数学北师大版九年级上册菱形的定义与性质
北师大版九年级数学上册知识点总结
（1）1.菱形的性质与判定菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质: ①菱形的四条边相等。
②菱形的对角线互相垂直。
③菱形具有平行四边形的一切性质。
（3）菱形的判定: ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
③四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质: ①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
③矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
3、正方形的性质与判定正方形的定义: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质: ①正方形的四个角都是直角, 四条边相等。
正方形的判定: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③对角线垂直的矩形是正方形。
④有一个叫是直角的菱形是正方形。
第二章一元二次方程1.认识一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程: 方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程, 并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0), 其中, a是二次项系数, b是一次项系数, c是常数项。
（3）一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2+bx+c的值无限接近于0时, x的值即可看做一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解2.配方法将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式, 它的一边是一个完全平方式, 另一边是一个常数。
当n≥0时, 两边同时开平方, 转化为一元一次方程, 便可以求出它的根。
（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
1.菱形(基础)知识讲解+练习(北师大版 九年级数学上册)
菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2∵ DF ∥BC ，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF 是菱形，理由如下：∵ EF 垂直平分AD ，∴ △AOF 与△DOF 关于直线EF 成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵Y AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴Y AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在Y ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)Y ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm.11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE 的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；2.【答案】C ；3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC＝12∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°． 6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC ＝3BE ＝3.二.填空题7.【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=.8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为cm ， ∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB==（cm ）， ∴BD=2OB=2cm ， ∴AC ：BD=1：． 9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD 中，BD 是∠ABC 的平分线，∵PE⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，∴点P到BC 的距离＝PE ＝4cm ．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE＝12AB＝BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵F为DC中点，E为AB中点，∴DF＝12DC，BE＝12AB，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DE＝EB，∴四边形BFDE是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
北师大版九年级上册数学《菱形的性质与判定》特殊平行四边形说课教学复习课件
(二)预习反馈 1. 下列四个几何体中，左视图为圆的是( D )
2. 如图所示的几何体的主视图为( B )
3. 如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何 体，则该几何体的俯视图是( D )
4. 一座楼房的三种视图中， 主主视视图图和和左左视视 图可以反映 出楼房的高度， 俯俯视视 图可以反映出楼房的建筑面积．
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴CE＝FG，
∵CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF菱形
课堂小结
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理 定理2：四边相等的四边形是菱形.
第五章 投影与视图
合作探究
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相较于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
B
∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，
A
O
C
∴直线BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
新课讲授
菱形的判定
B
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
合作探究
什么样的四边形是菱形？ 有一组邻边相等的平行四边形.
我们还可以从哪 些角度考虑？
合作探究
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成 一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动 木条，这个四边形什么时候变成菱形?
你能证明它吗？
可以发现： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定课件(共17张PPT)
1
1
OB=OD= 2 BD = 2 ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中，
A
O
C
∵∠BAD=60°， D
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
三、运用新知
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
B
OA 2 +OB 2=AB 2，
O
∴OA = AB2 OB2 = 62 32= 3 3 .
∴CB=CD， CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.
又 CE=CE，
C
∴△BC E≌△COB（SAS）.
B F
E
A
∴∠CB E=∠CDE.
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE.
五、归纳小结
1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2. 菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在 的直线；
观察 发现
观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它 们有什么样的共同特征？
一、创设情境，引入新知
菱形的定义： 与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在
哪里？你能给菱形下定义吗？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
二、合作交流，探究新知
想一想: 1. 菱形与平行四边形有什么关系？
二、合作交流，探究新知 32 C.
对称轴之间有什么位置关系？ 求证：∠AFD=∠CBE.
为BC，CD的中点，那么∠EAF 的度数是（ ） 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题. ∴AB = BD = 6.
北师大版九年级数学上第三章证明(三)菱形的性质定理
回顾与思考
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论 (求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知” 和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
我思,我进步2
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形, O A 就要证明有一组邻边相等即可. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱 形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, B 1 1 0 ∴∠AED=90 ,DE BD 10 5cm .
AE
C
学以致用 已知，AD是△ABC的角平分 线，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
B E
A
F
C 证明: D ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴∠ADE=∠DAF. ∵DE∥AC, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形.
九年级数学(上) 第三章证明(三)
2.特殊的 平行四边形－菱形
北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习题：第1讲 菱形
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、（2018•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2018春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（2018春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（2018•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. （2018•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）二.填空题7. （2018•江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______ 2cm.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （2018•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.（2018•安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．5.【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．6.【答案】A；【解析】阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝=.二.填空题7.【答案】．；【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】【解析】由题意∠A ＝60°，DE10.【答案】5；；2；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为152⨯⨯=. 11.【答案】512； 【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵△ACF 是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．14.【解析】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF ．∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE ，∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为，∴菱形AECF 的面积为2．15．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2∴2244S ≤<S ≤<。
北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义
北师大版九年级上册菱形的性质与判定讲义要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、.菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴〔对角线所在的直线〕，对称轴的交点就是对称中心.菱形的面积：〔1〕一种是平行四边形的面积公式：底×高〔2〕另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例1、以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线相互垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C. 对角线相互垂直的平行四边形是菱形；D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例2、菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。
【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，那么菱形周长为16．【点睛】此题主要考察菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握假定菱形有一个内角为60°，那么较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形． 例3、菱形的两条对角线长区分是14cm 和20cm ，那么它的面积为__．【答案】140cm 2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S=12×14×20=140(cm 2). 例4、如下图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝10．求：(1)AB 的长．(2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵ 四边形ABCD 是菱形．∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12BD ． 又∵ AC ＝8，BD ＝10．∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12×10＝5． 在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+(2)由菱形的性质可知： 118104022S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 例5、菱形的两条对角线长为6和8，那么菱形的边长为________．解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，由菱形性质知：AC 与BD 相互垂直平分，例6、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，假定周长为8，那么此菱形的初等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的初等于12×2＝1. 例7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =5，AC =6，BD =8．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕过点A 作AH ⊥BC 于点H ，求AH 的长．【答案】(1)证明见地析(2) 245【解析】试题剖析：〔1〕由平行四边形的对角线相互平分失掉△AOB 的两条边OA 、OB 的长度，那么依据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线相互垂直平分，故四边形ABCD是菱形．〔2〕依据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：〔1〕证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，∴AO=AC=3，BO=BD=4，∵AB=5，且32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；〔2〕解：如下图：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．例8、在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.〔1〕求证：四边形ABCD为平行四边形；〔2〕假定点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.【解析】试题剖析：〔1〕依据平行线的性质战争行四边形的判定证明即可；〔2〕依据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．试题解析：〔1〕∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△ADC与△ABC中，∴△ADC≌△ABC〔AAS〕，∴AB=DC，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形；〔2〕∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠DAB=∠DCB ，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE=PF ，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA ，∴AB=BC ，∴四边形ABCD 是菱形．课后习题：1．在以下说法中，菱形对角线不具有的性质是 ( )A. 对角线相互垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C. 对角线相等；D. 对角线相互平分．【解析】菱形的对角线相互垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴， 应选C.2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=2，那么菱形ABCD 的周长为〔 〕A. 12B. 16C. 8D. 4【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOB 为直角三角形．∵OE=2，且点E 为线段AB 的中点，∴AB=2OE=4．C 菱形ABCD =4AB=4×4=16．应选B ．3．菱形的周长为40cm ，两条对角线之比3：4，那么菱形面积为〔 〕A. 96cm 2B. 48cm 2C. 24cm 2D. 12cm 2【答案】A如图，设3AO xcm = ， 4BO xcm = .∵菱形的周长为40cm ，有勾股定理得， ()()2223410x x += ， 21=1216=96cm 2S ∴⨯⨯菱形 ,应选A. 4．菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，那么菱形的周长为_____________。
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
1.1.3菱形的性质与判定教学设计2023--2024学年北师大版九年级数学上册
2. 作业评价：
作业批改：在课后，我会认真批改学生的作业，对每个学生的作业进行详细的批改和点评。通过批改作业，我可以了解学生对菱形性质与判定的掌握情况，并及时发现学生存在的问题。
在教学手段上，我发现多媒体教学和教学软件辅助能够提供直观和生动的展示，提高学生的学习兴趣和理解能力。但有时多媒体资源和软件操作过于复杂，导致学生无法完全理解和掌握。因此，我需要简化多媒体资源和软件操作，确保学生能够理解和掌握。
在教学效果上，我发现学生对菱形的性质与判定有了较好的理解和掌握，但部分学生在实际应用和解决问题上还存在一定的困难。因此，我需要在今后的教学中加强实践环节的指导和训练，帮助学生更好地运用所学知识解决实际问题。
教学反思与总结
在《菱形的性质与判定》这节课的教学过程中，我采用了问题驱动法、合作学习法和实践操作法等多种教学方法，旨在激发学生的学习兴趣和主动性。通过多媒体教学和教学软件辅助，我努力提高教学效果和效率。然而，在教学过程中，我也发现了一些问题和不足之处，需要进行改进和调整。
在教学方法上，我发现问题驱动法能够有效地激发学生的思考和探究，但有时问题设置过难或过于复杂，导致部分学生无法理解或参与讨论。因此，我需要根据学生的实际水平和能力，调整问题的难度和复杂度，确保每个学生都能积极参与和思考。
在合作学习法中，我发现小组讨论能够培养学生的合作精神和沟通能力，但有时小组内部存在分工不均或讨论不够深入的情况。因此，我需要加强对小组讨论的指导，确保每个小组成员都能积极参与，并引导他们深入思考和交流。
在实践操作法中，我发现通过实际操作能够帮助学生更好地理解和掌握菱形的性质，但有时学生对操作工具或方法不熟悉，导致操作效果不佳。因此，我需要提前对学生的操作技能进行培训和指导，确保他们能够熟练地使用工具和操作方法。
初中数学北师大版九年级上册菱形的性质
辽宁省朝阳市第七中学 朱莉
活动年级 九年级 版 本 北京师范大学出版社
1.菱形的性质与判定 第一课时 菱形的性质
感受生活
记作：菱形ABCD
D
C
A
B
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质
具有平行四边形的所有性质外 还有哪些？从以下几方面分析：
对称性： 边： 角：
对角线：
D
A
C
O
B
菱形的性质
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
对称性：中心对称；
轴对称，有两条对称轴，并且两条 对称轴的位置关系是互相垂直
边： 对边平行且相等； 四条边相等
角： 对角相等；
对角线：对角线互相平分； 对角线互相垂直
总结2
菱形的特殊性质
D
组内合作，验证猜想：
温馨小贴士：
D
证明：
A
O
C
B
菱形的特殊性质
1.菱形的四条边相等. 2.菱形的对角线互相垂直.
∵菱形ABCD ∴ AC⊥BD, AB=BC=CD=AD
A
几何语言
D
O
C
B
菱形的性质
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
对称性：中心对称；
轴对称，有两条对称轴，并且两条 对称轴的位置关系是互相垂直
边： 对边平行且相等； 四条边相等
A
C
O
B
1、可用量一量、折一折、重叠、证明等方法验证猜想；
2、小组内分享收获，解决疑问，完善猜想，达成共识；
3、组内派代表做好全班陈述准备。 （陈述要求：指明用什么方法验证的什么猜想）
北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》整章优质课件
_______.
B
O
A
C
D
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的
60°、60°、120°、120°
四个内角度数分别为_____________________.
B．104°
C．105°
D．110°
课堂小结
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四
边等
菱形的性质
2.对角线互相垂直平分，且
每条对角线平分一组对角.
当堂检测
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相
等的？
（2）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？
知识讲解
已知四边形ABCD是菱形
A
7
1 2
相等的线段：AB=CD=AD=BC
8
O
5
OA=OC OB=OD
D
6
3
B
4
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
第一章 特殊平行四边形
北师大版九年级上册数学第一章整章课件
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的定义与性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
新课导入
新课导入
北师大版九年级数学上册知识点
北师大版九年级数学（上）册知识点1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：•具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
••菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
•••③菱形的判别方法：•一组邻边相等的平行四边形是菱形。
••对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
••四条边都相等的四边形是菱形。
•2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：•有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
••对角线相等的平行四边形是矩形。
••四个角都相等的四边形是矩形。
•④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：•有一个内角是直角的菱形是正方形；••邻边相等的矩形是正方形；••对角线相等的菱形是正方形；••对角线互相垂直的矩形是正方形。
•④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：•一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
••两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
••一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
•⑥等腰梯形的性质：•等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
••同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
••三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
••夹在两条平行线间的平行线段相等。
••在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半•第二章一元二次方程1、认识一元二次方程•只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2+bx+c=0•（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
1.1菱形的性质与判定 课件 北师大版数学九年级上册
感悟新知
解：四边形DECF 是菱形. 理由如下： ∵ DE∥ FC，DF∥ EC， ∴四边形DECF 为平行四边形. ∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3. ∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.∴ DE=EC. ∴平行四边形DECF 是菱形.
知1－练
感悟新知
知1－练
∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ ABC= ∠ ADC， ∠ BCD= ∠ DAB
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对角线互相 ∵四边形ABCD 是菱形，
垂直 ∴ BD ⊥ AC
对
角 线
每条对角线 平分一组对
角(拓展)
∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ BAC= ∠ DAC= ∠ BCA=∠ DCA，∠ ABD= ∠ CBD= ∠ ADB=∠ CDB
对角线互相垂 直的平行四边
形是菱形
知3－讲
判定
符号语言
图形
在ABCD 中， 或AB=AD 或
∵ AB=BC，
BC=CD或AD=CD，
∴ ABCD 是菱形 即一组邻边相等
∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD 是菱形
在ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ABCD 是菱形
感悟新知
知3－讲
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质教案
一、教学内容
北师大版九年级上册1.1菱形的判定与性质：
1.知识点一：菱形的定义及特点
-菱形的定义：四边相等、对角线互பைடு நூலகம்垂直的四边形。
-菱形的特点：对角线互相垂直、平分；对角线将菱形分成的四个三角形面积相等。
2.知识点二：菱形的判定方法
-判定方法一：四边相等的四边形是菱形。
-举例：给出具体菱形的边长，让学生计算对角线长度，并解释计算过程。
-难点三：将菱形的性质应用于实际问题
-学生需要学会将理论知识转化为解决实际问题的能力，如计算菱形面积、设计菱形图案等。
-举例：设计一道综合性的应用题，要求学生运用菱形的性质进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《菱形的判定与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过菱形形状的物体？”（如菱形珠宝、窗户设计等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情很高，但我也观察到有的小组在讨论过程中偏离了主题。这可能是因为他们对菱形的理解还不够深入，或者在讨论时缺乏引导。在以后的教学中，我需要更加关注学生的讨论过程，适时给予引导和指导。
学生小组讨论的环节，大家表现得非常积极，很多学生提出了很有见地的观点。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，逻辑性不强。这可能是因为他们在讨论过程中没有很好地整理自己的思路。今后，我需要加强培养学生的逻辑思维和表达能力。
-判定方法二：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
-判定方法三：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
九年级数学上册1.1菱形的定义和性质教案(新版)北师大版
九年级数学上册1.1菱形的定义和性质教案（新版）北师大版【教学目标】知识于技能经历菱形的性质的探究过程。
掌握菱形的两条性质。
过程与方法1.经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力2.根据菱形的性质进行简单的证明,培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
情感与态度1.在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验。
2.过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重难点】重点：菱形性质的探求.难点：菱形性质的探求和应用.【导学过程】【创设情景，引入新课】一、知识链接：1．（复习）什么叫做平行四边形？平行四边形有哪些性质呢？2．（引入）我们已经学习了平行四边形，其实还有特殊的平行四边形,如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形二、教材预习学法指导：课前独学教材预习内容，总结本节课的重点、难点、注意点。
课堂再以小组为单位交流，找出还存在的问题，并在小黑板上扼要展示本节重点内容和存在的问题。
注意双色笔的使用，书写工整。
X k B 1 . c o m1、预习内容：自学课本2页—3页，完成随堂练习。
1.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？2.、叫做菱形.3、观察右图：回答菱形是轴对称图形吗？（）有条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等吗？2、预习测试：1、菱形的定义：叫做菱形。
菱形是的平行四边形。
2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：（1）菱形具有平行四边形具有的一切性质：。
（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质（探究、归纳、）特殊的性质1：。
几何语言为：特殊的性质2：几何语言为：【自主探究】学法指导：课前独学，解决会的，有问题的上课对子或小组交流，形成共识，进行课堂大展示。
展示时要讲清所用知识点、易错点。
展示到小黑板的题要标清所用知识点、易错点；注意双色笔的使用，字体工整。
1 菱形的性质与判定 数学北师大版九年级上册
—— 探究新知 ——
观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形， 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样 的共同特征？
你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的长.
A
【选自教材P4页 随堂练习】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线
D
互相平分）.
O
B
∴BD 的长为 6 cm.
C
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证： △ABC是等边三角形. 【选自教材P4页 习题1.1 第1题】
A
C′
D
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
B
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
O
E
C
∴四边形 CDC′E 是菱形.
课堂小结
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
A
∴BD是线段 AC 的垂直平分线 ∴BA = BC ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
B C
O D
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC⊥BD，
A
∴四边形 ABCD是菱形。
B C
北师大版九年级数学上册菱形及其性质
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝ AO2 BO2 32 62 3 5(cm).
∴菱形的周长＝4AB 4 3 5 12 5(cm).
知3－讲
总结
知3－讲
菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角 形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为 求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来 计算．
1 边长为3 cm的菱形的周长是( C )
A．6 cm
B．9 cm
C．12 cm
D．15 cm
知2－练
知2－练
2 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°， AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接 EF，则△AEF的面积是( B ) A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 3
知识点 3 菱形对角线的性质
知1－练
1 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是( C ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BCБайду номын сангаасD．AC＝BD
知1－练
2 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， 要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是 (B ) A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD
知3－练
1 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD， 垂足分别为E，F. (1)求证：BE＝BF； (2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时， 求BE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，∠BAD＝∠BCD. ∵BE⊥AD,BF⊥CD， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°.
导引：由于菱形的四条边都相等， 所以要求其周长就要先求 出其边长．由菱形的性质 可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角 三角形中利用勾股定理来进行计算．
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菱形的定义与性质
一、教材地位与作用
本节课选自北师大版九年级数学上册第一章第一节第一课时《菱形的性质与判定》。
本节课既是八年级下册平行四边形的延伸，又为矩形，正方形的学习奠定了基础，起到了承上启下的作用。
二、教学目标
知识与能力：通过学习本节课学生能熟练运用菱形的定义，并能利用菱形的定义推导出它具有的其他性质；
过程与方法：本节课的学习过程新颖独特，让学生在自己动手，自己发现，自己归纳，教师总结的过程中一步步取得进步；
情感态度与价值观：本节课要让学生在探索的过程中发现菱形的奥秘，培养学生善于发现，善于动手的能力。
三、教学重、难点
教学重点：菱形的定义与性质；
教学难点：菱形与平行四边形的综合运用。
四、教学方法
师生互动、小组合作交流、归纳总结、多媒体教学
五、教学过程
（一）创设情境，引出新课
同学们，在过年时我们经常会看到中国结，生活中常见的有网状的围栏，格子衣服的图案等图形，这些是什么形状呢？有什么共同点？让我们共同探讨，看看这些与我们今天的新课有什么联系？
利用多媒体展示图片，让学生观察，分析，讨论；
经过观察发现，这些图形是菱形，并且是邻边相等的平行四边形。
进而得出平行四边形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（二）动手操作，探索新知
用菱形纸片折一折，探索菱形的奥秘；
首先把菱形对折，试着多对折几次（整个过程除了学生对折，教师也应跟着折叠，并且用对媒体呈现出来），我们能发现什么呢？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，并且对称轴互相垂直。
经过折叠我们还能发现菱形的四个边都相等。
（三）应用例题，探索证明
课本第三页最上面题，利用多媒体显示，让学生分为四组证明，当证明出来后，让每组同学自愿写在黑板上，比较看看哪组同学写的更详细，更具体，老师再详细讲一讲。
进而得出性质定理：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
（四）应用新知，熟练掌握
让学生做课本上第三页例题，和第四页课后习题，做完后同桌互换互相点评，再由老师做详细讲解。
（五）课堂小测，进步升华
准备具有代表性的十道习题，让学生用最短的时间写完，后收过来，下节课点评稳固这节课的知识内容。
（六）总结归纳，布置作业
总结本节课菱形定义与性质，并回顾本节重难点。
本节课作业是课本习题1.1 第1,2题
（七）课后反思，增强教学
本节课设计思路清晰，学生接受度比较高，课堂气氛活跃，但内容过于简单化，没有对难点进一步讲解。