普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷理3)

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ²B )=P (A )²P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C k n p k (1－p )n －k球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径 球的体积公式V =34πR 3，其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U =R ，集合M ={x |2x ＞2},N ={x |log x 7＞log 37},那么M ∩(U N )是A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＜－2或x ≥3}C.{x |x ≥3}D.{x |－2≤x ＜3}2.若函数f (x )=lg(x 2－ax －3)在(－∞,－1)上是减函数，则a 的取值范围是 A.a ＞2 B.a ＜2 C.a ≥2 D.a ≤23.已知|a |=3，|b |=2，a ，b 的夹角为60°，如果(3a +5b )⊥(m a －b )，则m 的值为 A.2332 B.4223 C.4229D.32424.已知相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β，内若p :l 、m 中至少有一条与β相交;q : α与β相交.则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件5.已知数列10111，10112，10113， (1011)，…它的前n 项的积大于105，则正整数n 的最小值是A.12B.11C.10D.86.设m ,n 都是不大于6的自然数，则方程C m 6x 2－C n6y 2=1表示双曲线的个数是A.16B.15C.12D.67.若复数z 满足|z +4+3i |=3，则复数Z 的模应满足的不等式是 A.|z |＜8 B.|z |≤|－4－3i | C.2≤|z |≤8 D.5≤|z |≤88.在100件产品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是A.0.024B.0.144C.0.236D.0.4329.已知cot α=2,tan(α－β)=－52，则tan(β－2α)的值是A.41B.－121C.81D.－8110.直线l :x +2y －3=0与圆C ：x 2+y 2+x －6y +m =0有两个交点A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m 的值是A.2B.3C.－1D.2211.用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有A.400种B.460种C.480种D.496种12.若1])1(1[lim =--∞→nn kk，则k 的取值范围A.0＜k ＜21 B.k ＜21C.|k |＜21D.21＜k ＜1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.函数y =x 3－3x 的单调减区间是___________.14.如果x ,y 满足x 2+y 2－2x +4y =0，那么x －2y 的最大值是___________. 15.点P (a ,b )是单位圆上的动点，则点Q (a +b ,ab )的轨迹方程是___________.16.平面α∥β，A 、B 分别为α、β内的定点，AB 与平面α成30°角，α、β间的距离为1,A ∈l 1,B ∈l 2,l 1⊂α,l 2⊂β，则l 1与l 2间的距离的取值范围是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=3sin x cos x －cos 2x +21,x ∈R ,求函数f (x )的最小正周期.18.(本小题满分12分){a n },{b n }都是各项为正数的数列，对任意的自然数n ，都有a n 、b n 2、a n +1成等差数列，b n 2、a n +1、b n +12成等比数列.(1)试问{b n }是否是等差数列？为什么？(2)求证：对任意的自然数p ,q (p ＞q ),b p －q 2+b p +q 2≥2b p 2成立； (3)如果a 1=1,b 1=2,S n =na a a 11121+++ ，求n n S ∞→lim .19.(本小题满分12分)已知：正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AA 1=AB =a ,D 为CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，A 1D 与AC 的延长线交于点M ，(Ⅰ)求证：DF ∥平面ABC ； (Ⅱ)求证：AF ⊥BD ；(Ⅲ)求平面A 1BD 与平面ABC 所成的较小二面角的大小. 20.(本小题满分12分)科华电子商城是“奔达”牌电脑的特约经销单位，为了在来年的电脑销售中居于有利地位，2002年5~7月，商城对“奔达”牌电脑的市场销售情况进行了摸底调查，经过对市场情报的分析，预计从2003年1月开始的10个月内(称为销售期)，电脑的销售总量y 与销售的时间h (单位：月)近似地满足函数关系y =910h (h +2)(18－h )，试问：(1)哪个月的销售量超过130台？(2)在2003年的销售期内哪几个月的销售量最大？(3)在2003年的销售期内，商场每个月月初从厂家等量进货，为了保证该品牌电脑不脱销(即商城始终有货可售)，每月应至少进多少台该电脑？21.(本小题满分12分)函数f(x)=log a(x－3a)(a＞0且a≠1)，当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.(Ⅰ)写出函数y=g(x)的解析式；(Ⅱ)当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.22.(本小题满分14分)已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(－1，2)、B(3，2)在双曲线上.(1)求点F2的轨迹方程；(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.B2.解析：使x 2－ax －3在(－∞,－1)上单减且在(－∞,－1)上恒为正， 故令2a ≥－1,(－1)2－a (－1)－3≥0.答案：C3.C4.C5.解析：注意是前n 项的积，而非和. 答案：B6.A7.解析：利用数形结合，研究圆上的点到原点距离的范围. 答案：C 8.D9.解析：用角的变换, β－2α=(β－α)－α.答案：B 10.B11.解析：分用三种颜色涂和用四种颜色涂两种，只有A 与D 两区可以同色. 答案：C12.解析：由题意得－1＜kk -1＜1.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13.［－1，1］ 14.10 15.x 2=1+2y 16.［1,2］三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：f (x )=23sin2x －2122cos 1++x=)62sin(2cos 212sin 23π-=-x x x . 8分最小正周期为T =22π=π. 12分18.解：依题意2b n 2=a n +a n +1，① a n +12=b n 2²b n +12. ②(1)∵a n ＞0，b n ＞0，∴由②式得a n +1=b n ²b n +1，从而n ≥2时，a n =b n －1²b n ,代入①2b n 2=b n －1b n +b n b n +1,∴2b n =b n －1+b n +1(n ≥2), ∴{b n }是等差数列.4分(2)因为{b n }是等差数列，∴b p －q +b p +q =2b p . ∴b p －q 2+b p +q 2≥2222)(p q p q p b b b =++-.7分(3)由a 1=1,b 1=2及①②两式易得a 2=3,b 2=223，∴{b n }中公差d =22，∴b n =b 1+(n －1)d =22(n +1),∴a n +1=21(n +1)(n +2).③又a 1=1也适合③,∴a n =2)1(+n n (n ∈N ),∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n, ∴S n =2［1－)111()3121(21+-++-+n n］=2(1－11+n ),∴n n S ∞→lim =2.12分19.(Ⅰ)证明：取AB 中点E ，连EF 、CE ， ∵F 为AB 中点， ∴EF ∥AA 1∥CC 1，且EF =21AA 1=21CC 1.∵D 为CC 1中点，∴CD =21CC 1.又AA 1∥CC 1,∴EF ∥CD 且EF =CD ， ∴四边形EFDC 为平行四边形， ∴DF ∥CE .∵DF ⊄面ABC ，∴DF ∥面ABC . 4分(Ⅱ)证明：∵A 1A =AB ，F 为A 1B 中点， ∴AF ⊥A 1B .∵AA 1⊥面ABC ，∴AA 1⊥CE . 又DF ∥CE ，∴DF ⊥AA 1.∵A 1ACC 1，B 1BCC 1为正方形，D 为CC 1中点, ∴A 1D =BD ，∴DF ⊥A 1B . ∴DF ⊥面AA 1B ，∴DF ⊥AF . ∴AF ⊥面A 1BD ，∴AF ⊥BD . 8分(Ⅲ)解：∵CD ∥AA 1， ∴CD =21AA 1，D 为A 1M 中点，又F 为A 1B 中点，∴DF ∥BM .由(Ⅱ)知DF ⊥面AA 1B ，∴BM ⊥面AA 1B ，∴BM ⊥A 1B ，BM ⊥AB .∴∠A 1BA 为平面A 1BM 与面ABC 所成二面角的平面角. 即∠A 1BA 为平面A 1BD 与平面ABC 所成的二面角的平面角. ∵A 1ABB 1为正方形，∴∠A 1BA =45°即为所求二面角大小. 20.解：设f (n )=910n (n +2)(18－n ),(1)第一个月的销售量为f (1)=3170＜130,当n ≥2时，第n 个月的销售量 f (n )－f (n －1)=－910(3n 2－35n －19),根据题意，要f (n )－f (n －1)＞130, 只要－910(3n 2－35n －19)＞130，只要3n 2－35n +98＜0,即314＜n ＜7,即n =5或6，所以2003年5、6月份的销售量超过130台.5分(2)由(1)知，销售量最大的月份应是5月份或6月份， ∵［f (6)－f (5)］－［f (5)－f (4)］=920＞0， ∴6月份的销售量最大.8分(3)设每月应至少进该电脑x 台，依题意nx ＞f (n ),对一切n (1≤n ≤10)恒成立, 即9x ＞－10(n －8)2+1000对一切n (1≤n ≤10)恒成立， ∴x ＞91000,即x ≥112,∴每月份应至少进该电脑112台.12分21.解：(Ⅰ)设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上的点，Q (x ,y )是y =g (x )图象上的点，则⎩⎨⎧-=-=.,200y y a x x ∴⎩⎨⎧-=+=.,200y y a x x ∴－y =log a (x +2a －3a ), ∴y =log aax -1(x ＞a ). 5分(Ⅱ)⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x ∴x ＞3a .∵f (x )与g (x )在［a +2,a +3］上有意义， ∴3a ＜a +2,∴0＜a ＜1. ∵|f (x )－g (x )|≤1恒成立， ∴|log a (x －3a )(x －a )|≤1恒成立..1)2(,10,1])2[(log 12222aa a x a a a a x a ≤--≤⇔⎩⎨⎧<<≤--≤-⇔ 对x ∈［a +2,a +3］上恒成立，令h (x )=(x －2a )2－a 2,其对称轴x =2a .2a ＜2,2＜a +2, ∴当x ∈［a +2,a +3］时，h (x )min =h (a +2),h (x )max =h (a +3).∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤,691,44,)(1,)(max min a a a a x h ax h a 125790-≤<⇒a . 12分22.解：(1)∵F 1(1，0)，∴由题意,得||F 1A |－|F 2A ||=||F 1B |－|F 2B ||.(*)∵A (－1，2)，B (3，2)，∴|F 1A |=22，|F 1B |=22，设点F 2的坐标为(x ,y ),①当(*)取|F 1A |－|F 2A |=|F 1B |－|F 2B |时，则有|F 2A |=|F 2B |，∴x =1. ②当(*)取|F 1A |－|F 2A |=|F 2B |－|F 1B |时，则有|F 2A |+|F 2B |=42＞|AB |=4.∴F 2的轨迹表示椭圆4)2(8)1(22-+-y x =1.∵F 1,F 2不重合，∴除去点(1，0).∵A 、B 两点到两焦点距离不等，∴除去点(1,4).③综上，F 2的轨迹方程为x =1(y ≠0,y ≠4)和4)2(8)1(22-+-y x =1(y ≠0,y ≠4). 8分(2)F 2的轨迹如图所示，当直线l 与椭圆相切时符合题意，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=.14)2(8)1(,22y x m x y消y ，得3x 2+(4m －10)x +2m 2－8m +1=0,由Δ=0，得m =1±23.14分。