6弹塑性4_弹性基本问题与解法_2012课件第一部分
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弹塑性力学第一章 PPT资料共54页
16.11.2019
10
§1-2 基本假设和基本规律
2.1基本假设
假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积 内处处充满介质，没有任何间隙。
从材料的微观看此假设不正确。因为粒子 间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分 析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体 的各物理量为连续函数（坐标函数）。
16.11.2019
11
§1-2 基本假设和基本规律
假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内 各点的材料性质相同（力学特性相同），所 以从物体内任一部分中取出微元体进行研究， 它的力学性质代表了整个物体的力学性质。
16.11.2019
12
§1-2 基本假设和基本规律
假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物 体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。
哑标如：
3
rr1e1r2e2r3e3 riei riei r j e j 3 i1
uu1e1u2e2u3e3 uiei uiei u j e j
i1
33
1e 1 1 e 11e 1 2 e 2 .. ..3.e 3 3 e .3 ie jie jie jie j
排列符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 AA21 A22 A23eijkAi1Aj2Ak3eijkA1iA2jA3k
A31 A32 A33
（共六项，三项为正，三项为负）。
16.11.2019
32
§1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、 张量基本知识
2. 基向量的叉积：右手系
16.11.2019
弹塑性力学
授课教师：龙志飞 目录
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
#43; v ε ij = σ ij − δ ijσ kk E E
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
2019/10/18
28
§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
2019/10/18
12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
2019/10/18
13
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
2019/10/18
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
2019/10/18
10
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
《弹塑性分析》课件
未来研究将更加关注多物理场耦合的弹塑性分析，如结构-流体-热等多物理场的相互作用 ，需要发展更为复杂和高效的数值方法。
新材料和新工艺的弹塑性分析
随着新材料和新工艺的出现，对新材料和新工艺的弹塑性分析将成为未来的重要研究方向 ，包括对超弹性、粘弹性、粘塑性等方面的研究。
人工智能在弹塑性分析中的应用
人工智能技术在许多领域都取得了显著的成果，未来可以将人工智能技术应用于弹塑性分 析中，如利用机器学习算法进行模型预测和优化等。
03
建立每个单元的平衡方程，通过求解这些方程得到整个系统的
近似解。
弹塑性分析的有限元模型
材料属性
考虑材料的弹性模量、泊松比、屈服强度等 参数。
初始条件
设定模型在分析开始时的状态，如初始应变 、初始应力等。
边界条件
根据实际情况设定模型的边界条件，如固定 、自由、受压等。
载荷
根据实际情况施加适当的载荷，如集中力、 分布力等。
在建立弹塑性本构模型时，还需要考虑材料的 硬化或软化行为，以及温度、应变速率等对材 料力学行为的影响。
Hale Waihona Puke 03弹塑性分析的有限元方法
有限元方法的基本原理
离散化
01
将连续的物理系统离散成有限个小的单元，每个单元具有特定
的形状和大小。
近似解
02
用数学模型描述每个单元的行为，并使用近似解代替精确解。
平衡方程
弹塑性分析
目 录
• 弹塑性分析概述 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性分析的有限元方法 • 弹塑性分析的实例 • 弹塑性分析的展望与挑战
01
弹塑性分析概述
弹塑性材料的定义与特性
弹塑性材料
弹性
塑性
弹塑性材料的特性
新材料和新工艺的弹塑性分析
随着新材料和新工艺的出现，对新材料和新工艺的弹塑性分析将成为未来的重要研究方向 ，包括对超弹性、粘弹性、粘塑性等方面的研究。
人工智能在弹塑性分析中的应用
人工智能技术在许多领域都取得了显著的成果，未来可以将人工智能技术应用于弹塑性分 析中，如利用机器学习算法进行模型预测和优化等。
03
建立每个单元的平衡方程，通过求解这些方程得到整个系统的
近似解。
弹塑性分析的有限元模型
材料属性
考虑材料的弹性模量、泊松比、屈服强度等 参数。
初始条件
设定模型在分析开始时的状态，如初始应变 、初始应力等。
边界条件
根据实际情况设定模型的边界条件，如固定 、自由、受压等。
载荷
根据实际情况施加适当的载荷，如集中力、 分布力等。
在建立弹塑性本构模型时，还需要考虑材料的 硬化或软化行为，以及温度、应变速率等对材 料力学行为的影响。
Hale Waihona Puke 03弹塑性分析的有限元方法
有限元方法的基本原理
离散化
01
将连续的物理系统离散成有限个小的单元，每个单元具有特定
的形状和大小。
近似解
02
用数学模型描述每个单元的行为，并使用近似解代替精确解。
平衡方程
弹塑性分析
目 录
• 弹塑性分析概述 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性分析的有限元方法 • 弹塑性分析的实例 • 弹塑性分析的展望与挑战
01
弹塑性分析概述
弹塑性材料的定义与特性
弹塑性材料
弹性
塑性
弹塑性材料的特性
弹塑性力学PPT课件精选全文
◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
1-弹塑性力学第一章 绪 论 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件
第一章 绪 论 (Introduction)
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
1.1 研究内容
弹塑性力学是研究物体变形规律的一门学科， 是固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形体 内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
第一章 绪 论 (Introduction)
1.4 基本假设
假设的目的：为了简化研究 ✓ 连续性假设（无间隙、无空洞、无堆积） ✓ 均质、各向同性假设 ✓ 弹、塑性体假设
弹性体——满足广义虎克定律； 塑性体——符合体积不可压缩规律
✓ 小变形假设（几何假设。弹性：整个变形体；塑性： 各个变形瞬时）
✓ 无初始应力作用假设
工程弹塑性力学第四章弹性理论的解题方法.ppt
（1）叠加原理
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组外力（体 力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应 变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。
由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线性微分 （代数）方程，很容易证明这个原理成立。 对于非线性问题，此原理不能。
线弹性力学的几个原理
（2）解的唯一性定理
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，
然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位
考虑用位移表示的平衡方程式（4-9）拉梅方程，在不 考虑惯性力项时有：
( G),i G2ui fi 0
对式（a）求导一次，有：
( G),ii G2ui,i 0
（a）
( 2G)2 0
2 0
即体应变满足拉普拉斯方程，为调和函数。
J4U.4ST常体江积苏力科下技应大力学和位Jia移ngsu的Univ特ersit点y of Science and Technology
（4）物理方程 （本构方程）
各向异性材料：
ij Cijkl kl
Cijkl Cklij C jikl Cijlk
各向同性材料：
ij 2G ij ij
ii 11 22 33
或者
ij
1 2G
ij
3
2G
J1 ij
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
设线弹性体体积为V，表面为S，如果两组外力（体 力和面力）同时作用在物体上所产生的效果（应力、应 变和位移）等于它们分别作用所产生的效果之和。
由于线弹性力学的求解方程（15个）均为线性微分 （代数）方程，很容易证明这个原理成立。 对于非线性问题，此原理不能。
线弹性力学的几个原理
（2）解的唯一性定理
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。 尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实 际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原 因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解 题方法中经常采用如下方法：
（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，
然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位
考虑用位移表示的平衡方程式（4-9）拉梅方程，在不 考虑惯性力项时有：
( G),i G2ui fi 0
对式（a）求导一次，有：
( G),ii G2ui,i 0
（a）
( 2G)2 0
2 0
即体应变满足拉普拉斯方程，为调和函数。
J4U.4ST常体江积苏力科下技应大力学和位Jia移ngsu的Univ特ersit点y of Science and Technology
（4）物理方程 （本构方程）
各向异性材料：
ij Cijkl kl
Cijkl Cklij C jikl Cijlk
各向同性材料：
ij 2G ij ij
ii 11 22 33
或者
ij
1 2G
ij
3
2G
J1 ij
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
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第四章一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件
对于线弹性体小变形的线性问题，建立了一组线性方程组可以描述为在S 为边界的域V 上以u ,ε,σ作为求解变量的偏微分方程边值问题：微分提法
2
变分提法
积分提法
第四章
第四章适定问题：
第四章均匀变形状态()()1222111 1d d E c d d E c νν−=−=第四章弹性力学的基本方程和解法
一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 适定问题与非适定问题简例
蓝色：边界给定量
红色：边界未知量
6
适定问题例一
第四章蓝色：边界给定量
红色：边界未知量
7
适定问题例二第四章蓝色：边界给定量
红色：边界未知量
8
适定问题例三边界全部给定面力时约束刚体位移才能求得确定位移边界全部给定面力时给定面力和体积力必须整体平衡
第四章蓝色：边界给定量
红色：边界未知量
9
非适定问题例一有多余边界条件情况一般无解第四章蓝色：边界给定量
红色：边界未知量
10
非适定问题例二边界条件识别（逆问题）复杂！
第四章 1.3 界面连续条件
第四章弹性力学的基本方程和解法
一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件II I u u =II
I
i i u u =位移面力3个条件0t t =+II I 0II II I I =+ji j ji j n n σσII
I S II
S +−u
3个条件
+12
∀X ∈S I
t I I t
0)(II I I =−ji ji j n σσ界面连续条件应为边界条件个数的两倍I S
第四章第四章
第四章第四章
第四章第四章
第四章第四章
第四章第四章
第四章。