江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学 Word版含答案

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江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学(word版含答案)

江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．421(2)x x -的展开式中x 的系数为 A ．﹣32 B ．32 C ．﹣8 D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB AB AC x y =+，则A ．y ＝2xB ．y ＝﹣2xC ．x ＝2yD ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Q log 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为A ．1800B ．2700C ．7290D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1的距离为2C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 18．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b ++ A ．有最小值为4 B ．有最小值为221+C ．有最小值为143D ．无最小值二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面 B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()R y f t == sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有A ．()y f x =的图象不经过第三象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点12．数列{}n a 为等比数列A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝．16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC。

江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析

2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.【答案】{}1,3,9 【解析】【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =，由并集的运算可得{}1,3,9A B =，故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题. 2.如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 【答案】1 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值. 【详解】复数2()3bib R i-∈+，由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b bi i i i ----+==-++-，因为复数的实部与虚部互为相反数，即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =，故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.【答案】4 【解析】【分析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差. 【详解】由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=，由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=，故这五次测试成绩的方差为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________. 【答案】56【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56．故答案为56．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.根据如图所示的伪代码，当输入的,a b分别为2，3时，最后输出的b的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.【详解】由程序框图可知，当输入的,a b分别为2，3时，235a a b=+=+=，532b a b=-=-=，所以输出的2b=，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线的方程为2y x=±，则该双曲线的离心率为_______．5【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而225c a b a=+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线方程是y＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a =+=，∴5ce a==．故答案为5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4 【解析】【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MBAA BSS ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V SAC --==⨯⨯=⨯⨯=4．故答案为：4．【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 【答案】-5【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===，则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩，所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-，故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 【答案】12【解析】【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】()y f x =是定义在R 上的偶函数，所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，即当1x ≥时为周期等于1的周期函数，即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题. 10.已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.【答案】4 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅. 【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=，所以220OA OB -=，即OA OB =，所以O 在AB 的垂直平分线上，由题意可知1AC =，3BC =. 设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅ CM AB MO AB =⋅+⋅ ()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题. 11.已知sin222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________．【答案】1或85【解析】由sin222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=，当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++，故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++；（2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12.已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足23AB =.点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.【答案】[]4,8 【解析】【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解. 【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知()()222,435CP CO ==-+-=，则()222431OD OA AD =-=-=，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=，当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=，所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8，故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13.设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____.【答案】[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围.【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立，所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，当2a =时，显然成立；当12a ≤<时，2a y x -=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x ∈时恒成立，因而12a ≤<成立；当2a >时，2a y x -=在第一象限；若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解不等式可得72a ≥，综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题. 14.在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 【答案】215【解析】【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简，并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1PBC ；（2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ；（2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线，所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ，所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点. 所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥ 又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩，所以PB ⊥平面11AAC C ，而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题.16.已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的【解析】【分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭153sin 2x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=; 由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为[0,]x π∈，则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当1522x ππ+=时，函数()y f x =的最大值为3，解得此时12x π=.【点睛】本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB △为等边三角形,求k 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b 的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b ±±，因此易得,a b ；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB △是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB ⊥且3PO AO =，我们采用PO AB⊥且3PO AO=，由线段AB的中垂线与直线l相交求得点P的坐标，计算PO，直线y kx=与椭圆相交求得A点坐标，计算AO，利用3PO AO=求得k值，由于涉及到AB的垂线．因此对k按0k=和0k≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1a b==,椭圆C的方程为2213xy+=(2)设()11,A x y,则()11,B x y--（i）当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线的交点为(0,3)P,又3,3AO PO==23AB PA PB⇒===，所以PAB△是等边三角形,所以0k=满足条件；(ii)当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx=所以221{3xyy kx+==，化简得解得12331xk=+所以222233313131kAO kk k+=+=++又AB的中垂线为1y xk=-，它l的交点记为00(,)P x y由30{1x yy xk+-==-解得31{31kxkyk=--=-则2299(1)k PO k +=-因为PAB △为等边三角形，所以应有3PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =- 综上可知，0k =或1k =-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B 两点，30BAC ︒∠=，小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）（1）若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值. 【答案】（1）2；（243【解析】【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值.【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯，化简可得222411644x t t t ⎛=-+=-+ ⎝，因为01t <≤，所以11t≥，则当1t=3t =时，2x 取得最小值，此时2x =，所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2. （2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦，整理化简可得()2212840m m v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，设(),0,1mk k t=∈，则上式可化为()2212840k k v +-+-=在()0,1内有解，则()()22841240v ∆=--⨯⨯-≥，解得0v <≤，当3v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值为3. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题.19.已知函数()(),ln xf x eg x x ==．（1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立．【答案】（1）()h x 的单调增区间为（0，2]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一．（3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令21()20x x h x x x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=-=≥，解得0x ≤＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0，2]．（2）证明：设x 0＞1，1()g x x'=，可得切线斜率01k x =，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-．假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ．则k=1x e ，∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-．化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1．下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增．又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．（3）证明：()111x f x e x x x----=，令v （x ）＝e x﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增， ∴v （x ）＞v （0）＝0．∴()1110x f x e x x x----=＞，∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0，解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立．【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b+放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式.【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-；等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈. 所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-，化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立，所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+，则()21412211n n b n n a +=+=+-=，所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）由（1）可知41n b n =+，则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n nB n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++，综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.选做题:本题包括三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21.设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程. 【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ，可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-.【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P 1，求实数a 的值.【答案】1a = 【解析】【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值. 【详解】直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为d ==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 1，1a =，0a >，解得1a =.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋【答案】证明见解析【解析】【详解】∵x，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥．同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++．必做题:第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．【答案】（1）6（2）()E X =10.【解析】【详解】（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229nC C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.62(1)93P X ===；361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.7 25.设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S .（1）求22S 和42S 的值；(2)当m n <时，求证：11322nnm n m S ++<+-.【答案】（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。

【数学】苏州市2020届高三年级上学期期末试卷数学及答案

10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x＋my＋m＋2＝0(mR)上存在点 P，使得过点 P 向
圆 O：x2 y2 2 作切线 PA（切点为 A），满足 PO＝ 2 PA，则实数 m 的取值范围为
．
【答案】m≥ 4 或 m≤0. 3
【解答】由勾股定理知道：PO2 PA2 r2 ，又 PO＝ 2 PA，因此 PA2=r2，即 PA=r，因此
F1O OP
c b
tan
F1PO
tan
60
3 ，因此
e c c2 c2 ( 3b)2 3 6 。 a a2 c2 b2 ( 3b)2 b2 2 2
x 0
8．若
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
x y 1 0
【答案】3. 【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3. 9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y 1 与函数 f (x) sin(x ) ( ＞0)的图
2
6
象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，…，若点 A1 的横坐标为 1，则点 A2 的横坐
标为
．
【答案】3.
【解答】点
A1 的横坐标为
1，纵坐标为
1
，代入函数
f
(x)
sin( x
PO= 2r ，现在即将题目转化为：直线上存在点到圆心距离为 2r 。因此只要让圆心到直线
的最小距离 d≤ 2r 即可。 d | 0 0 m 2 | 2 2 ，即| m 2 | 2 1 m2 ，两边 12 m2

江苏省苏州市高三(上)2020届数学期末汇编数列

1. （2018·苏州期末·8）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为．【答案】942. （2018·苏州期末·19）已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若2123n n n a S S -++=（n ∈N *，n ≥2），且12a =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q ≠1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10n T ．若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得(1)k n knT T +为定值，求首项1a 的值．【答案】解（1）①当2n ≥时，由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥············································· 2分当2n =时，由①知2212123a a a a +++=，即2223100a a --=，解得25a =或22a =-（舍），所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ········································································· 5分（注：不验证213a a -=扣1分）②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n nS -++==，由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，记2232n n n nc ++=，则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥，所以21231142n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ······································································· 8分当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =，且31516c =，278c =，112c =，所以当3n =时，2232n n n nc ++=取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ················································································· 11分（2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ⋅⋅⋅=，两边取常用对数，12lg lg lg n n T a a a +++=．令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ·············································· 13分若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT T μ+=，则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+，即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，因为0,1q q >≠，问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或.因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，所以21a q =，又0,n a >故1a = ·················································································· 16分 3. （苏州市2017届高三上期末调研测试）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 的值为【答案】－134. （苏州市2017届高三上学期期末）19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n﹣2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足=﹣﹣…+（﹣1）n +1，求数列{b n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设c n =2n +λb n ，问是否存在实数λ使得数列{c n }（n ∈N *）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．【答案】解：（1）由S n =2a n ﹣2（n ∈N *），可得a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2；n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为：a n =2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n =2n ．（2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n +1，∴=﹣﹣…+，∴=（﹣1）n +1，∴b n =（﹣1）n．当n=1时，=，解得b 1=．∴b n =．（3）c n =2n +λb n ，∴n ≥3时，c n =2n +λ，c n ﹣1=2n ﹣1+（﹣1）n ﹣1λ，c n ﹣c n ﹣1=2n ﹣1+＞0，即（﹣1）n •λ＞﹣．①当n 为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅当n=4时，λ＞﹣．②当n 为大于或等于3的奇数时，λ＜，当且仅当n=3时，λ＜．当n=2时，c 2﹣c 1=﹣＞0，即λ＜8．综上可得：λ的取值范围是．5. （苏州市2016届高三上期末）已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为【答案】5或66. （苏州市2016届高三上期末）已知数列{}n a 满足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R .（1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值；（2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围.【答案】解：（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+，由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =. ………………3分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ………………………4分当1p =时，113n n n a a -+-=，∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分（2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. ………………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立，即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. ………………………10分当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥；当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥；当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； ………………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--，即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. ………………………15分综上所述，2734q ≤≤. ………………………16分法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. …………………………………………………………8分此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. …………………………………………………………10分当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥，所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. …………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项，即所求q 的取值范围为27[3,]4. …………………………………………………………16分 7. （苏州市2015届高三上期末）已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为【答案】28. （苏州市2015届高三上期末）已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n . 【答案】解：（1）设2n n b a λ=-，因为()21122221213n n n nn n a n b a b a a λλλλ+++++--==--()()222211621133n n n n a n n a a a λλλλ-++-+-==--． …………………………………2分若数列{}2n a λ-是等比数列，则必须有22113n n a q a λλ+-=-（常数），即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， …………………5分此时1213131102326b a a =-=+-=-≠，所以存在实数32λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分（注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分）（2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列，故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭，……10分所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11133(1)2691213nn n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233nnn n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………12分显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2212231536232nn n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->．综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分 9. （苏州市2014届高三上期末调研测试）4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ．【答案】1410. （苏州市2014届高三上期末调研测试）19.（本小题满分16分）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n+ n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．【答案】解：（1）∵a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1，设21(1)(1)n a a n b n c ++++++= 2 (a n +2an bn c ++)，……………… 2分也即212(2)n n a a an b a n c a b +=++-+--． ……………… 4分∴1,24,1.a b a c a b =⎧⎪-=-⎨⎪--=⎩∴a = 1，b = - 2，c = 0． ……………… 6分 ∵a 1 + 1 - 2 = 2，∴存在2()2f n n n =-，使数列{ a n +22n n -}是公比为2的等比数列．……… 8分∴212222n n n a n n -+-=⨯=．则222n n a n n =-+． ……………… 10分（2）∵a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1，即221(1)2(1)2(2)n n a n n a n n +++-+=+-， ∴2112(1)2n n a n n a -+-=-．即121(1)22n n a a n n -=--+． ………… 12分 ∴121(1),(1)223(2).n n a n b a n n -=⎧⎪=⎨--+⎪⎩≥ ………… 14分 ∵{b n }是等差数列，∴a 1 = 1，b n = -2n + 3． ………… 16分11. （苏州市2013届高三第一学期期末）19.(本小题满分16分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值． 12. （苏州市2012届高三高三调研测试）4.在等比数列{}n a 中,若3578a a a =-,则24a a =________ 【答案】413. （苏州市2012届高三高三调研测试）19. (本题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈. （1）求d 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）求证:2112122()()(1)(2)n n n a a a S S S n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<++.。

江苏省2020届高三上学期考试数学试卷及答案.doc

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ，所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32；对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2，所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==；（2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-，直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=，设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”，所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59．则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ．所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】（1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

江苏省2020届高三上学期期末考试数学 Word版含答案

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1 参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x －)2，其中x －＝1nx i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．(第3题)1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2＞0}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．4. 函数y ＝2x －1的定义域是________．5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23，x ＞0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin(2x ＋π3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________．9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________．10. 已知cos （π2－α）cos α＝2，则tan 2α＝________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________．12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB →|恒成立，则cos ∠ABC ＝________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cos B ＝33. (1) 若A ＝π3，求sin C 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值．16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率．请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)．(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．已知函数f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a2x2＋1(a∈R)．(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，n ∈N *.(1) 求数列{a n }通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”；(3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-2：矩阵与变换)已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6)．(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值．B. (选修4-4：坐标系与参数方程)求圆心在极轴上，且过极点与点P(23，π6)的圆的极坐标方程．C. (选修4-5：不等式选讲) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23. 设集合A＝{1，2}，A n＝{t|t＝a n·3n＋a n－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1，2，…，n}，n∈N*.(1) 求A1中所有元素的和，并写出集合A n中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n(n≥2，n∈N*)分成两个没有公共元素的子集B s＝{b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －15 8. π129. 64 10. －22 11. 2 12. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. 解：(1) 在△ABC 中，0＜B ＜π，则sin B ＞0.因为cos B ＝33，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－（33）2＝63.(3分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分) 所以sin C ＝sin(π3＋B)＝sin π3cos B ＋cos π3sin B ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分)(2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accos B ＋c 2，则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)(c ＋33)＝0.(12分)因为c ＋33＞0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16.证明：(1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN ，在三角形PCD 中，点M ，E 为PD ，PC 的中点，所以EM ∥CD ，EM ＝12CD.在三角形ABC 中，点F ，N 为BC ，AC 的中点，所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD ，从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形．(4分)所以MN ∥EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面 PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分)因为AP ＝AD ，点M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD. 因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD.(12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. 解：(1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)．点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题可设点M(x 1，y 1)，0＜x 1＜2，y 1＜0，点N(x 2，y 2)，x 2＞0，y 2＞0，则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)．由AM →＝－132AN →知，点A ，M ，N 共线．(5分)由题知直线AM 的斜率存在，可设为k(k ＞0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k21＋k 2，所以N(2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)．(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k2，所以M(8k 2－63＋4k 2，－12k3＋4k 2)．(10分)代入AM →＝－132AN →得(8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2)＝－132(1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2)，即(4k 2－9)(52k 2＋51)＝0，又k ＞0，解得k ＝32，(13分)所以M(1，－32)，又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分)18. 解：(1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O ，设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP.因为ABCD 是边长为10 2 cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)．由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2.(2分)因为PM ＞OM ，即10－x 2＞x2，所以0＜x ＜10.(4分)因为S ＝4×12FG ·PM ＝2x(10－x2)＝20x －x 2，(6分)由20x －x 2≥75，得5≤x ≤15，所以5≤x<10.答：x 的取值范围是5≤x ＜10.(8分)(2) 在Rt △OMP 中，因为OM 2＋OP 2＝PM 2，所以OP ＝PM 2－OM 2＝（10－x 2）2－（x2）2＝100－10x ，V ＝13·FG 2·OP ＝13x 2100－10x ＝13100x 4－10x 5，0＜x ＜10.(10分)设f(x)＝100x 4－10x 5，0＜x ＜10，所以f′(x)＝400x 3－50x 4＝50x 3(8－x)．令f′(x)＝0，解得x ＝8或x ＝0(舍去)，(12分) 列表：＋－所以当x ＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分) 所以当x ＝8时，V 的最大值为12853.答：当x ＝8 cm 时，包装盒容积V 最大为12853(cm 3)．(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝(2ax ＋2)ln x ＋(ax 2＋2x)·1x ＋ax ＝2(ax ＋1)ln x ＋2ax ＋2＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，(2分)则f′(1)＝2(a ＋1)＝2，所以a ＝0.(3分)此时f(x)＝2xln x ＋1，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2(ln x ＋1)，令f′(x)＞0，解得x ＞1e ；令f′(x)＜0，解得x ＜1e；所以函数f(x)的单调增区间为(1e ，＋∞)，单调减区间为(0，1e)．(6分)(2) 函数f(x)＝(ax 2＋2x)ln x ＋a2x 2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．由(1)知f′(x)＝2(ax ＋1)(ln x ＋1)，1) 当a ≥0时，对任意x ∈(1，e)，ax ＋1＞0，ln x ＋1＞0，则f′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)2) 当a ＜0时，令f′(x)＝0，得x ＝1e 或－1a ，其中1e＜1，①若－1a ≤1，即a ≤－1，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＜0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝a 2＋1＞0，且f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1)＝3e 2－4e －23e 2＞0，即－2（2e ＋1）3e 2＞－1，所以a 的取值范围是－2＜a ≤－1；(10分)②若－1a ≥e ，即－1e ≤a ＜0，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(12分)③若1＜－1a ＜e ，即－1＜a ＜－1e ，则对任意x ∈(1，－1a )，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，－1a ]上单调递增，对任意x ∈(1，－1a ]，都有f(x)＞f(1)＝a2＋1＞0成立；(1分)对任意x ∈(－1a ，e)，f ′(x)＜0，函数f(x)在区间[－1a ，e]上单调递减，由题意得f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1＜0，解得a ＜－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1e )＝3e －4e －23e 2＝－e －23e 2＜0，即－2（2e ＋1）3e 2＜－(－1e )，所以a 的取值范围是－1＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(15分)综上，实数a 的取值范围是－2＜a ＜－2（2e ＋1）3e 2.(16分)20. 解：(1) 设等比数列{a n }公比为q ，由8a 3＝4a 2＝1得8a 1q 2＝4a 1q ＝1，解得a 1＝q ＝12，故a n ＝12n .(3分)(2) |a n －(a 2n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪12n －（14n ＋1）＝⎪⎪⎪⎪（12n －12）2＋34＝(12n －12)2＋34.(5分) 对任意正整数m ，当n ∈N *，且n ≤m 时，有0＜12m ≤12n ≤12，则(12n －12)2＋34＜14＋34＝1，即|a n －(a 2n ＋1)|≤1成立，故对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”．(8分) (3) 由S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，得到S n (b n ＋1－b n )＝12b n b n ＋1，且b n ，b n ＋1≠0，从而b n ＋1－b n ≠0，于是S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）.(9分)当n ＝1时，S 1＝b 1b 22（b 2－b 1），b 1＝1，解得b 2＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1），又b n ≠0，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n ，所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，因此数列{b n }为等差数列．因为b 1＝1，b 2＝2，则数列{b n }的公差为1，故b n ＝n.(11分)根据条件，对于给定正整数m(m ≥5)，当n ∈N *且n ≤m 时，都有⎪⎪⎪⎪1a n －（b 2n ＋k ）＝|2n －(n 2＋k)|≤L 成立，即－L ＋2n －n 2≤k ≤L ＋2n －n 2 ①对n ＝1，2，3，…，m 都成立．(12分)考查函数f(x)＝2x －x 2，f ′(x)＝2x ln 2－2x ，令g(x)＝2x ln 2－2x ，则g′(x)＝2x (ln 2)2－2，当x ＞5时，g′(x)＞0，所以g(x)在[5，＋∞)上是增函数．因为g(5)＝25ln 2－10＞0，所以当x ＞5时，g(x)＞0，则f′(x)＞0，所以f(x)在[5，＋∞)上是增函数．注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，故当n ＝1，2，3，…，m 时，－L ＋2n －n 2的最大值为－L ＋2m －m 2， L ＋2n －n 2的最小值为L －1.(14分) 欲使满足①的实数k存在，必有－L ＋2m －m 2≤L －1，则L ≥2m －m 2＋12，因此L 的最小值2m －m 2＋12，此时k ＝2m －m 2－12.(16分)2020届高三模拟考试试卷(常州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12.(4分) (2) 点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，(6分)所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2321－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(8分) 所以a ＝1，b ＝1，得a ＋b ＝2.(10分) B. 解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcos θ. 因为点P(23，π6)在圆上，所以23＝2rcos π6，解得r ＝2.因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(10分) C. 解：函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的定义域为[0，＋∞)，x ＋1＞0.(2分)x －2x ＋6x ＋1＝（x ＋1）2－4（x ＋1）＋9x ＋1＝(x＋1)＋9x ＋1－4≥2（x ＋1）·9x ＋1－4＝2，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝4时取到“＝”．(8分)所以当x ＝4时，函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值为2.(10分)22. 解：(1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝3431 000，所以P(A)＝1－P(A)＝1－3431 000＝6571 000.(3分)答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571 000.(4分)(2) X ～B(3，0.3)，P(X ＝k)＝C k 30.3k (1－0.3)3－k ，k ＝0，1，2，3，(6分) 随机变量X 的分布如表：(8分)E(X)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910.答：随机变量X的数学期望是910.(10分)23. 解：(1) A1＝{t|t＝a1·3＋a0，其中a i∈A，i＝0，1}＝{4，5，7，8}．所以A1中所有元素的和为24，集合A n中元素的个数为2n＋1.(2分)(2) 取s＝l＝2n.下面用数学归纳法进行证明．①当n＝2时，A2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)取b1＝13，b2＝17，b3＝23，b4＝25，c1＝14，c2＝16，c3＝22，c4＝26，有b1＋b2＋b3＋b4＝c1＋c2＋c3＋c4＝78，且b21＋b22＋b23＋b24＝c21＋c22＋c23＋c24＝1 612成立．(4分)即当n＝k＋1时也成立．(9分)综上可得：能将集合A n，n≥2分成两个没有公共元素的子集B s＝{ b1，b2，b3，…，b s}和C l＝{c1，c2，c3，…，c l}，s，l∈N*，使得b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c2l成立．(10分)。

2020届江苏省苏州市高三上学期期末考试数学

绝密★启用前2020届江苏省苏州市高三上学期期末考试数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 是锥体的高．球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x ≥1}，B ＝{－1，0，1，4}，则A ∩B ＝________．2. 已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi)(2＋i)的虚部为3，则实数b 的值为________．3. 从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________．4. 为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图(如图)．已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是________．(第4题) (第5题)5. 如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为________．6. 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，则“a 1＜a 2”是“a 3＜a 5”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b)．若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为________．8. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，x ＋y －1≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为2π5，弧长为4π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝2作切线PA(切点为A)，满足PO ＝2PA ，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝12与函数f(x)＝sin(ωx ＋π6)(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，….若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为________．12. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ →·EF →的值为________．13. 已知实数x ，y 满足x(x ＋y)＝1＋2y 2，则5x 2－4y 2的最小值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧exe x ，x ≤2，4x －85x，x ＞2(其中e 为自然对数的底数)．若关于x 的方程f 2(x)－3a|f(x)|＋2a 2＝0恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)．(1) 当a ∥b 时，求tan 2x 的值；(2) 设函数f(x)＝2(a ＋b )·b ，且x ∈(0，π2)，求f(x)的最大值以及对应的x 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点． (1) 求证：DE ∥平面ACC 1A 1； (2) 若DE ⊥AB ，求证：AB ⊥B 1C.17. (本小题满分14分)为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB ＝2π3，OB ＝23(百米)，荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在AB ︵上(C 与A ，B 不重合)，在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC ＝θ，蜂巢区的面积为S(平方百米)．(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点(1，32)的上辅点为(1，3)．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标；(3) 过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．已知数列{a n}满足2S n＝na n＋a1，a3＝4，其中S n是数列{a n}的前n项和．(1) 求a1和a2的值及数列{a n}的通项公式；(2) 设T n＝1S1＋2＋1S2＋4＋1S3＋6＋…＋1S n＋2n(n∈N*)．①若T k＝T2T3，求k的值；②求证：数列{T n}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．已知函数f(x)＝a ＋ln xx(a ∈R)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当函数f(x)与函数g(x)＝ln x 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；(3) 求证：当a ∈(0，12)时，函数h(x)＝f(x)－ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＜1a .2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝[1a b 1]的逆矩阵为M －1＝[c 20d]，求矩阵N ＝[a b c d]的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，AP ︵的长度为π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点P 的极坐标；(2) 求直线AP 的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)若x ∈(－5，4)，求证：5＋x ＋8－2x ≤3 3.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA＝4，DD1＝6，DC＝6，E为棱BC的中点，F 为线段D1E的中点，G是棱AB上的一个动点(包含端点)．(1) 若G为AB的中点，求异面直线FG与DE所成角的余弦值；(2) 若二面角GDFE的平面角的余弦值为510，求点G的位置．23. 已知f(n)＝(2－1)n，n∈N*.(1) 若f(5)＝a＋b2，其中a，b∈Z，求a＋b的值；(2) 求证：对任意的正整数n，f(n)可以写成m－m－1的形式，其中m为正整数．。

2020届江苏省苏州市高三数学上学期期末考试数学试题含解析

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合，，则 ________.
〖答案〗
〖解析〗
〖分析〗
进行交集的运算即可．
〖详解〗，，0，1，，
，．
故答案为：，．
10.在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在点P，使得过点P向圆作切线PA（切点为A），满足，则实数m的取值范围为________.
〖答案〗或
〖解析〗
〖分析〗
根据题意，由切线的性质分析可得，进而结合点到直线的距离公式可得，解可得的取值范围，即可得答案．
〖详解〗根据题意，圆，其圆心为，半径，
若点向圆作切线，满足，又由，
则有，变形可得，
若直线上存在点，满足题意，必有，
变形可得：，
解可得：或，即的取值范围为或；
故答案为：或．
〖点睛〗本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
11.在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.
〖详解〗作出不等式组对应的平面区域如图：
设得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，
直线的纵截距最大，此时最大，
此时，
故答案为：3．
〖点睛〗本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.
9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该冰淇淋的体积是________ .

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题

江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题(满分160分,考试时间120分钟）2020．2参考公式：锥体的体积V＝错误!Sh,其中S为锥体的底面积，h是锥体的高．球的体积V＝错误!πr3，其中r表示球的半径．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分．1. 已知集合A＝{x｜x≥1｝，B＝{－1，0，1，4｝，则A∩B＝________．2。

已知i是虚数单位,复数z＝（1＋bi)（2＋i)的虚部为3，则实数b 的值为________．3。

从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________．4。

为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数,得到以下频率分布直方图(如图）．已知在［5，7）之间通过的车辆数是440辆，则在［8，9)之间通过的车辆数是________．（第4题) （第5题) 5。

如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为________．6. 已知等比数列｛a n}中，a1＞0，则“a1＜a2”是“a3＜a5”的________条件．(填“充分不必要"“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)7. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0，b＞0)的左、右焦点,点P的坐标为（0,b)．若∠F1PF2＝120°,则该双曲线的离心率为________．8。

若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋3y的最大值为________．9。

如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为错误!，弧长为4π cm的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm3.10。

在平面直角坐标系xOy中,若直线x＋my＋m＋2＝0(m∈R)上存在点P，使得过点P向圆O：x2＋y2＝2作切线PA（切点为A），满足PO＝2PA，则实数m的取值范围是________．11。

2020年江苏省苏州市南麻中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年江苏省苏州市南麻中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数的取值范围是（）（A）（－1，1）（B）（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）参考答案：答案：D2. 设函数，，给定下列命题：①若方程有两个不同的实数根，则；②若方程恰好只有一个实数根，则；③若，总有恒成立，则；④若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（）A.1B. 2C. 3D. 4参考答案：C对于①，的定义域，，令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故①正确对于②，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。

由大致图像可知或，故②错对于③当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则，于是，故③正确.对于④有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由③可知，，即，则④正确.故正确命题个数为3，故选.3. （5分）关于命题p：A∪?=?，命题q：A∪?=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假 B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假 D．（￢p）∧q为真参考答案：C【考点】：复合命题的真假．【专题】：计算题．【分析】：利用集合知识，先判断出命题p：A∩?=?是真命题，命题q：A∪?=A是真命题，再判断复合命题的真假．解：∵命题p：A∩?=?是真命题，命题q：A∪?=A是真命题，∴（￢p）∨q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨（￢q）为假命题，（￢p）∧q为假命题，故选C．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4. 已知函数f（x）的图象是连续不断的，给出x，f（x）对应值如表：A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用零点判定定理，直接找出几个即可．【解答】解：由图可知，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，由零点存在定理知在区间（2，3）上至少有一个零点，同理可以判断出在区间（3，4）、（4，5）上各至少有一个零点，所以在区间[1，6]上的零点至少有三个．故选：B．5. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点与焦点的距离为2，则（）A．4 B．4或-4 C. -2 D．-1或2参考答案：D由题意可设抛物线方程为,由抛物线定义得,所以选D.6. 已知集合,,则“”是“”的（）．．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件参考答案：C略7. 在等比数列的值为A．9 B．1 C．2 D．3参考答案：答案：D8. （09年湖北重点中学4月月考理）已知，设集合，则A的子集个数共有（）A、0个B、1个C、2个D、无数个参考答案：B9. 已知函数是偶函数，则的图象与轴交点纵坐标的最小值为（）A． B． C．D．参考答案：A略10. 圆与直线没有公共点的充要条件是【】A． B．C． D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，5）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答：解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，∴m的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．12. 某校组织数学竞赛，学生成绩_____________.参考答案：略13. 正方体的棱长为2，点是的中点，点是正方形所在平面内的一个动点，且满足，到直线的距离为，则点的轨迹是__________．参考答案：两个点14. 在平面直角坐标系xOy 中，点A在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.参考答案：(e,1)【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，，点A在曲线上切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．15. 在极坐标中，曲线与的交点的极坐标为____________.参考答案：16. 设是定义在上的周期为2的偶函数，且当时，，则=______参考答案：17. 数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是▲．（请填写所有正确选项的序号）① ；② ；③ ；④ ．参考答案：【答案解析】①③解析：解：因为数列是公比为的等比数列，所以①成立;而④，只有当为正数才成立，不一定成立；又因为是首项为12的等差数列，所以是递减数列，③成立，当公差很小时②不成立，所以答案为①③【思路点拨】根据数列的概念进行分析.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省苏州市高三(上)2020届数学期末汇编圆锥曲线

1. （2018·苏州期末·3）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为．【答案】(2,0)-2. （2018·苏州期末·18）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】解（1）由题意c a =a =， ·························································· 1分又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=， 2分解得3c =，a =2229b a c =-=， ······························································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ············································································· 6分（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ························································ 7分当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ························· 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ······································································· 9分对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y , 则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k+==-++．·········································································· 12分（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ··························· 16分 3. （苏州市2017届高三上学期期末调研3）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为4. （苏州市2017届高三上学期期末17．）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，并且过点P （2，﹣1）（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过p 点作两条直线分别交椭圆C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．【答案】（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C 过点P （2，﹣1）， ∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；（2）证明：由题意，设直线PA的方程为y+1=k（x﹣2），联立，得（1+4k2）x2﹣8（2k2+k）x+16k2+16k﹣4=0．∴，即．∵直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，设直线PB的方程为y=1=﹣k（x﹣2），同理求得．又，∴y1﹣y2=k（x1+x2）﹣4k．即=，．∴直线AB的斜率为．5.（苏州市2016届高三上期末）双曲线22145x y-=的离心率为【答案】3 26.（苏州市2016届高三上期末）如图，已知椭圆O：x24＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求PB PM⋅的取值范围．【答案】（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y -，联立，221,41,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得71,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ． ………………2分连BF ，则直线BF11y+=，即0x -=，而2BF a ==，1|72d +==． ………………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ………………………5分（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--，联立2211,1,4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分 ② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1x P y --+. …………………7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+，所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++，所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． …………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分 7. （苏州市2015届高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为【答案】2213y x -=8. （苏州市2015届高三上期末）如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.【答案】解：（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m+2）．代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=，解得32m =-或0m =（舍）． ………………………………………………3分所以A （3-，1-），故直线AB 的方程为360x y ++=． …………………………………………………6分（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-．设(,)M M M x y ,由A ，P ，M 三点共线，即AP AM ，∴00(3)(1)(1)(3)M M x y y x ++=++，又点M 在直线y=x 上，解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+， (9)分设(,)N N N x y ，由B ，P ，N 三点共线，即BP BN ，∴00(2)(2)N N x y y x +=+，点N 在直线y=x 上，，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--． (12)分所以OM ·0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6．…………………… 16分 9. （苏州市2014届高三上期末调研测试）18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．【答案】解：（1）由条件，a = 2，2ce =，代入椭圆方程，得221144c b+=． ………… 2分 ∵224b c +=， ∴21b =，c 2 = 3．∴椭圆的方程为2214x y +=．………… 5分（2）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y = kx ，代入椭圆方程2214x y +=，即x 2 + 4y 2 = 4，得22(14)4k x +=，∴C x =则C）． ………… 7分又直线AB 方程为y = k (x - 2)，代入椭圆方程x 2 + 4y 2 = 4，得2222(14)161640k x k x k +-+-=． ∵2A x =，∴222(41)14B k x k -=+．则B （2222(41)4,1414k kk k --++）． ………… 9分 ∵0OC OB ⋅=20=．∴212k =．∵C 在第一象限，∴k > 0，k =．………… 12分∵OC =，222222(41)444(2,0)(,)14141414k k kBA k k k k --=--=++++，由OC BA λ=，得λ= ………… 15分∵k =，∴λ． ………… 16分 10. （苏州市2013届高三第一学期期末）9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为．【答案】211. （苏州市2013届高三第一学期期末）18.(本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA =，椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB 取得最小值时，求点P 的坐标；（3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ=，求实数λ的取值范围．12. （苏州市2012届高三高三调研测试）5.与双曲线221916x y -=有公共的渐近线,且经过点(3,A -的双曲线方程是__________.【答案】9x 42-4y 2=113. （苏州市2012届高三高三调研测试）18. (本题满分16分)如图,设点P 是椭圆22:14x E y +=上的任意一点(异于左,右顶点A,B ).（1）若椭圆E 的右焦点为F ,上顶点为C ,求以F 为圆心且与直线AC 相切的圆的半径; （2）设直线,PA PB 分别交直线10:3l x =与点M,N ,求证:PN BM ⊥.。

江苏省苏州市吴江中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省苏州市吴江中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3参考答案：略2. 设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：B【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3. 设集合，，满足且的集合的个数是（）参考答案：C略4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．112参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．5. 已知′是函数的导函数，如果′是二次函数，′的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由题意知，所以，即，所以，选B.6. 已知函数，若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略7. “非空集合不是的子集”的充要条件是（）A． B．C．，又 D．参考答案：D8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．9. 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f（x）=( ) A．e x+1 B．e x﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1参考答案：D【考点】函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意得出y=e x，关于y轴对称，再向左平移1个单位即可，运用规律求解得出解析式．【解答】解：y=e x关于y轴对称得出y=e﹣x，把y=e﹣x的图象向左平移1个单位长度得出y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1，∴f（x）=e﹣x﹣1，故选：D【点评】本题考查了函数图象的对称，平移，运用规律的所求函数即可，难度不大，属于容易题．10. 三个数之间的大小关系是（）。

江苏省苏州市庙港中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省苏州市庙港中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知变量x，y满足约束条件，则z=2x?4y的最大值为( )A．64B．32C．2D．参考答案：B考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可．解答：解：由于目标函数 z=2x?4y =2x+2y，令 m=x+2y，当m最大时，目标函数 z就最大．画出可行域如图：可得点C（3，1）为最优解，m最大为5，故目标函数 z=2x?4y =2x+2y的最大值为25=32，故选B．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，一般在求目标函数的最值时，常用角点法，就是求出可行域的几个角点，分别代入目标函数，即可求出目标函数的最值．2. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a、b、i的值分别为6、8、0，则输出a和i的值分别为（）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4参考答案：C【分析】执行循环，直至终止循环输出结果.【详解】执行循环，得，结束循环，输出，此时,选C.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3. 函数f（x）=xe x﹣e x+1的单调递减区间是（）A．（﹣∞，e﹣1）B．（1，e）C．（e，+∞）D．（e﹣1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用．【分析】求出f′（x）=﹣xe x，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．【解答】解：∵f（x）=xe x﹣e?e x，∴f′（x）=e x+xe x﹣e?e x，由f′（x）＜0，可得e x+xe x﹣e?e x＜0，即1+x﹣e＜0，解得x＜e﹣1．∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，e﹣1）．故选：A．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．4. （09年湖北重点中学4月月考理）已知不等式，对任意恒成立，则a 的取值范围为（）A． B．C．（1，5） D．（2，5）参考答案：B5. 已知命题、，则“为真”是“为真”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若,,则C．若，,，则D．若，且，点，直线，则参考答案：C8. 已知集合M={x|log3x≤1}，N={x|x2﹣2x＜0}，则( )A．M=N B．M∩N=? C．M∩N=R D．N?M参考答案：D考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式求得M，解一元二次不等式求得N，从而得到M、N间的关系．解答：解：∵集合M={x|log3x≤1}={x|0＜x≤3}，N={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，∴N?M，故选：D．点评：本题主要考查对数不等式、一元二次不等式的解法，两个集合间的包含关系，属于基础题．9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A. B.6π C.2π D.24π参考答案：B10. 设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：C 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值是。

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2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝Ｗ.2. 复数z ＝1＋2ii(i 为虚数单位)的虚部是Ｗ.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为Ｗ.8. 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝Ｗ.12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证： (1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2) C 1F ∥平面ABE .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2bc cos A ＝2c －3a . (1) 求角B 的大小；(2) 设函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3－34)，求f (A )的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于点M ，求点M 的坐标.如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为 5千米，从地铁站O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为45°，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12(其中0<θ<π2)，现要经过P修一条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在A ，B 处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路P A ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－4a (a ，b ∈R ). (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”. (1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由； (2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立. ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ，求实数m ，n 的值.B. (选修44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，圆C 的方程是ρ＝4cos θ.在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 为参数).若直线l 与圆C 相切，求实数m的值.C. (选修45：不等式选讲)设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1) 求概率P(ξ＝2)；(2) 求ξ的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥P ABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面P AD⊥平面ABCD，P A＝AD，P A与平面PBC所成角的正弦值为21 7.(1) 求侧棱P A的长；(2) 设点E为AB中点，若P A≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准1. {3}2. －13. 254. 5365. 136. 37. 108. 239. 23 10. (x －5)2＋(y －2)2＝17 11.11812. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1] 15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC . 因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB .(2分)因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.(4分)又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(6分)(2) 取AB 中点G ，连结EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .(8分)因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，(11分) 所以C 1F ∥EG .因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，因为2b cos A ＝2c －3a ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A .(2分) 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，所以3sin A ＝2cos B sin A ，(4分) 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·(sin x ·cosπ3＋cos x ·sin π3)－34(8分) ＝12sin x ·cos x ＋32cos 2x －34＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34＝12sin(2x ＋π3)，(10分) 所以f (A )＝12sin(2A ＋π3).在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈(0，5π6)，(12分)所以2A ＋π3∈(π3，2π)，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1，则点B 的坐标为(－1，32).(9分)由题意，得右焦点F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1).(11分)由⎩⎨⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 坐标为(137，－914).(14分)18. 解：(1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x .设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1).(2分)(解法1)由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP ＝2P A ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分)所以AB ＝32PB ＝352.(解法2)由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP →＝2P A →.设A (a ，0)(a >0)，又点B 在射线y ＝x (x >0)上，所以可设B (b ，b )(b >0)，由BP →＝2P A →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A (32，0)，B (3，3)，AB ＝（3－32）2＋32＝352.答：点A ，B 之间的距离为352千米.(6分) (2) (解法1)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ，设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22，所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0). 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k ；令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k >0，且2k －1k －1>0，所以k <0或k >1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2.(12分)当k <0时，y 在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增，所以y min ＝y |k ＝－1＝9<10，此时A (3，0)，B (32，32)；(14分)当k >1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10.综上，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)(解法2)如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P (2，1)，所以OQ ＝1.因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2，所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝P A AB ，1OA ＝PBAB ，(8分)所以2OB ＋1OA ＝P A AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ，设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )(2OB ＋1OA )＝5＋2(OA OB ＋2OBOA )≥9，(14分)当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)19. 解：(1) 当a ＝b ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2－4，f ′(x )＝3x 2＋2x .(2分) 令f ′(x )>0，解得x >0或x <－23，所以f (x )的单调增区间是(－∞，－23)和(0，＋∞).(4分)(2) (解法1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a .(6分)因为函数f (x )有两个不同的零点，所以f (0)＝0或f (－2b3a )＝0.当f (0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f (－2b 3a )＝0时，代入得a (－2b 3a )3＋b (－2b3a )2－4a ＝0，即－827(b a )3＋49(b a )3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)(解法2)由于a ≠0，所以f (0)≠0，由f (x )＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x (x ≠0).(6分)设h (x )＝4x 2－x ，h ′(x )＝－8x3－1，令h ′(x )＝0，得x ＝－2.当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. 当x >0时，h (x )的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 有且仅有一个根；(8分)当x <0时，h (x )min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3) 当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x . 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x >0).当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0，所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b，所以g (x )在(0，12b )上递增，在(12b，＋∞)上递减，所以g (x )max ＝g (12b)＝ln 12b －12. 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e①.(13分) 因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b >0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b <ln 24 ②.(15分)设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减. 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln 22，所以12e >ln 24.由①②，得ln 39≤b <ln 24.(16分)20. 解：(1) 假设数列{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立，所以数列{a n }不是“回归数列”.(4分) (2) ① 因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又数列{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列.(6分) 因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *).(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1(*).因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3.又t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立.(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1，所以当n ＝1时，c n <c n ＋1；当n ≥2时，c n >c n ＋1，所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解.(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综上所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分)所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0.(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C. 证明：因为(a ＋b ＋c )(a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )(4分) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c 2a ＋b＋b ＋c a 2b ＋c＋c ＋a b 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).(10分)22. 解：(1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个，所以P (ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2. P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. 解：(1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ，因为P A ＝AD ，所以OP ⊥AD .因为平面P AD 上平面ABCD ，OP ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM .又四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM .以O 为原点，OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，(1分)则A (12，0，0)，D (－12，0，0)，B (12，1，0)，C (－12，1，0).设P (0，0，c )(c >0)，则PB →＝(12，1，－c )，CB →＝(1，0，0).设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分)则⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1).设P A 与平面PBC 所成角为α，因为P A →＝(12，0，－c )，所以sin α＝|cos 〈P A →，n 1〉|＝|P A →·n 1||P A →|·|n 1|＝c 14＋c 2·c 2＋1＝217，解得c 2＝34或c 2＝13，所以P A ＝1或P A ＝216.(5分)(2) 由(1)知，P A ≥AB ＝1，所以P A ＝1，c ＝32. 由(1)知，平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝(0，32，1).(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝(1，－12，0)，PC →＝(－12，1，－32)，所以⎩⎨⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3).(8分)设二面角BPCE 的平面角为β，所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427. 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。