第一学期高等数学试卷(六)

原积分 0Fra bibliotek dt 2tdt 2 t 2 π π 2 arctan . 2 2 0 t 9 3 30 3 2 3 (t 9) t

六、解
lim
x 0

x2 0
t a t3 x4
dt
x2 2 x
6 1 1 lim a 3x lim . x 0 x 0 4x 2 a x6 2 a
由题意，有 七、解
1 , 解得 a 4. 2 a 4 lim (e x 1) ( x 2 ax b)
，
1
f ( x) 在 x 0 处可导必连续.为了使 f ( x) 在 x 0 处连续，应有
x 0 x 0
得 b 0.
x 2 ax 0 ex 1 0 f ( x) lim 1. a, x 0 x 0 x0 x0 为了使 f ( x) 在 x 0 处可导，应有 f ( x) f ( x) ，得 a 1. f ( x) lim
Y y y( X x).
当 Y 0 时，得 X x
y ， 由题意知 y 2x x y ， 即 y xy y 0.
或者，当 X 0 时，得 Y y xy .由题意知， 2 y y xy, 即 xy y 0. 解此微分 方程，得 xy C. 由于曲线经过点 (2,3) ，故 C 6. 所求曲线方程为 xy 6. 十二、解 导.
时，讨论 f ( x) 在点 x 0 处的连续性及可导性. 十三、 （14 分）设 y
x ，求： ( x 1) 2
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（1）函数的增减区间及极值；
（3）渐近线； （4）作出其图形. 十四、 （6 分）设 f ( x) 在 [0, a] 上连续，且 f (0) 0 ，证明：
由罗尔定理知，至少存在一点 (a, b), 使得 F ( ) 0. 而
F ( x) e g ( x ) g ( x) f ( x) e g ( x ) f ( x) ，
由 F ( ) 0 知
e g ( ) g ( ) f ( ) e g ( ) f ( ) 0,
0
a
max f ( x)
0 x a

a
0
xdx
Ma 2 . 2
令 F ( x) e g ( x ) f ( x), 由已知条件，F ( x) 在 [a, b] 上连续， 在 (a, b) 内可导，
F (a) e g ( a ) f (a ) 0, F (b) e g (b ) f (b) 0.
x 0
二、解
令 x t u , 则 dt du , f ( x) cos u 2 du cos u 2 du ，
x
0
df ( x) cos x 2 dx .
三、解 四、解
π 3 π π 2 4π V π (sin 2 x) 2 dx π sin 3 xdx 2 2 sin 3 xdx 2 π . 0 0 0 3 3 dy dy / dt sin t , dx dx / dt 2t
九、 （8 分）求函数 f ( x) x 3
3
x 在闭区间 [1,8] 上的最大值和最小值.
十、 （8 分）求微分方程 y y x 的通解. 十一、 （8 分）一条曲线经过点 P0 (2,3) ，它在两坐标轴间的任意切线段被切点所 平分，求该曲线的方程.
1 x sin , x 0, 十二、 （8 分）设函数 f ( x) ( 为实数)，试在 取不同的值 x x0 0,
d 2 y d dy d sin t 1 dx 2 dx dx dt 2t dx / dt cos t 2t 2sin t 1 t cos t sin t . 2 4t 2t 4t 3
五、解
令 x 2 t , 则 x t 2 2, dx 2tdt.
令 f ( x) 0, 得驻点 x0 1. 比较函数值
f (1) 2,
十、解
f (0) 0,
f (1) 2,
f (8) 2 ，
知 f ( x) 的最大值为 f (1) f (8) 2, 最小值为 f (1) 2. 原方程对应的齐次方程为 y y 0 ，特征方程为 r 2 1 0 ，特征根为
f ( ) f ( ) g ( ) 0 .
第一学期高等数学试卷（六）参考答案
一、解 方程
2x 2 y x2 y2 1 两 边 对 x 求 导 ， 得 y 0 ， 解 得 8 2 8 2
y P
0
x 4y
x2 y 1
1 . 法线斜率为 2 ，法线方程为 2 y 1 2( x 2), 即 y 2 x 3.
令 y 0 ，得 x2 2. 函数的特征列表如下：
x
(, 2)


2

(2, 1)


1
0

(1,1)

1
(1, )

y y y
0
拐点
凸、减
凹、减
2 2, 9
因为 lim
x
极小值 1 4
凹、增
凹、减
x x 0, 所以 y 0 为水平渐近线.又因为 lim , 所以 x 1 2 1 x ( x 1) ( x 1) 2
1. 当 0 时，极限 lim f ( x) 不存在， f ( x) 在点 x 0 处不连续、不可
x 0
2. 当 0 时，lim f ( x) lim x sin
x 0

x 0
1 0 f (0), 此时 f ( x) 在点 x 0 处连续. x

x 1 f ( x) f (0) lim sin ，该极限不存在，此时 f ( x) 3. 当 0 1 时，lim x 0 x 0 x x0 x 在 x 0 处不可导. x 1 f ( x) f (0) lim sin 0 ， f ( x) 在 x 0 处可导，且 4.当 1 时， lim x 0 x 0 x0 x x f ( x) 0.
3
x t 2 1, d 2 y 求 2. 四、 （4 分）设 y cos t , dx
五、 （4 分）计算广义积分
2
dx . ( x 7) x 2
x 0 x2 1 x 3 sin x 0
六、 （7 分）设常数 a 0 ，且极限 lim
t a t3
第一学期高等数学试卷（六）
一、 （4 分）求椭圆 x2 y2 1 在点 P (2,1) 处的法线方程. 8 2
x 0
二、 （4 分）设函数 f ( x) cos( x t ) 2 dt ，求 df ( x ). 三、 （4 分）求曲线 y sin 2 x (0 x π) 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所形成 的旋转体的体积.
即 f ( ) f ( ) g ( ) 0.
十三、解 当 x 1 时，函数连续且可导。当 x 1 时，
y ( x 1) 2 x 2( x 1) ( x 1) . ( x 1) 4 ( x 1)3

令 y 0 ，得驻点 x1 1.
y
( x 1)3 ( x 1) 3( x 1) 2 2( x 2) . ( x 1)6 ( x 1) 4
r1 1, r2 1. 齐次方程的通解为
Y C1e x C2e x .
原方程有一个特解 y x, 故原方程的通解为
y Y y C1e x C2 e x x.
十一、解 设曲线方程为 y y ( x) ，则曲线过点 P( x, y ) 的切线方程为
八、解 原积分 f (t )dt x 2 (3 sin x)dx ln xdx
1
令x 1 t
e
1
e
1
1
3x 2 dx ln xdx 2 x ln x 1 dx 3.
e
1
e
e
1
1
1
九、解
f ( x) 在 [1,8] 上连续，在 x 0 处不可导。当 x 0 时， f ( x) 1 x 2/3 .
dt
1 ，求常数 a . 4
x 2 ax b, x 0, 七、 （7 分）设函数 f ( x) x 在点 x 0 处可导，求 a, b . e 1, x 0
e 1 x 2 (3 sin x), x 1, 八、 （8 分）设函数 f ( x) 计算定积分 f ( x 1) dx . 0 x 1, ln x,

a
0
f ( x ) dx
Ma 2 , 2
其中 M max f ( x) .
0 x a
十五、 （6 分） 设函数 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， 且 f (a) f (b) 0 ， 证明：至少存在一点 (a, b) ，使得
为铅直渐近线，无斜渐近线.
十四、解 则
由拉格朗日中值定理， f ( x) f (0) f ( )( x 0), 即
f ( x) f ( ) x, 介于 0 与 x 之间.

十五、 解 且
a
0
f ( x)dx

a
0
f ( ) xdx f ( ) x dx