综合提升练10.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,并得到频率分布直方图如图:则这20名工人一天生产该产品的数量的中位数为()A.65B.64C.62.5D.6011.一组数据的平均数为a,方差为b,将这组数据的每个数都乘m(m>0)后得到一组新数据,则下列说法正确的是()A.这组新数据的平均数为aB.这组新数据的平均数为a+mC.这组新数据的方差为mbD.这组新数据的方差为m2b12.(多选题)(2023徐州质检)在第一次全市高三年级统考后,数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况,将全班50名学生的数学成绩绘制成了频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩(单位:分)全部介于65到145之间(满分150分),将数学成绩按如下方式分成八组:第一组[65,75),第二组[75,85),…,第八组[135,145].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示,则下列结论正确的是()A.第七组的频率为0.008B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95D.该班级数学成绩的方差的估计值大于2613.已知甲、乙两组数据如下表所示,其中a,b∈N*,若甲、乙两组数据的平均数相等,要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差,则(a,b)为.(只需填一组)甲12ab10乙12471114.某校从高一年级中随机抽取部分学生,将他们的期末数学测试成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.据此统计,期末数学测试成绩不少于第60百分位数的分数至少为.15.6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”,为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注,聚焦联合国2030年可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来,我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗,现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位:cm),得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值及众数、中位数.(2)已知树高为185cm及以上的是可以移栽的合格树苗.①求合格树苗的平均高度(结果精确到个位);②从样本中按分层抽样的方法抽取20株树苗进一步研究,不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株?创新应用练16.某小区毗邻一条公路,为了解交通噪声,有关部门连续25天监测噪声值(单位:分贝),得到频率分布直方图(图1),发现噪声污染严重,采取了在公路旁加装隔声板等治理措施,而后,再连续25天监测噪声值,得到频率分布直方图(图2).图1图2同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,请解答下列问题:(1)根据上面两个频率分布直方图,估计治理后比治理前的平均噪声值降低了分贝.(2)国家“城市区域环境噪声”规定:重度污染:>65分贝;中度污染:60~65分贝;轻度污染:55~60分贝;较好:50~55分贝;好:≤50分贝.把上述两个样本数据的频率视为概率,根据图1估算出该小区噪声治理前一年内(365天)噪声中度污染及以上的天数为277,根据图2估计一年内(365天)噪声中度污染及以上的天数比治理前减少了天.(精确到1天)参考答案1.C2.A3.C4.D5.AC6.BCD7.4908 839.解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从样本中随机抽取一人,其分数小于70的频率为0.4.(2)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60 12=30,所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比为3∶2.10.C11.D12.BCD13.(4,8)或(5,7)或(6,6)或(7,5)或(8,4)(填其中一个即可)14.7415.解(1)∵(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)×10=1,∴a=0.0250.众数为185+1952=190.设中位数为x,∵(0.0015+0.0110+0.0225)×10=0.35<0.5,(0.0015+0.0110+0.0225+0.030)×10=0.65>0.5,∴185<x<195,(0.0015+0.0110+0.0225)×10+0.030(x-185)=0.5,∴x=190.(2)∵树苗高度为185cm及以上的频率是(0.0300+0.0250+0.0080+0.0020)×10=0.65, =[190×(0.030×10)+200×(0.0250×10)+210×(0.0080×10)+220×(0.002 0×10)]÷0.65≈197(cm).(3)应抽取不合格的树苗20×0.35=7(株),合格的树苗20×0.65=13(株),故不合格树苗、合格树苗分别应抽取7株和13株.16.(1)2.56(2)138。
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考
巧用数列方法解决概率问题——2023年新高考1卷第21题的一点思考引言：2023年高考已落下帷幕，本轮考试中继续在反套路，反机械刷题上下功夫，充分落实中国高考评价体系中“四层四翼”的考查要求，合理控制考题的难度，进一步科学引导教学.今年的高考题中又再一次继2019年后利用数列的递推公式公式解决概率问题，此类题型在新教材中也有体现，也进一步体现教考衔接，引导广大师生要在高三复习备考中要回归课本，回归基本方法，注意章节知识之间的灵活应用。
关键词：概率递推数列一、2023年高考真题再现例：甲、乙两人投篮，每次由其中一位投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.分析:研究每一次（第2次起）是谁投篮是需要知道上一次是谁投篮的，因为甲乙投篮的命中率不一样，会关系到下一轮是谁投篮，所以需要弄清楚它们的关系，利用树状图就非常清晰。
解：（1）略（2）.求第投篮是甲是要弄清楚第次投篮的是谁，其可以分为甲和乙，设表示第次投篮是甲的概率.第次投篮是甲的概率来自两个方面，若果前一次是甲的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为；若果前一次是乙的话（概率为），那么第次投篮是甲的概率为，故第次投篮是甲的概率可表示为，进而又可以根据数列的知识化为，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以第次投篮的人是甲的概率.用数列的递推公式求概率问题是一个比较抽象的问题，需要学生较强逻辑推理和归纳概括的能力，在概率题中特别需要让学生体会表格和树状图的作用，它常常能帮助我们理清它们的关系，在高三复习备考中要关注培养学生的这些能力.第（3）问给出的公式在考场短时间上很多学生不能轻易理解其中含义，因而也就无法知道这个公式计算的就是期望，其实我们还是可以根据自己对均值的理解来帮助理解这个公式的意义，采用特殊到一般的思路获得两点分布中的均值等于每个表示成功的随机变量与相应概率之积的和来理解.如：设第次甲投篮的概率为P①当前1次中甲投篮的次数的分布列为:②当前2次中甲投篮的次数的分布列为:P③当前3次中甲投篮的次数的分布列为:P由不完全归纳可以得出前次投篮中甲投篮次数的均.这样也能帮助我们进一步理解问题中给的公式就是计算期望的.所以.事实上给出的公式还是可以这样来理解的：前次中甲投篮次数的均值可以理解为前边的n次中每次投篮贡献的均值之和，而第二问求出的概率刚好又是每次投篮的概率，所以前边n次投篮中每次投篮在均值中的贡献可用下面这个表格来表示:.当然更进一步的问题也可以改为前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮成功的次数为，求.这样就会对甲每次投篮成功的概率有关系了.二、探寻2023年高考概率题的“源”其实，在新教材中二项分布和超几何分布都对均值有了明确的阐述，也对其结果进行了证明.而今年的高考题第21题无论是方法还是过程都可以参考二项分布中均值的方法进行，都是采用归纳推理的思想。
2020版高考数学人教A(理)必刷单元卷(有解析)单元检测十一 算法、统计与统计案例(提升卷)
单元检测十一 算法、统计与统计案例(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·上海十四校联考)若x 1，x 2，x 3，…，x 10的平均数为3，则3(x 1－2)，3(x 2－2)，3(x 3－2)，…，3(x 10－2)的平均数为( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27 答案 A解析 由题意得x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝30，所以3(x 1－2)＋3(x 2－2)＋3(x 3－2)＋…＋3(x 10－2)＝3(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10)－60＝30，所以所求平均数3(x －2)＝3010＝3，故选A.2．(2018·青岛模拟)一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5 200,5 300,5 500,6 100, 6 500,6 600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( ) A ．5 800 B ．6 000 C ．6 200 D ．6 400 答案 D解析 由题意知，当另外两位员工的工资都小于5 200时，中位数为(5 300＋5 500)÷2＝5 400；当另外两位员工的工资都大于6 600时，中位数为(6 100＋6 500)÷2＝6 300，所以8位员工月工资的中位数的取值区间为[5 400,6 300]，所以这8位员工月工资的中位数不可能是6 400，故选D.3．若x 1，x 2，…，x 2 019的平均数为3，标准差为4，且y i ＝－3(x i －2)，i ＝1,2，…，2 019，则新数据y 1，y 2，…，y 2 019的平均数和标准差分别为( ) A ．－9,12 B ．－9,36 C ．－3,36 D ．－3,12答案 D解析 由平均数和标准差的性质可知，若x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，标准差为s ，则kx 1＋b ，kx 2＋b ，kx 3＋b ，…，kx n ＋b 的平均数为k x ＋b ，标准差为|k |s ，据此结合题意可得y 1，y 2，…，y 2 019的平均数为－3(3－2)＝－3，标准差为3×4＝12，故选D. 4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为( )A ．－2或－1或3B ．2或－2C ．3或－1D ．3或－2答案 D解析 由－2x －3＝1 ，解得x ＝－2 ，因为－2>2 不成立，所以－2是输入的x 的值；由log 3(x 2－2x )＝1 ，即x 2－2x ＝3 ，解得x ＝3或x ＝－1(舍去)． 综上，x 的值为－2或3， 故选D.5．(2018·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图，若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱号者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( )A ．2B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由茎叶图得班里40名学生中，获得“诗词达人”称号的有8人，获得“诗词能手”称号的有16人，获得“诗词爱好者”称号的有16人，则由分层抽样的概念得选取的10名学生中，获得“诗词能手”称号的人数为10×1640＝4，故选B.6.某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为( )A.49 B ．2 C.94 D ．9 答案 C解析 甲班学生成绩的中位数是80＋x ＝81，解得x ＝1.由茎叶图可知乙班学生的总分为76＋80×3＋90×3＋(0＋2＋y ＋1＋3＋6)＝598＋y ，又乙班学生成绩的平均数是86，所以86×7＝598＋y ，解得y ＝4.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，且x ，G ，y 成等比数列，则2G ＝a ＋b ，xy ＝G 2，即有a ＋b ＝4，则1a ＋4b ＝14(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝14⎝⎛⎭⎫1＋4＋b a ＋4a b ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2 b a ·4a b ＝14×9＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时，取等号．故选C. 7.某校九年级有400名学生，随机抽取了40名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，用样本估计总体，下列结论正确的是( )A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为80D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8 答案 C解析 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，所以中位数在第三组内，设中位数为25＋x ，则x ×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，所以x ＝1.25，所以中位数为26.25，故A 错误；最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，所以众数为27.5，故B 错误；学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.04×5＝0.2，所以超过30次的人数为400×0.2＝80，故C 正确；学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频率为0.02×5＝0.1，所以1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为400×0.1＝40，故D 错误．故选C.8．某程序框图如图所示，若输出S ＝3，则判断框中M 为( )A ．k <14?B ．k ≤14?C ．k ≤15?D ．k >15? 答案 B解析 由程序框图可知S ＝11＋2＋12＋3＋…＋1k ＋k ＋1， 因为1k ＋k ＋1＝k ＋1－k ，所以S ＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋k ＋1－k ＝k ＋1－1， 所以S ＝k ＋1－1＝3，解得k ＝15，即当k ＝15时程序退出， 故选B.9．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )A ．20,2B ．24,4C ．25,2D ．25,4 答案 C解析 由频率分布直方图可得分数在[50,60)内的频率是0.008×10＝0.08，又由茎叶图可得分数在[50,60)内的频数是2，则被抽测的人数为20.08＝25.又由频率分布直方图可得分数在[90,100]内的频率与分数在[50,60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选C.10．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握是( )A.99.9% B ．99% C ．1% D ．0.1% 答案 C解析 因为 6.635<6.705<10.828，所以有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C.11．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg 答案 D解析 y 与x 具有正线性相关关系，A 正确；由线性回归方程的性质可知，B 正确；身高每增加1 cm ，体重约增加0.85 kg ，C 正确；某女生身高为160 cm ，则其身高约为50.29 kg ，D 错误，故选D.12．以下四个结论，正确的是( )①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2个单位； ④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量K 2的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大． A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 D解析 对于①，易得这样的抽样为系统抽样，①错误；对于②，由频率分布直方图的概念易得②正确；对于③，由线性回归方程的概念易得变量y 约增加0.2个单位，③错误；对于④，由独立性检验易得④正确．综上所述，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知下表所示数据的线性回归方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________.答案 262解析 由题意得x ＝4，y ＝15(1 028＋a )，代入y ^＝4x ＋242，可得15(1 028＋a )＝4×4＋242，解得a ＝262.14．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为________． 答案 20解析 由数据可得甲的平均数是15(65＋80＋70＋85＋75)＝75，方差为15[(65－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2＋(85－75)2＋(75－75)2]＝50，乙的平均数是15(80＋70＋75＋80＋70)＝75，方差为15[(80－75)2＋(70－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2]＝20<50，故成绩较稳定的学生为乙，其方差为20.15．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在[40,60)内的汽车有________辆．答案 80解析 由频率分布直方图可得时速在[40,60)内的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4，则时速在[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．16．对某两名高三学生连续9次数学测试的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图．下列有关这两名学生数学成绩的分析中，正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图中的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分． 答案 ②③④解析 ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图中的数据易知，该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A ，B ，C 三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从支持A 方案的人中抽取了6人，求n 的值；(2)从支持B 方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以下的人数是多少？35岁以上(含35岁)的人数是多少？解 (1)由题意知，6100＋200＝n 200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)这5人中，35岁以下的人数为5400＋100×400＝4，35岁以上(含35岁)的人数为5400＋100×100＝1.18．(12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名学生的成绩进行统计，将统计的结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，…，第八组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：(1)求a 的值和这2 000名学生的平均分；(2)若计划按成绩选取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少． 解 (1)由(0.004＋0.008＋0.01×2＋a ＋0.016＋0.02×2)×10＝1，解得a ＝0.012， 则这2 000名学生的平均分为200×0.04＋(210＋220)×0.1＋(230＋240)×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8(分)．(2)设这2 000名学生成绩的中位数为x 分，因为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44<0.5,0.04＋0.1＋0.1＋0.2＋0.2＝0.64>0.5，所以中位数x 位于第五组，则(x －235)×0.02＝0.5－(0.04＋0.1＋0.1＋0.2)，解得x ＝238. 故应将分数线定为238分．19．(13分)某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系.参考数据：参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 根据所给数据得到如下2×2列联表：根据2×2列联表中的数据，得到K 2的观测值为 k ＝50×(30×5－10×5)2(30＋10)(5＋5)(30＋5)(10＋5)≈2.38<2.706. ∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系． 20．(13分)某农科所对冬季昼夜温差x (℃)与某反季节新品种大豆种子的发芽数y (颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于线性回归方程的检验．(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？如果可靠，请预测温差为14 ℃时种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由． 解 (1)由已知得x ＝11＋13＋123＝12， y ＝25＋30＋263＝27， 则b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以(1)中所得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^ ＝52×14－3＝32，即预测当温差为14 ℃时，每天每100颗种子的发芽数约为32颗．。
2021届高考数学一轮复习《概率与统计》测试卷及答案解析
2021届高考数学一轮复习测试卷概率与统计注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样2．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B．“至多一个红球”与“都是红球”C．“都是红球”与“都是黄球”D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）A．甲得分的平均数比乙的大B．甲的成绩更稳定C．甲得分的中位数比乙的大D．乙的成绩更稳定4．在5(2)x-的展开式中，2x的系数为（）A．5-B．5C．10-D．105．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i ix y i n=，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x=-，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(,)x yC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a=+的b约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元7．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得27.245K≈，参照下表：得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．若随机变量2(3,)X Nσ~，且(5)0.2P X≥=，则(15)P X<<=（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.39．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优。
2023年高考数学1卷试题第21题解读
2023年高考数学1卷试题第21题解读一、题目背景2023年高考数学1卷试题第21题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
二、题目分析本题主要考查了导数的应用，包括利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，题目还要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
首先，题目给出了一个函数式：$f(x) = x^{3} - 3x + 2$，并要求求出该函数的单调区间和极值。
然后，根据求导公式，我们可以求出该函数的导数：$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 3$。
接下来，我们需要根据导数判断函数的单调性。
当$f^{\prime}(x) > 0$时，函数单调递增；当$f^{\prime}(x) < 0$时，函数单调递减。
根据导数方程，我们可以得出函数的单调递增区间为$x > 1$或$x < - 1$，单调递减区间为$- 1 < x < 1$。
最后，我们需要求出函数的极值点。
根据极值的定义，当函数在某一点的导数为零且在这一点两侧的导数符号相反时，该点为函数的极值点。
根据导数方程，我们可以得出函数的极值点为$x = 1$，且为极小值点。
三、解题方法本题的解题方法主要是利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，还需要根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
具体来说，可以按照以下步骤进行解题：1. 求出函数的导数；2. 根据导数判断函数的单调性；3. 求出函数的极值点；4. 根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
四、结论与启示本题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
通过本题的解答，我们可以得出以下结论和启示：1. 利用导数研究函数的单调性和极值是一种有效的数学方法；2. 在解题过程中要善于利用导数方程进行分析和推理；3. 要注意导数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为数学问题进行分析和解决；4. 在解题过程中要细心审题，注意细节的处理，避免因粗心而犯错；5. 要善于总结解题方法和思路，以便在以后的解题中能够更加高效地解决问题。
2020高三数学单元卷：第二十一单元 统计概率综合 A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十一单元统计概率综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，，699，700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．623 B．328 C．253 D．0072．下图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是（）A．D B．E C．F D．A3．某电视图夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.6，0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）A ．0.48B ．0.4C ．0.32D ．0.244．五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x 具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）A ．34B ．13C ．35D ．255．下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形ABCD 的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点，有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的所似值为（ ）A ．254mnB ．4m nC ．425mnD ．25mn6．党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩．2013年至2016年4年间，累计脱贫5564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3000户家庭的2017年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80100，，则年收入不超过6万的家庭大约为（ ）A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户7．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．218．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．2B ．3C ．10D ．159．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A ．1B ．34C D ．1410．某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y （单位：千瓦时）与当天平均气温x （单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据的线性回归方程为2ˆ60yx =-+，则a 的值为（ ） A ．34 B ．36 C ．38 D ．4211．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得()2277520450530015.96825750320455K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由210.828K ≥，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ）A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.00112．已知数据1，2，3，4，x (05)x <<的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（ ） A ．25B ．12 C ．35D ．710二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上）13．在区间[]2a ，上随机取一个数x ，若4x ≥的概率是23，则实数a 的值为__________． 14．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．15．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2m n =--a ，向量()1,1=b ，则向量⊥a b 的概率是_______．16．某工厂有120名工人，其年龄都在20~60岁之间，各年龄段人数按[20,30），[30,40），[40,50)，[50,60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备．现采用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为20的样本参加新设备培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示：若随机从年龄段[20,30）和[40,50)的参加培训工人中各抽取1人，则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为___________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．⨯列联表，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？根据已知条件完成下面的2218．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图：（2）求出y关于x的线性回归方程ˆ=+，并在坐标系中画出回归直线．y bx a（注：1221ni i i nii x ynxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay b x =-）19．（12分）已知函数())214mf x x m x =-+，现有一组数据，将其绘制所得的茎叶图如图所示（其中茎为整数部分，叶为小数部分．例如：0.2可记为，且上述数据的平均数为2．）（1）求茎叶图中数据a 的值；（2）现从茎叶图中小于3的数据中任取两个数据分别替换m 的值，求恰有一个数据使得函数没有零点的概率．20．（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号． （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号； （下面摘取了第7行到第9行）（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有2018442++=．①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值：②在地理成绩及格的学生中，已知11b≥，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．a≥，721．（12分）某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额（单位：万元）的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额（单位：万元）不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．22．（12分）某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．（1）求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；（2）如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，则从A等和B等中分别抽几人？（3）在（2）问的基础上，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第二十一单元统计概率综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】从第5行第6列开始向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个是623，故选A．2．【答案】B【解析】因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．故选B．3．【答案】D【解析】由题得()0.80.610.50.24P =⋅⋅-=故该选手只闯过前两关的概率为0.24．故选D ． 4．【答案】D【解析】由径叶图可得高三（1）班的平均分为89929327433x ++==，高三（2）的平均分为()88909126933x xy ++++==，由x y <，得105x >>，又x ∈N ，所以x 可取，6，7，8，9， 概率为42105P ==，故选D ．5．【答案】D【解析】∵小正方形边长为2，所以圆半径为1，圆面积为π， 又∵大正方形的棱长为5，所以正方形面积为25， ∴由几何概型概率公式可得25m n π≈，25mnπ≈，故选D ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可得成绩不超过60分的学生的概率为()0.0050.01200.3+⨯=，所以成绩不超过60分的学生人数大约为：30000.3900⨯=，故选A ． 7．【答案】A【解析】因为分层抽样的抽取比例为21130000.7100=⨯， 所以初中生中抽取的男生人数是20000.612100⨯=人．故选A ．8．【答案】C【解析】根据题意，正方形的面积为5525⨯=，所以阴影部分的面积40025101000S =⨯=，故选C ． 9．【答案】A【解析】满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积16ABC S ==△满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于2的平面区域，如图中阴影部分所示，则2S =π阴影，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是：11P =-=-，故选A ． 10．【答案】C【解析】1715102104x ++-==，2434644a y +++=，∵2ˆ60y x =-+必过点()x y ，， ∴243464210604a +++=-⨯+，解得38a =，故选C ．11．【答案】D【解析】由题意，210.828K ≥，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001，故选D ． 12．【答案】B【解析】由数据1，2，3，4，x 05x <<（）的平均数()123422,355x x++++=+∈，可得5252x +=，所以52x =，从这5个数中任取2个，结果有：()1,2，51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3，()14，，52,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2,3，()24，，5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,42⎛⎫⎪⎝⎭，()34，共10种， 这2个数字之积大于5的结果有：()2,3，()2,4，5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,42⎛⎫⎪⎝⎭，()34，，共5种， 所以所求概率为51102p ==．故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．【答案】8【解析】在区间[]2a ，上随机取一个数x ，则4x ≥的概率是4223a a -=-，解得8a =，故答案为8． 14．【答案】85【解析】由上表可知：2456855x ++++==，3040506070505y ++++==．得样本中心为：()5,50代入回归方程ˆˆˆybx a =+，得507515ˆa =-⨯=． 所以回归方程为ˆ715yx =+，将10x =代入可得：ˆ85y =．故答案为85．15．【答案】16【解析】由题意知，{}1,2,3,4,5,6m n ∈，，则()m n ，共有36种，由⊥a b ，得()()220m n -+-=，即m n =，共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为16p =． 16．【答案】12【解析】由频率分布直方图可知，年龄段[20,30），[30,40），[40,50)，[50,60]的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，所以年龄段[20,30），[30,40），[40,50)，[50,60]应抽取人数分别为6，7，4，3．若随机从年龄段[20,30）和[40,50)的参加培训工人中各抽取1人，则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为52121642p ⨯+⨯==⨯．故答案为12．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为“体育迷”与性别有关． 【解析】由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100100.020100.00525()⨯⨯⨯＋＝． “非体育迷”人数为75，则据题意完成22⨯列联表：将22⨯列联表的数据代入公式计算：()221003010451575254 3.030 2.705556K ⨯⨯-⨯=⨯≈>⨯⨯．所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为“体育迷”与性别有关． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.7 1.05y x =+，回归直线如上图所示． 【解析】（1）散点图如图：（2）由表中数据得4152.5i ii x y==∑， 3.5x =， 3.5y =，42254ii x==∑，∴ˆ0.7b=，∴ˆ 1.05a =，∴0.7 1.05y x =+，回归直线如上图所示． 19．【答案】（1）7；（2）47． 【解析】（1）由题意可知，()10.30.10.5 1.4 1.9 1.8 2.3 3.2 3.4 4.5210a ⨯+⨯++++++++=，可得7a =．（2）对于函数())214m f x x m x =+-+，由()2214104m m ∆=--⨯⨯<，解得：122m <<． 则茎叶图中小于3的数据中，有4个满足122m <<，记作A ，B ，C ，D ；不满足的有3个， 记作a ，b ，c ；则任取2个数据，基本事件有()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()A c ，，()B C ，，()B D ，，()B a ，，()B b ，，()B c ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()C c ，，()D a ，，()D b ，，()D c ，，()a b ，，()a c ，，()b c ，共21种；其中恰有1个数据满足条件的有：()A a ，，()A b ，，()A c ，，()B a ，，()B b ，，()B c ，，()C a ，，()C b ，，()C c ，，()D a ，，()D b ，，()D c ，共12种，故所求概率为124217P ==．20．【答案】（1）785，667，199；（2）14，17，17． 【解析】（1）在随机数表中，从第8行第7列的数开始向右三位三位的读数，依次可得抽取的个体的编号为785，667，199． （2）①由题意得7930%100a++=，解得14a =，∴()()10030201845617b =--++-+=． 故a ，b 的值分别为14，17．②由题意得()()10072059186431a b +=-++-++-=，因为11a ≥，7b ≥，所以a ，b 搭配的所有情况有：()11,20，()12,19，()13,18，()14,17，()15,16，()16,15，()17,14，()18,13，()19,12，()20,11，()21,10，()22,9，()23,8，()24,7，共14种．设“11a ≥，7b ≥时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，即5a b +<． 则事件A 包含的基本事件有：()11,20，()12,19，共2个．∴()21147P A ==， 即数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为17． 21．【答案】（1）12；（2）36；（3）35．【解析】（1）样本均值46121820125X ++++==．（2）样本中优秀服务站为2间，频率为25，由此估计90间服务站中有290365⨯=间优秀服务站． （3）由于样本中优秀服务站为2间，记为1a ，2a ，非优秀服务站为3间，记为1b ，2b ，3b ，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有()12a a ，，()11a b ，，()12a b ，，()13a b ，，()21a b ，，()22a b ，，()23a b ，，()12a b ，，()13b b ，，()23b b ，共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为()11a a ，，()12a b ，，()13a b ，，()21a b ，，()22a b ，，()23a b ， 6种情况，故所求概率为35p =． 22．【答案】（1）75.5，81；（2）2人，3人；（3）710． 【解析】（1）由题中茎叶图知，女生成绩的中位数是75.5． 男生成绩的平均值为()6976788518189671x ==＋＋＋＋＋． （2）用分层抽样的方法从A 等和B 等学生中共抽取5人，每个人被抽中的概率是51204=． 根据茎叶图知，A 等有8人，B 等有12人，所以抽取的A 等有1824⨯=(人)，B 等有11234⨯=(人) （3）记抽取的A 等2人分别为1A ，2A ，抽取的B 等3人分别为1B ，2B ，3B ，从这5人中抽取2人的所有可能的结果为12()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，13()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，23()A B ，，12()B B ，，13()B B ，，23()B B ，共10种．其中至少有1人是A 等的结果为12()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，23()A B ，共7种．所以至少有1人是A 等的概率为710．。
高三理科数学一轮单元卷：第二十一单元 统计、统计案例、概率 A卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十一单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16 C．38 D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，475．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为（）A．36 B．25 C．22 D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24 B．18 C．12 D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A．99%B．97.5%C．95%D．90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（ ） A ．4mnB ．4m nC ．4n mD ．4n m11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 132x +232x +，，32n x +的平均数和方差分别是（ ）A 3x 2sB 32x 2sC 32x 23sD 32x 23262s s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数x (天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y (千个)2345c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++＝16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1 [)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7， 频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1， [)0.10.2，[)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， 频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.001|3.8416.63510.828P K kk≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni iiniit t y ybt t==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第二十一单元 统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ． 2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32， 根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=， 解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=， 所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++， 根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++==，5566865y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =， 解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=， 所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ． 10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4mnπ=，故选A ． 11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s1+2+n +2223s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9【解析】根据上表的数据， 根据平均数的公式可得：3456755x ++++==，23451455c cy +++++==， 把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =． 15．【答案】5%【解析】参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%． 16．【答案】36【解析】600601000=S ，所以36=S ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521P M =（）． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．所以，事件M 发生的概率为521P M =（）． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ．【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802+==m ． 列联表如下：（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．20．【答案】（1）1046ˆy t =+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．【解析】（1所求回归方程为1046ˆyt =+． （2）由（1）知，ˆ100b =>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=． 故预测该商城8月份的销售额为126万元．21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元． （2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2 22．【答案】（1）13；（2）815． 【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163==P ． （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ；故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种， 其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。
高三数学下学期第二十一次考试试题 理-人教版高三全册数学试题
某某县一高（高三）第21次考试 数学（理科）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP，{|Q y y ==，则=Q P （ ）A ．]2,1(B ．)2,1[C ．]2,1[D ．∅2．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，ABC ∆，则=∠C （） A ． 30 B ． 45 C ． 60D ．1204.已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 （）A ． 11a b>B ．()2log 0a b ->C ．21a b-<D ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是（ ）A ．1--=x yB ．)2(+-=x x yC ．)1ln(+=x yD ．xe y =6.将函数()()sin f x x ϕ=+的图象周期缩小到原来的一半，再向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（） A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 7. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（）A ．223 B ．5 C ．29D ．58.给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//. 其中为真命题的是（ ）A ．①③④ B．②③④ C ．①②④D ．①②③ 9. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=（）A ．1-B ．81-C ．41-D ．21- 10. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =，则QF =（） A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为（）AB．5C．2D12. 设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值X 围是（）A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．lg 2lg ,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．lg 20,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=e ,x ,x,x ,x x f 11102 (其中e 为自然对数的底数)，则()0e f x dx ⎰的值为 ______．AOCBP服务时间/小时14.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y +的最小值为.15．在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面， 90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为． 16．给出下列命题：①.命题“若方程210ax x ++=有两个实数根，则14a ≤”的逆否命题是真命题； ②.“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③.函数2()2xf x x =-的零点个数为2；④幂函数axy =()R a ∈的图像恒过定点()0,0⑤.“向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b •<” ；⑥.方程sin x x =有三个实根. 其中正确命题的序号为__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，770,S =且126,,a a a 成等比数列。
2019年高考理科数学一轮单元卷：第二十一单元统计、统计案例、概率A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十一单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：263579003370916016203882775749503211491973064916767787339974673227486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351254．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，47100,120 5．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]内的学生人数为（）A．36 B．25 C．22 D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24 B．18 C．12 D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（ ）A ．4mnB ．4m nC ．4n mD ．4n m11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s ，1+2+n +的平均数和方差分别是（ ）A 2sB +2sC +23sD +232s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数x (天) 3 4 5 6 715．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．m）和使用了节水龙头50天的18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.001| 3.8416.63510.828P K k k ≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y (单位:万元)的数据如下表，已知y 与t 具有较好的线性关系．（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线()itt-∑21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图． （1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值） （2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第二十一单元 统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ． 2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32， 根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=， 解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=， 所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++， 根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++==，5566865y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =， 解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=， 所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ． 10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4mnπ=，故选A ． 11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s12n ++2223s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9【解析】根据上表的数据， 根据平均数的公式可得：3456755x ++++==，23451455c cy +++++==， 把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =． 15．【答案】5%【解析】参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%． 16．【答案】36【解析】600601000=S ，所以36=S ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521P M =（）． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．所以，事件M 发生的概率为521P M =（）． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ．【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802+==m ． 列联表如下：（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．20．【答案】（1）1046ˆy t =+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．【解析】（1()i t t -∑ 所求回归方程为1046ˆyt =+． （2）由（1）知，ˆ100b=>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=． 故预测该商城8月份的销售额为126万元．21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元．（2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2 22．【答案】（1）13；（2）815． 【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163==P ． （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ；故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种，其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。
高三理科数学一轮单元卷：第二十一单元 统计、统计案例、概率 B卷
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）第二十一单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．总体编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第六个个体的编号为（）A．20 B．16 C．17 D．182．在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品．从中任意抽出3件时，下列说法正确的是（）A．事件“至少有1件是次品”与“至少有1件是正品”对立．B．事件“至少有1件是次品”与“至多有1件是次品”互斥．C．事件“1件次品2件正品”与“1件正品2件次品”对立．D．事件“至少有1件是正品”与事件“至多有2件是次品”是同一事件．3．为了普及环保知识，增强环保意识．某大学从理工类专业的班和文史专业的班，各抽取名同学参加环保知识的测试．统计得到的成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据：（1）卡方统计量()()()()()21122122121112212211211222n n n n nn n n n n n n nχ-=++++，（其中22211211nnnnn+++=）；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是（）A．有99%的把握认为环保测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保测试成绩与专业有关D．有95%的把握认为环保测试成绩与专业无关4．某学校随机抽取个班调查各班有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，，[30,35)，[35,40)时，所作的频率分布直方图是（）5．已知x ，y 之间的一组数据如下表．对于表中数据，根据最小二乘法，下列回归直线拟合程度最好的直线是（ ） A ．22y x =- B ．174y x =-C ． 1.60.4y x =-D ． 1.50.05y x =+6．下图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[)30,35，[)35,40，[]40,45的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[)35,40 的网民出现的频率为（ ） A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.37．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试， 得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则三者的大小关系为（ ） A ．0e m x m <<B ．e 0m m x <<C ．0e x m m <<D ．0e m m x <<8．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一块，其两面涂有油漆的概率是（ ） A ．112B ．110C ．325D ．121259．下图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ） A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，810．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60， 得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．57.2，3.6B ．57.2，56.4C ．62.8，63.6D ．62.8，3.611．盒中装有形状大小完全相同的5个球，其中白色球3个，蓝色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于（ ） A ．25B ．35C ．45D ．71012．在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程()22221x y a b a b -=<的双曲线的概率为（ ） A ．12B ．1532C ．1732D ．3132二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．14．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取了60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段，制成频率分布直方图．由图形提供的信息，估计这60名学生数学成绩的平均分最接近的一个整数是________．15．如图，半径为10cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆．现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．16．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；80,90的概率．（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[) 18．(12分)某高校一课题小组对一特区城市的工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．⨯列联表；（1）完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及2215,25的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好（2）若从收入(单位：百元)在[)有1人不赞成“楼市限购令”的概率．19．(12分)学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；（2）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？20．(12分)某科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了12月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽率，如下表所示．该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率；（2）若选取的是12月6号和12月10号的两组数据，请根据12月7号到9号的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠?(线性回归方程a bx y+=ˆ，其中∑∑==-⋅-=ni ini ii xn xyx n yx b 1221，x b y a -=)．21．(12分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？22．(12分)电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于5.1小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于5.2小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元／张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元／张(x ∈N )，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少11xx +．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第二十一单元 统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】根据规定的选取个体的方法选出来的第六个个体的编号应为16，故选B ． 2．【答案】D【解析】∵次品共有2件，∴“抽出的3件中至少有1件为正品”与“最多有2件是次品”都是必然事件，是同一事件，故选D ． 3．【答案】C 【解析】()22401413762804.912 6.6352119202057χ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯，故选C ． 4．【答案】A【解析】由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，从而频率组距也相等，比较四个选项，只有选项A 符合，故选A ． 5．【答案】C【解析】根据表中数据，y 与x 正相关，排除B ； 4x =，6y =，排除D ；对于拟合直线22y x =-，()()25222221100012i ii y y =-=-++++=∑；对于拟合直线 1.60.4y x =-，()2222522112212055555-iii y y =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑；故选C ． 6．【答案】C【解析】由[)20,25的频率为0.0150.05⨯=；[)25,30的频率为0.0750.35⨯=； 又[)30,35，[)35,40，[)40,45的人数成等差，则其频率也成等差，又[]30,45的频率为6.035.005.01=--，则[)35,40的频率为2.0，故选C ． 7．【答案】D于是得0e m m x <<．故选D ． 8．【答案】D【解析】每条棱上有8块，共81296⨯=块，概率为812121000125P ⨯==，故选D ． 9．【答案】C【解析】甲组数据的中位数为1510x =+，∴5x =，所以乙组数据的平均数为()191510182416.85y +++++=⎡⎤⎣⎦，∴8y =，故选C ． 10．【答案】D【解析】设原来这组数据为i x ，新数据为i y ，则60i i y x =+． 因为()1160n i i y x n ==+∑1160ni i x n ==+∑平均数增加60变化为62.8， 因为方差()()22116060n i i s x a n =⎡⎤=+-+⎣⎦∑()211ni i x a n ==-∑，所以方差不改变，仍为6.3，故选D ．11．【答案】B【解析】三个白色球用1，2，3表示，两个蓝色球用A ，B 表示，则基本事件有12，13，1A ，1B ，23，2A ，2B ，3A ，3B ，AB．共10个；其中取出的2个球颜色不同的基本事件有1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B ．共6个；故所取出的2个球颜色不同的概率63105P ==．故选B ． 12．【答案】B【解析】双曲线的离心率c e a ===，∵5<e ，∴422<ab ，∴a b a 2<<，所以15262a b a b a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪<<⎩，以a 为横轴，b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，1115442433222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影，所以方程()22221x y a b a b -=<表示离心率小于5的双曲线的概率为151521632P ==，故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】40【解析】C 专业的学生有1200380420400--=，由分层抽样原理，应抽取400120401200⨯=名． 14．【答案】71【解析】450.05550.15650.25750.35850.1950.171x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 15．【答案】7781【解析】由题意，若硬币落下后与小圆无公共点，硬币的中心应落在和圆形纸板有相同圆心的一个圆环上，圆环的内径为2cm ，外径为9cm ，圆环的面积为()229277π⨯-=π，故所求概率为77778181P π==π． 16．【答案】15【解析】如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有AD ，BE ，CF ，共3种，故其概率为31155=．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）168x =，268x =，21775．s =，2245s =；（2）见解析；（3）23． 【解析】（1）记甲乙成绩的的平均数分别为1x ，2x ， 则()115660616371728081688x =+++++++=． ()215862646669717381688x =+++++++=． 记甲乙成绩的的方差分别为21s ，22s ，则()()()()()()()()222222221156686068616863688s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦77．=．()()()()()()()()22222222221586862686468666869687168736881688s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦45=．（2）因为12x x =，所以甲乙两个小组成绩相当；因为2212s s >，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[)70,80，记为1a ，2a ，有2名在[)80,90记为1b ，2b ．任取两名同学的基本事件有6个：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()12,b b ． 恰好有一名同学的得分在[)80,90的基本事件数共4个：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ． 所以恰好有一名同学的得分在[)80,90的概率为23p =． 18．【答案】（1）见解析；（2）25．【解析】（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，（2）设收入(单位：百元)在[)15,25的被调查者中赞成的分别是1A ，2A ，3A ，4A ，不赞成的是B ， 从中选出两人的所有结果有：()12A A ，()13A A ，()14A A ，()1A B ，()23A A ，()24A A ，()2A B ，()34A A ，()3A B ，()4A B ．其中选中B 的有：()1A B ，()2A B ，()3A B ，()4A B ．所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是42105P ==． 19．【答案】（1）175.5，181x =；（2）710． 【解析】（1）男生共14名，中间两个成绩是175和176，它们的平均数为175.5． 所以男生成绩的中位数是175.5； 女生成绩的平均值是()11681771781851861921816x =+++++=． （2）用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中抽取5人，每个人被抽中的概率是51204=，根据茎叶图，“甲部门”人选有8人，“乙部门”人选有12人． 所以选中的“甲部门”人选有1824⨯=人，“乙部门”人选有11234⨯=人． 记选中的“甲部门”的人员为1A ，2A ，选中的“乙部门”人员为1B ，2B ，3B ．从这5人中选2人的所有可能的结果为：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10种．其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有7种，因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是710． 20．【答案】（1）35；（2）5ˆ32y x =-；（3）可靠． 【解析】（1）设事件“选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据”为事件A ，从5组数据中选取2组数据的所有情况为：()6,7，()6,8，()6,9，()6,10，()7,8，()7,9，()7,10，()8,9，()8,10，()9,10，共10种(其中的数据为12月份的日期)；选取的2组数据恰好是不相邻的2天的数据有：()6,8，()6,9，()6,10，()7,9，()7,10，()8,10，共6种；∴事件A 的概率为：()63105P A ==． （2）由题设表格中的数据可得：()1111312123x =++=，()1253026273y =++=， 31112513*********i ii x y==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x ==++=∑，∴313221397731227543431223i ii i i x yx yb x x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，5271232a y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． （3）当10x =时，5ˆ103222y =⨯-=，∴222312-=<， 当8x =时，5ˆ83172y=⨯-=，∴171612-=<， 所以（2）中所得到的线性回归方程是可靠的． 21．【答案】乙商场．【解析】①如果顾客去甲商场，实验的全部结果构成的区域为整个圆盘，面积为2R π(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为224153606R R ⨯ππ=．所以，在甲商场购物中奖的概率为16． ②如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为321,,a a a ，3个红球为321,,b b b ，记(),x y 为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()33,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共15种，摸到的两个球都是红球有：()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3个．所以在乙商场中奖的概率为331155P ==．所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． 22．【答案】（1）“足球迷”16万，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）140元． 【解析】（1）样本中“足球迷”出现的频率为()0.160.100.060.516%++⨯=， “足球迷”的人数为：10016%16⨯=万，“铁杆足球迷”的人数为：()1000.060.53⨯⨯=万， 所以16万“足球迷”中“铁杆足球迷”约有3万人．（2）设票价为10010x +元，则一般“足球迷”中约有()13110%x -万人， “铁杆足球迷”约有3111x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭万人去现场看球，令()13110%311011x x x ⎛⎫-+-≤ ⎪+⎝⎭，化简得133********x x x --≤+ 即2131136600x x +-≥，解得4x ≥(16513x ≤-舍)． 所以平均票价至少定为10040140+=元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．。
高考数学一轮复习模块卷统计与概率复数含解析新人教A版
模块卷时间:100分钟 分值:120分统计与概率、复数一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020陕西教学质量检测,1)已知复数z =41+i (i 为虚数单位),则z 的虚部为 ( )A.2B.2iC.-2D.-2i答案 C 本题考查复数的运算.由题意得z =41+i =4(1-i)(1+i)(1-i)=4(1-i)2=2-2i,∴z 的虚部为-2,故选C .2.(2019重庆中山外国语学校模拟,5)如饼图,某学校共有教师120人,从中选出一个30人的样本,其中被选出的青年女教师的人数为 ( )A.12B.6C.4D.3答案 D 青年教师的人数为120×30%=36,所以青年女教师为12人,故样本中青年女教师被选出的人数为12×30120=3.故选D.3.(2020甘肃、青海、宁夏联考,3)从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如下:身高(100,110] (110,120] (120,130] (130,140](140,150] 频数 5 35 30 20 10由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)( ) A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7答案 C 本题考查中位数,体现了数学运算的核心素养.由题意知身高在(100,110],(110,120],(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3,前两组频率和为0.4,组距为10,设中位数为x ,则(x -120)×0.310=0.1,解得x ≈123.3.故选C.4.(2020重庆模拟,5)2020年2月,在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为 ( )A.81256B.2764C.964D.916答案 D 本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.由题意得基本事件总数为44,而恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数为C 41C 42A 33,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率P =C 41C 42A 3344=916.故选D. 5.(2020贵州贵阳期末,8)已知关于变量x ,y 的线性回归方程为y^=0.25x +0.55,且x ,y 的一组相关数据如下表所示,则表格中m 的值为 ( )x 1 2 3 4y 0.8 m 1.4 1.5A.1B.1.05C.1.2D.2答案 A 由题意知。
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一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十一单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16 C．38 D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，475．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为（）A．36 B．25 C．22 D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24 B．18 C．12 D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A．99%B．97.5%C．95%D．90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（ ）A ．4m nB ．4m nC ．4n mD ．4n m11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 132x 232x +，32n x ）A 3x 2sB 32x 2sC 32x 23sD 32x +23262s s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x=-．由以上信息，得到下表中c的值为__________．天数x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y(千个) 2 3 4 5 c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-++++＝16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．m）和使用了节水龙头50 18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.001|3.8416.63510.828P K kk≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图． （1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值） （2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第二十一单元 统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32， 根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=， 解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=， 所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++， 根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++==，5566865y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =， 解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=，所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ．10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4mnπ=，故选A ．11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s12+n +2223s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9【解析】根据上表的数据，根据平均数的公式可得：3456755x ++++==，23451455c cy +++++==， 把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =．15．【答案】5%【解析】参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%．16．【答案】36【解析】600601000=S ，所以36=S ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521P M =（）．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种．所以，事件M 发生的概率为521P M =（）．18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ． 【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高． （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802+==m ．（3）由于24015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．所求回归方程为1046ˆyt =+． （2）由（1）知，ˆ100b =>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=． 故预测该商城8月份的销售额为126万元． 21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元． （2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2 22．【答案】（1）13；（2）815．【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163==P ．（2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ； 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种，其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。