高三数学数列概念

5.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式. 3, n=1, an= n 2 , n≥2. 6.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,„); 数列 {bn} 满 足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3,„). 求数列 {an}、{bn} 的通项公 式. an=2n-1 bn=2n-1+2 7.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n2-65n, 求数列 {|an|} 的前 n 项 和 Tn. -3n2+65n, n≤11, Tn= 3n2-65n+704, n≥12.
8.已知数列 {an}, {bn} 满足 a1=1, a2=a(a为常数), 且 bn=anan+1, 其中, n=1, 2, 3,„. (1)若 {an} 是等比数列, 试求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 的公式.
4.设函数 f(x)=log2x-logx2 (0<x<1), 数列 {an} 满足 f(2an)=2n, n=1, 2, 3, „. (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)判断数列 {an} 的单 调性. 1 1 =2n, 解: (1)由已知 log22an- log 2an . 解得 an=n n2+1. ∵0<x<1, 即 0<2an<1, ∴an<0. 故 an=n- n2+1 (nN*). 2+1 an+1 (n+1)- (n+1)2+1 n + n <1. (2)∵ a = = 2 2 n n- n +1 (n+1)+ (n+1) +1 而an<0(nN*), ∴an+1>an. 故数列 {an} 是递增数列.
三、数列的分类
1.按项数：有穷数列和无穷数列； 2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列； 3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.
四、数列的前
n
项和
n
Sn=a1+a2+„+an= k a; =1 k S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1
五、数列的单调性
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2, 故 an= 5, n=1, 6n-2, n≥2.
(3)当 n=1 时, a1=S1=1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1, 1, n=1, 故 an= 2∙3n-1, n≥2.
3.已知数列 {an} 满足 a1=1, an=3n-1+an-1(n≥2). (1) 求 a2, a3; n-1 3 (2) 证明: an= . 2 (1)解: ∵a1=1, an=3n-1+an-1(n≥2),
2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2. 解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5,
故 an=4n-5(nN*).
数列概念
一、数列的概念
1.定义 按一定次序排列的一列数叫做数列. 2.数列是特殊的函数
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1, 2, 3, „, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限 个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列 的问题.
当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减.
而 a8=a9, 即 a1<a2<„<a8=a9>a10>a11>„, ∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项. 故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.
9.求使得不等式 1 + 1 + 1 +„+ 1 >2a-5 对 n∈N* n+1 n+2 n+3 3n+1 恒成立的正整数 a 的最大值. 1 1 1 1 解: 记 f(n)= n+1 + n+2 + n+3 +„+ 3n+1 , 考察 f(n) 的单调性. 1 1 1 1 ∵ f(n+1)-f(n)= 3n+2 + 3n+3 + 3n+4 - n+1 1 1 2 2 = 3n+2 + 3n+4 - 3n+3 = (3n+2)(3n+3)(3n+4) >0, ∴ f(n+1)>f(n), 1 1 1 13 ∴当 n=1 时, f(n) 有最小值 f(1)= 2 + 3 + 4 = 12 . 13 . 要使题中不等式对 n∈N* 恒成立, 只须 2a-5< 12 73 解得 a< 24 . ∴正整数 a 的最大值是3. [评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决 其它许多数列问题的重要途径, 因此要熟练掌握求数列单调性 的程序.
6.已知 n2 个 (n≥4) 正数排成 n 行 n 列方 a11 a12 a13 „ a1n 阵, 其中每一行的数都成等差数列, 每一列 a21 a22 a23 „ a2n 的数都成等比数列, 并且所有公比都等于 q. „ „ „ 1 , (1)求公比 q 的值; an1 an2 an3 „ ann 若 a11= 1 , a =1, a = 24 32 2 4 (2)求 a1k (1≤k≤n) 的值; (3)记第 k 行各项和为 Ak, 求 A1 及 {Ak} (1≤k≤n) 的通项公式. 解: (1)依题意可设第一行公差为 d, 各列公比为 q(q>0), 则有: a24=a14q=(a11+3d)q, ( 1 +3d)q=1, 2 1. 即 : 解得 : q = d = a32=a12q2=(a11+d)q2, 2 ( 1 +d)q2= 1, 2 4 1 故公比 q 的值为 2 . 1= k. (2)a1k=a11+(k-1)d= 1 +( k 1) 2 2 2 n(n+1) n 1 n (3)A1=a11+a12+a13+„+a1n= 2 ( 2 + 2 )= 4 . n(n+1) n(n+1) 1 k 1 k 1 Ak=ak1+ak2+ak3+„+akn=q A1=( 2 ) ∙ 4 = 2k+1 .
∴a2=32-1+a1=3+1=4, ∴a3=33-1+a2=9+4=13. 故 a2, a3 的值分别为 4, 13. (2)证: ∵a1=1, an=3n-1+an-1, ∴an-an-1=3n-1. ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+„+(an-an-1) =1+3+32+„+3n-1 n-1 n-13-1 3 3 = = 2 . 3- 1 n-1 3 故 an= . 2
7.已知数列 {2n-1∙an} 的前 n 项和 Sn=9-6n. (1)求数列 {an} 的通 |a | 1 } 的前 n 项和. 项公式; (2)设 bn=n(3-log2 n ), 求数列 { b 3 n 解: (1)当 n=1 时, 20a1=S1=9-6=3, ∴a1=3; 当 n≥2 时, 2n-1an=Sn-Sn-1=-6, ∴ an=- 3 . n 2 2 3, n=1, 故 an= - 3 , n≥2. 2n-2 1 1 ∴ = (2)当 n=1 时, b1=3-log21=3, b1 3 ; 1 1 1 当 n≥2 时, bn=n(3-log2 3 )= n ( n +1), ∴ b = n - n+1 . 32n-2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ b + b +„+ b = 3 +( 2 - 3 )+„+( n - n+1 ) 1 2 n 1 5 = 6 - n+1 .
n 9 8.已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)( 10 ) , 问是否存在正整数 M, 使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ? 9 n+1 9 n 解: ∵ an+1-an=(n+2)( 11 ) -(n+1)( 11 ) =( 9 )n 8-n . 11 10 ∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增；
二、数列的表示
1.列举法 2.图象法 3.通项公式法 若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式. 4.递推公式法 如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做 数列的递推公式. 注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减). 方法：作差、作商、函数求导.
六、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+„+(an-an-1); a2 a3 an an=a1 a a „ a . n-1 1 2