人教版七年级下册第五章相交线与平行线知识点

又∵AB∥CD，∴∠BEN =∠DFN；
从而∠BEG =∠DFH．∴EG∥FH ．
错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运位角、内错角或同旁内角的关
键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而
∠BEG 和 ∠DFH 不 是 直 线 EG ， FH 被 某 条 直 线 所 截 得 的 同 位 角 ， ∴ 由
不是，∵∠2 与∠9 的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所
截而成.
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线 b
互相平行，记作 a ∥ b .
2.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行.
虽然∠1 和∠2 是由直线 EF 和 AB 被直线 DC 所截得的角，
但由于它们不是同旁内角， ∴尽管∠1＋∠2=180°， 也不能得到 EF∥AB．
正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．
∴EF∥DB(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行， 同旁内角互补)．
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
4.经过推理证实而得到的真命题叫做定理.
5.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程
叫做证明.
5.4 平移 1.平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形 状和大小完全相同. ②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2.平移的特征： ①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等， 对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化. ②经过平移后，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等. 例：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF，那么： (1)点 A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(2)点 B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；@
反过来也一样(这里，我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合(∵两点确定一条直线)
A
D
B
E
C
F
(3)点＿＿＿＿＿的对应点是点 F；(4)线段 AB 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿； (5)线段 BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；(6)∠A 的对应角是＿＿＿＿＿ ＿. (7)＿＿＿＿的对应角是∠F. 解：(1)D；(2)E；(3)C；(4)DE；(5)EF；(6)∠D；(7)∠ACB.
对顶角)
5.1.2 垂线
1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
符号语言C记作：
AO
如图所示：AB⊥CD，垂足为 O
B
D
2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
3.平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4.平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
b 如左图所示，∵ b ∥ a ， c ∥ a
c ∴b∥c
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条
直线都平行.
；
(4)两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．
错解：如图， 对顶角为：(1)∠AOC 与∠BOD ；
(2)∠AOF 与∠BOD ；
(3)∠COF 与∠DOE ；
(4)∠AOC 与∠BOE ．
错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致(2)和(4)错误．如果
A
证明：∵∠1＝∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)
D1
2E
∴∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)
B
C
例：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°
求∠2、∠3 的度数
A
D
E
32
F
1
C
B
解：∵DE∥BC
∴∠2＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)
∵AB∥DF
∴∠3＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
∠BEG=∠DFH 不能判定 EG∥FH．
正解：∵EG 平分∠BEN， ∴∠BEG =∠GEN = 1 ∠BEN， 2
同理，∵FH 平分∠DFN， ∴∠DFH =∠HFN = 1 ∠DFN， 2
又∵AB∥CD，∴∠BEN =∠DFN，从而∠GEN =∠HFN．
而∠GEN，∠HFN 是直线 EG，FH 被直线 MN 所截得的同位角，∴EG∥FH．
七下数学 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.1 相交线
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点 ∠1 的两边与 对顶角相等
1
2
∠2 的两边互 即∠1=∠2
为反向延长线
∠1 与∠2
邻补角
43
有公共顶点 ∠3 与 ∠4 有 ∠3+∠4=180 一条边公共， °
另一边互为反
∠3 与∠4
向延长线.
注意点：
(1)对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
(2)如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α
与∠β不一定是对顶角；
(3)如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，
则∠α与∠β不一定是邻补角
例：同一平面内，不相交的两条线是平行线.
错解：对．
错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不
明确．若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的．
正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
5.2.2 平行线的判定
判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平
A D
1
23
B
EC
F
解：(1)由∠2＝∠B 可判定 AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；
(2)由∠1＝∠D 可判定 AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
(3)由∠3＋∠F＝180°可判定 AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行.
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
性质 1：两直线平行，同位角相等；
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
例：如图，直线 AB，CD 分别和直线 MN 相交于点 E，F，EG 平分∠BEN，FH
平分∠DFN．若 AB∥CD，你能说明 EG 和 FH 也平行吗?
错解：∵EG 平分∠BEN，∴∠BEG = 1 ∠BEN． 2
同理，∵FH 平分∠DFN，∴∠DFH = 1 ∠DFN． 2
4.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角l、内错角与同旁内角.
如图，直线 a,b 被直线 l 所截
21
34
a
1.∠1 与∠5 在截线 l 的同侧，同在被截直线 a,b 的上方， 6 5
性质 2：两直线平行，内错角相等；
性质 3：两直线平行，同旁内角互补.
E
A
3
B
14
几何符号语言：
C
2
F
D
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
例：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C
解：我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线)，
生得到下列各图.
如图所示，不难看出∠1 与∠2 是同旁内角；∠1 与∠7 是同位角；∠1 与∠BAD
是同旁内角；∠2 与∠6 是内错角；∠5 与∠8 对顶角.
A
A
2
A
D
A
D
2
6
1
1
7
1
C
B
FB
C
B
F
B
A
F
5 C8
E B
注意：图中∠2 与∠9，它们是同位角吗？
例：如图，△ABC 中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B， 试判断 DE 与 BC 的位置
关系，并说明理由．
错解：∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB ．
∴∠3+∠BDE =180°．
∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE =180°．
∴DE∥BC．
错解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到 EF∥AB．
对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对
顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ．
正解：(1)∠AOC 与∠BOD ；(2)∠BOE 与∠AOF；(3)∠COF 与∠DOE；