第七讲法 简单周期
秋季五年级同步奥数教材(经典课辅资料)
秋季五年级同步奥数教材(经典课辅资料)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（秋季五年级同步奥数教材(经典课辅资料)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为秋季五年级同步奥数教材(经典课辅资料)的全部内容。
目录第一讲生活中的负数 (1)第二讲图形的周长 (3)第三讲多边形面积计算（长方形与正方形的面积） (7)第四讲多边形面积计算(三角形与多边形的面积） (10)第五讲平面图形的操作 (14)第六讲小数加减法的简便计算 (17)第七讲找规律（周期问题） (19)第八讲解决问题的策略（用枚举法解决问题） (21)第九讲小数乘法和除法的简便计算 (24)第十讲四则运算速算 (27)第十一讲数学专题(数列计算） (30)第十二讲数学专题（列车过桥问题） (32)第十三讲数学专题(稍复杂的相遇问题） (34)第十四讲数学专题(稍复杂的追及问题） (36)第十五讲数学专题(简单的消去问题） (38)第十六讲数学专题(还原问题） (40)综合能力测试（一） (43)综合能力测试(二） (47)坚其志,苦其心，劳其力，事无大小，必有所成。
—-———---—--——————（清）曾国藩第一讲生活中的负数例题精讲例1. 刘翔在第十届世界田径锦标赛半决赛中，110米栏的成绩是13.42秒，当时赛场的风速为每秒—0.4米，你知道这个风速所表示的意思吗？例2. 中国最大的咸水湖—-青海湖高于海平面3193米，世界最低最咸的湖—-死海低于海平面400米.想一想青海湖与死海的海拔相差多少米呢？例 3. 哈尔滨：零下12℃，漠河：零下30℃（漠河是我国最北边的一个城市)。
高考数学热点专题突破讲练：三角恒等变换与解三角形(含新题详解)
第七讲 三角恒等变换与解三角形简单三角恒等变换差角余弦公式倍角公式和(差)角公式余弦定理正弦定理三角形面积公式解三角形应用举例1．(倍角公式)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π 22 ＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A2．(正弦定理与和角公式)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝1，得A ＝π2(由于0＜A ＜π)，故△ABC 是直角三角形． 【答案】 A3．(正弦定理)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝2 3.【答案】 2 3图2－2－14．(余弦定理的应用)(2013·福建高考)如图2－2－1，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】35．(三角恒等变换)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°＝________. 【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 3简单的三角恒等变换(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335， 求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将f (x )、g (x )化简，沟通二者联系；(2)由f (x )≥g (x )，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【自主解答】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12， 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x ”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．变式训练1 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求cos 2αsin (α－π4)的值．【解】 依题意得sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，2sin αcos α＝34.则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.由0<α<π2，知sin α＋cos α＝72>0.所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.正(余)弦定理(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．【思路点拨】 (1)由余弦定理，得关于a ，c 的方程，与a ＋c ＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A ，进而求cos A ，sin B ，利用两角差的正弦公式求值．【自主解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.1．(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解易忽视判定A 的范围，错求cos A ＝±13，导致增解．2．以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．变式训练2 (2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值． 【解】 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.解三角形及应用(2013·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .【思路点拨】 (1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B ，进而求出△ABC 的面积．【自主解答】 (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin Acos A＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键．2．三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．变式训练3 已知三角形的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．【解】 (1)∵m ∥n ，∴c (c －a )＝(b －a )(a ＋b )， ∴c 2－ac ＝b 2－a 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0＜B ＜π，因此B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3. 故sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3正(余)弦定理的实际应用【命题要点】 ①实际问题中的距离，高度测量；②实际问题中角度、方向的测量；③实际行程中的速度、时间的计算．如图2－2－2所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？图2－2－2【思路点拨】 由题设条件，要求该救援船到达D 点的时间，只需求出C 、D 两点间的距离，先在△ABD 中求BD ，再在△BDC 中求CD ，进而求出时间．【自主解答】 由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，∴∠ADB ＝105°.∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45° ＝22×12＋32×22＝2＋64. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103(1＋3)1＋3＝10 3.又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2·BD ·BC ·cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，∴救援船需要的时间t ＝3030＝1(小时)．1．该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系．2．应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件．(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．变式训练4 如图2－2－3，A 、C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，图2－2－3下午4时到达C 岛． (1)求A 、C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．【解】 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)， ∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900， 所以AC ＝70(海里)．故A 、C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目．以三角形为载体的创新交汇问题(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆内接三角形，且2R ·(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 的面积S 的最大值． 【规范解答】 (1)由2R (sin 2A －sin 2C ) ＝(2a －b )sin B ，得a sin A －c sin C ＝2a sin B －b sin B ， ∴a 2－c 2＝2ab －b 2，4分由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.6分(2)∵csin C＝2R ， ∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .8分又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 22－2＝(2＋2)R 2.10分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤2＋12R 2. 即△ABC 面积的最大值为2＋12R 2. 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C ，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用．(2)对求△ABC 的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab 的最大值． 防范措施 (1)利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可实施边角转化．(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值．1．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f (β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －34π＋π2 ＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2sin π4＝ 2. 2．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.。
TCPIP网络原理与技术-第七讲-路由协议
7.2.2链路-状态算法（L-S算法）
与V-D算法相比较的一组算法叫作“链路-状态” （Link-Status）算法，又叫最短路径优先或SPF （Shortest Path First）算法，简称L-S算法。
• 1. 算法的基本思想
动态路由选择策略
• 工作过程可分为以下几步：其一，测量并感知网络状态， 主要包括拓扑结构、流量及延迟；其二，向有关进程或节 点报告测量结果；其三，根据测量结果更新路由表；最后， 根据新路由表重选合适路由转发数据分组。
• 这种策略可以从时间上考虑当时的情况来调整路由。例如， 在网络拓扑发生变化时，或在网络某个节点或链路发生故 障时，也可以每隔一段固定的时间等。
动态路由选择策略
• 静态路由选择策略的特点是只考虑网络的 静态拓扑结构，而实际网络的拓扑结构随 时都可能发生变化，各节点的通信量也随 时在变化。因此静态路由选择策略不能很 好地满足实际网络的需求。
• 要求节点的路由选择能够依靠网络当前的 状态信息（如网络拓扑结构、通信量等） 来决定，这种策略，就称为动态路由选择 策略。
3. V-D算法特点
1) V-D算法的路径刷新发生在相邻网关之间，所以V-D报文 不一定以广播方式发送出去，一种比较优化的方法是网关 直接向相邻网关发送V-D报文，不必采用广播方式。
2) V-D算法的优点是易于实现，
3) V-D算法不适应路径剧烈变化的或大型的Internet环境，因 为某网关的路径变化像波动一样从相邻网关传播出去，其 过程是非常缓慢的。因此V-D算法路径刷新过程中，可能 出现路径不一致问题。V-D算法的另一缺陷是它需要大量 的信息交换：一方面，V-D报文就每一可能的信宿网络都 包含一条表目，报文大小相当于一个路由表（其表目数与 Internet网络数成正比），而且其中的许多表目都是与当 前路径刷新无关的；另一方面，V-D算法要求所有网关都 参与信息交换，要交换的信息量极大。
第七讲学习曲线【实用资料】
K它--标--生明产了第操一作假台知产识设品与每的生直产台接力人之产工间工的品时关系的以及材学料习和成生产本力成为果之2间2的0关0系0元，人工成本为10元/小时， 累 K-计---生产产量第16一时间台的产接改品善成的系直数本接为人7为.工工2时000元/周，
• “K-一---生个产人第工一或问台人产参：品与（的的直系1接统）人总工是若工可时以现改进有的，每除周非它5已0经0消小亡或时不值劳得再力利工用了时。 ，这些人力是否足够在
““一做个 每人件工事或，1人总6参有周与一内的个系最完统好总的成是方可法这以”改。批进的订，货除非？它已（经消2亡）或不这值得批再订利用货了。能否取得盈利？
学习曲线的改善率表 ( x b )
70%
75%
1.000/1.000 1.000/1.000
.700/1.700 .750/1.750
.490/2.758 .563/2.946
.398/3.593 .475/3.934
.343/4.303 .422/4.802
.306/4.931 .385/5.589
.381/10.48 .634/14.61
例
• 一家客户承诺在4个月（即16周）内提供16套特殊产品的订货，
(3) 产品设计每变更台有助价于降格低工3时00。00元。
• 故总成本为352000元+ 76350元+ 32000元=460350元
知识学习曲线已描述知了第生产一力的台增长产，将品其定耗义用为获了取关1键0操0作0知小识函时数。，第二台产品耗用了750小时。
台数 60% 1 1.000/1.000 2 .600/1.600 4 .360/2.405 6 .267/2.977 8 .216/3.432 10 .283/3.813 12 .160/4.144 14 .143/4.438 16 .130/4.704 18 .119/4.946 20 .110/5.171
高中物理第七讲---振动与波动
第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2T =，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成：假设有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：〔1〕机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．〔2〕简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
(修改)第七讲从海岸线长度谈起——分形几何
分形几何进入中学数学课程
▪ 1.分形几何进入中学数学课程的必要性 ▪ 1）分形几何的创立是数学发展历史上的又一次进
步 ▪ 2）分形理论是描述现实世界的有力工具 ▪ 3）分形几何是培养创新思维的极好材料 ▪ 4）有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维，
提高审美情趣的思想方法。 ▪ 5）课程现代化的需要
数学文化：一般到特殊，特殊到一般， 归纳总结找规律的猜想， 证明规律的猜想得结论
▪ 雪花曲线的特点——自相似性。任何一个局 部放大后都与整体非常相似。（欧几里得中 的圆就没有这个性质）
邮票上的雪花曲线（保加利亚）有什 么奥秘？
雪花边 界线的 长度？ 面积？
隆冬雪花
你细瞧海岸 线，就有类 似的形状
B.B.Mandelbrot（蒙德尔布罗）在《科学》 杂志上发表文章 “英国的海岸线有多长？” 。 他发现这个差距源于海岸线形状的不规则性及用 来测量的尺子长短不一。
这看似极其简单，但Mandelbrot发现：
当测量单位变小时， 所得的长度是无限增大的。
但是，在欧几里得几何中， 当尺的长度趋于零的时候， 测量出的长度趋于圆周长！
“首先，它们处处无规则可言。其次 ，它们 在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远 处观察，还是从近处观察，分形看起来一个模样— —它是自相似的。
“整体中的小块，从远处看是不成形的 小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外 形大致和以前观察的整体形状相似。 ”
“自然界提供了许多分形实例。例如， 羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他 植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非 常相似。其生成规则保证了小尺度上的特征 成长后就变成大尺度上的特征。”
蝴蝶效应
1963年，美国气象学家洛伦茨发现的“蝴蝶效应”便是其中 典型一例。洛伦茨在一个由三维一阶微分方程组描述的气象 预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳 定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。 近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差 异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度 或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现， 引起众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者 李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”。对混沌 现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌 现象本质的认识。
化工制图第七讲图形标注
利用计算机视觉和深度学习技术，自动识别和标 注图形中的元素，提高标注效率。
智能提示
通过算法和数据分析，为图形标注提供智能提示 和纠错功能，减少人为错误。
语义理解
研究图形语义理解技术，实现对复杂化工流程和 设备的理解和标注。
云平台与协同标注模式
云端存储与共享
利用云平台，实现图形数据的云端存储和共享，方便团队成员之 间的协作。
标注格式要符合化工工艺流程图的标准和规 范。
05
常见问题与解决方案
常见问题一：标注不清晰
标注不清晰往往是由于标注样式设置不正确或图形细节不清 晰导致的。
标注不清晰的问题可以通过调整标注样式，如字体大小、颜 色等，来解决。此外，确保图形细节清晰，如使用高分辨率 的图像或清除图形中的噪声和干扰，也有助于提高标注的清 晰度。
化工设备图中的标注符号
化工设备图中需要标注各种设备的基本信息，如容器、管道、阀门等，并使 用特定的符号来表示这些设备的类型和操作方式。
化工工艺流程图中的标注符号
在化工工艺流程图中，需要使用一系列特定的符号来标注各个单元操作和设 备之间的相互关系。
标注格式与规范
文字标注的格式
在化工制图中，文字标注的格式需要遵循一定的规范，包括字体、字号、颜色、 排列方式等。
Pro/Engineer软件
介绍
Pro/Engineer是一款专业的三维CAD软件，广泛应用于 机械、电子和航空等领域。
功能
Pro/Engineer提供一套完整的CAD/CAM/CAE解决方案 ，包括零件设计、装配体设计、工程图和模具设计等功 能。
特点
Pro/Engineer具有先进的参数化设计功能，支持基于特 征的设计，提供强大的模具设计工具集，缩短产品开发 周期。
简单的周期课件
周期性现象是科学研究的重要领域之 一，对周期的研究可以推动相关学科 的发展，并促进跨学科的交流与合作 。
02
自然界的周期现象
日夜交替
日夜交替是自然界最直观的周期现象之 一。
对环境的重要性：日夜交替也影响着地 球的气候、温度和光照等环境因素。
生物行为与日夜交替的关系：大多数生 物的行为和生理活动都适应于这种周期 变化，如人类的睡眠和觉醒。
05
周期的数学模型与预测
正弦与余弦模型
定义与应用
正弦与余弦模型是描 述周期性变化的基础 数学模型，广泛应用 于物理、工程、经济 等领域。
表达式与性质
正弦函数表示为 y=Asin(ωx+φ)，余 弦函数表示为 y=Acos(ωx+φ)，其 中A为振幅，ω为角频 率，φ为初相。
图形与特征
正弦函数图形为连续 的波浪线，余弦函数 图形为连续的U形线 ；周期T=2π/ω，频 率f=1/T。
商品价格周期是指大宗商品价格在一定时间内呈现出的周期性波动 。这种周期通常由供需关系、宏观经济环境、政策因素等决定。
影响因素
影响商品价格周期的主要因素包括产能变化、库存水平、市场需求 、国际贸易政策等。
识别与应对
企业和投资者可以通过对商品价格周期的识别，合理规划生产和投资 ，以降低风险并把握市场机遇。
特性
周期性现象具有重复性、规律性和可预测性。每一次循 环都具有相似的特征和属性，而且其发生的时间和频率 通常是可以预测的。
周期的类型
自然周期
自然世界中普遍存在的周期性现象，如日夜交替 、四季变化、潮汐涨落等。这些周期通常由自然 规律和物理定律决定。
人工周期
由人类活动引起的周期性现象，如经济周期、交 通拥堵周期、工作日与周末的交替等。这些周期 受到人类行为和社会结构的影响。
三上奥数练习题
第一讲：自然数的计数法12?其中最大的三位数和最小的三位数相差多少?3．在一个三位数的左面添上一个数字6，得到的四位数和原来三位数的和为6578，求原三位数是多少?4．去掉三位数左面最高位的数字6，得到的两位数与原三位数之和是706，求原三位数是多少? 5．小明写了一个三位数,小东划掉了它个位数字0，该数减少了378，那么小小明写的数是什么? 6．小红用数字卡片摆了一个两位数。
小淘气将两个数字交换了一下位置，说：“我的数比你的数大63。
”小红摆的数是什么呢？７．小巧写了一个两位数，小明在她写的数的末尾添上了一个０后说：“我写的数比你写的数大468。
”请你猜猜看，小红写的数是什么？8．老师在黑板上写了一个两位数，淘气在它的末尾添上一个数字4，使得该数增加了868，那么老师写的数是什么？9．做一道整数加法题时，小丁丁把一个加数个位上的7看成1，把另一个加数十位上的6看成了9，结果得出和为148，那么正确的答案应该是多少？第二讲：加减法的速算与巧算计算下列各题。
57+123+1732436+372+564+1628965-172-32847+（653+145）666-（266-357）568+1991536-547+164+1477243-803297+304+306+299+296 532-（336-268）-64第三讲：图形找规律一.填空题1.按照图形的变化规律接下去画。
2.仔细观察，在空白处应如何填？3.下图中最后一幅图的小圆点应该怎样画？4.按照前面图形的排列特点，在空白处画上合适的图。
二.选择题5.仔细观察，从右边图形中选出一个合适的图形，左图空白处应填( )。
6.下面图形的空白处应填（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．三、解答题7．根据前三张图片的规律，画出第四张图的阴影部分。
8.说说下面图形的变化规律，接下去的图形怎样画？9．请在下图中按规律把图画完整。
第四讲：数列找规律1.找出下面数列的规律，并按照规律填数。
周期结构法则
结构理论实战技法共有四节内容，今天仅说第一节‘市场结构理论概要’，这应该是市场结构理论的总纲，个人认为只有对于这一章所提到的内容有深入的认识，才能对今后的市场结构理论的学习与理解起到事半功倍的作用，否则如同其他任何理论性的东西一样，恐怕会越看越头大，如同嚼蜡了，这样学习的兴趣自然就会减弱。
一、市场结构理论概要‘市场结构理论概要’的内容共分为三大部分，一、结构理论的创立；二、技术分析体系划分；三、市场结构理论引导。
下面分别针对这三部分把我的理解分别加以说明。
市场结构理论的创立如同大家所熟知的道氏理论、江恩理论与波浪理论的创立一样都是证券市场发展过程中，市场研究者为了追求完美，走近真理的道路所进行的开拓后的产物，是一种历史的继承与发展和创新。
当然“它的继承和发展决非东拼西凑，简单罗列；它的自主创新决非故作玄乎，虚亡乌有；它的开拓进取决非滥竽充数，沽名钓誉。
重要的是它必须具有坚实的哲学基础和内在的逻辑力量，并在市场和历史的检验中获得认同。
”市场结构理论是建立在平衡法则基础之上，以结构型技术为主导，形成的独特而完整的技术分析和交易决策体系。
反应式趋势跟踪技术是市场结构理论核心内容之一，摒弃了传统技术分析比市场更聪明的预测式的分析方法。
市场结构理论继承了传统结构型技术市场分析的视角和客观性市场规则，这种继承是创造性与批判性的继承。
在继承中扬弃，在继承中发展。
市场结构理论尽可能回避传统技术的缺失，但完全而彻底地回避传统技术的缺失是一件极为困难的事。
二、技术分析体系划分（一）技术分析的类别主流的技术分析方法有六大类别：1、江恩理论，2、波浪理论，3、形态分析，4、切线分析，5、指标技术，6、K线分析。
六类技术分析方法可归纳为两种技术分析的体系：结构型技术体系（江恩理论、波浪理论、形态分析、画线分析）与指标型技术体系（指标技术、K线分析）。
（二）结构型技术体系结构性技术体系是指以市场时间空间几何关系为着眼点，研判趋势发展状态的技术方法体系。
百年一人《技术分析系列讲座》1～7讲A4纸带图
百年一人《技术分析系列讲座》第一～七讲笔记第一讲第一讲时间：2008年8月30日第一讲的三个重点：1、技术分析到底有没有用2、如何培养学习技术指标的能力3、用MACD为例说明如何学习和使用技术指标第一部分：技术分析到底有没有用1. 技术分析绝对是有用的，掌握技术分析的方法可以使你成为资本市场中的少数人。
2. 有非常多的成功案例，只不过不是所有成功者都愿意说出来。
例如：西蒙。
3. 技术分析是一条十分难走的路，是一条不归路。
4. 百年老师1997年11月17日开始研究证券市场后经历了七个阶段：第一阶段：感性认识阶段（什么都不懂）●投资：买了有代表性的证券书籍●投资：买了所有证券分析软件第二阶段：博览群书阶段（先博后精）：《股票趋势技术分析》、《股票操作学》等；第三阶段：瞎子摸象阶段（打基础）：用各种软件钱龙、汇金等；●用半年时间研究各种指标（一百多个指标）第四阶段：自以为是阶段（半年后）——其实很多问题都不懂第五阶段：全面否定阶段（在1998年进行理性思考）——接触了几个关键的人第六阶段：建立自己独立的操作系统（1999年-2000年5月）——在决定建立自己的操作系统前，已经有自己的数学模型了（几何学和数字学建立起来的）。
第七阶段：丰富完善阶段（至今）●例如以预测为主变成以确认交易为主（运作规模资金主要是心理压力）5．再次强调技术分析绝对有用，但技术分析是一条十分难走的不归路，当你决定放弃的时候可能是你离真理最近的时候。
第二部分：如何培养学习技术指标的能力1. 2002年发表了一些文章，两篇有代表性的文章：《走自己的路，自己帮自己》和《如何构造自己的操作体系》（但目前已经不用了）；2. 授之以鱼还是授之以渔的问题。
教一个思考问题的方法比教一个技巧要重要的多。
3. 保持一个开放性思维：善于学习，不要轻易否定别人，不要先入为主。
最简单的问题往往最难解决。
4. 先博后精●高手如塔，知道重点，深入研究过而已。
2021年六年级小升初数学总复习第七讲(探索规律)(含答案)
2021年六年级小升初数学总复习第七讲探索规律一. 课标要求1.学习探索规律的方法，培养发散思维和联想能力。
2.掌握一些数的排列现象、间隔现象、拆分现象和简单图形覆盖现象中的规律。
3.能从数与形中归纳总结出一般规律，并运用发现的规律解决问题。
4.重点掌握周期问题、数字规律、图形规律。
二. 知识点规律探究题的形式多种多样，解题方法也各有妙处。
解这类题需要找准突破口，发现题中的变化规律，观察数字之间的特点，利用从特殊到一般的方法解决。
【周期问题】在日常生活中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫作周期现象，而重复出现一次的个数叫作周期。
比如每周有七天，从星期一到星期日，总是以七天为一个循环不断重复出现；人的十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节。
总数÷周期数=组数，整除时，为周期中最后的一个。
总数÷周期数=组数……余数，有余数时，余几就在周期数中数几。
在解决排列事物类周期问题的时候，我们可以在图形中找到周期数、总数等条件，从而利用公式解决问题，特别需要注意的是，有余数和没有余数这两种情况的区分【数字规律】找数字规律，通常观察数字之间的特点，把变量和序列号放在一起，给出几个具体的、特殊的数，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
解题的思路是实施特殊向一般的简化。
具体方法和规律是：（1）通过对几个特殊特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。
【图形规律】找图形规律，既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。
一般来说，在观察图形变化规律时，应抓住以下几点来考虑问题：（1）图形数量的变化（2）图形形状的变化（3）图形大小的变化（4）图形颜色的变化（5）图形位置的变化（6）图形繁简的变化对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题。
第七讲--光的相干性(新)
在图1.1中的杨氏干涉装臵中，假定轴上点S和轴外点 S’为两个独立的点光源。当这两个点光源各自产生的干 涉条纹彼此位移半个条纹间距时,屏上干涉条纹消失,总强 度处处相等,表明扩展光源的几何尺寸达到了空间相干性 所要求的极限尺度,即光源的临界尺度 bc 。
当点光源S向下移动到S’处时,零级干涉条纹从O点向 上移至P点,位移为 y 。显然点光源位臵移动引起的光程 差 L( P) 为: L( P) R r R r 0 (6.3)
这种波列的傅里叶分析必须作非周期函数处理，即它 是由各种各样的谐波共同产生的，在时间间隔 c 内存在这 个波列，而在 c 以外，这些波处处相消。一个有限的波列 可以看作一个孤立的脉冲，不必考虑它的形状。因为一个 单脉冲是一个非周期函数，但它可以看成是周期从 t 到 t 的一个周期函数。这样利用傅里叶积分可以导出 各频率成分的贡献（频谱）：
I max I min (6 1) 条纹的清晰程度，它定义为： K I max I min 其中 I max 和 I min 分别是干涉场中光强的极大值和极小值。
K可区分为以下三种情况：
K 1 K 1
完全相干 部分相干
(6 2)
K 0 完全不相干
相干效应可分为空间相干性和时间相干性。前者与光 源的几何尺寸有关，后者则与光源的相干长度或单色性 （带宽）有关。 迈克耳逊干涉仪为测量时间相干性提供了一种方便的 技术；空间相干性则由杨氏双逢实验作出了最好的证明。
R R 1 R R sl y y r r r 2 r 2d 2d
(6.8)
因此，空间相干条件为 s d 。而实际光源为连续 R 2 扩展光源，并非只有两个点光源，而是在两个边缘点光源 之间连续分布着无穷多个点光源。显然，在这种点光源连 续分布的情况下，边缘点光源产生的干涉条纹只彼些位移 半个条纹间距 1 y 时，屏上的合成强度仍有一定的对比度； 2 只有当 时，对比度才会下降到零，即干涉条纹完 y y 全消失。此时所对应的边缘点光源间距 ，即为空间 s bc 相干性所要求的扩展光源尺寸的极限（图1.2） 。光源的 相干尺度为：
高中物理：第七讲电磁感应定律
第七讲 电磁感应定律（共同专题） 本章学习提要1．实验探究感应电动势大小与磁通量变化快慢的关系。
2．法拉第电磁感应定律内容：E ＝ΔΦΔt。
3．法拉第电磁感应定律的应用，导体切割磁感线产生的感应电动势（E ＝BLv ）与法拉第电磁感应定律的一致性。
在基础型课程申，已学过电磁感应现象和导体切割磁感线产生的感应电流方向的判别——右手定则；在拓展型课程Ⅰ中，讲述了磁通量变化时产生感应电流方向的判别方法——楞次定律；本讲内容在上述基础上，进一步讨论了感应电动势与磁通量变化快慢的定量关系。
在中学阶段将电磁感应问题分三次逐步深入讨论，最后得出了电磁现象中的基本定律之一，即法拉第电磁感应定律。
通过实验“感应电动势大小与磁通量变化快慢的关系”，学会运用控制磁通量变化、时间、线圈匝数等变量的方法进行探究。
通过了解从法拉第的发现到信息化时代的发展历程，感悟科学技术是社会发展的动力，树立投身科技事业的志向。
一、学习要求掌握法拉第电磁感应定律内容，系统地认识电磁感应现象的规律，通过DIS 实验，学会运用控制变量法探究感应电动势大小与磁通量变化快慢的关系，在电磁感应与其他相关内容综合的新情景下，应用法拉第电磁感应定律解决一些简单的物理问题，学会运用分析、综合、类比等科学推理方法。
从电磁感应规律在电话、测量仪器等现代技术中的应用，感悟科学和技术是社会发展的动力。
二、要点辨析1．对感应电动势概念的理解在电磁感应现象的学习过程中，我们知道，不仅在闭合电路中会产生感应电流，在电路不闭合的情况下，只要线圈中磁通量发生变化，线圈两端就有电压输出，可见，这时虽无感应电流，但仍有电磁感应现象，用恒定电流的闭合电路跟它进行类比：恒定电流的闭合电路中，要产生电流必须有电源（有电动势）；在电磁感应现象中，闭合回路里有感应电流，也会有感应电动势。
而且，感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。
2．法拉第电磁感应定律中的k 为什么等于1？课本“大家谈”中提出的比例常数是的问题，是单位制中的一个普遍问题。
第七讲气举采油
井下管柱
单管气举井下管柱示意图 （a）开式管柱；（b）半闭式管柱；（c）闭式管柱
气举采油工作情况
气举过程 （a）停产时；（b）环形液面达到管鞋；（c）气体进入油管
气举采油工作情况
气举时压缩机压力变化曲线
气举采油工作情况
用气举阀进行启动的工作过程
气举阀下入深度的确定
气举阀深度计算示意图
气举阀
井中液面在井口附近，在注气过程中途即溢出井口时，
可由下式计算阀1的下入深度
H gv
pmax 20
l g
井中液面较深，中途末溢出井口时，可由下式计算阀1的 下入深度
谢 谢 ， 再 见 ！
人 工 举 升 理 论 吴 第
晓七 东讲
第七讲 气举采油
气举采油的井口、井下设备比较简单， 管理调节较方便。特别是对于海上采 油、深井、斜井、井中含砂、水、气 较多和含有腐蚀性成分而不适宜用泵 进行举升的油井，都可以采用气举采 油法，在新井诱导油流及作业井的排 液方面气举也有其优越性。但气举采 油需要压缩机站及大量高压管线，地 面设备系统复杂，投资大，且气体能 量利用率低，使其应用受到限制。
连续气举采油设计
定 注气量和井口流 压下的协调产量
在IPR曲线上，根据上述 计算结果给出产量与计算 流压的关系曲线 (油管工 作曲线)，它与IPR曲线的 交点所对应的压力和产量， 即为该井在给定注气量和 井口油管压力下的最大产 量q和相应的井底流动压 力pwf，亦即协调产量和流 压。根据给定气量和协调 产量q可计算出相应的注 入气液比，进而计算出总 气液比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七讲简单周期
教学重点：1、找准被分数。
2、找准循环节，即多少一循环。
教学过程：
一、导入新课：
7月1日，星期六的下午，敏敏收到一封来自北京的信。
原来，敏敏是一位勤学多思的好学生，她在全国小学生奥林匹克数学竞赛中获得了特等奖，主办单位在信中邀请她在7月20日到北京参加颁奖大会呢。
小朋友，请你算一算，敏敏领奖的那一天是星期几？
二、讲授新知：
出示例1
分析：从日历上我们可以看到，每星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复。
7月1日是星期六，那么再过7天，就是8号，还是星期六。
所以要知道7月20日是星期几，就要先求出7月20日是7月1日后的第几天。
20-1=19（天），因为第星期是7天，19天中包括2个星期还多才多5天，19÷7=2……5（天），从1日开始过2个星期，最后一天还是星期六，从这最后一天再过五天就应是星期四。
配套练习：
出示例2
分析：已知1月19日是星期二，要求2月5日是星期几，由于两个日子不在同一个月里，就要考虑经过的月份是什么月，一共有多少天。
因为1月份有31天，先求31日是19日后的第几天，31-19=12天，再求2月5日是1月19日后的第几天，12+5=17天。
17天里包括2个星期还多3天，1月19日是星期二，再过2个星期还是星期二，这天之后的第3天就是星期五。
配套练习：
出示例3
分析：题中说的第50天，包括今天在内，所以“从今天算起，到第50天”只是
相当于“今天之后的第49天”。
配套练习：
出示例4
分析：解答这道题目，首先要找到水果的排列规律。
从图中可以看出，水果按“一个梨两个苹果”的规律重复排列，即3个水果为一个周期。
15个水果中含有5个周期，第15个水果就是第5个周期中的最后一个，是苹果。
20个水果中含有6个周期多2个，20÷3=6个……2个，第20个水果就是重复6个周期后的第2个水果，就是苹果。
配套练习：
出示例5
分析：从图中可以看出，小旗按“三面黑旗两面白旗”的规律重复排列，即5面旗为一个周期，每一个周期中有3面小黑旗。
35面小旗中含有35÷5=7个周期，7个周期中共有3×7=21面小黑旗。
配套练习：
出示例6
分析：根据题意，甲从1开始报数，到27一共要报27次。
因为是四个人在报数，因此每报完4次就要重复一遍，就是说在这题中是以4次为一个周期重复的。
27次中含有6个周期多3次，27÷4=6个……3次，所以27应是重复6遍后的第三个人报的，即是丙报的。
54÷4=13个……2次，所以54应是重复13遍后的第二个人报的，即是乙报的。
配套练习：
出示例7
分析：要求的是积的个位上的数，因此我们只需考虑个位上的数的排列规律，1个7的时候，可以看作个位上的数是7，2个7相乘的积的个位上的数是9。
3个7相乘的积的个位上的数是3，4个7相乘的积的个位上的数是1，5个7相乘
的积的个位上的数是7……可以发现积的个位上的数依次以7、9、3、1不断重复出现，即每4个7为一个周期。
20个7中含有5个周期，20÷4=5，因此20个7连乘的积的个位上的数是第5个周期中的最后一个，即为1。
配套练习：
出示例8
分析：观察上表，我们可以找到表中有两个独立的排列规律，上面一行以“甲乙丙”三个字为一个周期重复出现，下面一行以“奥林匹克”四个字为一个周期重复出现。
要求第15组是哪两个字，必须分别求出上、下两行各是什么字才行。
现在，我们首先来求上一行字是什么。
15÷3=5个，没有余数，说明第15个字就是甲乙丙这个周期中的最后一个字，即丙字。
再求下一行字是什么。
15÷4=3个……3个，说明下一行第15个字是第4个周期中的第3个字，即匹字。
所以，第15组是“丙、匹”。
配套练习：
三、小结：同学们总结一下我们今天学的主要内容？
四、板书。
五、作业。
附页。