2014中考圆复习

圆——总复习
一、★1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
例题1、⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB=16，CD=12，则AB 、CD 间的距离是___ .
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半
径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）
A.1.8
B.4.2
C.3.6
D.2.5
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距⑤圆周角中,有一组量相
等,那么它们所对应的其余各组量必相等.
三、圆周角定理及推论
1、定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. 例题2：判断:
(1) 相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3) 等弧所对的圆周角相等.
例题3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD =138°，则它的一个外角∠DCE 等于
( )．A ．69° B ．42° C ．48° D ．38°
例4：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =50°，∠ABC =60°，BD 是⊙O 的直径，BD 交AC 于
点E ，连结DC ，则∠AEB 等于( )．
A ．70°
B ．90°
C ．110°
D ．120°
例5：已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一
点，连结AF 交⊙O 于M ．求证：∠AMD =∠FMC ．
四．★直线与圆的位置关系
1、切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2、（1）、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这
条半径即可；
（2）、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段
等于半径即可．
例6：下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆
心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆
的切线．
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
例7：直角三角形的两条直角边分别是5cm 和12cm ，则它的外接圆半径 ，内切圆
半径 ；等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 ．
例8：如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=50°，
∠BAC 的度数＝ °
例9：如图，PA PB 、分别与⊙O 相切于点A B 、，点M 在PB 上，且//OM AP ，
MN AP ，垂足为N 。

（1）求证：=OM AN （2）若⊙O 的半径=3R ，=9PA ，求OM 的长。

A 例10：如图，已知A
B 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，弧EC=弧CB.下列结论中不一定正确的是（ ）A 、BA ⊥DA B 、O
C ∥AE C 、∠COE=2∠CAE
D 、OD ⊥AC 例11：如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，D
E 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ；
（1）求证：OD ∥BE ；（2）如果OD=6cm ，OC=8cm ，求CD 的长。

例12：已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，
过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．
（1）求证：BE 与O ⊙相切；
（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3
ABC ∠=，求BF 的长。

例13：如图，在△ABC 中，BA=BC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交AC 于点D.连结DB ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ；
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）求证：DB 2=AB·BE.
五、三角形的外接圆和内切圆：
1、锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
2、直角三角形的内切圆半径与三边关系. 三角形的内切圆半径与圆面积. 例14：如图：圆O 中弦AB 等于半径R ，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
例15；已知ABC 三点在圆O 上，连接ABCO ，如果∠ AOC=140 °，求∠ B 的度数．
例16；平面上一点P 到圆O 上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O 的半径为_______. 例17；如图，在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC ，AC ，AB 分别切于D ，E ，F ． （1）求证：BF=CE ；（2）若∠
C=30°，AC 的长．
例18：如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC=4，•DC=1，则⊙O 的半径等于（ ）
A ．45
B ．54
C ．34
D ．56
例19：如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，•如果AF=2，BD=7，CE=4．
A
N E B C O M .2
c b a r -+=(
).2
1c b a r S ++=
（1）求△ABC 的三边长；（2）如果P 为DF 上一点，过P 作⊙O 的切线，
交AB 于M ，交BC 于N ，求△BMN 的周长．
六、弧长和扇形面积公式
例20：如图，圆锥的高OC=4，底面半径CB=3，则圆锥侧面积= ，圆心角= °
例21、如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）A 、π B 、2π C 、3π D 、5π
例22：向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为 。

例23：若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 。

例24：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，以顶点A 、B 为圆心，1为半径的两弧交于点E ，以顶点C 、D 为圆心，1为半径的两弧交于点F ，则EF 的长为 ； 综合提高：
1、如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠=90AOB ，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ；
（1）当=1BC 时，求线段OD 的长；
（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设=BD x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 取值范围。

2、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF=CE 。

（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若sin ∠BAC=2/5，求
ABC CBD S S ∆∆的值。

3、 如图，点A （-5，0），B （-3，0），点C 在y 轴的正半轴上，
∠CBO=45°，CD ∥AB ，∠CDA=90°．点P 从点Q （4，0）出发，
沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒；
（1）求点C 的坐标；
（2）当∠BCP=15°，求t 的值；
（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，
当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t
的值。

圆与三角形相似和解直角三角形综合题型： 1、正三角形内切圆半径与外接圆半径及高线之比为 。

2、如图所示，在半径为r 的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是 。

3、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为 cm 。

4、如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上．若AB=10，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是 。

5、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为AN 弧的中点，
6、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，
则BC 的长为 。

7、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=90°，AB=BC ，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连接AD 、DC 、AP ．已知AB=8，CP=2，Q 是线段AP 上一动点，连接BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP=BR ，则QR
BQ 的值为 。

8、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE ⊥AB 于E ，BD 交CE 于点F ．若CD=6，
AC=8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 。

9、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD=FE ；
（1）请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为2，BD=3，求BC 的长。