导数的概念学案

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导数概念教案范文

导数概念教案范文

导数概念教案范文一、教学目标1.理解导数的概念及其代表的几何意义;2.掌握导数的定义;3.运用导数计算函数在给定点的导数值;4.通过例题练习,提高解题能力和应用能力。

二、教学重点1.确定导数的概念及其几何意义;2.理解导数的定义;3.运用导数计算函数在给定点的导数值。

三、教学难点1.理解导数的概念及其几何意义;2.运用导数求函数在给定点的导数值。

四、教学过程1.导入(5分钟)首先,通过引入一个问题来导入导数的概念。

比如,有一个人在直线运动中,求他运动过程中的瞬时速度。

引导学生思考如何解决这个问题。

2.探究导数的几何意义(15分钟)将问题扩展到一般情况:给定一个函数y=f(x),我们想要求解其在其中一点的瞬时变化率。

引导学生思考这个问题与瞬时速度的关联。

通过画出曲线y=f(x),并选取两个点A(x,f(x))和B(x+∆x,f(x+∆x)),讨论随着∆x趋近于0,AB两点间的斜率逼近于其中一固定值的情况。

引导学生认识到这个固定值就是函数f(x)在点x处的导数,表示了函数在该点的瞬时变化率。

3.导数的定义(20分钟)通过前面的探究过程,引导学生解答问题:“导数的定义是什么?”。

引导学生答出导数的定义:函数f(x)在点x处的导数,表示了函数在该点的瞬时变化率。

然后,引导学生进一步讨论如何利用导数的定义来计算函数在给定点的导数值。

通过原理解释导数的定义,例如,利用极限的思想,将∆x的取值逼近至0,从而计算出导数的值。

4.导数的基本性质(10分钟)讲解导数的基本性质。

导数可以用于判断函数的单调性和凸凹性,以及求解函数的极值点等。

通过例题进行讲解和练习,巩固学生的理解。

5.计算导数的方法(25分钟)讲解导数的计算方法,包括常见的求导法则和推导过程。

引导学生掌握常见函数的导数计算方法,如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

通过例题进行讲解和练习,提高学生计算导数的能力。

6.应用导数解决实际问题(20分钟)通过给出一道应用导数解决实际问题的例题,引导学生运用导数的知识和技巧解题。

学案15 导数的概念(文理)

学案15 导数的概念(文理)

学案 导数的概念及其运算(文理)一、 目标要求1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。

2、能据导数定义,求函数y=c ,x y xy x y x y x y =====,1,,,32的导数, 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。

二、知识梳理⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数:⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义,就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处⑶导数的基本运算① 基本初等函数的导数公式C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x ='()x e = ;'()x a = ;'(ln )x = ;'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则(4)、(理)复合函数的导数:一般地,设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=,函数y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =,则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数,且三、基础训练1、设()ln ,f x x x =若()'02fx =,则0x =( ) A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ))(A 034=--y x )(B 430x y -+= (C )450x y +-=(D )430x y ++=3、半径为r 的圆的面积2)(r r s π=,周长r r c π2)(=,若将r 看作),0(+∞上的变量,则r r ππ2)('2=………………… ①①式可用自然语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,且用自然语言叙述为____________.4、如图,函数f(x)的图像是折线段A,B,C ,其中的坐标分别为(O,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数: ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x xy =(3)1cos x y xe -= (理) (4)y=21x + (理)例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程; ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标; ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直,求切点坐标与切线的方程。

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 掌握导数的计算方法。

3. 能够应用导数解决实际问题,如速度、加速度等。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点:导数的定义、几何意义和计算方法。

2. 难点:导数的计算方法和在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学。

五、教学过程1. 导入:回顾函数的斜率概念,引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。

2. 导数的定义:介绍导数的定义,强调极限的思想,引导学生理解导数的含义。

3. 导数的几何意义:通过图形演示,让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。

4. 导数的计算方法:讲解导数的计算方法,包括基本导数公式、导数的四则运算等。

5. 应用导数解决实际问题:举例说明导数在实际问题中的应用,如速度、加速度等。

6. 练习:布置练习题,让学生巩固导数的概念和计算方法。

7. 总结:对本节课的内容进行总结,强调导数的重要性和应用价值。

8. 作业:布置作业,巩固所学内容。

六、教学反思在教学过程中,注意观察学生的反应,根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节,加强讲解和练习。

七、教学评价通过课堂表现、作业和练习,评价学生对导数的理解和应用能力。

鼓励学生积极参与讨论,提高解决问题的能力。

八、课时安排本节课安排2课时,共计45分钟。

九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用,如函数的单调性、极值等。

2. 导数在其他学科中的应用,如物理、化学等。

六、教学策略1. 案例分析:通过分析具体的函数实例,让学生理解导数的计算过程和应用场景。

2. 小组讨论:鼓励学生分组讨论导数问题,培养合作解决问题的能力。

3. 实际操作:让学生利用计算器求解导数,增强实践操作能力。

导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案

导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案

导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f ',若)(x f =xx f 1)1(2-',则)1(f '的值为 . 学习目标:1. 理解导函数的概念;2. 理解导数的几何意义;3. 学会应用导数的几何意义;4. 学会利用导数求曲线的切线方程。

温故知新:1.导数的概念对于函数y =f (x ),设自变量x 从x 0变化到 ,相应地,函数值y 就从f (x 0)变化到 .这时,x 的变化量为Δx ,y 的变化量为Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0).(1) 如果当Δx →0时, x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值,即x y ΔΔ有极限,则称y =f (x )在x =x 0处可导,并把这个确定的值叫做y =f (x )在x =x 0处的 ,记作 或y ′|x =x 0,即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时,)(0x f '是一个唯一确定的数,当x 变化时,)(x f y '=就是x 的函数,我们称它为y =f (x )的导函数(简称导数),记为)(x f '(或y ′),即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在x =x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的 ,相应的切线方程为 .一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示,则)1()1(f f '-等于( )A .-2B .0C .2D .4变式. 已知函数y =f (x )的部分图象如图所示,其中A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2)),C (x 3,f (x 3))为图上三个不同的点,则下列结论正确的是( )A .)()()(321x f x f x f '>'>'B .)()()(123x f x f x f '>'>'C .)()()(213x f x f x f '>'>'D .)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )A .0)3()2()1(>'>'>'f f fB .0)3()2()1(<'<'<'f f fC .)3()2()1(0f f f '<'<'<D .)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数)(x f y '=的图象如图所示,则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y =f (x )的图象是下列四个图象之一,且其导函数)(x f y '=的图象如图所示,则该函数的大致图象是( )A .B .C .D .二、求切线方程 例3. 函数f (x )=x ln(-2x ),则曲线y =f (x )在x =2e -处的切线方程为变式. 曲线y =xx ln +x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y =ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 , .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y =x 3的切线,则这样的切线共有( )A .0条B .1条C .2条D .3条变式2. 过原点与曲线y =(x -1)3相切的切线方程为 .本堂小结:作业布置:1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》

教案名称:导数的概念教案课时安排:2课时教学目标:1. 理解导数的定义和意义;2. 掌握导数的计算方法;3. 能够应用导数解决实际问题。

教学方法:1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学;2. 引导学生通过观察、思考、讨论,发现导数的本质;3. 利用多媒体课件辅助教学,提高学生的学习兴趣。

教学内容:第一课时一、导入(5分钟)1. 复习相关概念:函数、极限的概念;2. 提问:函数在某一点的极限有什么意义?二、新课讲解(15分钟)1. 引入导数的定义:导数是函数在某一点的瞬时变化率;2. 解释导数的物理意义:描述物体在某一时刻的瞬时速度;3. 示例讲解:利用极限的概念推导函数的导数;4. 强调导数的计算方法:求导数的关键是找到函数的导数公式。

三、课堂练习(10分钟)1. 请学生独立完成练习题,巩固导数的定义和计算方法;2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

第二课时四、新课讲解(15分钟)1. 介绍导数的运算法则:加法、减法、乘法、除法的导数法则;2. 示例讲解:利用导数法则计算复合函数的导数;3. 强调导数在实际问题中的应用:优化问题、物理问题等。

五、课堂练习(10分钟)1. 请学生独立完成练习题,巩固导数的运算法则和应用;2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

教学评价:1. 课后作业:检查学生对导数的定义、计算方法和应用的掌握程度;2. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作意识。

教学反思:本节课通过讲解、示例和练习,使学生初步掌握了导数的定义、计算方法和应用。

在教学过程中,要注意引导学生积极参与,提高学生的思考能力和合作意识。

加强对学生的个别辅导,提高学生的学习效果。

教案名称:导数的概念教案课时安排:2课时教学目标:1. 理解导数的定义和意义;2. 掌握导数的计算方法;3. 能够应用导数解决实际问题。

教学方法:1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学;2. 引导学生通过观察、思考、讨论,发现导数的本质;3. 利用多媒体课件辅助教学,提高学生的学习兴趣。

导数概念学案

导数概念学案
y x
;③取极限。
(3) f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内每一点都是可导的,具体 是指:任给 x 0 ( a , b ) ,总有 lim
y x lim f ( x0 x ) f ( x0 ) x f ( x 0 ) .
x 0
x 0
从而对开区间内 ( a , b ) 的每一个 x 0 ,都有一个数 f ( x 0 ) 与之对应,所以 在开区间 ( a , b ) 内, f ( x ) 就构成一个新函数,此新函数称为函数 f ( x ) 的导函数,简称导数。
2.瞬时速度 如果物体的运动规律满足 s s ( t ) (位移公式) ,那么物体在时 刻 t 0 的瞬时速度 v ,就是物体 t 0 到 t 0 t 这段时间内, 当 t 0 时平均速度的极限,即 v lim
s t lim s (t0 t
(e )
x
log a x
( a )
x
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邮编:100088
电话:82025511 传真:82079687
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公式二、导数的四则运算法则
4/5
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
(4)导数的几何意义——曲线的切线
P ( x 0 , y 0 ) , Q ( x 0 x , y 0 y ) ,割线 PQ 的倾
斜角为 ,则有 k PQ tan
y x

当点 Q 沿曲线无限接近于点 P ,即 x 0 时,割线
PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为 ,

学案7:§3.1 导数的概念及运算

学案7:§3.1  导数的概念及运算

§3.1 导数的概念及运算高考·导航1.导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y =C (C 为常数),y =x ,y =1x ,y =x 2,y =x 3,y =x 的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.主干知识 自主排查1.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义:称函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 ΔyΔx为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或0|x x y =,即f ′(x 0)=lim Δx →0ΔyΔx=lim Δx →0.(2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点 处的 相应地,切线方程为 . 2.函数y =f (x )的导函数如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,这个函数称为函数y =f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式若f ′(x ),g ′(x )存在,则有 (1)[f (x )±g (x )]′= ; (2)[f (x )·g (x )]′= ;(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= (g (x )≠0).[小题诊断]1.下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1+1x 2 B .(log 2x )′=1x ln 2C .(3x )′=3x log 3eD .(x 2cos x )′=-2sin x2.函数f (x )=(x +2a )(x -a )2的导数为( ) A .2(x 2-a 2) B .2(x 2+a 2) C .3(x 2-a 2)D .3(x 2+a 2)3.曲线y =sin x +e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A .x -3y +3=0 B .x -2y +2=0 C .2x -y +1=0D .3x -y +1=04.已知直线y =2x +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点(1,3),则实数b 的值为________. 5.已知函数f (x )=(2x +1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________.易错通关1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′=αx α-1与指数函数的求导公式(a x )′=a x ln a 混淆.2.求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.[小题纠偏]1.函数y =ln xex 的导函数为______________.2.已知直线y =-x +1是函数f (x )=-1a·e x 图象的切线,则实数a =________.核心考点 互动探究考点一 导数的运算 1.求y =x 2sin x 的导数.2.求y =-sin x2⎝⎛⎭⎫1-2cos 2x 4的导数.3.求y =11-x +11+x 的导数.4.求y =(x +1)(x +2)(x +3)的导数.思维升华导数运算的技巧考点二 导数的几何意义[锁定考向] 导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中、低档题.常见的命题角度有:(1)求切线方程;(2)求切点坐标;(3)根据参数切线的性质求参数. 角度一 求切线方程1.(1)经过原点(0,0)作函数f (x )=x 3+3x 2的图象的切线,则切线方程为________. (2)已知函数f (x )=(-x 2+x -1)e x ,其中e 是自然对数的底数,求曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线.方法技巧与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0,y 0)求斜率k ,即求该点处的导数值,k =f ′(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k .(3)求过某点M (x 1,y 1)的切线方程时,需设出切点A (x 0,f (x 0)),则切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0),再把点M (x 1,y 1)代入切线方程,求x 0. 角度二 求切点坐标 2.已知函数f (x )=x 3+x -16.(1)求曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l 为曲线y =f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.角度三 根据切线的性质求参数3.(1)若点P 是函数y =e x -e -x -3x ⎝⎛⎭⎫-12≤x ≤12图象上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( ) A.5π6 B.3π4C.π4D.π6(2)已知函数f (x )=(x +a )ln x ,若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线2x -y =0平行,求a 的值.方法技巧一般已知曲线上一点P (x 0,y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),确定该切线的斜率k ,再求出函数的导函数,然后利用导数的几何意义得到k =f ′(x 0)=tan α,其中倾斜角α∈[0,π),根据范围进一步求得角度α或有关参数的值.即时应用1.若幂函数f (x )=mx a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14,12,则它在点A 处的切线方程是( ) A .2x -y =0 B .2x +y =0 C .4x -4y +1=0D .4x +4y +1=02.已知曲线y =x 2-1在x =x 0处的切线与曲线y =1-x 3在x =x 0处的切线互相平行,则x 0的值为( )A .0B .23C .0或-23D .-233.曲线y =x 2+1x在点(1,2)处的切线方程为____________.4.曲线f (x )=ln x +12x 2+ax 存在与直线3x -y =0平行的切线,则实数a 的取值范围是________.5.设曲线y =1x 在点(1,1)处的切线与曲线y =e x 在点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为________.考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查导数的几何意义是课标卷命题考查的重点,常考查求切线方程及利用切线性质解决有关问题等,还与函数的图象与性质交汇考查,具有一定的综合性.(1)设函数y =x sin x +cos x ,且在图象上点(x 0,y 0)处的切线的斜率为k ,若k =g (x 0),则函数k =g (x 0)的图象大致为( )(2)已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________.方法技巧求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的2个注意点: 1.要注意函数相关性质在本课题中的作用.2.抓住导数的几何意义,利用函数性质或图象求解问题.即时应用1.已知函数f (x )=x 3+ax 2+(a +1)x 是奇函数,则曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为( ) A .y =xB .y =x +1C .y =1D .y =02.已知函数f (x )的图象如图所示,f ′(x )是f (x )的导函数,则下列正确的是( )A .0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)-f (2)B .0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)-f (2)C .0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2)D .0<f (3)-f (2)<f ′(2)<f ′(3)【参考答案】主干知识 自主排查1.函数y =f (x )在x =x 0处的导数 (1)lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx(2) (x 0,f (x 0)) 切线的斜率 y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0) 3.基本初等函数的导数公式 0αx α-1cos x -sin x e xa x ln a1x1x ln a4.导数的运算法则 (1) f ′(x )±g ′(x )(2) f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2[小题诊断]1.B【解析】⎝⎛⎭⎫x +1x ′=1-1x 2;(3x )′=3x ln 3;(x 2cos x )′=2x cos x -x 2sin x ,故选B. 2.C【解析】∵f (x )=(x +2a )(x -a )2=x 3-3a 2x +2a 3, ∴f ′(x )=3(x 2-a 2). 3.C【解析】∵y =sin x +e x ,∴y ′=cos x +e x ,∴y ′| x =0=cos 0+e 0=2, ∴曲线y =sin x +e x 在点(0,1)处的切线方程为y -1=2(x -0), 即2x -y +1=0.故选C. 4.3【解析】因为函数y =x 3+ax +b 的导函数为y ′=3x 2+a , 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3+a ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3+a =2,3=1+a +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3.5.3【解析】因为f (x )=(2x +1)e x , 所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x , 所以f ′(0)=3e 0=3.[小题纠偏]1.y ′=1-x ln xx e x2.e 2【解析】设切点为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=-1a ·0e x=-1,∴0e x=a ,又-1a·0e x =-x 0+1,∴x 0=2,a =e 2.核心考点 互动探究考点一 导数的运算1.解:y ′=(x 2)′sin x +x 2(sin x )′=2x sin x +x 2cos x .2.解:∵y =-sin x 2⎝⎛⎭⎫-cos x 2=12sin x ,∴y ′=⎝⎛⎭⎫12sin x ′=12(sin x )′=12cos x . 3.解:∵y =11-x +11+x =21-x ,∴y ′=⎝⎛⎭⎫21-x ′=-2(1-x )′(1-x )2=2(1-x )2. 4.解:∵y =(x 2+3x +2)(x +3)=x 3+6x 2+11x +6,∴y ′=3x 2+12x +11. 考点二 导数的几何意义 角度一 求切线方程 1.(1)y =0或9x +4y =0【解析】当(0,0)为切点时,f ′(0)=0,故切线方程为y =0.当(0,0)不为切点时,设切点为P (x 0,x 30+3x 20)(x 0≠0),则切线方程为y -(x 30+3x 20)=(x -x 0)·(3x 20+6x 0),切线过原点,所以x 30+3x 20=3x 30+6x 20,所以x 0=-32,此时切线方程为9x +4y =0. (2)解:因为f (x )=(-x 2+x -1)e x ,所以f ′(x )=(-2x +1)e x +(-x 2+x -1)e x =(-x 2-x )e x . 所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为k =f ′(1)=-2e.又f (1)=-e ,所以所求切线方程为y +e =-2e(x -1),即2e x +y -e =0. 角度二 求切点坐标2.解:(1)根据题意,得f ′(x )=3x 2+1.所以曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率k =f ′(2)=13, 所以要求的切线的方程为y =13x -32.(2)设切点为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f ′(x 0)=3x 20+1,所以直线l 的方程为y =(3x 20+1)(x -x 0)+x 30+x 0-16. 又直线l 过点(0,0),则(3x 20+1)(0-x 0)+x 30+x 0-16=0,整理得x 30=-8,解得x 0=-2,所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,l 的斜率k =13, 所以直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26). 角度三 根据切线的性质求参数 3.(1)B【解析】由导数的几何意义,k =y ′=e x +e -x -3≥2e x ·e -x -3=-1,当且仅当x =0时等号成立.即tan α≥-1,α∈[0,π).又-12≤x ≤12,tan α=k <0,所以α的最小值是3π4,故选B.(2)解:由题意知,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为2,所以f ′(1)=2. 因为f ′(x )=ln x +ax+1,所以f ′(1)=ln 1+a +1=a +1=2,a =1.即时应用1.C【解析】由f (x )=mx a 为幂函数,得m =1.因为点A ⎝⎛⎭⎫14,12在幂函数f (x )的图象上,代入可得a =12.则f ′(x )=12x ,故f (x )的图象在点A ⎝⎛⎭⎫14,12处的切线的斜率为f ′⎝⎛⎭⎫14=1.根据直线的点斜式方程可知要求的切线方程为y -12=x -14,化简可得4x -4y +1=0.故选C.2.C【解析】曲线y =x 2-1在x =x 0处的切线的斜率为0|x x y '==2x 0,曲线y =1-x 3在x =x 0处的切线的斜率为y ′|x =x 0=-3x 20.由题意,得2x 0=-3x 20,解得x 0=0或-23.故选C. 3.x -y +1=0【解析】因为y ′=2x -1x 2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x =1=2×1-112=1,所以切线方程为y -2=x -1,即x -y +1=0. 4.(-∞,1]【解析】由题意,得f ′(x )=1x +x +a ,故存在切点P (t ,f (t )),使得1t +t +a =3,所以3-a =1t +t 有解.因为t >0,所以3-a ≥2(当且仅当t =1时取等号),即a ≤1. 5.(0,1)【解析】由y =1x 得y ′=-1x 2,所以曲线y =1x 在点(1,1)处的切线的斜率k =-1,所以曲线y=e x 在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率为1.由y =e x ,得y ′=e x ,所以0e x=1,解得x 0=0,y 0=1,即点P (0,1).考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查 (1)A (2)y =-2x -1【解析】(1)y ′=x cos x ,k =g (x 0)=x 0cos x 0,由于它是奇函数,排除B ,C ; 当0<x <π4时,k >0,排除D ,故选A.(2)令x >0,则-x <0,f (-x )=ln x -3x ,又f (-x )=f (x ),∴f (x )=ln x -3x (x >0),则f ′(x )=1x-3(x >0),∴f ′(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y +3=-2(x -1),即y =-2x -1.即时应用1.A【解析】函数f (x )是奇函数,可得f (-x )=-f (x ), 即有-x 3+ax 2-(a +1)x =-x 3-ax 2-(a +1)x ,可得a =0,即f (x )=x 3+x ,f ′(x )=3x 2+1,可得曲线y =f (x )在x =0处的切线斜率为k =1,切点为(0,0),即曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y =x .故选A. 2.C【解析】由题意知,(2,f (2)),(3,f (3))两点连线的斜率为f (3)-f (2)3-2=f (3)-f (2),而f ′(2),f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2,f (2)),(3,f (3))处切线的斜率,由图象可知0<f ′(3)<f (3)-f (2)3-2<f ′(2),即0<f ′(3)<f (3)-f (2)<f ′(2).。

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和物理意义;2. 掌握导数的计算方法;3. 能够应用导数解决实际问题。

二、教学内容1. 导数的定义:引入极限的概念,讲解导数的定义及求导法则;2. 导数的计算:讲解基本函数的导数公式,四则运算法则,复合函数的链式法则;3. 导数的应用:讲解导数在实际问题中的应用,如运动物体的瞬时速度、加速度,函数的单调性、极值等。

三、教学重点与难点1. 导数的定义及求导法则;2. 导数的计算方法;3. 导数在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法,讲解导数的定义、求导法则及应用;2. 利用例题,演示导数的计算过程;3. 引导学生运用导数解决实际问题。

五、教学过程1. 引入极限的概念,讲解导数的定义:导数表示函数在某一点的瞬时变化率,通过极限的概念来理解导数;2. 讲解基本函数的导数公式,四则运算法则,复合函数的链式法则:引导学生掌握导数的计算方法;3. 利用例题,演示导数的计算过程:让学生通过例题,加深对导数计算方法的理解;4. 讲解导数在实际问题中的应用:如运动物体的瞬时速度、加速度,函数的单调性、极值等,培养学生运用导数解决实际问题的能力;5. 课堂练习:布置相关练习题,巩固所学知识。

教学评价:通过课堂讲解、例题演示、练习题等方式,评价学生对导数的概念、计算方法及应用的掌握程度。

六、教学拓展1. 导数的几何意义:讲解导数表示曲线在某一点的切线斜率,引导学生理解导数的几何interpretation;2. 导数与函数的单调性:讲解导数与函数单调性的关系,引导学生理解如何利用导数判断函数的单调性;3. 导数与函数的极值:讲解导数与函数极值的关系,引导学生如何利用导数求函数的极值。

七、教学案例分析1. 分析实际问题,引导学生运用导数求解:如物体运动的速度、加速度问题,函数的单调性问题等;2. 分析复杂函数的导数求解过程:引导学生理解并掌握复杂函数导数的求解方法。

大学导数的概念优质教案

大学导数的概念优质教案

课时:2课时教学目标:1. 理解导数的定义,掌握导数的概念。

2. 能够运用导数的概念解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

教学重点:1. 导数的定义。

2. 导数的几何意义和物理意义。

教学难点:1. 导数的定义的理解和应用。

2. 导数在解决实际问题中的应用。

教学准备:1. 多媒体课件。

2. 导数概念相关的教学视频。

3. 练习题。

教学过程:第一课时一、导入1. 回顾初中学过的函数概念,引导学生思考函数在某一点的变化率。

2. 提出问题:如何描述函数在某一点的瞬时变化率?二、新课讲授1. 引入导数的定义:设函数y=f(x)在x=x0的某个邻域内有定义,当自变量x从x0变到x0+h(h不为0)时,函数值从f(x0)变到f(x0+h),那么函数值的变化量△y=f(x0+h)-f(x0),自变量的变化量△x=h。

当h→0时,如果极限存在,则称此极限值为函数y=f(x)在点x=x0的导数,记作f'(x0)或dy/dx|x=x0。

2. 讲解导数的几何意义:导数f'(x0)表示函数y=f(x)在点x=x0处的切线斜率。

3. 讲解导数的物理意义:导数f'(x0)表示物体在x=x0处的瞬时速度。

4. 通过实例讲解导数的计算方法。

三、课堂练习1. 计算函数f(x)=x^2在x=1处的导数。

2. 计算函数f(x)=lnx在x=1处的导数。

四、小结1. 总结导数的定义、几何意义和物理意义。

2. 强调导数在解决实际问题中的应用。

第二课时一、复习导入1. 复习上一节课的内容,引导学生回顾导数的定义和几何意义。

2. 提出问题:导数在解决实际问题中有哪些应用?二、新课讲授1. 介绍导数在经济学中的应用:例如,计算成本函数、收入函数、利润函数的边际值。

2. 介绍导数在物理学中的应用:例如,计算速度、加速度、位移等物理量的瞬时值。

3. 介绍导数在工程学中的应用:例如,计算曲线的斜率、切线、法线等。

导数的概念及运算--附答案

导数的概念及运算--附答案

3.1导数的概念及运算(学案) 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为:【二.导数的运算公式】①()c '= ;②()nx '= ;③(sin )x '= ;④(cos )x '= ;⑤()xa '= ;⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ;⑧(ln )x '= ;⑨1()x'=;⑩'= ; 【三.导数的运算法则】①.和差的导数:[()()]f x g x '±= ;②.[()]C f x '⋅= ;其中C 为常数。

③.积的导数:[()()]f x g x '= ;④.商的导数:()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u ',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y ',则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数,且x y '=__ ______, 【五.求导】1.求导:①)5'⋅xa x (=5x 4·a x +x 5·a x ln a;② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2.已知 f (x )=x 2+3x (2)f ',则(2)f '=__-2___.3.求函数y =(x -1)(x -2)·…·(x -100) (x >100)的导数.解析:两边取对数得ln y =ln(x -1)+ln(x -2)+…+ln(x -100).两边对x 求导:y ′y =1x -1+1x -2+…+1x -100.∴y ′=⎝⎛⎭⎫1x -1+1x -2+…+1x -100·(x -1)(x -2)·…·(x -100).【六.导数的几何意义】4.已知曲线y =13x 3+43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.解 (1)∵y =13x 3+43,∴y ′=x 2,∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x =2=4 由y -4=4(x -2),得4x -y -4=0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x -y -4=0(2)设曲线y =13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0,13x 30+43 则切线的斜率k =y ′|x =x 0=x 20. ∴切线方程为y -⎝⎛⎭⎫13x 30+43=x 20(x -x 0),即y =x 20x -23x 30+43∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 20-23x 30+43即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 20+4=0, ∴x 20(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0, ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=05.在平面直角坐标系xOy 中,已知P 是函数f (x )=e x (x >0)的图象上的动点,该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____. 解析:设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-,过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+,00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-,所以,t 在(0,1)上单调增,在(1,)+∞单调减,max 11()2t e e=+。

高等数学导数的概念教案

高等数学导数的概念教案

1. 让学生理解导数的概念,掌握导数的定义和性质。

2. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握求导数的基本方法。

二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的性质3. 求导数的方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点:导数的定义、性质和求导数的方法。

2. 难点:导数的直观理解和求复杂函数的导数。

四、教学过程1. 导入:通过生活中的实例,如速度、加速度等,引导学生思考导数的概念。

2. 讲解:讲解导数的定义,引导学生理解导数的几何意义。

3. 练习:让学生独立完成一些简单函数的导数计算,巩固导数的求法。

4. 应用:结合实际问题,让学生运用导数解决问题,体会导数的应用价值。

5. 总结:对本节课的内容进行总结,强调导数的重要性和求导数的方法。

五、课后作业1. 完成教材上的课后练习题。

2. 找一些实际问题,运用导数解决。

3. 复习本节课的内容,准备下一节课的学习。

1. 评价学生对导数概念的理解程度。

2. 评价学生掌握导数性质和求导数方法的情况。

3. 评价学生在实际问题中运用导数的熟练程度。

七、教学策略1. 采用生动的生活实例引入导数概念,提高学生的学习兴趣。

2. 通过多媒体手段展示导数的几何意义,增强学生的直观感受。

3. 设计具有梯度的练习题,让学生在实践中掌握求导数的方法。

4. 鼓励学生参与课堂讨论,提高学生的思维能力和解决问题的能力。

八、教学资源1. 教材:高等数学导数部分。

2. 多媒体课件:用于展示导数的几何意义和实例分析。

3. 练习题库:用于巩固所学知识和提高解题能力。

4. 网络资源:用于拓展学生视野,了解导数在实际应用中的广泛性。

九、教学反思在教学过程中,要及时关注学生的学习反馈,根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。

针对学生的薄弱环节,要加强针对性训练,提高学生的理解能力和应用能力。

注重培养学生的数学思维,激发学生学习高等数学的兴趣。

十、教学拓展1. 导数在微积分学中的应用:极限、积分等。

导数的概念教学设计方案

导数的概念教学设计方案

1. 知识目标:理解导数的概念,掌握导数的定义、几何意义和物理意义。

2. 能力目标:培养学生运用导数解决实际问题的能力,提高学生的数学思维能力。

3. 情感目标:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学重难点1. 教学重点:导数的概念、几何意义和物理意义。

2. 教学难点:导数的定义及运用。

三、教学过程1. 导入新课通过回顾函数、极限等知识点,引导学生思考导数的概念。

教师可以提出问题:“如何求函数在某一点的瞬时变化率?”以此激发学生的学习兴趣。

2. 导数概念的教学(1)介绍导数的定义:导数是函数在某一点处的瞬时变化率。

通过几何直观,引导学生理解导数的定义。

(2)举例说明导数的几何意义:导数表示函数在某一点处的切线斜率。

(3)举例说明导数的物理意义:导数表示物体在某一点处的速度。

3. 导数的计算方法(1)讲解导数的定义法:运用导数的定义求解函数在某一点的导数。

(2)讲解导数的四则运算法则:运用导数的四则运算法则求解复合函数的导数。

(3)讲解求导公式和求导法则:通过举例讲解求导公式和求导法则,如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。

4. 实例分析通过实例分析,让学生运用所学知识解决实际问题,如求曲线在某一点的切线方程、求曲线的拐点等。

5. 课堂小结教师总结本节课的主要内容,强调导数的概念、几何意义和物理意义,以及导数的计算方法。

6. 作业布置布置相关练习题,巩固学生对导数的理解,提高学生的解题能力。

四、教学反思1. 教学过程中,注重引导学生理解导数的概念,避免死记硬背。

2. 通过实例分析,让学生将所学知识运用到实际问题中,提高学生的实际应用能力。

3. 在教学中,注重培养学生的探究精神和合作意识,鼓励学生积极参与课堂讨论。

4. 关注学生的学习进度,针对学生的不同需求,进行个性化辅导。

五、教学评价1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与度、积极性。

2. 作业完成情况:检查学生对导数概念的理解程度和运用能力。

导数的概念(学案)

导数的概念(学案)

课 题导数的概念 课 型 新授 时 间09/ 9 / 课程标准1、理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法; 理解导数的几何意义;理解导函数的概念和意义;2、掌握利用定义求函数的导(函)数的基本步骤;3、会用定义求解函数的切线方程。

学习重点1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用一、自主学习1、求函数2)(x x f =在点(2,4)处的切线斜率。

2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ,求o t t =时的瞬时速度。

3.上述两个函数)(x f 和)(t V 中,当x ∆(t ∆)无限趋近于0时,t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳:一般的,定义在区间(a ,b )上的函数)(x f ,)(b a x o ,∈,当x ∆无限趋近于0时,xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ,则称)(x f 在o x x =处可导,并称A 为)(x f 在o x x =处的导数,记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 上述两个问题中:(1)4)2('=f ,(2)o o t t V 2)('=我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

(即导数的几何意义) 4.自学检测:(1)见课本(文P66,理P14)练习第1题: ; ;(说明什么? ) 第2题:(1) ;(2) ;(3) 。

(2)见课本(文P67,理P16)习题第2题:=)5(f ;=)5('f ;第4题:斜率为 ;切线方程为 。

学习反思:5.求导数的基本步骤:二、问题探究 问题1:割线逼近切线的方法的理解见课本(文P67,理P16)习题:第5题 ;第6题 。

小结1:问题2:导数概念的理解 若函数)(x f 满足2)1('=f ,则当x 无限趋近于0时,(1)=-+x f x f 2)1()1( = ; (2)=-+x f x f )1()21( = 。

导数的概念教案

导数的概念教案

导数的概念教案教案名称:导数的概念教案教学目标:1. 了解导数的概念及其意义;2. 理解导数的计算方法;3. 掌握导数的性质和应用;4. 能够应用导数解决实际问题。

教学准备:1. 打印教学材料,包括导数的定义和计算方法;2. 准备多个实例进行演示;3. 录制导数的演示视频或准备PPT。

教学流程:引入导数概念(10分钟)1. 显示导数的定义:导数是描述函数在某一点附近的变化率的量,也可看作是函数图像在某一点处的切线斜率。

2. 解释导数的意义:导数可以告诉我们函数在某点的瞬时变化速率。

比如,如果一个函数的导数为正,表示函数在该点上升;若导数为负,表示函数在该点下降;若导数为零,表示函数在该点处于极值。

3. 引导学生举例说明导数在实际生活中的应用场景,如速度为时间的导数,可以表示物体的加速度;收入为销售额的导数,可以表示销售额的增长速率等。

导数的计算方法(20分钟)1. 讲解导数的计算方法:导数的计算方法有多种,主要介绍以下几种:a. 使用定义计算导数:利用导数的定义公式,计算函数在某一点处的导数,即导数等于函数在该点的极限。

b. 使用公式计算导数:介绍常用函数的导数公式,如幂函数、指数函数、对数函数等。

c. 使用求导法则:介绍导数四则运算法则,如求和法则、差法则、积法则和商法则,以及复合函数求导法则等。

2. 举例演示导数的计算方法:通过几个具体的函数例子,进行导数的计算演示,包括使用定义计算导数、使用公式计算导数和使用求导法则计算导数。

导数的性质和应用(20分钟)1. 解释导数的性质:导数的性质有连续性、可导性和递增、递减性等,侧重讲解连续性和可导性的概念和性质。

2. 展示导数的应用:介绍导数在数学和实际问题中的应用,如极值问题、最优化问题、函数图像的绘制等。

解决实际问题(10分钟)1. 给学生提供几个实际问题,让他们应用导数求解,如最大值问题、最小值问题、最优化问题等。

2. 引导学生分析问题,提供解决问题的导数计算方法。

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》word版第一章:导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念,如物体运动的速度、温度变化等。

引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。

1.2 导数的定义介绍导数的定义:函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

解释导数的几何意义:函数图像在某一点的切线斜率。

强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

1.3 导数的计算介绍导数的计算方法:极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。

强调导数计算中需要注意的问题,如函数的连续性、可导性等。

1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用,如最优化问题、物理运动问题等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第二章:导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质,如单调性、连续性、可导性等。

通过实例引导学生理解导数性质的应用。

2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则,如四则运算法则、复合函数运算法则等。

利用导数的运算法则进行函数求导。

2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第三章:函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念,如何判断函数的单调性。

利用导数判断函数的单调性。

3.2 函数的极值介绍函数极值的概念,如何求解函数的极值。

利用导数求解函数的极值。

3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念,如何求解函数的拐点。

利用导数求解函数的拐点。

第四章:导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。

解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。

4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。

解释最值问题的实际意义,如成本最小化、收益最大化等。

4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。

解释切线与法线的概念及几何意义。

第五章:高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念,如何求解高阶导数。

强调高阶导数在实际问题中的应用,如加速度与瞬时加速度的关系。

导数的概念学案

导数的概念学案

§3.1.2导数的概念
[自学目标]:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数. 学习过程
一[知识梳理]:
(1)瞬时速度的概念:
我们把瞬时速度.
(2)导数的概念:
一般地,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作
即:
说明: (1)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在.
(2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可以为0
(3)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度.
二[合作探究]
例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原
油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油
0x x ∆y ∆x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/)(x f y =0x )(x f y =0x
温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
三[当堂检测]
1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度.
2.求曲线x x x f +=2-)(在1x =时的导数.
四[课堂小结]
利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-; 第二步:求平均变化率
0()f x x y x x
+∆∆=∆∆; 第三步:取极限得导数00()lim x y f x x ∆→∆'=∆。

导数的概念教(学)案

导数的概念教(学)案

【教学课题】:§2.1 导数的概念(第一课时)【教学目的】:能使学生深刻理解在一点处导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背景并给出物理、几何解释;能够从定义出发求某些函数在一点处的导数;明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】:在一点处导数的定义。

【教学难点】:在一点处导数的几种等价定义及其应用。

【教学方法】:系统讲授,问题教学,多媒体的利用等。

【教学过程】:一) 导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。

导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat )为研究极值问题而引入的,但导数作为微积分的最主要的概念,却是英国数学家牛顿(Newton )和德国数学家莱布尼兹(Leibniz )在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二)两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1 (以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景)已知:自由落体运动方程为:21()2s t gt =,[0,]t T ∈,求:落体在0t 时刻(0[0,]t T ∈)的瞬时速度。

问题解决:设t 为0t 的邻近时刻,则落体在时间段0[,]t t (或0[,]t t )上的平均速度为00()()s t s t v t t -=-若0t t →时平均速度的极限存在,则极限00()()limt t s t s t v t t →-=-为质点在时刻0t 的瞬时速度。

问题2 (以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景)已知:曲线)(x f y =上点00(,)M x y ,求:M 点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义;设曲线C 及曲线C 上的一点M ,如图,在M 外C 上另外取一点N ,作割线MN ,当N 沿着C 趋近点M 时,如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ,直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

问题解决:取在C 上M 附近一点(,)N x y ,于是割线PQ 的斜率为0000()()tan y y f x f x x x x x ϕ--==--(ϕ为割线MN 的倾角) 当0x x →时,若上式极限存在,则极限00()()tan limx x f x f x k x x α→-==-(α为割线MT 的倾角)为点M 处的切线的斜率。

导数的概念教案

导数的概念教案

导数的概念教案封面(学校名称、课程名称、教学周次、教案版本)导数是微积分中的重要概念,理解导数的概念对于学生深入学习微积分的其他内容具有重要的意义。

本教案旨在帮助学生全面理解导数的概念,并通过实际例子和图形来巩固学习成果。

教学目标1. 了解导数的定义和符号表示。

2. 理解导数的几何意义和物理意义。

3. 能够计算基本函数的导数。

4. 熟练运用导数在实际问题中的应用。

教学过程导入(5分钟)教师可以通过提问引导学生回顾斜率的概念,以复习函数的平均变化率。

引入导数概念(10分钟)- 引导学生思考:在直线上,两点之间的斜率是如何计算的?如何将斜率推广到曲线上?- 介绍导数的定义:对于函数f(x),导数f'(x)表示函数在某一点x处的变化率。

- 解释导数的符号表示:f'(x)、dy/dx、df(x)/dx。

导数的几何意义(15分钟)- 引导学生思考:导数反映了函数曲线在某点处的切线斜率,那么导数的正负与函数曲线的上升和下降有何关系?- 通过绘制函数图像和切线来说明导数的几何意义。

- 引导学生理解导数为正时函数曲线上升,导数为负时函数曲线下降。

导数的物理意义(10分钟)- 通过实际例子引导学生理解导数的物理意义。

- 以匀速直线运动为例,解释速度与位移的关系。

- 引导学生思考:速度的变化率是加速度,那么速度函数的导数代表了什么?计算基本函数的导数(15分钟)- 介绍常见函数的导数公式,并通过实例演示计算过程。

- 常见函数包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

导数的应用(20分钟)- 引导学生思考导数在实际问题中的应用。

- 以变化率、极值、拐点和图形绘制为例,解释导数在这些问题中的作用。

- 通过例题让学生运用导数解决实际问题。

总结(5分钟)- 请学生回答概念问题:导数的几何意义是什么?导数的物理意义是什么?- 强调导数对于微积分的学习的重要性,并展示导数在其他微积分概念中的应用。

巩固练习(15分钟)- 提供一些导数相关的练习题,让学生巩固所学的知识。

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忻州二中高一数学学科学案
(选修2-2)第 一 章 导数及其应用
第1.1.1-1.1.2节 导数的概念(第1课时)
(主编 :薛富旭 审核: 终审: 编号 :22101 启用: )
【学习目标】
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数。

【文本研读】研读要求:阅读课本2-6页完成下列问题:
1、 什么是函数的平均变化率?
2、 根据导数的定义,求函数0)(x x f y 在 处导数的步骤是什么?
3、 你是如何理解导数的概念?
【思维导图】
【尝试探究】
DC 复述识记:
1、复述导数的概念
2、识记求函数0)(x x f y 在=处导数的步骤
DC 阅读思考 :
意义题中平均变化率的几何、,分析若设和平均变化率时,函数增量,且求当和平均变化率
时,函数增量,且求当已知函数)2()1()3(1.04)2(14)1(5
32)(12112x x x x
y y x x x y
y x x x x x f ∆+=∆∆∆=∆=∆∆∆=∆=-+=
DC 针对练习:
[]时的瞬时速度
)求质点在(这段时间的平均速度)求质点在
(表示时间
表示位移,其中、一质点的运动方程为121,11,3812=∆+-=t t t s t s
处的导数在、求函数2422==
x x
y
BA 典型强化:
h h x f h x f x x f x x f x x f h x 2)()(2)()(1)(1000000
0lim lim --+∆-∆-→→∆)()(限的值
处可导,试求下列各极在点、设函数
处是否可导在判断函数)()(、已知函数1)()1(12
1)1(121)(22=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+=x x f x x x x x f
BA 自主设计:
重点备展与参展内容:__________________________________________
【学程总结】 课前疑惑:
课间得失:
学班 学组 姓名。

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