21.3.1实际问题与一元二次方程(传播问题)
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播问题、增长率问题
支
x
支干
……
小 分
小 分
支
支
x
…… 支干
x
1
主 干
1.在分析探究一和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
· ·
探究一：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1 x x(1 x) 121
解方程,得 x1= 10 , x2= -12 . (不合题意,舍去) 答:平均一个人传染了___1_0____个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行 检验.
例2：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数
目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分
支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91
即 x2 x 90 0
解得,
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
…… ……
小
7.【例5】某电器企业计划用两年的时间把某型号电冰箱的成 本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数． 解：设下降的百分数为x，依题意，得 1(1－x)2＝1－36%， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：下降的百分数为20%. 小结：解决这类问题时，如果没有给出初始值，通常设初始
21.某厂去年利润为100万元，若每年利润增长率为20%，则：
人教版初三数学上册21.3实际问题与一元二次方程---传播问题
教学反思一、关于方程模型的处理在“实际问题与一元二次方程”这一课的教学过程中，“实际问题”与“方程”的转化，是贯穿始终的一条主线．主要反映在以下二个方面．第一，实际问题一直都是学生的难点，学生主要的困难就是在较复杂的实际问题中抽象出数学模型，找到等量关系来列出方程，本节课教师设置了多个问题，由易到难，引导学生的思维层层递进，很自然地列出式子表示每一轮的患病人数，从而列出方程，突破了本节课的难点.第二，本节课紧扣“模型思想”安排大量的探究学习，改变了以前“老师讲，学生听”的模式，让学生真正经历问题的解决过程，逐步学会自己解决问题，这样才能真正培养学生的“模型思想”．于是，在教学中，关注了对“等量关系”的分析．二、关于教学效果的反思在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法，并通过类比一元一次方程应用的研究方法，完成审、设、列、解、答的过程，也可以通过分析传播问题中的等量关系，列出一元二次方程模型和检验得到符合要求的解．然而，由于学生刚刚接触一元二次方程模型，一元二次方程根的个数（2个）与一元一次方程根的个数（1个）之间存在差异，学生还缺乏对一元二次方程“整体形象”的把握．一方面，在解方程中不能选用恰当方法求解，学生还不能有意识地从“实际问题，实际背景”来考虑问题，传播问题的三种类型题中，传染源的参与情况分析不好，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差．此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”．在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一元一次方程学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应．事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一元一次方程和一元二次方程“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的一元二次方程“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰．三、关于教学设计的改进基于上述思考，我认为在教学设计中，还存在需要改进的地方．应关注“类比”中的“差异性”实际问题与一元二次方程的学习，可以类比一元一次方程的研究方法进行，从而体现了方程学习的一般规律和方法．本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，其中所呈现的通过“实际问题”背景，到“一元二次方程”，到利用一元二次方程模型“解决实际问题”，这一探究的过程和方法，是学习方程时不可或缺的．无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解一元二次方程应用、建立完善的认知结构具有重要的意义．但是，我们在运用“类比”的方法研究一元二次方程应用的过程中，还应注意“趋同求异”，关注一元二次方程与一元一次方程之间的“差异性”，如方程的根“2个”与“1个”、“一轮后”与“两轮后”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生．。
21-3实际问题与一元二次方程(第1课时传播问题)-
病源A 第1轮
第2轮传染后患病人数_1_+_2_+_(_1_+_2_)_×_2_人.
第2轮
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第1轮传染后患病人数_(_1_+_x_)_人;
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现
传染源 第1轮传染后 第2轮传染后的人数 人数 的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2
合作探究
人教版数学九年级上册
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
课堂小结
人教版数学九年级上册
传播问题公式1：1+x+x(1+x)=(1+x)2 传播问题公式2： 1+x+x2 列一元二次方程解应用题的步骤: 1.审:理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系. 2.设:根据题意,可直接设未知数,也可间接设未知数. 3.列:根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他 未知量,从而列出方程. 4.解:准确求出方程的解. 5.验:检验所求出的根是否符合方程和实际问题. 6.答:写出答案.
A．x+(x+1)x=36
B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2=36
D．x+(x+1)2＝36
课堂检测
人教版九年级数学上册21.3.1 实际问题与一元二次方程(1)传播与握手问题(共24张PPT)
5
知识点一：建立一元二次方程模型解决传播问题
新知探究
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染 x个人,开始有一个人
患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染给了x个人， 用代数式表示：①第一轮后共有 (1+x) 人患了流感； ②第二轮的传染中，这些人的每一个人又传染给了 x 人； ③第二轮传染后共有 1+x+x(1+x) 人患了流感.
飞机场. A.4 B.5 C.6 D.7
16
知识点二：建立一元二次方程模型解决握手问题
合作探究
先独立完成导学案互动探究2、3，再同桌相互交 流，最后小组交流；
17
知识点三：建立一元二次方程模型解决数字问题
典例讲评
例2 有一共两位数，它的十位数字与各位数字之和是8.如果
把十位数字与个位数字对调，所得的两位数与原两位数的乘
赠送一件，全组共互赠了182件.如果设全组共有x名同学，则
根据题意列出的方程是( B )
A.x(x+1)=182
B.x(x﹣1)=182
C.x(x﹣1)=182×2
D.2x(x+1)=182
2、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有( B )个
学以致用
1.一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字的平
方刚好等于这个两位数，则这个两位数是 25或36 .
2.一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，且这个两位数等
于两个数位上的数字之积的2倍，设其十位数字为x，则下列
21.3.1 用一元二次方程解决传播问题-九年级数学上册教学课件(人教版)
讲
精 解：(1)设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
练
60+60x+60(1+x)x=24000
小 结
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
双
(2)三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
清
02
OPTION
目录
考点 1：病毒的“传播问题” 考点2：信息的“传播问题” 考点3：小结与双清
C.x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每
个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为( B )
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)2=73
课后训练
1
2
3
4
5
3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式 传播,他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上, 再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书,以此类推,已知经过两轮传播后, 共有111个人参与了传播活动,则n=__1_0_.
精 (2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 讲 【分析】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x目 本轮结束有益菌总数
小 第一轮 60
60x
60(1+x)
结 第二轮 60(1+x)
60(1+x)x
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
知识导航
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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九年级数学上册 21.3.1 实际问题与一元二次方程—传播问题教案 (新版)新人教版
21.3.1 实际问题与一元二次方程（传播问题）一、教学目标1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；2．通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识二、课时安排1课时三、教学重点正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．四、教学难点正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题．五、教学过程（一）导入新课教师以“传染病”的传播速度进行讲解分析导入新课：（二）讲授新课问题1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？（三）重难点精讲例 1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过7000 台．归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．（四）归纳小结：1.传播问题：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）22.数字问题：关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.3.握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.4.送照片问题甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.（五）随堂检测1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B. x(x+1)=1980C. x(x-1)=1980D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2 =73D.(1+x)2=733.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.4.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？5.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?答案：1.D2.B3.解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为(5-x),则原数表示为[10(5-x)+x],对调后新数表示为[10x+(5-x)], 根据题意列方程得[10(5-x)+x] [10x+(5-x)]=736 化简整理得x2-5x+6=0解得x1=3，x2=2所以这个两位数是32或23.4.解：设每天平均一个人传染了x人，1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9解得x1=-4 (舍去），x2=2.9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7= (1+2)7=2187答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.5. 解：设应邀请x支球队参赛，由题意列方程得(1)152x x -= 化简为x 2-x =30，解得x 1=-5 (舍去），x 2=6.答：应邀请6支球队参赛六．板书设计传播问题1.传播问题：第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2 2.数字问题：关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.3.握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.4.送照片问题甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.例题1：七、 作业布置习题21.3 P22 4、6题八、教学反思。
21.3实际问题与一元二次方程1传播问题(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
21.3实际问题与一元二次方程(传播问题)
弄清问题背
知数，并表示相关量， 景，特别注意
根据相等关系尝试列
分析清楚题
方程，求根 . 根据实际 意，题中没有
问题要求， 对根进行选 特别说明，那
择确定问题的解 . 教师 么最早的患者
拓展：课本思考 . 四轮呢？
组织学生合作交流， 达 没有痊愈，仍
归纳：
到共识，
在继续传染别
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的
个完全平方问题，设每轮传染中平均一个人传染
x 了个人，
经两次传染共有 M人被传染，则有
教师提出问题，让学生
1+x+x（1+x）＝（ 1+x）2＝M
完全平方
补充例题
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是
91 ，每个支干长出多少个小分支？
结合画图独立理解并解 答问题，培养学生对实 际问题的分析能力，将 数学知识和实际问题相 结合的应用意识
染速度， 再经过 5 天的传染后， 这个地区一共将会有多
少人患甲型流感？
四小结归纳
谈一节课的收获和体会 . 五、作业设计
必做： P18： 4-8 选做： P19： 10
教
学
反思
○3 第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了
流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？
○4 本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程
.
点题，板书课题 .
联系上节课内
容，进一步学习
一元二次方程
教师提出问题， 并指导 的应用
学生进行阅读， 独立思
考，学生根据个人理
解，回答教师提出的问
21.3实际问题与一元二次方程--传播问题(1)
21.3 实际问题与一元二次方程
———传播问题
世界上没有毫无理由的横空出世，所谓的运气 好，不过是因为他们时刻准备着。
知识回顾
列方程解应用题时有哪些基本步骤？ ①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程(组)； ④解方程(组)； ⑤检验作答.
探究
有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有121人患了流感，每轮 传染中平均一个人传染了几个人？
则n=___1_0__.
总结提升
列一元二次方程解应用题，步骤与以 前列方程(组)解应用题一样，其中审题是 解决问题的基础，找等量关系列方程是关 键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与 解法的难易，它可以为正确合理的答案提 供有利的条件.方程的解必须进行实际题意 的检验.
作业布置
1、课本习题21.3第1、4题做在练习本上； 2、课时练第一课时
第三轮 (1+x)2 (1+x)2x (1+(x1)+2+x()13+x)2x
第n轮
(1+x)n
通过上面问题的探究，你能归纳利用一元 二次方程解决实际问题的步骤吗？
①审题； ②设未知数； ③根据等量关系列方程； ④解方程； ⑤检验作答.
自主练习
1、甲型流感病毒的传染性极强，某地因1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过 两天的传染后共有9人患了甲型流感，每 天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地 区一共将会有多少人患甲型流感？
解：每天平均一个人传染了x人. 列方程
1+x+(1+x)x=9.
解方程，得 x1=2，x2=-4（不合题意，舍去）.
答：每天平均一个人传染了2人.
再经过5天的传染后，这个地区一共将会 有(1+x)7=37=2187人患甲型流感.
实际问题与一元二次方程——流感传染问题.3实际问题与一元二次方程1
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1
第பைடு நூலகம்轮传染 后
第二轮传染后
1+x
1+x+x(1+x)
列方程得
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干 又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的 总数是91,每个支干长出多少小分支? 小 小 小 小 解:设每个支干长出x 分 …… 分 分 分 个小分支, 支 支 支 支
…… ……
则1+x+x x=91
●
x
x
主 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 干 答:每个支干长出9个小分支.
x x 90 0
2
即
支干
……
支干
x
1
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,
即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,
应邀请多少个球队参加比赛?
解：设应邀请x支球队参赛 由题有： x ( x 1) 15 2 化简为 x 2 x 30 0 解得： x1 6，x2 =-5 （舍去）
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感?
121+121×10 =1331人
1.有一个人收到短消息后,再用手机转发短消 息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问 每轮转发中平均一个人转发给几个人? 分析:设每轮转发中平均一个人转发给x个人, 第一轮后有 1+x 人收到了短消息,这些人 中的每个人又转发了x人,第二轮后共有 1+x+x(1+x)个人收到短消息.
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、比赛、握手问题(分层练习)(解析版)
21.3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、比赛、握手问题一、单选题：1．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设共有x 个班级参赛，根据题意得：()1152x x -=，解得：16x =，25x =-（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛，故答案为：A.【分析】先判断出本题是一元二次方程实际问题的“单循环”问题，直接套用公式12x x -（）=总次数，列出一元二次方程求解即可。
2．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加活动的同学有 x 人，由题意得： (1)42x x -= ，解得 7x = 或 6x =- （不符题意，舍去），即参加活动的同学有7人，故答案为：B.【分析】设参加活动的同学有 x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为 (1)x - 张，再根据“共送贺卡 42 张”建立方程，然后解方程即可得.3．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（ ） A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人【答案】C【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设这个小组的人数为x 人，则每人需发送（x ﹣1）条微信，依题意得：x （x ﹣1）＝72，整理得：x 2﹣x ﹣72＝0，解得：x 1＝﹣8（不合题意，舍去），x 2＝9.故答案为：C.【分析】根据相等关系“人数×每一个人发送微信的数量= 全组共发微信的条数72”可列方程求解.4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．12x （x+1）＝110B ．12x （x ﹣1）＝110 C ．x （x+1）＝110D ．x （x ﹣1）＝110【答案】D【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝110.故答案为：D.【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.5．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为（ ）A ．()128x x +=B ．()11282x x -=C ．()128x x -=D ．()11282x x +=【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，∴方程为12x(x-1)=28.故答案为：B.【分析】首先计算出比赛的总场数，然后根据球队总数×每支球队比赛的场数÷2就可列出方程.6．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182C．2x（x+1）=182D．x（x-1）=182×2【答案】B【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x名同学共赠：x（x-1）件，所以，x（x-1）=182．故选B．【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．二、填空题：7．某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为 .【答案】1+a+a2【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.故答案为：1+a+a2【分析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，则小分支为2a，所以可得总数=主干+支干+小分支。
实际问题与一元二次方程---传播、握手、比赛、分支问题
21.3(1)实际问题与一元二次方程---传播、握手、比赛、分支问题）一．【知识要点】1.传播问题、发短信问题、分支问题2.互送礼物问题、双循环比赛问题3.单循环比赛问题、握手问题二．【经典例题】1.(满分8分)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?2.有一个人收到短信后，再用手机转发短梢息，每人只转发一次、经过两轮转发后共有183人收到短消息，设每轮转发中平均一个人转发给x个人,则可列方程为3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为4.生物兴趣小组有若干人,他们将自己收集的标本向本组其他成员各赠送l件,已知全组共互赠标本72件,设生物兴趣小组有x位同学,则可列方程为5．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出小分支．6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人三．【题库】【A】1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为（）．A．10B．11C．12D．13【B】1.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【C】1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=____________.【D】。
21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和变化率问题)九年级数学上册(人教版)
针针对对训训练练
一个人传染了几个人？
具体传播过程
【问题】如果按照这样的传播速度，第
三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有___1_2_1__个人患了流感,平
x
…
均每轮传染___1_0____人，则第三轮有_____1_2_1_0___人 患了流感。
一轮传染
121+121×10 = 1 331（人）
直接开方法
x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
复习巩固
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题 教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
数学人教版九年级上册21.3.1实际问题与一二次方程(一)循环传染问题.
21.3.1实际问题与一元二次方程教学设计莆田市砺青中学黄洪远一、内容和内容解析1．内容学会列一元二次方程解决有关单双循环、传播问题；学会利用同字母的提公因式法和完全平方公式法模型2．内容解析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。
二、目标和目标解析1．教学目标（1）会用一元二次方程解决解决有关单双循环、传播问题（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力．2．目标解析（1）能根据具体的握手问题正确体验解决单循环问题，从而引导学生进一步理解双循环与单循环的区别，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果．（2）完整地经历“问题情境——建立数学模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的单双循环、传播问题三、教学问题诊断分析与教法学生经过前面的学习，对一元二次方程的解法已经熟练掌握，有一定的分析能力，但处理信息的能力较弱。
根据新课程中以学生为主体，以教师为主导，关注每个学生的全面发展的理念，因此本课主要采用在教师指导下的自主探究、合作交流的教学方法。
充分利用教材，并深入挖掘教材内涵，为学生创设自主探究、合作交流的学习机会。
由于列方程解决实际问题的关键是找出等量关系列出方程，所以本课的教学设计只让学生列方程,减少计算占用的时间，从而增大了课堂的容量，提高了课堂教学的有效性。
四、教学过程设计1．复习解一元二次方程因式分解法.问题1用因式分解法解一元二次方程步骤？师生活动教师提问，学生思考、回答．根据学生的回答情况，教师可通过追问：“因式分解有几种形式？”加以引导．一、提公因式法；二、公式法；三、十字相乘法【设计意图】使学生明确实际问题与一元二次方程，主要在于列一元二次方程这个环节里，对于解方程应该选择最简便方法那就是因式分解法来解一元二次方程，那么我们列的一元二次应该满足能因式分解模型的一元二次方程，同字母之间的乘积模型.问题2列方程解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义,(2)值是否使所列方程左右相等;第五步：答题完整（单位名称）。
九年级数学上册21.3.1实际问题与一元二次方程-传播问题
配方法
通过配方，将一元二次方程转化为完 全平方的形式，然后开平方求解。
配方的步骤包括移项、配方、开平方 和求解。
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），可以使用求根公式进行求解。
求根公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $Delta = b^2 - 4ac$ 为判别式。
关键知识点总结回顾
1 2
一元二次方程的基本概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的 整式方程。
一元二次方程的解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
3
实际问题中一元二次方程的应用
传播问题、面积问题、经济问题等。
易错难点剖析及注意事项提醒
方程解的合理性
在解一元二次方程时，需要注意方程的解是否符合实际问题的要求， 例如时间、人数等不能为负数。
思考一元二次方程在生活 中的应用，并尝试用所学 知识解决实际问题。
作业完成后，请认真检 查，确保答案正确无误。
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响疫情发展。
其他参数变化对结果影响
防控措施的实施
及时有效的防控措施可以 降低传播速率，减少感染 者数量。
人群免疫力的变化
人群免疫力的提高可以降 低易感者数量，从而减缓 疫情传播。
病毒变异情况
病毒变异可能导致传播方 式、传播速率等发生变化， 从而影响疫情发展。
04 典型传播问题案例分析与 求解
疫情传播案例
因式分解法
将一元二次方程通过因式分解转化为两个一元一次方程，然后分别求解。
因式分解的方法包括提公因式法、十字相乘法等。
21.3.1实际问题与一元二次方程1--传播,分支问题。。
21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）------传播，分支问题编制：校对：目标：经历用一元二次方程解决实际问题过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤；学生自主探究，会根据传播问题，分支问题中的数量关系列方程并求解，熟悉接替的具体步骤；通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准。
重点：利用一元二次方程解决传播问题，分支问题。
难点：如何理解传播问题和分支问题中的关系，找到数量关系。
典例精选例1：有一个人患了流感，经过两轮传播以后共有121人患了流感，每轮传播中平均一个人传染了几个人？【变式练习1】1.目前正是流感高发季节，各医院门诊外排满了因感冒发烧前来就诊的患者，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制，第三轮又将有多少人被传染?2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。
请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?3.有3个人患了流感，经过两轮传播以后共有363人患了流感，每轮传播中平均一个人传染了几个人？例2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支?【变式练习2】1.有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发以后共有133人收到短消息，每轮转发中平均一个人转发给几个人？例3：在一次糖酒交易会上，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？【变式练习3】1.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是：_____________________.2.一个小组有若干人,新年互送贺年卡一张,已知全组共送贺年卡72张,则这个小组有( )A、12人B、18人C、9人D、10人3.已知一个多边形有9条对角线,则这个多边形的内角和是（）A、720°B、900°C、1080°D、1260°4.在一次足球比赛中，第一轮实行单循环赛制，在每场比赛中赢者计2分，负者计0分，如果平局，双方各计1分，现有4个同学统计了比赛后各队得分的总和，结果分别是550,551,552,553.经核实，只有一位同学统计无误，则这次比赛共有多少个队参加？习题精选1.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为_________人。
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（2）在列一元二次方程解应用题时，由于所得 的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符 合实际问题的要求．
【布置作业】
教科书复习题 21 第 7 题．
小 分 支 小 分 支 x
„„
小 分 支
小 分 支 x
x1 = 9， 支干 x2 = -10（不合题意，舍去） ． 答：每个支干长出 9 个小分支．
„„
„„
„„ x 主 干
支干
【课堂小结】
1、你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征 吗？解决此类问题的关键步骤是什么？ 2、注意： （1）解这类问题列出的方程一般用 ： 直接开平方法
a(1 x)
n
练习：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感 染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用 学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几 台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感 染的电脑会不会超过700台？
【尝试应用】
1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数 是91，每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长 出 x 个小分支，则 1 + x + x· x = 91
被 传 染 人
被 传 染 人
被 传 染 人
x
被传染人
x „„ x
传染源
被传染人
传染源
1
„„
……
„„
x
பைடு நூலகம்
探究一：有一个人患了流感，经过两轮传染后 共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？
2、寻找思路 如何理解经过两轮传染后共有 121 个人患了流感？ 传染源数、第一轮被传染数和第二轮被传染数的 总和是 121 个人．
（2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是多少？
探究一：有一个人患了流感，经过两轮传染后 共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， （x + 1）人被传染． 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x
被 传 染 人 被 传 染 人
„„
被 传 染 人
121+121×10 = 1 331（人）
（4）你能说说本节课所研究的“传播问题”的基本特征 吗？解决此类问题的关键步骤是什么？
“传播问题”的基本特征是：以相同速度逐轮传播． 解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染 源个数，以及这一轮被传染的总数． （5）最初a个人生病，每轮传播x人，n轮传播后共有 多少人被传染？
3、确定方法
如何利用已知数量关系列出方程，并解方程得出结论？
探究一：有一个人患了流感，经过两轮传染后 共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人．
1 x x(1 x) 121
解得
x1 10, x2 12 （不合题意，舍去） ．
第二轮的传染源
x（x+1） 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮共传染______ 人
2 1+x+x(x+1)=(x+1) 第二轮后共有____________________人患了流感.
（2）解答
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12
（3）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多 少个人患流感？
答：平均一个人传染了 10 个人．
4、回顾
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
（1）分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人 开始有一人患了流感,
第一轮的传染源
x+1 人患了流感. 第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______ x+1 人患了流感. 第一轮后共有________
21.3
实际问题与一元二次方程 （传播问题）
2、列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一审； 二设； 三表； 四找； 五列； 六解； 七验； 八答；
探究一：有一个人患了流感，经过两轮传染后 共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了几个人？
解题活动 1、弄清问题 （1）本题中的数量关系是什么？