初三二次函数回顾与思考
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思在中考数学考试中，二次函数作为一个重点考查内容，具有重要的原因和意义。
本文将分析二次函数作为中考重点考查内容的原因，并对教学进行反思，以期提高学生的学习效果和应试能力。
一、二次函数的重要性及应用背景1. 与实际问题紧密相关二次函数在实际世界中有着广泛的应用，例如物体的抛射运动、抛物线的轨迹等等。
掌握二次函数的概念和性质，对于学生理解和应用数学知识到实际问题解决中起到了关键作用。
2. 发展数学思维二次函数作为高中数学的重要内容，涉及到函数的图像、变化趋势、极值点等概念和计算方法。
通过学习二次函数，学生可以培养和发展数学思维，提高逻辑推理和问题解决能力。
3. 培养创新能力二次函数作为重点考查内容，考察学生在解决实际问题时的创新能力。
通过解析几何、图像分析等方法，学生需要将数学理论与实际问题相结合，从而培养学生的创新思维和动手能力。
二、教学反思及改进措施1. 提高教学方法的多样性二次函数教学要注重培养学生的兴趣和主动参与，可以通过多媒体展示、实例分析等方式，加深学生对概念和性质的理解。
同时，可以增加小组合作学习的环节，让学生相互讨论、解决问题，提高教学的互动性和趣味性。
2. 引导学生理解与应用的结合针对二次函数的应用背景，教师应引导学生从实际中找到数学概念的具体应用，并培养学生解决实际问题的能力。
可以通过案例分析和实际模拟等方式，让学生将数学知识灵活运用到实际中，加深对知识的理解和记忆。
3. 针对性强化习题训练为了提高学生的应试能力，教师应及时纠正学生的错误并针对性地强化训练。
可以结合历年真题或模拟试题，针对性地组织习题训练，让学生熟悉考试题型和解题技巧，提高解题速度和准确度。
4. 增加拓展性教学在学生掌握基础知识之后，可以适当增加一些拓展性的教学和学习内容。
例如，介绍更高阶的多项式函数、不等式、函数的复合等内容，拓宽学生的数学视野，提高学生的学习兴趣和思维能力。
九年级数学下册《二次函数》教学反思范文(4篇)
九年级数学下册《二次函数》教学反思范文（4篇）九年级数学下册《二次函数》教学反思1二次函数对学生来讲，既是难点又是重点，通过我对这一章的教学，让我学到许多道理和教学方法。
下面是我对二次函数的复习课的一些反思感受：首先，我认为在课堂上，我对学问的把握还是有肯定的欠缺，把二次函数用自己的眼光和感受想象的太简洁，但是对于学生而言，这又是一个重点，尤其是一个难点。
所以我课堂上有的习题深度没有把握好，没有做到面对全体。
其次，本节课表达的是分层教学，而我只是在后面的竞赛中简洁的表达分层，对于提问中得分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应当真正的站在学生的角度来分层。
第三，课堂上的语言不够精辟，尤其是评价性的话语很少，很单调。
没有做到让学生为我的一句话而兴奋，没有由于为了争得我的一句话而好好做题等等，这是我始终以来欠缺的一个重要点。
那么针对以上几点，我从自己的角度思索，收获了以下这些：1.上课之前肯定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课学问的“灵魂”，然后站在学生的角度，认真讨论，如何讲授学生们才能情愿听，才能听得明白。
尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危急之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光。
真正做到“低起点”。
2.既然选择和实施了分层教学，就应当多下功夫去琢磨，去进展它。
既然是分层就应当把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。
在分层的同时应当找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应当全班都能够把握的。
对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应当在课下，或者是采纳小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的力量把题目难度定的过高。
再者，分层应当表达在一节课的全部环节，例如，在提问时，对于一个问题应当分层次来提，来答复。
3.应当准时地，快速的提高自己的言语水平。
一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等。
北师大版九年级数学《二次函数》回顾与思考教案
【教学目标】1.复习和巩固二次函数的基本概念和性质；2.通过回顾，检查学生对二次函数的理解程度，并帮助学生弄清关键概念和解题思路；3.培养学生的分析、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
【教学重点】1.梳理二次函数的基本概念和性质；2.提供典型例题，帮助学生掌握解题思路；3.引导学生探究二次函数的应用领域。
【教学难点】1.通过合理的引导和问题导向，帮助学生运用所学知识解决实际问题；2.让学生了解二次函数在自然界和社会生活中的应用。
【教学过程】【导入】引入二次函数的概念：放映一段优秀的科普视频，引起学生对二次函数的兴趣，并回顾二次函数的定义和性质。
【讲授】1.复习与总结回顾并总结二次函数的定义、一般式、顶点式、轴对称式等表示方法，并归纳总结二次函数的性质。
2.典型例题讲解提供一些典型的二次函数问题，帮助学生巩固概念，并引导学生掌握解题思路和方法，例如：例题1：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点是(1, -2)，且经过点(-1, 4)，求a、b、c的值。
例题2：若抛物线y = ax^2 + 2ax - 3与x轴交于点A、B，交点A在点(-1, 0)的左边，且AO是x轴的中线，求a的取值范围。
3.实际应用通过介绍二次函数在自然界和社会生活中的应用，引导学生了解二次函数在实际问题中的作用。
例如：抛物线的运动轨迹、桥梁的设计、物体自由落体的运动等。
【练习】对所学知识进行巩固与运用，提供一些练习题，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
【拓展】引导学生进一步探索，拓宽知识面，例如引导学生理解二次函数图象的平移、伸缩等变化。
【归纳总结】通过本节课的学习，学生总结本节课的重点内容和解题方法，归纳反思学习中出现的问题和不足之处。
【课堂小结】对本节课的学习内容进行总结，引导学生思考并提问，对学生的学习情况进行梳理和分析。
【作业布置】布置一些练习题作为课后作业，巩固所学知识，并提醒学生及时复习课堂内容。
关于二次函数的反思
关于二次函数的反思二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中最常见的一类函数。
它的标准形式是y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数具有许多独特的性质和特点，通过对二次函数的学习与反思，我深刻体会到了它的重要性和应用价值。
首先，二次函数在实际生活中有广泛的应用。
二次函数可以描述很多实际问题中的变化关系，比如抛物线的运动轨迹、物体的抛射运动、弹簧的拉伸与回弹等等。
深入研究二次函数，我们能够更好地理解这些问题，并能应用二次函数的理论知识解决实际问题，提高生活的质量和效率。
其次，通过学习二次函数，我认识到数学中的抽象思维对于问题的解决至关重要。
二次函数是对实际问题的抽象，通过建立函数关系来描述实际问题。
我们需要运用抽象思维，将实际问题抽象成数学问题，再通过对数学问题的研究来解决实际问题。
在这个过程中，我们需要进行变量的定义与运算，假设条件的引入与分析，得出结论，并加以验证。
这培养了我的逻辑思维和分析问题的能力，使我能够用数学的方式解决其他领域的问题。
另外，二次函数的图像特点给了我对函数的几何意义的理解。
二次函数的图像是一个抛物线，在平面上表现出独特的形态。
通过观察和分析抛物线的对称轴、顶点、开口方向等特点，我对函数的几何意义有了更深的认识。
在解题时，通过研究抛物线的图像，我们可以确定函数的性质，找出函数的最值点，进而进行问题的解答。
因此，对二次函数图像的理解有助于我们在实际问题中更好地应用函数的概念。
此外，二次函数的变化规律也引发了我对函数的持续研究的兴趣。
二次函数的图像的开口方向、开口大小、顶点位置等与系数a、b、c的取值有关。
通过改变这些系数的值，我们可以得到不同的二次函数，并分析它们之间的异同。
这使我对函数的种类、性质和变化规律有了更深入的了解。
同时，我也开始探索更高次的函数，如三次函数、四次函数等，并学会利用数学软件进行函数图像的绘制与观察。
这不仅增加了我的数学兴趣，也拓宽了我的数学视野。
二次函数教学反思(通用20篇)
二次函数教学反思（通用20篇）二次函数教学反思 1教学中，对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。
分三步来展开这部分的内容。
第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的`二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。
第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。
第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。
除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用二分法求方程的近似解，以及几种不同增长的函数模型。
教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象或工具，将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体。
教学中应当注意贯彻教科书的这个意图，是学生经历函数模型应用的完整。
二次函数教学反思 2这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。
花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受二次函数性质是困难的。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
中考二次函数复习反思
中考⼆次函数复习反思中考⼆次函数复习反思 ⼆次函数最⾼次必须为⼆次,⼆次函数的图像是⼀条对称轴与y轴平⾏或重合于y轴的抛物线。
以下这篇中考⼆次函数复习案例反思内容是由⼩编为⼤家精⼼整理提供，欢迎阅读! 中考⼆次函数复习案例与反思 ⼀、背景说明 这是九年级刚上完⼆次函数新课后的⼀堂复习课,本堂课的⽬的是通过⽤多种⽅法求⼆次函数的解析式,从⽽培养学⽣的⼀题多解能⼒及探索意识. ⼆、探究与讨论 问题:已知⼆次函数的图象过点(1,0),在y轴上的截距为3,对称轴是直线x=2,求它的函数解析式. (给学⽣充分的思考时间) 师: 哪位同学能把解法说⼀下? ⽣A: 解:设⼆次函数解析式为y=ax2+bx+c,把(1,0),(0,3)代⼊,得 a+b+c=0 c=3 ⼜因为对称轴是x=2,所以-b/2a=2 所以得 a+b+c=0 c=3 -b/2a=2 解得 a=1 b=-4 c=3 所以所求解析式为y=x2-4x+3 师: 两点代⼊⼆次函数⼀般式必定出现不定式,能想到对称轴,从⽽以三元⼀次⽅程组解得a,b,c,不错!除此⽅法外,还有没有其他⽅法,⼤家可以相互讨论⼀下. (同学们开始讨论,思考) ⽣B: 我认为此题可⽤顶点式,即设⼆次函数解析式为y=a(x-2)2+k,把(1,0),(0,3) 代⼊,得 a+k=0 4a+k=3 解得 a=1 k=-1 故所求⼆次函数的'解析式为y= (x-2)2-1,即y=x2-4x+3 师: ⾮常好.那还有没有其他⽅法,请⼤家再思考⼀下. (学⽣沉默⼀会⼉,有⼈举⼿发⾔) ⽣C: 因为对称轴是直线x=2,在y轴上的截距为3,我认为该⼆次函数解析式可设为y=ax2-4ax+3,在把(1,0)代⼊得a-4a+3=0,解得a=1,所以所求解析式为y=x2-4x+3 师: 设得巧妙,这个函数解析式只含⼀个字母,这给运算带来很⼤⽅便,很好,很善于思考.⼤家再想想看,是否还有其他解题途径. (学⽣们⼜挖空⼼思地思考起来,终于有⼀学⽣打破沉寂) ⽣D: 由于图象过点(1,0), 对称轴是直线x=2,故得与x轴的另⼀交点为(3,0),所以可⽤两根式设⼆次函数解析式为y=a(x-1)(x-3), 再把(0,3)代⼊, 得a=1, 所以⼆次函数解析式为y= (x-1)(x-3) ,即y=x2-4x+3 (同学们给⽣D以热烈的掌声) 师: 函数本⾝与图形是不可分割的,能数形结合,⾮常不错,⽤两根式解此题,⾮常独到. (⾄此下课时间快到,原先设计好的三题只完成⼀题,但看到学⽣的探索的可爱劲,不能按课前安排完成内容⼜有何妨呢?) 师: 最后,请同学们想⼀下,通过本堂课的学习,你获得了什么? ⽣1:我知道了求⼆次函数解析式⽅法有: ⼀般式,顶点式,两根式. ⽣2:我获得了解题的能⼒,今后做完⼀道题⽬,我会思考还有没有更好的⽅法. 三、回顾与反思 1.每⼀个学⽣都有丰富的知识体验和⽣活积累,每⼀个学⽣都会有各⾃的思维⽅式和解决问题的策略.⽽我对他们的能⼒经常低估,在以往的上课过程中,总喋喋不休,深怕讲漏了什么,但⼀堂课下来,学⽣收获甚微.本堂课,我赋予学⽣较多的思考和交流的机会,试着让学⽣成为数学学习的主⼈,我⾃⼰充当了⼀回数学学习的组织者,没想到取得了意想不到的效果,学⽣不但能⽤⼀般式,顶点式解决此题,还能深层挖掘巧妙地⽤两根式解决此题,学⽣的潜⼒真是⽆穷. 2. 通过本堂课的教学,我想了很多.新课程改⾰要求教师要有现代的教学观、学⽣观，才能培养出具有创新精神和实践能⼒的下⼀代。
数学人教版九年级上册二次函数思考与回顾
二次函数思考与回顾一. 教学内容：1. 二次函数的概念2. 二次函数y ＝（≠0）的图像及性质、最值问题3. 二次函数表达式的确定4. 二次函数的平移问题5. 二次函数与一元二次方程的关系6. 二次函数的实际应用二. 知识要点与学习：二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。
其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。
目前的中考正面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数与图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容，目的是考查学生分析和理解问题的能力。
1. 二次函数的概念①一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．例：已知函数y=（m+2） ++6是关于x 的二次函数.求:满足条件的m 的值.分析：由二次函数的概念，可以得到，且≠0，所以解得或m=2.2. 二次函数y ＝（≠0）的图像及性质、最值问题（1）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质。
（2）抛物线y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与a ，b ，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴x=c bx ax ++2a 42-+m m x x 2242=-+m m 2+m 3-=m c bx ax ++2a 2ba－的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=，顶点（－，）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴x=－的右侧，y 随x 的增大而减小，此时y 有最大值为y=，顶点（－，）为最高点。
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节的内容，主要是对二次函数的知识进行回顾和思考。
教材中通过一些例题和练习题，让学生巩固二次函数的基本知识，并且通过对二次函数图像的分析，让学生深入理解二次函数的性质。
教材还引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一段时间的二次函数知识，对于二次函数的基本概念、图像和性质有一定的了解。
但是，学生对于二次函数在实际生活中的应用可能还不够清晰。
因此，在教学这一节内容时，需要帮助学生巩固二次函数的基本知识，并且引导学生思考二次函数的实际应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生的解题能力和数学思维能力。
3.情感态度与价值观：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.难点：二次函数在实际生活中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法和实践法。
同时，我会利用多媒体课件和板书，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.回顾二次函数的基本知识：通过PPT展示和板书，回顾二次函数的定义、图像和性质。
3.例题讲解：通过一个典型例题，讲解二次函数的解题方法，培养学生解题能力。
4.练习题：让学生自主完成练习题，巩固二次函数的知识。
5.实际应用：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
6.小结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的基本知识和实际应用。
7.作业布置：布置一些有关二次函数的练习题，让学生进一步巩固知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.二次函数的定义2.二次函数的图像3.二次函数的性质4.二次函数的解题方法5.二次函数在实际生活中的应用八. 说教学评价教学评价主要通过学生的练习题和课堂表现来进行。
二次函数知识点如何回顾
二次函数知识点如何回顾二次函数知识点回顾一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
3. 二次函数的顶点：当二次项系数a>0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。
4. 二次函数的对称性：二次函数关于顶点对称。
二、图像与方程1. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 零点与解：二次函数与x轴相交的点称为零点，求零点可将二次函数转化成一元二次方程，通过因式分解、配方法或求根公式等方式求解。
3. 判别式：一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac可判断方程的根的性质。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根。
4. 方程与系数的关系：根据顶点坐标与零点，可以建立方程与系数a、b、c之间的关系。
三、求解问题1. 二次函数的最值问题：当a>0时，二次函数取得最小值；当a<0时，二次函数取得最大值。
2. 二次函数的零点问题：通过求一元二次方程的根，可得到二次函数与x轴的交点，进而解决实际问题。
3. 二次函数的模型应用：二次函数可应用于物理学、经济学、几何学等领域，如抛物线的轨迹、降落伞的速度等。
四、性质与变形1. 二次函数的平移：二次函数的平移变化可以通过改变顶点坐标实现。
2. 二次函数的拉伸与压缩：当二次项系数a>1时，抛物线比原来更加瘦长；当0<a<1时，抛物线比原来更加宽扁。
3. 二次函数的翻转：当二次函数沿y轴翻转时，方程变为y = -ax^2 - bx - c。
五、常用公式1. 顶点坐标公式：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 零点公式：求解一元二次方程的根可使用求根公式x = (-b±√Δ)/2a。
九下第2章2.二次函数回顾与思考
九下第二章二次函数一．备课标1.内容标准：能结合图像对简单实际问题中的二次函数关系进行分析。
能确定简单实际问题中二次函数自变量的取值范围，并会求出二次函数值。
能用适当的二次函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
结合对二次函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
2. 数学思想、方法（十大核心概念）：在本节课中突出培养的是模型思想、符号意识和推理能力。
二、备重点、难点：（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》针对二次函数解析式的确定的复习课，属于“数与代数”领域中的“函数”。
纵观整个函数的内容，二次函数是函数学习的最后学习内容。
本节课主要是掌握二次函数解析式的一般确定方法，对于实际生活中的问题能用“建模”的思想转化为数学中的二次函数问题。
对于发展学生的理性思维，发展学生获取信息的能力，让学生在解析式的确定过程中体会模型思想。
（二）重、难点分析：本节课从本章知识图入手，让学生感受到本节课在二次函数知识体系中的地位，同时在学习过程中培养学生获取信息的能力，让学生在二次函数解析式确定中能够发展模型意识。
重点：(1)各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路。
(2)在实际问题中求二次函数解析式如何建立恰当的坐标系。
难点：实际问题中会依托“二次函数”进行建模。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。
（2）支持性条件：学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。
学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。
2.起点能力分析：九年级学生对于一些一般的问题用“转化”的思想化归到已解决过的问题上，对于实际生活中的问题能用“建模”的思想转化为数学中的二次函数问题。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：于实际生活中的问题能用“建模”的思想转化为数学中的二次函数问题，对于探索规律中的“差为等差”的问题会用二次函数的解析式进行解决。
九年级数学下册第二单元回顾与思考
二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图
象向左（或向右）平移得到： 当h＞0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 当h＜0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2+k的图象的关系
b2-4ac＞0
b2-4ac=0 b2-4ac＜0
抛物线与x轴有2个交点； 抛物线与x轴有1个交点； 抛物线与x轴没有交点。
二次函数y=ax2+bx+c的值恒大于0 （或恒小于0）的条件
y恒大于0
y恒小于0
a ＞0
b2-4ac＜0
a＜0
b2-4ac＜0
二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是
二次函数y=ax2+bx+c的性质
当a﹥0时：抛物线开口向上。
4ac-b2 b b 对称轴是x=,顶点坐标是 （- 2a ， 4a ) 2a b 当a﹥0时,在对称轴的左侧，即当x＜时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 2a 时， y随x的 增大而增大。简记左减右增。抛物线有最低 b 2 4ac-b y y最小值= 点，当x=时， 2a 4a
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线
y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,3;bx+c的图象的画法
1. 2.
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特 征是：（1）有开口方向；（2）有对称轴；（3） 有顶点。所以，画二次函数的图象通常采用简化 了的描点法——五点法，其步骤是： 先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在 直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴； 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点；当抛物线 与x轴有两个交点时，描出着两个交点A、B及抛 物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这 五个点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向 下延伸，就得到二次函数的图象。
北师大版初中数学九年级下册教案 第二章 二次函数 回顾与思考(2)
第二章二次函数《回顾与思考》（2）一、教学目标能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题二、教学重点和难点重点：能利用二次函数解决实际问题难点：能利用二次函数解决实际问题三、教学过程（一）最大值问题（1）最大高度问题；（2）最大利润问题；（3）最大面积问题例1：最大高度问题竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).例2：最大利润问题某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40～70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?例3：最大面积问题一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？（二）需建立坐标系问题例3：一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m)（三）课下作业 1.已知二次函数21y ax bx c=++（a ≠0）与一次函数2y kx m=+（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是（ ）A.2x <-B.8x >C.28x -<<D.2x <-或8x >2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=-121（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是____m ．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C （0，－3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.yx2题图B AO4.如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(0-，、，，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．。
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二次函数回顾与思考
一、填空题： ⑴．抛物线()522
12+--=x y 的对称轴是 .这条抛物线的开口向 . ⑵.用配方法将二次函数1232--=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式是 .
⑶．已知二次函数32++=bx x y 的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数x x y 42+-=的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y 随x 的增大而 ⑸．已知抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是（-2，3），则bc = . ⑹．若抛物线c x x y +-=242的顶点在x 轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是 .
⑻. 若抛物线()x m mx y 122+-=经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是 .
⑽. 若抛物线()4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是
二、选择题：
⑴． 若直线y=ax+b 不经过一、三象限，则抛物线c bx ax y ++=2（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y 轴;
(B) 开口向下，对称轴是y 轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1;
(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点⎪⎭
⎫ ⎝⎛b c a P ,在（ ）.
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线171222+-=x x y ,下列结论正确的是（ ）.
(A) 对称轴是直线x=3,有最大值为1;
(B) 对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
(C) 对称轴是直线x=-3,有最大值为1;
(D) 对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m 与抛物线2x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是( ).
(A) m ﹥41-; (B)m ﹤4
1-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41. ⑹.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 ⑺. 抛物线232+-=x x y 不经过（ ）.
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) 342---=x x y , (B)342+--=x x y ,
(C) 342--=x x y ,(D) 342-+-=x x y ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线542-+=x x y 与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个. ⑽．已知反比例函数x k y =
的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）
三、解答下列各题： ⑴. 已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线()8122++-=x y ,①求抛物线与y 轴的交点坐标;②求抛物线与x 轴的两个交点间的距离.
y
O x A ． y O x B ． y O x C ． y O x D ．
⑶.已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线k x x y +-=42的顶点A 在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x 轴交于B,C 两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC 的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。
⑴求△ABC 中AB 边上的高h;
⑵设DG=x,当x 取何值时，水池DEFG 的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
A B C D E F G。