2018-2019学年四川省宜宾市翠屏区二片区九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年四川省宜宾市翠屏区二片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式中属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下面计算正确的是（）A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-1=0有一个根为0，则m的值是（）A. 1B.C.D.4.方程（x+1）（x-3）=0的根是（）A. B.C. ，D. ，5.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A. B. C. D.6.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B.C. D.7.如图，已知AB、CD、EF互相平行，且AB=1，CD=4，那么EF的长是（）A.B.C.D.8.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A. 、B. 、C. 、D. 、二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.要使代数式有意义，则x应该满足的条件是______．10.若最简二次根式与可以合并，则x的值为______．11.关于x的方程2x2+kx-1=0的一个根是-1，另一个根为______．12.若m：n=5：4，则=______．13.已知三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则该三角形的周长是______．14.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=2，BD=8，那么CD=______．15.△ABC中，AB=12cm，AC=8cm，点P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似，则线段AQ的长度为______．16.设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2，令T=，则T的取值范围是______．三、计算题（本大题共3小题，共26.0分）17.计算：（1）+|-7|+（）0+（）-1（2）（+2）（-2）+（+1）2-18.解方程．（1）2x（x-2）=3x-6（2）x2-2x=2x+119.如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）20.先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a=+1．21.物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？22.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．23.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的边长．24.已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），=．（1）求过点A、B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B、==|x|y2，可化简；C、==2，可化简；D、==，可化简；因此只有A、是最简二次根式．故选：A．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2.【答案】B【解析】解：∵，∴选项A错误；∵，∴选项B正确；∵，∴选项C错误；∵，∴选项D错误．故选：B．计算各个选项的式子，然后对比选项中的式子即可得到问题的答案．本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式加法、减法和乘法的计算方法．3.【答案】B【解析】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-1=0，解得：m=1或m=-1，又m-1≠0，即m≠1，∴m=-1，故选：B．把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．4.【答案】D【解析】解：（x+1）（x-3）=0，x+1=0，x-3=0，x1=-1，x2=3，故选：D．根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵x2+4x=-1，∴x2+4x+4=-1+4，即（x+2）2=3，故选：C．移项后两边配上一次项系数一半的平方即可．本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解，是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°-45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=4，∴+=1，∴EF=．故选：D．易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+==1．然后把AB=1，CD=4代入即可求出EF的值．本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4-1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：-（2-）=-，∴点C（-，4）．故选：B．首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9.【答案】x≥-3【解析】解：要使代数式有意义，则x应该满足的条件是：x+3≥0，解得：x≥-3．故答案为：x≥-3．直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．10.【答案】9【解析】解：∵最简二次根式与可以合并，∴二次根式与是同类二次根式，∴x+1=10，解得，x=9，故答案为：9．根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可．本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．11.【答案】【解析】解：设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得：a×（-1）=-，解得：a=，即方程的另一个根为，故答案为：．设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a×（-1）=-，求出即可．本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键．12.【答案】【解析】解：∵m：n=5：4，∴可设m=5k，n=4k，∴==．故答案为．由于m：n=5：4，于是可设m=5k，n=4k，利用把m=5k，n=4k代入中进行分式的混合运算即可．本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．13.【答案】7或9【解析】解：（x-2）（x-4）=0，所以x1=2，x2=4，当第三边长为2时，三角形的周长为2+2+3=7；当第三边长为4时，三角形的周长为4+2+3=9，即三角形的周长为7或9．故答案为7或9．利用因式分解法解方程得到从而得到三角形第三边长，然后计算三角形的周长．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．14.【答案】4【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴CD2=AD•BD=16，则CD=4，故答案为：4．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可．本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．15.【答案】6cm或cm【解析】解：∵点P是AC的中点，∴AP=AC=4cm，当△AQP∽△ABC时，=，即=，解得，AQ=6（cm），当△AQP∽△ACB时，=，即=，解得，AQ=（cm），故答案为：6cm或cm．分△AQP∽△ABC和△AQP∽△ACB两种情况，列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对边成比例，夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．16.【答案】0＜T≤4且T≠2【解析】解：∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根，∴△=[2（m-2）]2-4×1×（m2-3m+3）=-4m+4＞0，∴m＜1．当x=1时，原方程为1+2（m-2）+m2-3m+3=0，整理得：m2-m=0，解得：m1=0，m2=1．∵（1-x1）（1-x2）≠0，∴m≠0．又∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m＜1且m≠0．∵x1，x2是方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根，∴x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3．T======-2（m-1）．∵-1≤m＜1且m≠0，∴0＜T≤4且T≠2．故答案为：0＜T≤4且T≠2．根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可求出m＜1，由分母不为零结合m 是不小于-1的实数，即可得出-1≤m＜1且m≠0，由根与系数的关系结合T=，可得出T=-2（m-1），再结合m的取值范围即可得出T的取值范围．本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及分式的化简求值，利用根与系数的关系将原分式化简为T=-2（m-1）是解题的关键．17.【答案】解：（1）原式=3+7+1+2=3+10；（2）原式=3-4+2+2+1-=2+．【解析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18.【答案】解：（1）2x（x-2）-3（x-2）=0，（x-2）（2x-3）=0，x-2=0或2x-3=0，所以x1=2，x2=，（2）x2-4x=1，x2-4x+4=5，（x-2）2=5，x-2=±，所以x1=2+，x2=2-．【解析】（1）先变形得到2x（x-2）-3（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x-2）2=5，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19.【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴==，即==，∴BC=6，BF=BE，∴BE+BE=7.5，∴BE=5．【解析】根据平行线分线段成比例定理得==，则可计算出BC=6，BF=BE，然后利用BE+BE=7.5求BE．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．20.【答案】解：（a-）（a+）+a（5-a）=a2-5+5a-a2=5a-5，当a=+1时，原式=5（+1）-5=5+5-5=5．【解析】根据多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．21.【答案】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2=400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250，解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【解析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）∵方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k+1）]2-4×1×（k2+1）=4k-3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2-5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．【解析】（1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）当k=2时，原方程为x2-5x+5=0，设方程的两个为m、n，根据根与系数的关系找出m+n=5、mn=5，将变形为，再代入数据即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时△＞0是解题的关键．23.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD=3，CE=2，∴；解得AB=9．【解析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；（2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．24.【答案】解：（1）∵A（-3，0），C（1，0），∴AC=4，∵BC=AC，∴BC=×4=3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴ ，∴ ，∴直线AB的解析式为y=x+；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD=∠ACB=90°，如图1，此时=，即AB2=AC•AD．∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴25=4AD，∴AD=，∴OD=AD-AO=-3=，∴点D的坐标为（，0）．即：符合条件的D（，0）．（3）∵AP=DQ=m，∴AQ=AD-QD=-m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有=，∴AP•AD=AB•AQ，∴m=5（-m），解得m=；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有=，∴AP•AB=AD•AQ，∴5m=（-m），解得：m=，综上所述：符合要求的m的值为或．【解析】（1）先根据A（-3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC=3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．本题考查是相似形综合题、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。