新人教版数学八年级上册 小专题(二) 三角形内角和与外角的几种常见应用

小专题( 二)三角形内角和与外角的几种常见应
用
三角形的内角和为180°,三角形的中线、高线、角平分线是三角形的三条特殊线段,它们之间形成的特殊角与三角形的内角之间存在一定的数量关系,是考试命题中的热点,也是一些探究题的命题素材.解题时注意利用转化的思想和数形结合的思想来求解,学习时注意及时总结规律.
类型1三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用一般都需要将不相邻的角转化成同一个三角形中的内角,在解题时要关注“8字形”中对顶角相等的关系.
1.( 青海中考)小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起,其中∠E=90°,∠
C=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠1+∠2等于( C)
A.150°
B.180°
C.210°
D.270°
2.已知在△ABC中,∠ABC-∠ACB=20°,∠ACB的度数是∠BAC度数的求∠ABC的度数.
解:设∠ACB=x,则∠ABC=x+20°,∠BAC=2x,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴x+20°+x+2x=180°,解得x=40°,∴∠ABC=60°.
类型2三角形外角性质定理的应用
三角形外角性质定理的应用也需要用到“转化”思想去解题,在解题时运用恰当可以达到事半功倍的效果,难点在于在众多的三角形中正确找出某个三角形的外角并灵活运用转化思想解题.
3.如图,图中x的值为( B)
A.50
B.60
C.70
D.75
4.如图,直线a∥b,c,d是截线且交于点A,若∠1=60°,∠2=100°,则∠A等于( A)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
5.如图,EP平分∠AED,FP平分∠AFB,ED与FB相交于点C,请你找出∠P,∠A,∠ECF之间的一个确定的数量关系式,并说明理由.
解:∠A+∠ECF=2∠P.
理由:延长EP交AF于点G,则∠EPF=∠PGF+∠AFP.
∵∠PGF=∠A+∠AEP,∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠AFP.
∵∠ECF=∠CDF+∠CFD,∠CDF=∠A+∠AED,
又∵EP平分∠AED,FP平分∠AFB,
∴∠ECF=∠A+∠AED+∠CFD=∠A+2∠AEP+2∠AFP,
∴∠A+∠ECF=2∠A+2∠AEP+2∠AFP=2∠EPF.
类型3三角形内角和与外角性质定理的综合应用
这类题一般都是不规则的多边形,解决此类问题除了运用前面介绍的转化思想之外,还可以借助辅助线,结合平行线的性质等知识综合解决问题.
6.已知三角形的三个内角的比为1∶3∶6,则它对应的三个外角的比为( C)
A.1∶3∶6
B.6∶3∶1
C.9∶7∶4
D.3∶5∶2
7.如图,七角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.
8.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上任意一点,点E在AC边上,且∠ADE=∠AED. ( 1 )若∠BAD=40°,求∠EDC的度数;
( 2 )若∠EDC=15°,求∠BAD的度数;
( 3 )根据上述两小题的答案,试写出∠EDC与∠BAD的关系.
解:( 1 )∵∠B=∠C=( 180°-∠BAC)=90°-BAC,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=130°-BAC.
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=∠BAC-40°,
∴∠ADE=∠AED=( 180°-∠DAC)=110°-BAC,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=130°-BAC--=20°.
( 2 )∵∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=2∠EDC+∠C.
∵∠B=∠C,∠EDC=15°,∴∠BAD=2∠EDC=30°.
( 3 )∠EDC=BAD.
类型4三角形特殊线段形成的角
解决这类题的关键在于梳理三种特殊线段各自的特征.( 1 )角平分线的特征:所分成的两个角相等;( 2 )中线的特征:所分成的两个三角形面积相等;( 3 )高线的特征:所分成的两个三角形都是直角三角形.
9.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P等于( C)
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
10.如图,已知AD是△ABC的角平分线( ∠ACB>∠B),EF⊥AD于点P,交BC的延长线于点M.
求证:( 1 )如果∠ACB=90°,则∠M=∠1;
( 2 )∠M=( ∠ACB-∠B).
证明:( 1 )∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2.
∵EF⊥AD,∴∠2+∠AFP=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
∵∠CFM=∠AFP,∴∠M=∠2=∠1.
( 2 )∵EF⊥AD,AD平分∠BAC,
∴∠APE=∠APF=90°,∠1=∠2.
又∵∠AEF=90°-∠1,∠AFE=90°-∠2,
∴∠AEF=∠AFE.
∵∠CFM=∠AFE,∴∠AEF=∠AFE=∠CFM.
∵∠AEF=∠B+∠M,∠CFM=∠ACB-∠M,
∴∠B+∠M=∠ACB-∠M,即∠M=( ∠ACB-∠B).
11.在△ABC中,∠A=64°,角平分线BP,CP相交于点P.
( 1 )如图1,若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=122°;
( 2 )如图2,若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=58°;
( 3 )如图3,若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC=32°;
( 4 )由( 1 )( 2 )( 3 )可知∠BPC与∠A有着密切的数量关系,请写出你的发现.解:( 4 )若BP,CP是两内角的平分线,则∠BPC=90°+A;
若BP,CP是两外角的平分线,则∠BPC=90°-A;
若BP,CP分别是一内角和一外角的平分线,则∠BPC= A.。