一次函数图像的性质

一次函数复习

大有中学程顺发

教学目标

1、理解一次函数的意义，会用待定系数法求一次函数的表达式。

2、会画一次函数图象，理解函数性质。

3、能根据图象求二元一次方程组的近似值，掌握求两函数图象交点坐标的方法。

4、会用一次函数解决简单的实际问题。

教学重点

1、一次函数的图象和性质

2、一次函数的应用

教学难点

一次函数和二元一次方程(组)、一元一次不等式（组）的关系。

教材分析

1、近几年来，一次函数的中考分值呈上升趋势，命题多为填空、选择（2—3分）和解答题（6—8分）且为中考命题热点。

2、本节主要内容有一次函数的图象和性质、利用一次函数的图象解决二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）的问题、一次函数的应用、一次函数与几何的综合题等。

3、结合实际的应用问题涉及面广，也是近几年来各省市中考的热点问题，有行程、温度、利润、电话费等问题，特别是与经济相关的问题在近几年中考中比较常见。

教学过程

一、考点整合

1、一次函数定义：一般地，若两个变量x,y间的关系，可以表示成（k、b 常数且k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫正比例函数。

2、一次函数图象的画法：正比例函数的图象是过和两点的，一次函数图象是过和两点的。

3、一次函数性质：y=kx+b(k≠0)当K>0时，y随x增大而，当K<0时，y随x增大而

4、一次函数图象与k、b的符号关系如下：

5、一次函数与一元一次方程的关系：

直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点 就是一元一次方程kx+b=0的解， 6、一次函数与一元一次不等式的关系：

一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b<0的解集。

7、一次函数与二元一次方程（组）的关系：

一次函数表达式y=kx+b 就是一个 ，反过来任何一个二元一次方程都可转化为一次函数表达式。二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 二、典型例题

例1：已知一次函数y=kx-k,若y 随x 增大而减小，则函数图象不经过（ ） A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限

例2：直线l 1:y=k 1x+b 与直线l 2:y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b>k 2x 的解为（ ）

A 、x>-1

B 、x<-1

C 、x<-2

D 、无法确定

解析：根据一次函数的性质分析图象，由图可知l 1上，y 随x 的增大而减小，l 2上，y 随x 的增大而增大，当x<-1时，l 1上的值均大于l 2上的值，当x>-1时，l 2上的值均大于l 1上的值，故可得答案。 例3：如图：一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x

的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）

A 、y=-x+2

B 、y=x+2

C 、y=x-2

D 、y=-x-2

解析：本题主要考察对一次函数图象的认识，由正比例函数的图象和一次函数图象的交点的横坐标可求出一次函数图象上的一点，再根据一次函数与y 轴的交点，已知两点即可求出一次函数的解析式。

例4：某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示，现用甲原

料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料X 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；

(2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料的成本总额为Y 元，请写出Y 与X 的之间的关系式，并说明X 取值会使成本总额最低？

甲 乙 A 20克 40克 B

30克

20克

分析：本题主要考察一次函数与一次不等式的应用，根据提议可得出一个不等式组，再由题意可得出一次函数的表达式，根据一次函数的性质和实际生活的意义可得答案。 解：（1）设生产A 种饮料X 瓶，根据题意得 20X+30（100-X ）≤2800

40X+20（100-X ）≤2800

y x

o -1

-2 y=k 1x+b y=k 2x y x o

-1 2 A B y=--x 饮料名称

原料名称

解这个不等式组，得20≤X≤40 因为其中正整数解共21个，

所以符合题意的生产方案有21种。

（2）根据题意得，得y=2.6x+2.8（100-x ）。整理，得y=-0.2x+280 因为k=-0.2<0,，所以y 随x 的增大而减小。 所以当x=40时成本最低。 三、总结通法

1、用待定系数法确定函数解析式时，其中有几个待定系数就需要几个条件，将已知条件转化为含有未知数的方程（组）从而解得待定系数的植。

2、正确理解一次函数图象的性质和图象所反应的相关信息，以及函数与一元一次不等式、方程之间的联系，是解一元一次方程、一元一次不等式(组)、二元一次方程（组）有关解（集）的关键。

3、数形结合是重要的数学思想，要学会从“数”分析到“形”，以及由“形”的特征想到“数”的特征的方法。从而实现数形结合。。

4、要学会将与一次函数有关的实际问题转化为数学问题。 即：

四、变式训练

1、将直线y=2x+1向右平移两个单位，所得直线的解析式是 .

2、一次函数的图象过点(1,0),且函数值随自变量的增大而增大，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 。

3、在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价Y （元）与加油量X （升）的函数关系式是 。

4、直线y=kx+b 经过点A （-2，0）和y 轴正半轴上一点B ，如果三角形ABO （O 为坐标原点）的面积为2，则b 的值为 .

5、某公共汽车公司规定：旅客可免费携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李车票，行李费用ｙ（元）与行李重量ｘ（千克）的函数关系如图所示：

（1）、你能通过图象给出的信息知道旅客 最多可免费携带多少千克的行李？

实际问题

抽象 转化

数学问题

运用 数学知识

问题的解

返回解释 检验

y(元）

６

10 60

30 x(千克)

80

o