2020数学理一轮通用版课件：9.8.2解题上——5大技法破解“计算繁而杂”这一难题

妙借向量，无中生有
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与 “形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形 式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系 多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题 方向与运算效率，达到良好效果．
[典例] 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的 右焦点，直线 y＝b2与椭圆交于 B，C 两点， 且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
[解题观摩] 把 y＝b2代入椭圆ax22＋by22＝1，
可得 x＝± 23a，那么 B－ 23a，b2，C 23a，b2， 而 F(c,0)，
那么―F→B ＝－ 23a－c，b2，―F→C ＝ 23a－c，b2， 又∠Q
＞ |
3.
[题后悟通] 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间 的联系，降低运算量．
[针对训练] 设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x－5)2 ＋y2＝r2(r＞0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样 的直线 l 恰有 4 条，求 r 的取值范围． 解：不妨设直线 l 的方程为 x＝ty＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线 y2＝4x 并整理得 y2－4ty－4m＝0， 则有 Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么 x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段 AB 的中点 M(2t2＋m,2t)，
[典例] 设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为
A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点．若
|AP|＝|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|＞ 3. [解题观摩] 法一：依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx，
设点 P 的坐标为(x0，y0)．
y0＝kx0， 联立xa202＋by202＝1，
[典例] 如图，F1，F2 是椭圆 C1： x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，
B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共 点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是
A. 2
B. 3
3
6
C.2
D. 2
()
[解题观摩] 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)， 设双曲线 C2 的实半轴长为 a， 由椭圆及双曲线的定义和已知，
故
有
―→ FB
·―F→C
＝ －
23a－c，b2
·
23a－c，b2
＝
c2
－
3 4
a2
＋14b2＝c2－34a2＋14(a2－c2)＝34c2－12a2＝0，
则有
3c2＝2a2，所以该椭圆的离心率为
e＝ac＝
6 3.
[答案]
6 3
[题后悟通] 本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙 借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从 形入手转化为相应数的形式，简化运算．
回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决 问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的 定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维 的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已 知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为 简、事半功倍的效果．
消去 y0 并整理，得 x20＝k2aa22＋b2 b2.①
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及 y0＝kx0， 得(x0＋a)2＋k2x02＝a2， 整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0.
而 x0≠0，于是 x0＝1－＋2ka2，
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4. 又 a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4， 即 k2＋1＞4，因此 k2＞3，所以|k|＞ 3. 法二：依题意，直线 OP 的方程为 y＝kx， 可设点 P 的坐标为(x0，kx0)． 由点 P 在椭圆上，得ax022＋kb2x2 20＝1. 因为 a＞b＞0，kx0≠0，所以xa202＋ka2x220＜1，
即(1＋k2)x20＜a2.
②
由|AP|＝|OA|及 A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，
整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是 x0＝1－＋2ka2，
代入②，得(1＋k2)·1＋4ak222＜a2，
解得 k2＞3，所以|k|＞ 3.
法三：设 P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，
[针对训练] 已知椭圆 C 的标准方程为x42＋y22＝1，圆 O 的方程为 x2＋y2＝2，设 P，Q 分别是 椭圆 C 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点， 若直线 PQ 与 x 轴平行，直线 AP，BP
与 y 轴的交点记为 M，N，试判断∠MQ N 是否为定值，若是， 请证明你的结论；若不是，请举出反例说明．
知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋yP2 ＝(xP＋m)2＋4mxP， 则||PPAF||2＝xP＋xmP＋2＋m42mxP＝1＋x41P＋mxmP 2
≥ 1＋2
1 4mxP
＝12(当且仅当
xP·m2
xP＝m
时取等号)，
所以||PPAF||≥
22，所以||PPAF||的最小值为
而由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直， 即 kMC·kAB＝－1，可得2t22＋t－m0－5·1t ＝－1， 整理得 m＝3－2t2(当 t≠0 时)， 把 m＝3－2t2 代入 Δ＝16t2＋16m＞0， 可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝|51－＋mt2|＝ 2＋1＋2tt22＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4.
[针对训练]
1．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左
焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上一点，且
PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交
于点 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )
2．过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋by22＝ 1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，
则椭圆 C 的离心率等于________．
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xaxa212222＋ ＋bbyy212222＝＝11，，
[针对训练]
1.如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不
经过焦点的直线上有三个不同的点 A，
B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C
在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积
之比是
()
|BF|－1
|BF|2－1
|BF|＋1
|BF|2＋1
A.|AF|－1 B.|AF|2－1 C.|AF|＋1 D.|AF|2＋1
则线段 OP 的中点 Q
的坐标为a2cos
θ，b2sin

θ.

|AP|＝|OA|⇔AQ ⊥OP⇔kAQ ×k＝－1.
又
A(－a,0)，所以
kAQ
＝2a＋bsiancoθs
， θ
即 bsin θ－akAQ cos θ＝2akAQ .
从而可得|2akAQ |≤ b2＋a2k2AQ ＜a 1＋k2AQ ，
解：∠MQ N 是定值 90°，证明如下：
设 P(x0，y0)，直线 AP：y＝k(x＋2)(k≠0)， 令 x＝0 可得 M(0,2k)， 将x42＋y22＝1 与 y＝k(x＋2)联立， 整理可得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， 则－2x0＝82kk22－ ＋41，可得 x0＝22－ k2＋4k12，y0＝2k42＋k 1， 故 P 22k－2＋4k12，2k42＋k 1.
2 2.
答案：
2 2
设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一 种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的 应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度 地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化， 以参数为过渡，设而不求．
[典例] 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
解析：设 OE 的中点为 G，由题意设直线 l 的方程为 y＝ k(x＋a)，分别令 x＝－c 与 x＝0 得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝
1 ka，由△OBG∽△FBM，得||FOMG||＝||OFBB||，即k2ak－ac＝a＋a c， 整理得ac＝13，所以椭圆 C 的离心率 e＝13，故选 A. 答案：A
∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0，∴xy11－ －yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22. ∵xy11－－yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－ba22＝－12，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝
解析：由题可得SS△ △BACCFF＝||ABCC||＝xxBA＝||BAFF||－ －p2p2＝||BAFF||－ －11，
故选 A. 答案：A
2．抛物线 y2＝4mx(m＞0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的
动点，若点 A(－m,0)，则||PPAF||的最小值为________． 解析：设点 P 的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，
|AF1|＋|AF2|＝4， 可得|AF2|－|AF1|＝2a，
|AF1|2＋|AF2|2＝12，
解得 a2＝2，