勾股定理逆定理同步测试题(含答案)
勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：153．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．，3，4D．1，，34．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm5．下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（）A．2B．3C．4D．56．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（）A．B．C．3D．或8．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m9．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（）A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里二．填空题10．勾股数为一组连续自然数的是．11．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．15．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．16．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．17．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．18．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为米．三．解答题19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．20．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．22．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求证：BD⊥CB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．2．解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．3．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．解：这根木棒最长＝＝5（cm），故选：B．5．解：①42+52≠62，故不是勾股数；②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；③72+42≠252，故不是勾股数；④82+152＝172，故是勾股数；⑤92+402＝412，故是勾股数；其中勾股数有2组，故选：A．6．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7．解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC＝＝＝．故选：A．8．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．9．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，∴BC＝＝＝30（海里）．故选：C．二．填空题10．解：设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5；故答案为：3、4、5．11．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，∴（k﹣1）2+32＝k2，解得：k＝5，故答案为：5．12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．13．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．14．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．15．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．16．解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．17．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．18．解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BC＝0.7米，∴AC＝＝＝2.4米，在直角△CDE中，已知DE＝AB＝2.5米，AE＝0.9米，∴CE＝AC﹣AE＝1.5米，∴CD＝＝＝2米，∴BD＝2米﹣0.7米＝1.3米故答案为：1.3．三．解答题19．解：连接AC，如图，，在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，∴AC＝＝25 m，在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，∴S△ADC＝＝150 m²，∵S△ABC＝m²，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．20．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝＝．在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝＝＝2，∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，∴AE2＝AC2+CE2，∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，∴∠ACE＝90°．21．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．22．（1）证明：连接BD．∵AD＝4m，AB＝3m，∠BAD＝90°，∴BD＝5m．又∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝CD2．∴BD⊥CB；（2）四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝×3×4+×12×5＝6+30＝36（m2）．故这块土地的面积是36m2；（3）∵S△PBD＝S四边形ABCD，∴•PD•AB＝×36，∴•PD×3＝9，∴PD＝6，∵D（0，4），点P在y轴上，∴P的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．。
勾股定理的逆定理练习题(有答案)
勾股定理的逆定理练习题1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地。
小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 。
2.在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？ 为什么？3.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
4.一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直？ 为什么？ 5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。
6、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状 。
7、已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。
求：四边形ABCD 的面积。
第7题 8、根据下列条件，分别判断a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形 （1）a=7,b=24,c=25; (2) a=32,b=1,c=32（ 填序号 ）D9、已知ABC Δ的三边分别a,b,ca=22n m -,b=2mn,c=22n m +(m>n,m,n 是正整数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由。
10、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。
已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？第10题11、如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ．E NABC12、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
17.2勾股定理的逆定理-2020-2021学年人教版八年级数学下册同步提升训练
2020-2021年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步提升训练（附答案）1．下列各组线段中不能作为直角三角形三边长的是（）A．1、、2B．1、、C．、2、D．、、2．下列说法不正确的是（）A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形C．△ABC的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形3．下列各组数是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．5，7，9C．4，5，6D．6，8，104．如果用，a、b、c表示△ABC的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（）①b2＝c2﹣a2②a：b：c＝3：4：5③∠C＝∠A﹣∠B④∠A：∠B：∠C＝12：13：15A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（）A．44°B．56°C．46°D．68°6．如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m后往东一拐，仅走0.5m就到达了B．则点A与点B之间的直线距离是（）A．10m B．8.5m C．7m D．6.5m7．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是三条角平分线的交点，则△BOC 的BC边上的高是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题）8．将一根长为24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为16cm的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度为cm．9．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝°．10．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度．11．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC尺．12．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺．13．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．14．若一个三角形的三边长为m+1，12，m+5，当m＝时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．16．将一根16cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm、3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒子外面的最短长度是．17．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．19．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动．20．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC ＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．21．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．22．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．23．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？25．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？26．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．27．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．（1）求证：△ABD≌△ECD；（2）求△ABD的面积．参考答案1．解：A．∵12+（）2≠22，∴以1，，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+（）2＝（）2，∴以2，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+（）2＝（）2，∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：A、△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，可得，∠A＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；B、△ABC中，若b2﹣c2＝a2，可得，b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；C、△ABC的三边之比是5：12：13，可得，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，则△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；D、△ABC中，若a2+b2≠c2，而b2＝c2+a2，则△ABC是直角三角形，说法错误，符合题意；故选：D．3．解：A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．故选：D．4．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；②∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴a2+b2＝c2，∴是直角三角形；③∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠C+∠B+∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，∴设∠A＝×180°≠90°∴不是直角三角形；则直角三角形有3个，故选：C．5．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°．过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．∵CM∥EF，∠EFC＝136°，∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．又∵CM∥BD，∴∠CBD＝∠BCM＝46°．故选：C．6．解：过点B作BC⊥AD于C，从图中可以看出AC＝4﹣2+0.5＝2.5（m），BC＝4.5+1.5＝6（m），在直角△ABC中，AB为斜边，则AB＝＝6.5（m）．答：从点A到点B之间的距离是6.5m，故选：D．7．解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，在△ABC中，BC＝4，CA＝3，AB＝5，∴△ABC是直角三角形，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，设OE＝x，∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴×4×3＝OD×5+OE×3+OF×4，∴5x+3x+4x＝12，∴x＝1，∴点O到BC的距离等于1．即△BOC的BC边上的高是1，故选：A．8．解：设筷子露在杯子外面的长度为h，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝20（cm），故h＝24﹣20＝4（cm）．故筷子露在杯子外面的最短长度为4cm．故答案为：4．9．解：连接BC，由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，∴∠OCB＝90°，即△COB是等腰直角三角形，∴∠COB＝45°，∵∠DOA＝90°，∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，故答案为：45．10．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（x+1）2＝x2+52，解得：x＝12，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12米．11．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．故答案为：＝4．12．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．13．解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．14．解：由题意可得，（m+1）2+122＝（m+5）2，解得m＝15．故答案为：15．15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，∴共有8组这样的“完美勾股数”．故答案为：8．16．解：如图，由题意知：盒子底面对角长为＝5（cm），盒子的对角线长：＝13（cm），∵细木棒长16cm，∴细木棒露在盒外面的最短长度是：16﹣13＝3cm．故答案为：3cm．17．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝8米，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，斜边长AC＝＝13米，即小鸟至少要飞13米．故答案为13．18．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，∴CE2+AE2＝AC2，∴∠E＝90°，∴∠BAD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AD•AB＝15，故答案为：15．19．解：依照题意画出图形，如图所示．在Rt△AOB中，OB＝3m，AB＝5m，∴OA＝＝4m．在Rt△COD中，OC＝OA﹣AC＝3m，CD＝AB＝5m，∴OD＝＝4m，∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1m．故答案为：1m．20．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．21．解：（1）a2+b2＞c2，理由如下：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得：a2+b2＝c2+2ax，∵2ax＞0，∴a2+b2＞c2；（2）a2+b2＜c2，理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，设CE＝x，则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，∵2ax＞0，∴a2+b2＜c2；（3）连接AC，作DF⊥AC于F，由勾股定理得，AC＝＝100，由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，解得，CF＝30，则DF＝＝60，∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米222．（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，∴AC＝＝＝5（米），∵CD＝3米，AD＝4米，∴AD2+CD2＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°；（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．23．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．由题意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；芦苇长13尺．24．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，解这个方程，得x＝1.25，1.25﹣1.2＝0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．25．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，∴502+x2＝（80﹣x）2+302，解得x＝30．答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．26．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．27．证明：（1）∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），（2）∵△ABD≌△ECD，∴AB＝CE＝5，∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30，∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝15。
苏科版数学八年级上3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案
3.2 勾股定理的逆定理1．判断：(1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( )(2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( )(3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( )(4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( )2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______．3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形’D．等腰三角形5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )．A．4组B．3组C．2组D．1组6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5；(3)a＝13，b＝14，c＝15．8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF是否为等腰三角形，并说明理由．9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由．10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC⊥CD．12．欲将一根长129 cm的木棒放在长、高、宽分别是40 cm，30 cm，120 cm的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1))．图(2)由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是_______．14．已知，在△ABC中，a＝m2＝n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m>n，试判断：△ABC是否为直角三角形？15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F在CD上，且DF＝3CF，试判断△AEF的形状，并说明理由．16．(1)按规律填表：(2)上表中，每列三个数为一组，这组数有什么特点？(3)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为20和99，你能很快得到斜边的长吗？17．已知三组数据：①2，3，4；②3，4．5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )．A．②B．①②C．①③D．②③参考答案1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．直角三角形3．直角三角形4．B 5．B 6．B7．(1)该三角形是直角三角形．(2)该三角形是直角三角形(3)该三角形不是直角三角形．8．是．9．90°．10．24(m2)11．略12．能放得进去．13．10 314．是直角三角形．15．直角三角形16．(1)n2－1 n2＋1 (2)都是勾股数组(3)101 17．D。
人教版数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理同步练习(解析版)
17.2 勾股定理的逆定理1．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A ．对顶角相等B ．正方形的四个角都是直角C ．两直线平行，同位角相等D ．菱形的对角线互相垂直 2．下列定理有逆定理的是 ( )A ．直角都相等B ．同旁内角互补，两直线平行C ．同位角相等D ．全等三角形的对应角相等3．下列各组数是三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组数是 ( )A ．3，4，5B ．6，8，10C ．1.5，2，2.5D ．543，，4.若一个三角形的三边长之比为8：15：17，则它为________三角形．5．如图17-2-1．以△ABC 的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为________.6．如图17-2-2，四边形ABCD 中，∠C=90º，BD 平分∠ABC ，AD=3，E 为AB 上一点，AE=4，ED=5，求CD 的长．7．下列四组数：(1)0.6，0.8，1；(2)5，12，13；(3)8，15，17；(4)4，5，6．其中勾股数的组数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4能力提升全练1．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )A ．∠A =∠C-∠B B ．a:b:c=2:3:4C ．a ²=b ²-c ²D ．a=34，b=45，c=12．如图17-2-3，四边形ABCD 中，AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm, DA=13 cm ，且∠ABC=90º，则四边形ABCD 的面积为( )A ．6 cm²B ．30 cm²C ．24 cm²D ．36 cm² 3．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，试判断△ABC 的形状． 解：∵a ²c ²-b ²c ²=a ⁴-b ⁴，①∴c²(a²-b²)=(a²-b²)(a²+b²),②∴c²=a²+b²．③∴△ABC为直角三角形，④(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__________；(2)错误的原因是________________________________________________________；(3)本题正确的结论是____________________________________________________. 三年模拟全练一、选择题1．F列四组线段中，可以构成直角三角形的是 ( )A．1.5，2，2.5 B．4，5，6C．2，3，4 D．1，2，32．下列各组数中，是勾股数的为 ( )A．1，1，2 B．1.5，2，2.5C．7，24，25 D．6，12，133．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A．乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000 m，甲客轮沿着北偏东30º的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 ( )A．南偏东60º B．南偏西60º C．北偏西30º D．南偏西30º二、填空题4．三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b)²=c²+2ab，则这个三角形是_________．三、解答题5．如图17-2-4，每个小正方形的边长都为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)∠DAB是直角吗？五年中考模拟一、选择题1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米二、填空题3．如图17-2-5，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．则∠ACB 的大小为_______.核心素养全练1．王老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表：(1)请你分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示a 、b 、c ；(2)猜想：以a 、b 、c 为边长的三角形是不是直角三角形，请证明你的猜想．2．如图17-2-6，南北线MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以13海里／时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇曰密切注意，反走私艇A和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里，反走私艇B 和走私艇C 的距离是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？3．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形， 理解：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？________（填“是”或“不是”）；②若某三角形的三边长分别为1、7、2，则该三角形________（填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究：在Rt △ABC 中，两边长分别是a 、c ，且a ²=50，c ²=100，则这个三角形是不是奇异三角形？请说明理由， 拓展：在Rt△ABC中，∠C=90º，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a²：b²：c²．17.2 勾股定理的逆定理1．C“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线判定定理，所以逆命题是真命题．2．B“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”，选项A错误；“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”，选项B正确；“同位角相等”的逆命题是“相等的角是同位角”，选项C错误；“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“角对应相等的三角形是全等三角形”，选项D错误，故选B．3．D ∵3²+4²=5²，∴此三角形是直角三角形，选项A不合题意；∵6²+8²=10²,∴此三角形是直角三角形，选项B不合题意；∵1.5²+2²=2.5²,∴此三角形是直角三角形，选项C不合题意；()()()222543≠+,∴此三角形不是直角三角形，选项D符合题意，故选D．4.答案直角解析设三边长分别为8k，15k，17k( k＞0)，则(8k)²+(15k)²=289k²=(17k)²，由勾股定理的逆定理，可判断此三角形为直角三角形．5．答案直角三角形解析由题意得S₁+S₂=S₃，即222212121212121⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ABACBCπππ,∴BC²+AC²=AB²,∴△ABC为直角三角形．6．解析∵AD=3,AE=4,ED=5,∴AD²+AE²=ED²．∴∠A=90º,∴DA⊥AB．∵∠C=90º,∴DC⊥BC．∵BD平分∠A BC,∴CD=AD=3．7．B(1)中各数不全是正整数；(2)中5²+12²=13²；(3)中8²+15²=17²；(4)中4²+5²≠6²．故有2组勾股数．1.B A．由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180º，可求得∠C=90º，故△ABC 为直角三角形；B．不妨设a=2，b=3，c=4，此时a²+b²=13，而c²=16，即a²+b²≠c²，故△ABC 不是直角三角形；C ．由条件可得到a ²+c ²=b ²，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形；D ．由条件有a ²+c ²=2222451625143b =⎪⎭⎫ ⎝⎛==+⎪⎭⎫ ⎝⎛，满足勾股定理的逆定理，故△ABC 是直角三角形．故选B ． 2.C 连接 AC, ∵∠A BC=90º,AB=4 cm,BC=3 cm,∴AC=5 cm,∵CD=12 cm,DA=13 cm,AC ²+CD ²=5²+12²=169=13²=DA ²,∴△ADC 为直角三角形，∴S 四边形ABCD =S △ACD - S △ABC=21AC •CD-21AB •BC =21×5×12-21×4×3=30-6=24(cm ²).故四边形ABCD 的面积为24 cm ²．故选C ．3．答案 (1)③ (2)不能确定a ²-b ²是不是0 (3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形解析 ∵c ²(a ²-b ²)=(a ²-b ²)(a ²+b ²)，∴(a ²-b ²)[c ²-(a ²+b ²)]=0，∴a ²-b ²=0或c ²-(a ²+b ²)=0，即a=b 或a ²+b ²=c ²，∴三角形为等腰三角形或直角三角形，故从第③步开始错误，其原因是不能确定a ²-b ²是不是0． 一、选择题1．A 根据勾股定理的逆定理判断，求出两短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等即可．1.5²+2²=2.5²．即三角形是直角三角形，故此选项正确．故选A ． 2．C A ∵1²+1²≠2²，∴不是勾股数，此选项错误； B ．1.5和2.5不是正整数，此选项错误；C .∴7²+24²=25²，且7，24，25是正整数，∴是勾股数，此选项正确；D ．∵6²+12²≠13²，∴不是勾股数，此选项错误，故选C ．3.A 如图，∵甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了40×15=600(m)，乙客轮走了40×20=800(m)．∵A 、B 两点间的直线距离为1000 m ，又∵600²+800²=1000²，∴∠A OB=90º, ∵甲客轮沿着北偏东30º的方向航行， ∴乙客轮沿着南偏东60º的方向航行，故选A ．二、填空题4．答案 直角三角形解析化简（a+b ）²=c ²+2ab ，得a ²+b ²=c ²，所以该三角形是直角三角形. 三、解答题5·解析(1)四边形ABCD 的面积为25-1-21×1×5-21×1×4-21×1×2-21×2×4=14.5， 周长为AB+BC+CD+AD=2617532026175++=+++．(2)∠D AB 是直角．理由如下：连接BD ，∴AB ²+AD ²=5+20=25,BD ²=25.∴AB ²+AD ²=BD ². ∴△ABD 是直角三角形，且∠D AB 是直角. 一、选择题1.A 根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形的三边长必须满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．∵3²+4²=5²，∴长为3，4，5的三条线段能组成直角三角形．故选A ．2．A 将里换算成以米为单位，则三角形沙田的三边长分别为2.5千米．6千米，6.5千米，因为2.5²+6²=6.5²，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S=21×6×2.5=7.5（平方千米），故选A ． 二、填空题 3．答案 90º解析在网格中，由勾股定理得AC=183322=+，BC=324422=+．AB=507122=+， ∴AC ²+BC ²=AB ²．∴由勾股定理的逆定理，知△ABC 为直角三角形，且∠A CB=90º. 1．解析(1)由题表可以得出： n=2时．a=2²-1,b=2×2,c=2²+1；n=3时，a=3²-1,b=2×3,c=3²+1； n=4时，a=4²-1,b=2×4,c=4²+1； ……∴a=n ²-1，b=2n ，c=n ²+1（n ＞1，且n 为自然数）． (2)以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形， 证明：∵a ²+b ²=(n ²-1)²+4n ²=n ⁴+2n ²+1, c ²=(n ²+1)²=n ⁴+2n ²+1, ∴a ²+b 2=c 2．∴以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形． 2．解析 设MN 与AC 相交于E ，则∠B EC=90º， ∴AB ²+BC ²=5²+12²=13²=AC ².∴△ABC 为直角三角形，且∠A BC=90。
《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)
第 3 章《勾股定理》 ： 3.2 勾股定理的逆定理填空题1． 你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高 0.9m ，宽 1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC ，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食， 此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m ．（结果不取近似值） 7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方 体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其 边缘AB=CD=20，m 点E 在CD 上，CE=2m ，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，则他滑 行的最短距离约为 m ．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）第 3 题） 2． 如图，将一根长 24cm 的筷子，底面直径为 5cm ，高为 12cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为 h cm ，则 h 的最小值是 如图所示的一只玻璃杯，最高为 8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长4 厘 短 2 厘米，那么这只玻璃杯的内径是 厘米． 8 米高的路灯．当电工 B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为 2 cm 3． 米，最 4．如图，一架 10 米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达 师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了 米，则梯顶离路灯 米．第 5 题） 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 错误 !，高为 沿着圆柱体的侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是 5． ．（结果保留根（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想得到上底面 B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为cm ．（π 取 3 ）9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8 的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2 米、0.3 米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点， A 点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是米．第10 题）第12 题）11．在一个长为2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01 米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5 寸和3寸，A 和 B 是这个台阶的两个相对端点， A 点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= 解答题14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠ PBQ=6°0 ，且BQ=B，P 连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△ PQC的形状，并说明理由．15．如图，点O是等边△ ABC内一点．将△ BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠ AOB=11°0 ．（1）求证：△ COD是等边三角形；（2）当α =150°时，试判断△ AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α 为多少度时，△ AOD是等腰三角形．16 ．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c 为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ ABC的形状．解：∵a2c2-b 2c2=a4-b 4①∴c2（a2-b 2）=（a2+b2）（a2-b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．17．如图，四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=9°0 ，（1）试说明：BD⊥BC；（2）计算四边形ABCD的面积．18．如图，△ ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ ACE≌△ BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．19．请阅读下列解题过程：已知a、b、c 为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2 -b 2）=（a2 +b2）（a2 -b 2），B ∴c2=a2+b2，C∴△ ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是：．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+11）请你分别观察a，b， c 与n 之间的关系，并用含自然n（n>1）的代数数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．9 22．如图，在△ ABC 中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB= ．51）求CD，AD的值；2）判断△ ABC的形状，并说明理由．23．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图 3 备用）24．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为 3 米，DE为 1.68 米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1 米，3≈1.732 ）25 ．如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高 4 米，两树相距8 米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？26．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=6°0 ，∠DAE=4°5 ，点D到地面的垂直距离DE=错误!m．求点B到地面的垂直距离BC．27．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得BD=0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？28．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB 于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距 A 站多少千米处？29．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？30．如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=8，BC=6，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．答案：填空题1．故答案为： 1.5 m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答．解答：解：由图可知这条木板的长为错误!=错误!=1.5m．点评：本题较简单，只要熟知勾股定理即可．2．故答案为：11cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：筷子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．解答：解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2=a2+b2，故：c=错误!=错误!=13cm，h=24-13=11cm．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．故答案为： 6 厘米．考点：勾股定理的应用．分析：根据最长4cm，可得筷子长为12cm．那么可得AC 长，那么利用勾股定理可得内径．解：根据条件可得筷子长为12 厘米．如图AC=10厘米，BC=错误!=错误!＝ 6 厘米．点评：主要考查学生对解直角三角形的应用的掌握情况．4．故答案为：2cm．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．解答：解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt △ A′ OB′中，根据勾股定理，得：OA′ =6m．则AA′ =8-6=2m．点评：熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．5．故答案为：2 2 ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解答：解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长， C 是边的中 点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π?错误 !=2，CB=2．∴AC= AB 2+BC 2 = 8 =2 2 ， 故答案为： 2 2 ．点评 ：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽 即高等于圆柱的母线长． 本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， “化曲面为平面”， 用勾股定理解决．6． 故答案为： 3 5 m ．考点：平面展开-最短路径问题． 专题：压轴题；转化思想．分析 ：求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问 题，转化为平面上两点间的距离的问题． 根据圆锥的轴截面是边长为 6cm 的等边三角形可知，展开图是半径是 6的半圆．点B 是半圆的一个端点， 而点 P 是平分 半圆的半径的中点， 根据勾股定理就可求出两点 B 和 P 在展开图中的距离， 就是∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是 180 度． 则在圆锥侧面展开图中AP=3， AB=6，∠BAP=90度． ∴在圆锥侧面展开图中 BP= 32+62 = 45 ＝3 5 m ．故小猫经过的最短距离是 3 5 m ．故答案是： 3 5 m ．点评 ：正确判断小猫经过的路线， 把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键． 7． 故答案为： 22m ．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析 ：要求滑行的最短距离，需将该 U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线 段最短”得出结果．解答 ： 解：其侧面展开图如图：AD=πR=4π，AB=CD=20．mDE=CD-CE=20-2=18，m在 Rt △ADE 中，AE= AD 2+DE 2 =错误!≈21.9 ≈22m ． 故他滑行的最短距离约为6π， 则 6π =n π×6180 解： 圆锥的底面周长是22m．点评：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的周长，矩形的长等于AB=CD=20．m本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．故答案为：15cm．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B 所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr ，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理求得AB的长．解答：解：圆柱展开图为长方形，则A，B 所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B 的线段长，由勾股定理得AB= 12 2+(3 π )2=错误!=错误!=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．( π 取3) 点评：解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．9．故答案为：10．考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．解答：解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为 6 和8，故矩形对角线长AB= 62+82=10 ，即蚂蚁所行的最短路线长是10．点评：本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．10．故答案为：2.5．考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为( 0.2+0.3 )× 3，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3 )×3] 2=2.52，解得x=2.5 ．点评：本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．11．故答案为：2.60 ．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2 ×2=2.4 米；宽为 1 米．于是最短路径为： 2.4 2+12=2.60 米．故答案为： 2.60 ．点评 ： 本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题． 12．故答案为： 25寸．考点：平面展开-最短路径问题．分析 ： 根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．解答 ： 解：将台阶展开矩形，线段 AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分 别为 24 寸，7寸， 由勾股定理得 AB= 72+242 =25 寸．点评 ： 本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．13 ． 故答案为： b=84，c=85； 考点：勾股数． 专题：规律型．分析 ：认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个 数为从 3开始连续的奇数， 第二、三个数为连续的自然数； 进一步发现第一个数在 52=12+13中， 12=5 2-1 ，13=5 2+1 ；点评 ： 认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．解答题14．考点：等 边三角形的 性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题：探究型． 分析 ： 根据等边三角形的性质利用 SAS 判定△ ABP ≌△ CBQ ，从而得到 AP=CQ ；设 PA=3a ，PB=4a ，PC=5a ，由已知可判定△ PBQ 为正三角形从而可得到 PQ=4a ，再根 据勾股定理判定△ PQC 是直角三角形．解答：解：（1）猜想： AP=CQ ，证明：∵∠ ABP+∠PBC=6°0 ，∠ QBC ∠+ PBC=6°0 ，∴∠ABP=∠QBC ．又 AB=BC ， BP=BQ ，∴△ABP ≌△CBQ ，∴AP=CQ ；的平方是第二、三个数的和；最后得出第 n 组数为（ 2n+1）， (2 n +1)2- 1 2）， (2n +1)2+1232-1 ），由此规律解决问题． 2 解答： 32-1在 32 =4+5 中，4= 232+1 ，5= 2则在 13、b 、c 中， b= 132-1 2 =84，c=1322+1 =85；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4，a且∠ PBQ=6°0 ，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△ PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查学生对等边三角形的性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用．15．考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；定理的逆勾股定理．专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．解答：（1）证明：∵ CO=C，D ∠OCD=6°0 ，∴△COD是等边三角形；（3 分）（2）解：当α=150°，即∠ BOC=15°0 时，△ AOD是直角三角形．（5分）∵△BOC≌△ADC，∴∠ ADC=∠BOC=15°0 ，又∵△ COD是等边三角形，∴∠ODC=6°0 ，∴∠ ADO=9°0 ，即△AOD是直角三角形；（7 分）（3）解：①要使AO=AD，需∠ AOD∠= ADO．∵∠AOD=36°0 - ∠AOB-∠COD- α =360°- 110°- 60°- α =190°- α ∠ADO=α - 60°，∴190°- α=α- 60°∴α=125°；②要使OA=O，D需∠ OAD∠= ADO．∵∠AOD=19°0 - α，∠ADO=α- 60°，∵∠OAD=18°0 - （∠AOD∠+ ADO）=50°，∴α- 60°=50°∴α=110°；③要使OD=A，D 需∠ OAD∠= AOD．∵190°- α=50°∴α=140°．综上所述：当α 的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12 分）说明：第（3）小题考生答对 1 种得（2分），答对2种得（4分）．点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．16．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：从公式入手，式子的左边提取公因式，式子的右边符合平方差公式，并分解，两边同一个不为零的数，从而得到勾股定理．解答：解：（1）从第②步到第③步出错（写成第“ 2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步”或“到第③步”都算正确），（2 分）（2）等号两边不能同除a2-b 2，因为它有可能为零．（4 分）（3）（从头或直接从第③步写解答过程都行），∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），移项得：c2（a2-b2）- （a2+b2）（a2-b2）=0，得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5 分）∴a2 =b2或c2=a2+b2（6 分）∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7 分）点评：正确理解勾股定理来验证直角三角形，从公式的角度入手，得出结论从而验证．17．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；（2）根据两个直角三角形的面积即可求解．解答：解：（1）∵AD=3，AB=4，∠BAD=9°0 ，∴BD=5．又BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2．∴BD⊥BC．（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积=6+30=36．点评：综合运用了勾股定理及其逆定理，是基础知识比较简单．18．考点：勾股定理的逆定理；直角三角形全等的判定．专题：证明题．分析：（1）根据SAS判定△ ACE≌△ BCD，从而得到∠ EAC=∠DBC，根据角之间的关系可证得AF⊥BD．（2）互相垂直，只要证明∠ AFD=90°，从而转化为证明∠ EAC+∠CDB=90即可解答：（1）证明：∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=9°0 ，在△ACE和△BCD，∠AC ＝BC∠ACE ＝∠ BCDCE＝CD∴△ ACE≌△ BCD（SAS）；（2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为：证明：∵△ ACE≌△ BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠ DBC+∠CDB=9°0 ，∴∠ EAC+∠CDB=9°0 ，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE与BD互相垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．19．故答案为：（1）第C步（2）等式两边同时除以a2-b2（3）直角三角形或等腰三角形考点：勾股定理的逆定理．专题：阅读型．分析：通过给出的条件化简变形，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．解答：解：（1）C；（2）方程两边同除以（a2-b 2），因为（a2-b2）的值有可能是0；（3）∵c2（a2-b 2）=（a2+b2）（a2-b2）∴c2=a2+b2或a2 -b 2=0-b2=0a+b=0 或a-b=0a+b≠0c2=a2+b2或a-b=0c2=a2+b2或a=b 该三角形是直角三角形或等腰三角形．点评：本题考查了因式分解和公式变形等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．20．考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：如图，连接BD．由勾股定理求得BD的长度；然后根据勾股定理的逆定理判定△ BDC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△ ABD的面积+直角△ BDC 的面积．解答：解：∵在△ ABD中，AB⊥AD，AB=3，AD=4，∴BD= AB2+AD 2= 32+42=5 ．在△BDC中，CD=12，BC=13，BD=5．∵122+52=132，即CD2+BD2 =BC2，∴△ BDC是直角三角形，且∠ BDC=9°0 ，1 1 1 1∴S四边形ABC D=S△ABD+S△BDC =2 AB?AD2+ BD?C2D ×3×4+2×5×12=36，即四边形ABCD的面积是36．点评：本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．故答案填：n2-1，2n，n2+1；考点：勾股定理的逆定理；列代数式．专题：应用题；压轴题．分析：（1）结合表中的数据，观察a，b，c 与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．解答：解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵ a=n2-1 ，b=2n；c=n2 +1∴a2+b2=（n2-1 ）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2 而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c 为边的三角形是直角三角形．点评：本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．22．考点：勾股定理的逆定理．分析：利用勾股定理求出CD和AD则可，再运用勾股定理的逆定理判定△ ABC 是直角三角形．9 解答：解：（1）∵CD⊥AB且CB=3，BD= ，故△ CDB为直角三角形，5理由：∵ AD=156 ，BD=59 ， 55 9 ∴ AB=AD+BD= +=5 ， 16 ∴AC 2+BC 2=42+32=25=52=AB 2，∴根据勾股定理的逆定理，△ ABC 为直角三角形．点评 ： 本题考查了勾股定理和它的逆定理，题目比较典型，是一个好题目． 23． 80 故答案为： 32m 或( 20+4 5 )m 或 3 m ．勾股定理的应用； 分类讨论． 等腰三角形的性质．考点 专题分析 ：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的 性质利用勾股定理解答．解答：解：在 Rt △ABC 中，∠ ACB=9°0 ， AC=8，BC=6 由勾股定理有： AB=10，应分以下三种情况： ①如图 1，当 AB=AD=10时，∵AC ⊥BD ，∴CD=CB=6，m∴△ ABD 的周长=10+10+2×6=32m ．②如图 2，当 AB=BD=10时，∵BC=6m ，∴CD=10-6=4m ，∴AD=4 5 m ，∴△ABD 的周长=10+10+4 5 = ( 20+4 5 )m ．③如图 3，当AB 为底时，设AD=BD=，x 则CD=x-6，由勾股定理得： AD= 82+(x-6)2 =x25解得， x= 3 ，80∴△ ABD 的周长为： AD+BD+AB 3=m ．2)△ ABC 为直角三角形． 2 2- 12 2 - CD 2 = 42 - ( )2 5 16 5 在 Rt △CAD 中， AD= AC 2 ∴在 Rt △CDB 中， CD= CB 2 (95 -BD 2 = -BD = 32 - )2 (5 12 5点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．24．考点：勾股定理的应用．分析：因为∠ CAD=3°0 ，则AC=2C，D再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE 的长就求出了树的高度．解答：解：在Rt△ACD中，∠ CAD=3°0 ，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2 =AC2，得，32+x2=4x2，x= 3 =1.732 ，所以大树高 1.732+1.68 ≈3.4 （米）．点评：此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．25．考点：勾股定理的应用．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过 C 点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6，m 在Rt△AEC中，AC= AE 2+EC 2=错误!=10m，故小鸟至少飞行10m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．26．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．解答：解：在Rt△DAE中，∵∠ DAE=4°5 ，∴∠ADE=∠DAE=4°5 ，AE=DE= 8 ，∴AD2=AE2+DE2=36m( 8 ) 2+( 8 ) 2=16，∴AD=4，即梯子的总长为 4 米．∴AB=AD4=．在Rt △ ABC中，∵∠ BAC=6°0 ，∴∠ ABC=3°0 ，1∴AC=2 AB=2，∴BC2=AB2-AC2=42-22=12，∴BC= 12 =2 3 m ；∴点B到地面的垂直距离BC=2 3 m ．点评：本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．27．考点：勾股定理的应用．分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．解答：解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.5 2=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2．在Rt△ECD中，EC2=ED2-CD2=2.52 -2 2=2.25，∴EC=1.5，∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5 ．答：梯子顶端下滑了0.5 米．点评：注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理．28．考点：勾股定理的应用．分析：根据使得C， D 两村到 E 站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△ EBC，得出AE=BC=10k；m解答：解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=C，E∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2 =BE2 +BC2，设AE=x，则BE=AB-AE(= 25-x )，∵ DA=15km，CB=10km，∴x2+152=(25-x )2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处．点评：本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．29．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（ 1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由 A 点向 BF 作垂线，垂足为 C ， 若 AC > 200则 A 城不受影响，否则受影响；（2）点A 到直线 BF 的长为 200千米的点有两点，分别设为 D 、G ，则△ ADG 是等 腰三角形，由于 AC ⊥BF ，则 C 是 DG 的中点，在 Rt △ADC 中，解出 CD 的长， 则可求 DG 长，在 DG 长的范围内都是受台风影响， 再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由 A 点向 BF 作垂线，垂足为 C ， 在Rt △ABC 中，∠ABC=3°0 ， AB=320km ，则 AC=160km ， 因为 160< 200，所以 A 城要受台风影响；因为 DA=AG ，所以△ ADG 是等腰三角形，因为 AC ⊥BF ，所以 AC 是 BF 的垂直平分线， CD=G ，C 在 Rt △ADC 中，DA=200千米， AC=160千米，由勾股定理得， CD= DA 2- AC 2 = 2002 -160 2 =120 千米，则 DG=2DC=24千0 米，遭受台风影响的时间是： t=240 ÷40=6（小时）．点评 ：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．30．考点：勾 股定理的应 用．分析 ： 连接 AC ，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△ ABC 和△ACD 为直角三 角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来， 两者面积相加即 为四边形 ABCD 的面积．AG=200千米． 则还有一点 G ，有∵∠B=90°，∴△ABC 为直角三角形，∵AC 2=AB 2+BC 2=82+62=102， ∵AC >0，∴AC=10，在△ACD 中，∵AC 2+CD 2=100+576=676，AD 2=262=676， ∴AC 2+CD 2=AD 2，∴△ ACD 为直角三角形，且∠ ACD=9°0 ，点评 ：通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过 程变得简单．∴S1 ×6×8+12 ×10×24=144． 四 边 形 A B C ACD 1 2。
勾股定理及其逆定理(含答案)
勾股定理及其逆定理1.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.如图：图形A的面积是（）A.225B.B. 144C.C. 81D.D. 无法确定4.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 125.如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（）A. 15B. 17C. 23D. 1136. 如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间6.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为（）A.B. 3C.D. 58. 直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，则斜边长是（）A. 3B. 41C.D. 97.如图，图中直角三角形共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 12D. 169.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12 cm2B. 15 cm2C. 144 cm2D. 306 cm213. 已知直角三角形的两边长分别为2、3，则第三边长可以为（）A. B. 3 C. D.14. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A. （5，4）B. （4，5）C. （4，4）D. （5，3）11.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A.3B.4C.5D.612.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B.6C.7D.2513.如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A. B. C. D.18. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A. 48B. 60C. 76D. 8014.如图，E为正方形ABCD内部一点，且，，，则阴影部分的面积为（）A. 25B. 12C. 13D. 1915.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=10km，BC=24km，则M、C两点之间的距离为( )A. 13kmB. 12kmC. 11kmD. 10km16.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则AB=（）A. 17B.C. 289D. 18117.直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是（）A. 5B. 6C. 6.5D. 1318.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知，，则AC的长为( )A. 10B. 11C. 12D. 1319.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=720.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.21.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A. 10 mB. 15 mC. 18 mD. 20 m22.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，6，7D. 5，11，1223.在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A. 4、7、9B. 5、12、13C. 6、8、10D. 7、24、2524.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm25.已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）.A. B.C. D.26.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 9，12，15C. ，，D. 0.3，0.4，0.527.-64的立方根是（）A. ±8B. 4C. -4D. 1628.-8的立方根是（）A. -2B. ±2C. 2D. -29.的立方根是（）A. -1B. 0C. 1D. ±130.下列说法正确的是（）A. 1的相反数是-1B. 1的倒数是-1C. 1的立方根是±1D. -1是无理数31.在实数0，-2，，3中，最大的是（）A. 0B. -2C.D. 332.在实数，，，中有理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个33.8的相反数的立方根是（）A. 2B.C. -2D.34.下列说法正确的是（）A. 是有理数B. 5的平方根是C. 2＜＜3D. 数轴上不存在表示的点35.-的相反数是（）A. -B. -C. ±D.36.|1-|的值为（）A. 1-B. 1+C. -1D. +137.在下列实数中：π，-，0，，最小的数是（）A. -B. 0C.D. π38.下列结论正确的是（）A. 无限不循环小数叫做无理数B. 有理数包括正数和负数C. 0是最小的整数D. 两个有理数的和一定大于每一个加数39.下列说法正确的是（）A. 3.14是无理数B. 是无理数C. 是有理数D. 2p是有理数40.下列各式正确的为（）A. =±4B. -=-9C. =-3D.41.下列说法正确的是（）A. 1的平方根是它本身B. 是分数C. 负数没有立方根D. 如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数42.下列四个数：-2，-0.6，，中，绝对值最小的是（）A. -2B. -0.6C.D.43.与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 744.下列对实数的说法其中错误的是（）A. 实数与数轴上的点一一对应B. 两个无理数的和不一定是无理数C. 负数没有平方根也没有立方根D. 算术平方根等于它本身的数只有0或145.下列说法：①带根号的数都是无理数；②无理数都可用数轴上的点表示；③的平方根是±4：④a2的算术平方根是a；⑤负数也有立方根，其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理列式计算即可得解；本题考查了勾股定理，是基础题，主要是对勾股定理的理解与应用．【解答】解：由勾股定理得，A边长，故A的面积.故选C．4.【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1，∠CAC1=60°，∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，故选：C．根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长是解题的关键．根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵两个正方形的面积分别是64和49，∴AB=BD=8，DC=7，∴BC=BD+DC=8+7=15，根据勾股定理得：AC==17．故选B.6.【答案】C【解析】解：由勾股定理得，OB==，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴BC2=EC2-EB2=22-12=3，∴正方形ABCD的面积=BC2=3．故选：B．先根据正方形的性质得出∠B=90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了正方形的性质．8.【答案】C【解析】解：由勾股定理得：斜边长为，故选：C．利用勾股定理即可求出斜边长．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．【解答】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，∴AC==5，∵∠ACB=90°，AB=13，∴BC==12．故选C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理和等腰三角形的性质，在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，，如图：BC =12，AB=AC=10 ，在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，则BD =DC=BC=6 ，在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，，故选C.12.【答案】C【解析】解：如图，∵a2+b2=c2，而a2=81，c2=225，∴b2=225-81=144，∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2．故选：C．如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=81，c2=225，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．13.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论，分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【解答】解：3是直角边时，第三边==，3是斜边时，第三边==，所以，第三边长为或．故选D．14.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB=AO+OB=5，∴AD=AB=CD=5，∴DO===4，∴点C的坐标是（5，4）．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选A．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB===5．故选：A．17.【答案】C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选C．18.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理以及正方形的性质，解题关键是利用勾股定理求出正方形的边长，然后利用部分之和等于整体求出阴影部分面积.由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE转换求面积.【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.故选C.19.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键，根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，∴阴影部分的面积是25-6=19，故选D．20.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=26，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到M、C两点之间的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，∴AB==26，∵M点是AB中点，∴MC=AB=13，故选A．21.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,掌握勾股定理是解决问题的关键．由题意可知：斜边为AB，直接由勾股定理求得答案即可．【解答】解：根据勾股定理，AB===17．故选A22.【答案】C【解析】解：由题意得，斜边=，所以斜边上的中线=×13=6.5．故选：C．根据勾股定理，先求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出中线长．此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．23.【答案】D【解析】【分析】考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE=6，∴BC=2OE=12，∵AB=5，∴AC==13，故选D．24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的知识是解决问题的关键.理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方.解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选：D．25.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．26.【答案】C【解析】【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．故选C.27.【答案】A【解析】解：A.∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B.∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C.∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D.∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．28.【答案】A【解析】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，首先要正确理解题意，明白怎么放桶内所能容下的木棒最长，然后灵活利用勾股定理，难度一般．根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB===40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．30.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B.∵，设a、b、c边长为k、k、k∴则有k2+k2=2k2，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；D.∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．故选A．31.【答案】C【解析】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．故选：C．根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．32.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键.依据立方根的定义求解即可.【解答】解：∵（-4）3=-64，∴-64的立方根是-4．故选C．33.【答案】A【解析】解：∵-2的立方等于-8，∴-8的立方根等于-2．故选：A．如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．34.【答案】C【解析】解：的立方根是1，故选：C．根据开立方运算，可得一个数的立方根．本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．35.【答案】A【解析】解：A、1的相反数是-1，正确；B、1的倒数是1，故错误；C、1的立方根是1，故错误；D、-1是有理数，故错误；故选：A．根据相反数、倒数、立方根，即可解答．本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．36.【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】解：2＜＜3，实数0，-2，，3中，最大的是3．故选D．37.【答案】B【解析】解：在实数，，，中=2，有理数有，共2个．故选：B．整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．此题考查了有理数和无理数的定义，注意需化简后再判断．38.【答案】C【解析】解：8的相反数是-8，-8的立方根是-2，则8的相反数的立方根是-2，故选：C．根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．本题考查的是实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．39.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系，利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A、是无理数，故A错误；B、5的平方根是，故B错误；C、＜，∴2＜3，故C正确；D、数轴上存在表示的点，故D错误；故选C．40.【答案】D【解析】解：根据相反数、绝对值的性质可知：-的相反数是．故选：D．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．41.【答案】C【解析】解：|1-|的值为-1．故选：C．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．考查了实数的性质，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．42.【答案】A【解析】解：∵-＜＜0＜π，∴最小的数是-．故选：A．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．43.【答案】A【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；C、0不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选：A．根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．44.【答案】C【解析】解：整数和分数统称为有理数．A.3.14是小数，可写成分数的形式，所以是有理数，错误．B.是有理数，错误．D.2p表示p的2倍，要视乎p本身是否为有理数而定，错误．故选：C．按照有理数无理数的定义判断即可．本题考查了有理数的定义，正确理解有理数定义是解题关键．45.【答案】D【解析】解：A、=4，故原题计算错误；B、-=9，故原题计算错误；C、=3，故原题计算错误；D、=，故原题计算正确；故选：D．根据=|a|进行化简计算即可．此题主要考查了二次根式和立方根，关键是掌握二次根式的性质．46.【答案】D【解析】解：A、1的平方根是±1，错误；B、是无理数，错误；C、负数有立方根，错误；D、如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数，正确；故选：D．根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．47.【答案】C【解析】解：∵|-2|=2，|-0.6|=0.6，||=，||=，∵，所以绝对值最小的是，故选：C．根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．48.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在5和5.5之间，题目比较典型，根据无理数的意义和二次根式的性质，即可求出答案.【解答】解：∵，∴，∴最接近的整数为，∴.故选B.49.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系是解题关键．根据平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A.实数与数轴上的点一一对应，说法正确，故选项不符合题意；B.π+（1-π）=1，说法正确，故选项不符合题意；C.负数的立方根是负数，说法错误，故选项符合题意；D.算术平方根等于它本身的数只有0或1，说法正确，故选项不符合题意．故选C．50.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数中无理数的概念，算术平方根，平方根，立方根的概念.①根据无理数的定义即可判定；②根据无理数与数轴的关系即可判定；③根据算术平方根、平方根的定义计算即可判定；④根据算术平方根的定义即可判定；⑤根据立方根的定义即可判定.【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，有的是有理数，故说法错误；②无理数都可用数轴上的点表示，故说法正确；③=4，4的平方根是±2，故说法错误：④a2的算术平方根是|a|，故说法错误；⑤负数也有立方根，故说法正确．正确的是：②⑤.故选B．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学17.2勾股定理的逆定理 同步习题
17.2勾股定理的逆定理同步习题一．选择题1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，12，132．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠BC．b2＝a2﹣c2D．a：b：c＝5：12：133．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（）元．A．75a B．50a C．a D．150a4．在下列四个条件：①AB2+BC2＝AC2，②∠A＝90°﹣∠B，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A：∠B：∠C＝5：3：2中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．①③B．①②③C．①②④D．①②③④5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形6．如图，已知△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，AB上取一点E，AC上取一点F使得∠EFC＝136°，过点B作BD∥EF，则∠CBD等于（）A．44°B．56°C．46°D．68°7．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD．现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（）A．能拼成一个直角三角形B．能拼成一个锐角三角形C．能拼成一个钝角三角形D．不能拼成三角形8．下列三角形中，是直角三角形的是（）A．三角形的三边a，b，c满足关系a+b＞cB．三角形的三边长分别为32，42，52C．三角形的一边等于另一边的一半D．三角形的三边长为20，15，259．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P为边AB上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为（）A．3.6B．4.8C．5D．5.2二．填空题11．一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是．12．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足时，∠B＝90°．13．如图，在5×3的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC+∠ACB＝．14．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．15．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是．（填写序号）（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）三．解答题16．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．17．如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．（1）连接BC，求BC的长；（2）判断△BCD的形状，并说明理由．18．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN＝．例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点间的距离PQ＝＝．特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝丨x1﹣x2丨或丨y1﹣y2丨．（1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于x轴的同一条直线上，点A的横坐标为5，点B的横坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC 的形状吗？请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．2．解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．故选：A．3．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝30°，∵CD⊥BD，BC＝15米，∴CD＝7.5米，∵AB＝10米，∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），∵每平方米售价2a元，∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），故选：A．4．解：①∵AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠C＝180°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，∴∠A＝180°×＝90°，∴△ABC为直角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，故选：D．5．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．6．解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7，∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°．过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示．∵CM∥EF，∠EFC＝136°，∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝44°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝46°．又∵CM∥BD，∴∠CBD＝∠BCM＝46°．故选：C．7．解：由网格图可得：AB2＝22+32＝4+9＝13，CB2＝22+12＝4+1＝5，CD2＝22+22＝4+4＝8，∴CB2+CD2＝5+8＝13＝AB2，∴线段AB，BC，CD首尾相连拼成的三角形是直角三角形，故选：A．8．解：A、三角形的三边满足关系a+b＞c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项不符合题意；D、∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．9．解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．故选：C．10．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，82+62＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，连接CP，∵PD⊥AC于D，PE⊥CB于E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE＝CP＝＝4.8，故选：B．二．填空题11．解：设三角形的三边是3x：4x：5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴此三角形是直角三角形，∵它的周长是36，∴3x+4x+5x＝36，∴3x＝9，4x＝12，∴三角形的面积＝×9×12＝54，故答案为：54．12．解：∵a2+c2＝b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴当a、b、c满足a2+c2＝b2时，∠B＝90°．故答案为：a2+c2＝b2．13．解：方法一：如图，取格点D，连接AD、CD，根据网格和勾股定理，得AD＝DC＝＝，AC＝＝，∴AD2+DC2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°．∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．故答案为：45°．方法二：如图，取格点D，连接BD，根据网格和勾股定理，得AB＝＝，AC＝＝，BC＝5，在△ABD中，AD＝1，BD＝＝，AB＝，∵＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DAB，∴∠BAC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°．故答案为：45°．14．解：如图，连接BD，∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，根据勾股定理得，BD＝5，在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×3×4+×12×5＝36．故答案为：36．15．解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC 是直角三角形，符合题意；（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝100°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；故答案为：（1）（2）（3）（5）．三．解答题16．（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝＝＝4．17．解：（1）∵∠A＝90°，∴BC＝＝＝15；（2）△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．18．解：（1）AB＝＝；（2）AB＝丨5﹣（﹣1）丨＝6；（3）△ABC是直角三角形理由：∵AB＝＝，BC＝＝5，AC＝＝，∴AB2+AC2＝（）2+（）2＝25，BC2＝52＝25．∴AB2+AC2＝BC2∴△ABC是直角三角形．。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列几组数据中，不能作为直角三角形的三条边的是（）A．1，2，B．3，4，5C．1，，D．4，12，13 2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝5，AC＝，则下列说法正确的是（）A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．△ABC是钝角三角形D．△ABC是直角三角形且∠B＝90°3．如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定4．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9B．6，8，10C．5，12，14D．3，4，65．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝45°6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m7．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△P AB，则∠P AB+∠PBA的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°二．填空题9．一个三角形的三边长为8cm、17cm、15cm，则其面积为cm2．10．如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝．11．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm，则能放进木箱中的直木棒最长为cm．12．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为．13．如图，露在水面上的鱼线BC长为6m，钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，若BB'的长为2m，则钓鱼竿AC的长为m．14．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．15．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝8米，BC＝6米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．16．图是屋架设计图的一部分，点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，D为横梁BC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，若AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，则EM+AD+FN 等于m，四边形AEDC的周长为m．三．解答题17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的＝空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？19．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．20．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B 处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．21．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．22．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？23．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以16海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．（1）如图1，若反走私艇A和走私艇C的距离是10海里，A、B两艇的距离是6海里；反走私艇B测得距离C艇8海里，若走私艇C的速度不变，则再过多少小时它会进入我国领海？（2）如图2，若反走私艇A和走私艇C的距离是12海里，A、B两艇的距离是8海里，反走私艇B测得距离C艇10海里，发现走私艇C时，反走私艇B便立即沿领海线MN 对走私艇C进行拦截．若要使拦截成功，假设走私艇C的速度不变，那么反走私艇B的速度至少应为多少海里/时？（结果中若有根号，则保留根号）．参考答案一．选择题1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、42+122≠132，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选：D．2．解：在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝，∴AC2＝34，AB2+BC2＝9+25＝34，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，故选：D．3．解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，∵三条边长同时扩大10倍为10a，10b，10c，∴（10a）2+（10b）2＝100a2+100b2＝100（a2+b2）＝100c2，∴（10c）2＝100c2，∴（10a）2+（10b）2＝（10c）2，∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是直角三角形，故选：C．4．解：A、72+82≠92，故不是勾股数，故选项不符合题意；B、62+82＝102，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C、52+122≠142，故不是勾股数，故选项不符合题意；D、32+42≠62，故不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．5．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．6．解：设BO＝xm，依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，解得：x＝1.5，∴AB＝＝2.5（m），即梯子的长度AB为2.5m，故选：A．7．解：选项A如图：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；选项B如图：B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项C如图：C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项D如图：D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A．8．解：延长AP到点C，连接BC，如右图所示，由图可得，∠CPB＝∠P AB+∠PBA，PC＝＝，BC＝＝，PB＝＝，∴BC2+PC2＝PB2，CP＝CB，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠P AB+∠PBA＝45°，故选：B．二．填空题9．解：∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面积为：×8×15＝60（cm2）．故答案为：60．10．解：∵∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，∴AC＝＝，∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．11．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5cm，∵AC＝12cm，∴AB＝＝13（cm），∴空木箱能放的最大长度为13cm，故答案为：13．12．解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，故可得第⑤组勾股数是14，48，50．故答案为：14，48，50．13．解：设AB′＝xm，∵AC′＝AC，∴AB′2+B′C′2＝AB2+BC2，∴x2+82＝（x+2）2+62．解得x＝6，∴AB＝8m，∴AC＝＝＝10（m），故答案为：10．14．解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．15．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8米，BC＝6米，∴AC＝＝＝10（米），∴BC+AB﹣AC＝6+8﹣10＝4（米），∴他们踩坏了10米的草坪，只为少走4米的路，故答案为：10，4．16．解：∵AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，D为横梁BC的中点，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠DAC＝60°，∵点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，∴AE＝AD＝AB＝3m，FN＝EM＝BE＝AB＝1.5m，∴△AED是等边三角形，∴EM+AD+FN＝3+1.5+1.5＝6（m），∵AD＝3m，AC＝6m，∴DC＝＝3（m），∴四边形AEDC的周长为：3+3+3+6＝（12+3）m．故答案为：6，（12+3）．三．解答题17．解：如图，连接AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，∴AC＝＝5，∴S△ACD＝6，在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴Rt△ABC的面积＝30，∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．18．解：（1）连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC＝×4×3+×12×5＝36（平方米）；（2）需费用36×300＝10800（元）．19．解：小汽车已超速，理由如下：根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC＝＝＝32（米），∵小汽车1.5秒行驶32米，∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，∵76.8＞60，∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．20．解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x＝5．解得x＝5，∴4x＝20，3x＝15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．21．解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．22．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，∴AB＝＝＝15（m），∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），∴BD＝＝＝6（m），∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．答：此时游船移动的距离AD的长是9m．23．解：（1）由题意，AC＝10海里，AB＝6海里，BC＝8海里，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°．由面积法得AC•BE＝AB•BC，即10BE＝6×8，∴BE＝．在Rt△BEC中，CE＝＝，∵艇C的速度为16海里/时，∴所求的时间为÷16＝，答：再过小时艇C会进入我国领海．（2）由题意，AC＝12海里，AB＝8海里，BC＝10海里，设CE＝x，由勾股定理，得AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，即82﹣（12﹣x）2＝102﹣x2，解得x＝，∴CE＝＝7.5，再由勾股定理，得BE＝＝（海里）设反走私艇B的速度为y海里/时，则＝，解得y＝．检验可知y＝是方程的解，且适合题意．答：反走私艇B的速度至少应为海里/时．。
勾股定理逆定理同步测试题(含答案)
八年级数学（勾股定理）1一、选择题1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）.A ．2，3，4B ．5，7，9C ．8，15，17D ．200，300，4002．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）3．三角形的三边长a 、b 、c ，满足22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( ) .A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形4．下列结论错误的是（ ）A .三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；B .三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；C .三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形；D .三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形．5．在同一平面上把三边BC ＝3、AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ）.A .125B .135C .56D .2456．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不能确定7．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a ＞0）；⑤22m n -、2mn 、22m n +（m 、n 为正整数，且m ＞n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A ．5组B ．4组C ．3组D ．2组8．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定ABC D二、填空题1．在△ABC 中，若222AB BC AC +=，则∠A ＋∠C ＝______度.2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .3．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.4.如图1,在四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ＝8，DC ＝6，CB ＝24，AB ＝26.则四边形ABCD 的面积为____________.5. 如图2所示，一架5米长的消防梯子斜靠在一竖直的墙AC 上，梯足（点B ）离墙底端（C 点）的距离为3米，如果梯足内移1.6米至点B 1处，则梯子顶端沿墙垂直上移_______米.6．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．7．如图3所示的一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ， AD ⊥DC ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，则这块地的面积是__________2m .8. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数： ， ， .三、解答题1． 一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示，这个零件符合要求吗？2．已知：如图，△ABC 中，AB =5cm ，BC =3 cm ，AC =4cm ，CD ⊥AB 于D ， 求CD 的长及△ABC 的面积；图2 图3 图4 图1 图3图22．已知△ABC 的三边为22m n +,22m n -,2mn（1）当m =2,n =1时，△ABC 是否为直角三角形？并说明理由．（2）当m =3,n =2时，△ABC 是否为直角三角形？并说明理由．（3）对于m 、n 为任何正整数时（m ＞n ），你能说明△ABC 为直角三角形吗？3．如图5，已知正方形ABCD 中，F 是DC 的中点，E 为BC 的上一点，且EC ＝14BC ．求证：EF ⊥AF ．一、选择题（每小题3分，共15分） 1．如图1，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对2．已知，如图2，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）．A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2图5 图1二、填空题（每题3分，共15分）1．如图4，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于2. 观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b ＝ ，c ＝三、解答题1．如图5，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？2．如图6，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？3．如图，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．图4图5 图64．（20分）如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？A 卷：一、1．C 2．C 3．B 4．D 5．D二、1． 90° 2．120 3．13 4．144 5．0.8．三、1．答：这个零件符合要求．∵在△ABD 中，22223425AB AD +=+=，22525BD ==．∴222AB AD BD +=，∴∠A ＝90°．同理可得∠DBC ＝90°．2．答：（1）△ABC 是直角三角形．∵当m =2,n =1时，222()25m n +=；222()9m n -= ；2(2)16mn =．∴2222222()(2)()m n mn m n -+=+，∴△ABC 是直角三角形．（2）当m =3,n =2时，还有2222222()(2)()m n mn m n -+=+，∴△ABC 是直角三角形．（3）∵22224422222()(2)2()m n mn m n m n m n -+=++=+，∴对于m 、n 为任何正整数时（m ＞n ），△ABC 都是直角三角形．3．解：证明：连接AE ，设正方形边长为4a ，则EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a ．在Rt △ABE 中，222222(4)(3)25AE AB BE a a a =+=+=．同理：222222(4)(2)20AF AD DF a a a =+=+=,222222(2)5EF EC CF a a a =+=+=,∴222EF AF AE +=.由勾股定理的逆定理知△AFE 为直角三角形，且∠AFE ＝90°，即EF ⊥AF ．B 卷：一、1．B 2．B 3． C 4．A 5．A二、1．6、8、10 2．24 3．5、12、13 4．10 5．84，85三、1．解：∵2222512169AB BC +=+=,2213169AC ==,∴222AB BC AC +=.由勾股定理的逆定理知△AC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°．由题意，可知BD ⊥AC ，∴AC ·BD ＝AB ·BC ，BD ＝6013．6013×26000＝120000（元）．即修这条公路的最低造价是12万元．2．解：∵AC ＝16×3＝48，AB ＝12×3＝36，∴222222604836BC AC AB +=-== ∴△ABC 为直角三角形且∠CAB ＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40°C 卷：解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC ＝90°.又AB 2+BC 2＝52+122＝169＝32＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2＝144，（13-CE ）2+BE 2＝25，得26CE ＝288，∴CE ＝13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.。
初二数学勾股定理的逆定理试题
初二数学勾股定理的逆定理试题1.已知甲、乙两人从同一处出发，甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距千米．【答案】5【解析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离．如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴，则这时甲、乙两人相距5千米．【考点】本题考查的是勾股定理的应用点评：善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2.在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________【答案】5【解析】根据BD，AD，AB的长度可以判定△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，又D为BC的中点，可以判定△ABC为等腰三角形，从而求得结果．在△ABD中，已知AB=5，AD=4，BD=3，满足AB2=AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，即AD⊥BC，又∵D为BC的中点，∴△ABC为等腰三角形，且AB=AC，∴AC=5．【考点】本题考查的是直角三角形的判定，等腰三角形的性质点评：本题中首先要根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，求证△ABC是等腰三角形是解题的关键．3.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是A．第三边一定为10B．三角形的周长为25C．三角形的面积为48D．第三边可能为10【答案】D【解析】分情况讨论：主要看两个数中较大的数的情况，8是斜边和8不是斜边两种情况求解．①当8是斜边时，根据勾股定理得第三边是；②当8是直角边时，第三边是；故选D．【考点】本题考查的是勾股定理点评：此类题重点注意哪一条边是斜边不确定，所以要分两种情况考虑．4.直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为A．27cm B．30cm C． 40cm D．48cm【答案】D【解析】可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，得出两直角边为3x，4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得结果．∵一个直角三角形的两条直角边长的比是 3：4，∴设两条直角边长的长是 3x，4x，∴（3x）2+（4x）2=202，解得：x=4或-4（不合题意舍去）∴3x=12，4x=16，∴这个三角形的周长是：12+16+20=48cm．故选D.【考点】本题考查的是勾股定理的应用点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键．5.下列命题中是假命题的是A．△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则△ABC是直角三角形.B．△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则△ABC是直角三角形.C．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形.D．△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形.【答案】C【解析】若一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理，依次分析各项即可。
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步达标测试题(附答案)
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（）A．120°B．135°C．150°D．165°3．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（）A．12m B．13m C．15m D．24m4．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km5．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺6．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．4米B．5米C．6米D．7米7．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm8．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55二．填空题（共8小题，满分32分）9．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了步路．（假设2步为1米）11．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 到D，则橡皮筋被拉长了cm．14．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为cm2．15．2021年在甘肃省白银市景泰县黄河石林景区举行了黄河石林山地马拉松百公里越野赛．如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌．经测量得到以下数据：AC＝4m，BE ＝8m，∠DAC＝45°，∠EBC＝30°，∠DCA＝90°，则DE的高为m．16．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．18．如图：四边形ABCD中，AB＝BC＝，DA＝1，CD＝，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．19．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．20．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧的墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧的墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点B到地的垂直距离BC＝米，求两堵墙之间的距离CE．21．如图所示，AB＝DE＝25，AC＝24，∠C＝90°．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE 的长．22．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）23．已知，如图，AD∥BE，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求证：AB∥CD；（2）已知AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，求AC的长度．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵b2＝c2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，∵a：b：c＝：：，∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，∴a2≠b2+c2，∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形故选：C．2．解：延长CB交网格于E，连接AE，由勾股定理得：AE＝AB＝＝，BC＝BE＝＝，∴AE2+AB2＝BE2，∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°），∴∠EBA＝∠AEB＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，故选：B．3．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5m，∵AC＝12m，∴AB＝＝13（m），∴空木箱能放的最大长度为13m，故选：B．4．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6（km），BC＝2+5＝7（km），在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，故选：D．5．解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：D．7．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，∴AC＝7cm，CB＝24cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB＝＝＝25（cm）．故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．故选：B．8．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．10．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，∴AB＝＝10（m），则（8+6﹣10）×2＝8，∴他们仅仅少走了8步，故答案为：8．11．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．12．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．13．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．14．解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．15．解：∵∠DCA＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝4m，在Rt△BCE中，∵∠EBC＝30°，BE＝8m，∴CE＝＝×8＝4（m），∴DE＝CE﹣CD＝（4﹣4）m，故答案为：（4﹣4）．16．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故答案为：1.6．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BC2＝BD2+CD2．∴△BDC为直角三角形；（2）设AB＝xcm，∵等腰△ABC，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣6）2+82，∴x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝（cm）．18．解：（1）如图，连接AC．∵AB＝BC＝，∠B＝90°，∴AC＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AD＝1，CD＝，∴AD2+AC2＝CD2，∴∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+90°＝135°．（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝•AB•BC+•AD•AC＝××+×1×2＝2．19．解：（1）△ABC为直角三角形，理由：由图可知，，BC＝，AB＝＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．20．解：在直角△ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，根据勾股定理计算AB2﹣AC2＝，得：AC＝5，AB＝10．即AD＝10，根据AD2＝AE2+DE2，AE＝DE，计算得：AE＝DE＝，∴CE＝CA+AE＝5+．答：两墙之间的距离CE＝5+．21．解：（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，在直角△ABC中，∠C＝90°，∴BC2+AC2＝AB2，∴米，∴这个梯子底端离墙有7米；（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），在直角△CDE中，∠C＝90°，∴BD2+CE2＝DE2，∴（米），∴BE＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．22．解：（1）根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝20（km）．答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长．∵CD⊥l，∴∠CDB＝90°，∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，∴，（km）．答：这条最短公路的长为km．23．（1）证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠3，即∠2+∠EAC＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠EAC＝∠4，即∠BAE＝∠4，∴AB∥CD；（2）解：在△ABE中，AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，∴AE2+AB2＝BE2，∴△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，由（1）得：∠4＝∠BAE＝90°，∴∠3＝∠4＝90°，∴AC⊥BE，∵S△ABE＝AE•AB＝BE•AC，∴AC＝＝＝（cm）．。
初中数学勾股定理及逆定理练习题(附答案)
初中数学勾股定理及逆定理练习题一、解答题1.如图所示的一块地,4,3,13,12,AD m CD m AB m BC m ====求这块地的面积.2.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A ，B ，C 为格点(1)判断ABC 的形状，并说明理由.(2)求BC 边上的高.3.如图,在Rt ABC 中90,7cm C BC ∠=︒=.动点P 在线段AC 上从点C 出发,沿CA 方向运动;动点Q 在线段BC 上同时从点B 出发,沿BC 方向运动.如果点,P Q 的运动速度均为1cm /s ,那么运动几秒时,它们相距5cm4.如图,在ABC ∆中,45ABC ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,BE 与CD 交于点F .(1)求证:ACD FBD ∆≅∆(2)若5,1AB AD ==,求BF 的长5.如图，将长方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .(1)求证:AE AF CE CF===；(2)设AE a=，请写出一个a b c，，三者之间的数量关系式.=，DC c=，ED b6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE△，延长△沿AE对折至AFEEF交BC于点G，连接AG.(1)求证:ABG AFG△△；≅(2)求BG的长.7.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.8.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点3E AE=，，1+EB=，在AC上有一点P，使EP BP 最短，求EP BP+的最短长度.9.如图，四边形ABCD 是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网，经过测量得知:90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，15m CD =，20m AD =.(1)判断D ∠是不是直角，并说明理由；(2)求四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积.10.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数百千米的范围内形成极端气旋，有极强的破坏力如图，有一台风中心由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点,A B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，且500km AB =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域.(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有多长？11.如图，每个小正方形的边长是1.(1)求ABC △的周长.(2)画出BC 边上的高，并求出ABC △的面积.(3)画出AB 边上的高，并求出高.12.如图，在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)面积.13.已知ABC △的三边分别为a b c ,,，且4a b +=，1ab =，c =ABC △的形状. 14.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市A 正南方向240km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25km ，风力就会减弱一级该台风中心现正以20km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，如图，且台风中心的风力不变若城市所受风力到达或超过4级，则称受到台风影响(提示:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)(1)城市A 是否会受到台风影响？请说明理由(2)若城市A 会受到台风影响，那么台风影响该城市的时间有多长？(3)若城市A 会受到台风影响，那么该城市受到台风影响的最大风力为几级？15.如图，在长方形纸片ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，求ABE △的面积.16.如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D'处，BC交AD'于点BC=，求阴影部分的面积.，，8cm6cmE AB=17.如图，点D是ABC△，且4△内一点，把ABD△绕点B顺时针旋转60°得到CBEAD=，CD=.3BD=，5(1)判断DEC△的形状，并说明理由.(2)求ADB∠的度数.18.在一次意外事故中，有一根高为16m的电线杆在A处断裂，如图，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8m远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离.19.如图，在等腰直角三角形ABC中，90∠=︒，点D为AC边的中点，过点D作DE DFABC⊥，CF=，求EF的长.交AB于点E，交BC于点F，若4AE=，320.八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？21.如图,已知一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距大厦8米处(车尾到大厦墙面),升起云梯到火灾窗口,已知云梯长17米,云梯底部距地面2 米,问发生火灾的住户窗口距地面多高?22.已知a,b,c,为△ABC 的三边长,且满足a 2 +b 2+c 2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC 的形状.23.如图所示,在长方形ABCD 中, 8AB =,4BC =,将长方形沿AC 折叠,使点D 落在点D '处,求重叠部分AFC ∆的面积.24.如图,一个梯子AB 长25米,顶端A 靠在墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为15米,梯子滑动后停在DE 的位置上,测得BD 长为5米,求梯子顶端A 下落了多少米?25.美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法,如图,他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形,请你利用此图形验证勾股定理.参考答案1.答案：解:连接AC∵90,4,3, 5.ADC AD CD AC ∠=︒==∴=由13,12AB BC ==可得222,AC BC AB ABC +=∴△是直角三角形∴30S ABC =△6,S ACD =△30624-=所以这块土地的面积为224m解析：2.答案：(1)结论：ABC 是直角三角形.理由：2222222221865,2313,6452BC AC AB =+==+==+=，222AC AB BC ∴+=， ∴ABC 是直角三角形.(2)设BC 边上的高为则有1122AC AB BC h ⋅⋅=⋅⋅， 13,AC AB BC ===.解析： 90,2ADB AD BD h ︒∠==∴ 3.答案：设运动x 秒时，它们相距5cm ，则()7cm,cm CQ x CP x =-= 根据题意得：()22275x x =+-解得123,4x x ==答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm解析：4.答案：(1)证明：45,ABC CD AB ︒∠=⊥90CDB CDA ∴∠=∠=︒CDB ∴∆为等腰直角三角形BD CD ∴=BE AC ⊥90CEF FDB ∴∠=∠=︒又CFE BFD ∠=∠ACD FBD ∴∠=∠在ACD ∆和FBD ∆中，90ACD FBD BD CDCDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩︒ ()ACD FBD ASA ∴∆≅∆(2)ACD FBD ∆≅∆ 1AD FD ∴==又5AB =4BD ∴=∴在Rt BDF ∆中，BF === 解析：5.答案：(1)证明:由题意知，AF CF =，AE CE =，AFE CFE ∠=∠. 在长方形ABCD 中，//AD BC ，AEF CFE ∴∠=∠， AFE AEF ∴∠=∠，AE AF EC CF ∴===.(2)由题意知，AE EC a ==，ED b =，DC c =， 由90D ∠=︒知，222ED DC CE += ，即222b c a +=. 解析：6.答案：(1)证明:在正方形ABCD 中，AD AB =，90D B ∠=∠=︒. 将ADE △沿AE 对折至AFE △，AD AF ∴=，DE EF =，90D AFE ∠=∠=︒.AB AF ∴=，90B AFG ∠=∠=︒.又AG AG =，()Rt Rt HL ABG AFG ∴≅△△.(2)ABG AFG ≅△△，BG FG ∴=.设()0BG FG x x ==>，则6GC x =-， E 为CD 的中点，3CE DE EF ∴===，3EG x ∴=+. 在Rt CEG △中，()()222363x x +-=+，解得2x =，2BG ∴=. 解析：7.答案：分为三种情况:(1)如图①，连接EC .在Rt EBC △中，12820cm EB =+=，13015cm 2BC =⨯=，由勾股定理得25cm EC =(2)如图②，连接EC .同理可得25cm CE >.(3)如图③，连接EC .同理可得25cm CE >. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.解析：8.答案：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP .此时EP BP +最短.易知BD AC ⊥，且BO OD =，BP PD ∴=，则BP EP ED +=.3AE =，134AD AB ==+=，∴在Rt ADE △中，由勾股定理得222234255ED =+==， EP BP ∴+的最短长度为5.解析：9.答案：(1)D ∠是直角，理由如下:如图，连接AC ，90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，222AC AB BC ∴=+22247625=+=，()25m AC ∴=. 又15m CD =，20m AD =，222152025+=即222DC AD AC +=，ACD ∴△是直角三角形，且D ∠是直角. (2)ABC ADC ABCD S S S =+四边形△△()211234m 22AB BC AD DC =⋅+⋅=. 故四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积为2234m . 解析：10.答案：(1)海港C 受台风影响.理由如下:如答图，过点C 作CD AB ⊥.300km AC =，400km BC =，500km AB =.222AC BC AB ∴+=，ABC ∴△是直角三角形，AC BC CD AB ∴⋅=⋅，300400500CD ∴⨯=⨯，()300400240km 500CD ⨯∴==.以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域， ∴海港C 受台风影响(2)当250km EC =，250km FC =时，台风正好影响C 港口. 70km ED EC ==，140km EF ∴=.台风的速度为20km/h ，∴受台风影响的时间为()140207h ÷=，答:台风影响该海港持续的时间为7h.解析：11.答案：(1)AB AC =，2BC =，故ABC △的周长为2(2)作图略，ABC △的面积12442=⨯⨯=.(3)作图略，AB 边上的高42=⨯÷解析：12.答案：设CD x =在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒.把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，BD B D '∴=16x =-，B C AB AC '=-20128=-=.在Rt DCB '△中，90DCB '∠=︒，222CD B C DB ''∴+=，()222816x x ∴+=-，解得6x =.∴重叠部分(阴影部分)的面积为1612363⨯⨯=. 解析：13.答案：ABC △是直角三角形理由如下22a b +()22a b ab =+-242114=-⨯=，2214c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴△是直角三角形. 解析：14.答案：(1)城市A 会受到台风影响理由如下:如图，过点A 作AD BC ⊥于点D .在Rt ADB △中，30ABD ∠=︒，240km AB =，()11240120km 22AD AB ∴==⨯=.由题意知，距台风中心在()()12425200km -⨯=以内时，会受到台风影响.120200<，∴城市A 会受到台风影响..(2)设台风中心移至E 处时，城市A 开始受到台风影响，台风中心移至F 处时，城市A 脱离台风影响，连接AE AF ,，则200km AE AF ==.由勾股定理，得222DE AE AD =-222200120160=-=，160km DE ∴=.同理可得160km DF =.∴城市A 受台风影响的时间为()160216h 20⨯=. (3)当台风中心位于D 处时，对城市A 的影响最大.120km AD =，∴台风从D 处到A 处，其风力将减弱12025 4.8÷=(级)，A ∴处的风力为12 4.87.2-=(级)，∴该城市受到台风影响的最大风力为7.2级解析：15.答案：设cm BE x =，由折叠的性质知cm DE BE x ==，则()9cm AE AD DE x =-=-.在Rt ABE △中，由勾股定理，得222BE AE AB =+，即()22293x x =-+，解得5x =.5cm DE BE ∴==， ()9954cm AE x ∴=-=-=.12ABE S AB AE ∴=⋅△()21346cm 2=⨯⨯=. 解析：16.答案：由折叠的性质，可知D D '∠=∠，CD CD '=.又CD AB =，D B ∠=∠，CD AB '∴=，B D '∠=∠在ABE △和CD E '△中， AEB CED B D AB CD '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，ABE CD E '∴≅△△，AE CE ∴=.设cm AE CE x ==，则()8cm BE x =-在Rt ABE △中，222AB BE AE +=即()22268x x +-=，254x ∴=，25cm 4CE AE ==. 12S CE AB ∴=⋅阴影()2125756cm 244=⨯⨯=. 解析：17.答案：(1)DEC △是直角三角形理由如下: ABD △绕点B 顺时针旋转60°得到CBE △，CBE ABD ∴≅△△，3BE BD ∴==，4CE AD ==又60DBE ∠=︒，BDE ∴△是等边三角形，3DE BD ∴==.又5CD =，222234DE CE ∴+=+22255CD ===，DEC ∴△是直角三角形(2)由(1)得90DEC ∠=︒，BDE △是等边三角形，60BED ∴∠=︒，BEC DEC BED ∴∠=∠+∠9060150=︒+︒=︒.ABD CBE ≅△△，150ADB BEC ∴∠=∠=︒.解析：18.答案：在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒.设m AB x =，则()16m AC x =-由勾股定理，得222AB BC AC +=，即()222816x x +=-，解得6x =.故电线杆断裂处A 到地面的距离为6m.解析：19.答案：连接BD .在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 边的中点，BD AC ∴⊥，BD CD AD ==，45ABD ∠=︒，45C ∠=︒，ABD C ∴∠=∠. 又DE DF ⊥，BD AC ⊥，EDB BDF FDC BDF ∴∠+∠=∠+∠，EDB FDC ∴∠=∠，在EDB △与FDC △中，EBD C BD CD EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()...EDB FDC A S A ∴≅△△，3BE CF ∴==，7AB ∴=，则7BC =，4BF ∴=.在Rt EBF △中，222EF BE BF =+223425=+=，5EF ∴=.解析：20.答案：解：能将旗杆的长度求出来理由如下：设旗杆的长度为x 米，根据勾股定理得：2225(1)x x +=+解得：12x =答：旗杆的高度为12米.解析：21.答案：设窗口距地面高为(2)x +米,根据勾股定理有222178x =-,∴15x =,则217x +=,所以窗口距地面高17米.解析：22.答案：△ABC 是直角三角形解析：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,∴a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,∴△ABC 是直角三角形23.答案：在长方形ABCD 中,∵//AB CD ,∴BAC DCA ∠=∠.又由折叠的性质可得DCA FCA ∠=∠,∴BAC FCA ∠=∠,∴AF CF =.设AF x =,则8BF AB AF x =-=-.在Rt BCF ∆中, 4BC =,8BF x =-,CF x =,90B ∠=︒,∴()22248x x +-=.解得5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 解析：24.答案：5米解析：在RT ABC ∆中,根据勾股定理得: 20AC =米,由于梯子的长度不变,在RT CDE ∆中,根据勾股定理,求出CE ,从而即可得出答案.在Rt ABC ∆中, 25AB =米, 15BC =米, 故20AC ===米,在Rt ECD ∆中, 25AB DE ==米, ()15520CD =+=米, 故15EC ==米,故20155AE AC CE =-=-=米.答:梯子顶端A 下落了5米.考点:勾股定理的应用25.答案： 因为 ()()22211222S a b a ab b =+=++梯形, 又因为S 梯形221111(2)2222ab ba c ab c =++=+ 所以22211(2)(2)22a ab b ab c ++=+得c2=a2+b2.解析：试题分析:此等腰梯形的面积有三部分组成,利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.考点:勾股定理的证明.。
人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习(含答案)
17.2 勾股定理的逆定理同步练习一、选择题1.用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A. B. a：b：：2：C. ，，D. ，，2.已知一个三角形的三边长分别为，，2，则这个三角形的面积为（）A. B. C. D.3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2，则（）A. ∠为直角B. ∠为直角C. ∠为直角D. 不是直角三角形4.下列结论中，错误的有( )①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C ＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4，OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′，则四边形AO′BO的面积为（）A.10B. 16C. 40D. 806.如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A.30B. 36C. 54D. 727.如图，AC⊥BC，且BC=6，AC=8，AB=10，则点B到AC的距离是（）A. 6B. 7C. 8D. 108.已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2|++（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（）A. 以c为斜边的直角三角形B. 以a为斜边的直角三角形C. 以b为斜边的直角三角形D. 有一个内角为的直角三角形二、填空题9.三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是______ ．10.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于______．11.如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=______．12.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．13.在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是________°．三、计算题14.P为等边内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将绕点B顺时针旋转到′位置．(1)判断′的形状，并说明理由；(2)求∠的度数．15.如图，已知∠，，，，．（1）求的长度；（2）求四边形的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、∵b2=（a+c）（a-c），∴b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，∴能构成直角三角形，故选项A错误；B、∵a：b：c=1：2：，∴设a=x，则b=2x，c=x，∵x2+（x）2=（2x）2，∴能构成直角三角形，故选项B错误；C、∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，∴不能构成直角三角形，故选项C正确；D、∵a=6，b=8，c=10，62+82=36+64=100=102，∴能构成直角三角形，故选项D错误；故选C．2.【答案】C【解析】解：∵22+（）2=6=（）2，∴该三角形是直角三角形，∴这个三角形的面积是×2×=．故选：C．3.【答案】A【解析】解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．4.【答案】C解：①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5或；②△ABC的三边长为别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°，说法错误，应该是∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确；④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．故选C．5.【答案】C【解析】解：如图，连结OO′．∵△CBO≌△ABO′，∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，∴∠O′BO=90°，∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，∴O′O=8．在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，∴OA2+O′O2=O′A2，∴∠AOO′=90°，∴S四边形AO′BO =S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40．故选：C．6.【答案】D【解析】解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选：D．7.【答案】A【解析】解：∵BC2+AC2=62+82=100，AB2=102=100，∴BC2+AC2=AB2，根据勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以，点B到AC的距离是6．故选A．8.【答案】B【解析】解：由题意可得：a=2，b=2，c=4，∵22+42=20，，即a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形；故选：B．9.【答案】直角三角形【解析】解：∵（a+b）2=c2+2ab，∴a2+2ab+b2-c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故答案为直角三角形．10.【答案】解：∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则=×5×12=×13h，S△ABC解得：h=，故答案为．11.【答案】【解析】解：∵BD=3，DC=AB=5，AD=4，又∵32+42=52，∴△ABD是直角三角形，∴△ACD是直角三角形．∴AC==．12.【答案】15【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，∴CE2+AE2=AC2，∴∠E=90°，∴∠BAD=90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积=AD•AB=15，故答案为：15．13.【答案】60【解析】解：∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∵∠A：∠B=1：2，∴设∠A=x，∠B=2x，∴x+2x=90°，解得：x=30°，则∠B=60°.故答案为60.14.【答案】解：（1）△BPP′是等边三角形；理由如下：∵△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP′位置，∴BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=CP′=10，∴△BPP′是等边三角形；（2）∵△BPP’是等边三角形，∴∠BPP’=60°，PP′=PB=6，∵62+82=102，∴PP′2+PC2=P′C2，∴△PCP′是直角三角形，∠P′PC=90°，∴∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=60°+90°=150°．15.【答案】解：（1）∵∠ABD=90°∴AB2+BD2=AD2∴82+BD2=172∴BD=15(2)∵BD=15,DC=20,BC=25∴BD2+DC2=BC2∴∠BDC=90°∴四边形的面积=ABxBD+CDxBD=x8x15+x20x15=210m2。
勾股定理的逆定理 同步练习(含答案)
7.4勾股定理的逆定理1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13， 求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .12. 观察下列勾股数：第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1； 第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1； 第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1； 第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1； ……观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的c b a ,,各应是多少吗？第n 组呢？BE参考答案1.C ；2.C ；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222=+当6为斜边时，第三边为直角边=242622=-；4. C ；5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.5412921=⨯⨯ 7.直角，提示：2222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===⨯-=+=++=+得；8.1360，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得AD ⨯⨯=⨯⨯132151221； 9.解：连接AC ，在Rt △ABC 中， AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.10. 解：由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5， AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2， ∴△AEF 是直角三角形11. 设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15－x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15－x )2，解得x =2，∴10+x =12（米）12. 解：第七组，.1131112,112)17(72,15172=+==+⨯⨯==+⨯=c b a 第n 组，1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a。
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
1.三角形ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。
求c的值和三角形的类型。
2.三角形中两条较短的边为a+b和a-b（a>b），求第三条边使得三角形为直角三角形。
3.已知三角形ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=2(m-1)余m+1，求三角形的类型。
4.已知三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为7，求AC 边上的高。
5.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），求三角形的类型和理由。
6.已知一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，求三角形的面积。
7.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
8.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
9.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是多少？
10.已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形的面积。
11.已知三角形ABC中，AC=17，AD=8，CD=15，
AB=10，求三角形的类型和面积。
12.已知三角形ABC中，AB=17cm，BC=30cm，求三角形的类型和面积。
13.判断一个机器零件是否符合要求。
14.已知四边形ABCD中，∠B=90，BC上的中线
AD=8cm，判断三角形ABC的类型和理由。
15.为了庆祝红宝石婚，XXX和XXX举办了一场数学竞赛，其中包括了勾股定理的逆定理的专题训练。
勾股定理的逆定理试题(含答案)
1．的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a ＋ b ＋ c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．2．三角形中两条较短的边为a ＋ b，a － b（a>b），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．3．若的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋l0c，则此三角形是_______三角形，面积为______．4．已知在中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为 _________．5．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．6．一个三角形的三边分别为7cm，24 cm，25 cm，则此三角形的面积为_________。
二、选一选7．给出下列几组数：①；②8，15，16。
③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（）．A．①② B．③④ C．①③④ D．④8．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（）．A．1，2，3 B．4，5，6C．12，13，14D．9，40，419．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）．A．8个 B．10个 C．11个 D．12个10．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋l，那么这个三角形是（）；A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形三、解答题11．如图18－2－5，在中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求的周长和面积．12．已知中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC上的中线AD＝8 cm，请你判断的形状，并说明理由．13．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的 A和 DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗?14．如图18－2－7，四边形ABCD中，，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．15．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）16．有一只喜鹊正在一棵高3 m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m且高为14 m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。
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1
一、选择题
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）.
A ．2，3，4
B ．5，7，9
C ．8，15，17
D ．200，300，400
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
3．三角形的三边长a 、b 、c ，满足22()2a b c ab +=+,则这个三角形是( ) .
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 等边三角形
4．下列结论错误的是（ ）
A .三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；
B .三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；
C .三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形；
D .三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形．
5．在同一平面上把三边BC ＝3、AC ＝4、AB ＝5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ）.A .125 B .135 C .
56 D .245
6．小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不能确定
7．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a ＞0）；⑤22m n -、2mn 、22m n +（m 、n 为正整数，且m ＞n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）
A ．5组
B ．4组
C ．3组
D ．2组
8．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为
（ ）
A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定 二、填空题
1．在△ABC 中，若222AB BC AC +=，则∠A ＋∠C ＝______度.
2.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .
3．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.
4.如图1,在四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ＝8，DC ＝6，CB ＝24，AB ＝26.则四边形ABCD 的面积为_____.
A
B
C
D 图2 图
1
2 图 2
5. 如图2所示，一架5米长的消防梯子斜靠在一竖直的墙AC 上，梯足（点B ）离墙底端（C 点）的距离为3米，如果梯足内移1.6米至点B 1处，则梯子顶端沿墙垂直上移_______米.
6．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
7．如图3所示的一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ， AD ⊥DC ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，则这块地的面积是__________2
m .
8. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，
10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基
本勾股数，请你也写出三组基本勾股数：
， ， .
三、解答题
1． 一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示，这个零件符合要求吗？
2．已知：如图，△ABC 中，AB =5cm ，BC =3 cm ，AC =4cm ，CD ⊥AB 于D ，
求CD 的长及△ABC 的面积；
2．已知△ABC 的三边为22m n +,22m n -,2mn
（1）当m =2,n =1时，△ABC 是否为直角三角形？并说明理由．
（2）当m =3,n =2时，△ABC 是否为直角三角形？并说明理由．
（3）对于m 、n 为任何正整数时（m ＞n ），你能说明△ABC 为直角三角形吗？
3．如图5，已知正方形ABCD 中，F 是DC 的中点，E 为BC 的上一点，且EC ＝
14BC ．求证：EF ⊥AF ．
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．如图1，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
图
3 图
4 图
5 图
1 图
3
3 2．已知，如图2，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）．
A ．6cm 2
B ．8cm 2
C ．10cm 2
D ．12cm 2
二、填空题（每题3分，共15分）
1．如图4，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于
2. 观察下列表格：
请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b ＝ ，c ＝
三、解答题
1．如图5，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？
3．如图，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．
4．（20分）如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
图
4
图5。