第九章 微分方程
第九章微分方程1
故所求函数为 s 1 t 3 2t 5
3
4
1. 微分方程 含有未知函数及其导数的等式.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.
未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
2. 微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数。
解: 分离变量得:
dy 2xdx, y
两边积分得
:
dy y
2 xdx,
ln | y | x2 C1, C1是任意常数.
| y | e x2C1 eC1e x2 ,
y eC1e x2 ,
记 eC1 C, 得 : y Ce x2 ,C是任意常数.
此题也可以这样求解 : 两边积分得 : ln y x2 lnC,
dy 3x2, (1) dx
(1)的两边积分得: y 3x2dx x3 C, C是任意常数,
由y(1)=2, 得: 1+C=2, C=1,
所求曲线方程为: y x3 1.
3
例2.一物体作变速直线运动，开始时(t 0秒)离点O的距离为5米，
速度为 2 m / s．现以 2t m / s2 的加速度远离点O． 求物体离点 O 的距离 s 与时间 t 的函数关系 s s(t)．
y y( x)所满足的方程。
解：如图所示
y A(0, a) Q( x, y) y y(x)
a
dy y dx | NP | 又 y(0) a
y a2 y2
0 N Px
所以这是一个初值问题，
即
y
y a2 y2
y(0) a
14
例7.有一半径为1 (m)的半球形容器, 盛满水, 水从底部小孔流出. 已知小孔截面积A=1(cm2). 从水力学知: 当水面高度为h (cm)时,
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
30第九章 连续时间：微分方程
• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
第九章 连续时间：微分方程
c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a
其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
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（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
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第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
第九章 微分方程
满足y(0)=1,y’(0)=-6的特解为： 的特解为： 满足 的特解为
y=-e2x+2e-2x
9.2 一阶微分方程
一般形式： 一般形式： 常见形式： 常见形式：
F( x, y, y′) = 0
y′ = f (x, y)
. 例4 求方程xydx + (1+ x2 )dy = 0 通解
解 分离变量 两端积分
x 1 dx + dy = 0 2 1+ x y
1 ln(1+ x2 ) + ln y = ln c 2 c 2 为所求通解 ⇒ y 1+ x = C ∴ y =
1+ x
2
已知某商品需求量Q,对价格 例5:已知某商品需求量 对价格 的弹性ε = −0.02 p 已知某商品需求量 对价格p的弹性 ， 且该商品的最大需求量为200，求需求函数 。 且该商品的最大需求量为 ，求需求函数Q。
y′′ + 2 y′ − 3 y = e , (t 2 + x)dt + xdx = 0,
x
∂x
常微分方程
偏微分方程
实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式. 实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式.
2、微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 最高 为微分方程的阶. 为微分方程的阶.
正规型
一、可分离变量的微分方程 能化成： 能化成：f(x)dx=g(y)dy 的方程 称为可分离变量的微分方程 解法：分离变量，两边直接积分即可。 解法：分离变量，两边直接积分即可。 例1 求解微分方程 (2x −1)dx − dy = 0 的通解 . 解：分离变量，得 (2x-1)dx=dy 分离变量， 此即所求的通解. 两边积分得： 此即所求的通解 两边积分得：y=x2-x+C,此即所求的通解
第九章 微分方程与差分方程简介
第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。
四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。
微积分(下册)第二版 第9章 微分方程
又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
2023/8/29
2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
2023/8/29
5
§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx
第九章微分方程
线性微分方程。
（ 6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常
系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（ 7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点
1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
或
dx Q( x, y)
Pdx Qdy 0
注 3：在一阶方程种， x 和 y 的关系是等价的 .因此，有时可将 x 看成函数， y 看做变量。 § 9.2 可分离变量的微分方程
一、内容要点： 可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。
本单元的讲课提纲： 然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离变量法。重点是微分方程的阶、
解下列方程（第 1-6 题）
1、 (1 x) y y x, y(0) 2
2、 f ( x) ex
ex
x
f
x
2
dx, f 可微
0
3、 1 x 2 sin 2y y 2x sin 2 y e2 1 X 2
4、 ( y 4 3x 2 )dy xydx 0
5、 y 2xy 2 0, y(0) 1, y (0) 1 2
通解与特解等概念， 分离变量法。 难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量
方程的方法，以及具体积分方法。 二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题： ( x) dx 通常只表示一个原函数，积分常数
线性微分方程及差分方程
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
各种 微分方程的概念及其解法
第九章微分方程第一节基本概念一.解释下列名词术语1．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程.注意：（1）微分方程的一般形式：，在这个方程中是自变量，是的未知函数，是对的一阶、二阶、n阶导数；（2）方程中未知函数及自变量的记号可以不出现，如：；但未知函数的导数则必须出现.2.微分方程的阶：微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数.如：是一阶是二阶是n阶3.微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.例如：是的解.4.微分方程的通解：n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解.例如：是的通解；但是的解，而非通解.注意：这里要说明一下“两个常数独立”的含义----即对于任意给定的不同的的取值，则应得到不同的解，则称两个常数是互相独立的.之所以不是的通解，就是因为不是互相独立的.比如：取或者都可得到解.5.微分方程的初始条件：用来确定通解中的任意常数的一种定解的条件.一阶微分方程的初始条件通常为二阶微分方程的初始条件通常为例如：已知是的通解，可由初始条件通常为。
初始条件的个数与微分方程的阶数相同。
6.微分方程的特解：通解中所含的所有任意常数都确定后的解。
比如：是的满足初始条件的特解。
7.积分曲线：微分方程的解的图形（特解是一条积分曲线；通解是一组积分曲线）二。
用微分方程求解实际问题中的未知函数的步骤：1.建立微分方程和初始条件（难点）；------这通常使一部分同学感到为难，因为它除了需要数学知识之外，还往往要用到力学、物理学、化学、电学、工程技术等方面的知识，甚至还要用到语文的知识。
2.求通解；3.求特解。
我们这一章的重点是：给定一个微分方程，如何求其通解或特解.第二节一阶微分方程一.可分离变量的微分方程求解微分方程有一个特点：就是“对号入座”,什么样的微分方程，就用什么方法去解决,这几乎成了一个固定的格式.因此，判定所给的方程是什么类型就是首要问题。
这是本章的特点.今天，就给大家介绍一种最简单的一阶微分方程：可分离变量的微分方程.1.引例求解解：因为，所以是是的一个原函数。
第九章 fx微分方程与差分方程简介
y′ = p(y)
p = ψ ( y , C1 )
dp dy′ =p y′′ = dx dy
y′ = ψ ( y , C1 )
dy ∫ ψ ( y , C1 ) = x + C 2 .
3
第九章 微分方程与差分方程简介
7.
y′′ + py′ + qy = 0
2
λ + pλ + q = 0
x 1 1 2 = − + y + C. y y 2
1 3 x = −1 + y + Cy . 2
′ = ± 1 − u2 xu du dx ± = . 2 x 1− u
7
5. 求以 y = Ce
第九章 微分方程与差分方程简介
− x2
为通解的微分方程 . − x2 y ′ = − 2 xCe = − 2 xy y ′ + 2 xy = 0 . x 2x x −x 6. 已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e ,
y 3 = xe x + e 2 x − e − x 为二阶线性非齐次
微分方程的三个解，求 此微分方程 . 微分方程的三个解， 因Y1 = y1 − y3 = e− x , Y2 = y1 − y2 = e2x − e−x , Y3 = Y1 +Y2 = e2x ,
e 和 e 是二阶线性齐次微分方 程线性无关特解， λ1 = −1, λ 2 = 2, (λ + 1)(λ − 2) = 0, λ2 − λ − 2 = 0.
2
5. y′′ = f ( x , y′ ) y′ = p(x) y′′ = p′(x) p′ = f ( x , p ) p = ϕ ( x , C1 ) y′ = ϕ ( x , C1 )
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
第九章微分方程
例 以点A(0,a)为起点，在第一象限内求一曲线， 使曲线上任一点P处所作切线与x轴交于T，且 |PT|=|OT|
2 利用物理意义建立微分方程
例 某种气体的气压p对于温度T的变化率与气压成 正比，与温度的平方成反比，求函数p(T)满足的微 分方程。
解：dp k p ,(k 0) dT T 2
1
X Y
X
令u Y ， X
方程变为u X du 1 u , 分离变量法得 dX 1 u
X 2(u2 2u 1) C, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回， 得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C, 或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
dx P( y)x Q( y) dy
此时x看作y的函数，其通解为
x
e
P(
y )dy
(C
Q(
y
)e
P
(
y
)dy
dy)
e tan ydy (C
2
sin
ye
tan
ydy
dy)
cos y(C 2lncos y)
例10 有一个质量为m的质点，从液面由静止 状态开始垂直下沉，设在沉降过程中质 点所受的阻力与沉降速度v成正比，比 例系数为k (k>0)，试求质点下沉速度v 及位置x与沉降时间t的关系。
dy g( x) h( y) dx
❖ 一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) dx
❖ 齐次型方程 ❖ 伯努利方程
dy f ( y ) dx x
dy P( x) y Q( x) yn dx
可分离变量的微分方程 (分离变量法)
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
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(9 7) 是方程 (9 1) 所有解的一般表达式 .
定义9.3 如果方程 (9 5)的解中含有n个独立的任意 常数，则称这样的解为方程 (9 5) 的通解. 而通解中 给任意常数以确定值的解, 称为方程 (9 5) 的特解. 求特解的步骤： 然后再根据实际 首先要求出方程 (9 5) 的通解， 情况给出确定通解中n个常数的条件, 称为定解条件, 最后根据定解条件求出满足条件的特解. 由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题.
2
3 2 y 4
( C 为正常数 )
dy 例3 求解逻辑斯蒂方程 ay( N y ) 的通解 , 以及 dx 1 y(0) N 的特解 , 式中 a 0 , N y 0 . 4 dy 解 分离变量, adx y( N y )
即有
1 1 y N
dy aNdx y
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
dW 0.05W 30 得到方程 dt dW (2) 分离变量, 得 0.05 dt W 600
积分, 得 于是 或
ln W 600 0.05 t ln C
(C为正常数 )
W 600 Ce0.05t
W 600 Ae0.05t ( A C )
形如 (9 3)的方程通常称为逻辑斯谛方程, 在很多领 域有广泛应用.
例4 若设某商品在时刻 t 的售价为 P , 社会对该商品
的需求量和供给量分别是 P 的函数 D( P ), S ( P ), 则 在 t 时刻价格 P (t )对于时间 t 的变化率可认为与该 商品在同时刻的超额需求量 D( P ) S ( P )成正比, 即
第九章
微分方程
§9.1 微分方程的基本概念 §9.2 一阶微分方程
§9.3 二阶常系数线性微分方程
§9.4 微分方程在经济学中的应用
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§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
二、微分方程的解
一、微分方程的定义
定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导 数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中 出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方 程的阶. 例如， y xy ,
常见的定解条件是
( n1) y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y1 , , y ( x0 ) yn1 ,
( 9 8)
(9 8) 又称为初始条件 , 其中 y0 , y1 ,, yn1 为给定 常数 .
相应的定解问题又称为微分方程的初值问题.
作业
P
§9.2 一阶微分方程
dy 2( x 1)2 (1 y 2 ) 的通解 . 例1 求方程 dx
解
分离变量, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 2 1 y
两边积分, 得
1 2 d y 2 ( x 1 ) dx 1 y2
2 即得通解 arctan y ( x 1)3 C ( C为任意常数 ) 3
有微分方程
dP k[ D( P ) S ( P )] ( k 0) dt
系.
( 9 4)
在 D( P )和 S ( P )确定的情况下, 可解出价格与 t 的关
未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.
n 阶 ( 常 ) 微分方程的一般形式是
( xy y )dx ( x 2 xy )dy 0 ,
2
y y 2 dy xy y x x 2 . dx x 2 xy y 1 2 x 所以该方程是齐次方程.
dy y 齐次方程 f 的解法： dx x y 令 u 或 y xu x 其中 u 是新的未知函数 u u( x ) ,
F ( x, y, y,, y( n) ) 0
n 阶线性常微分方程的一般形式：
(9 5)
y ( n ) a1 ( x ) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ) ( 9 6) 不能表示成形如 (9 6) 形式的微分方程，统称为非 线性方程.
其中 r 为常数, 方程表述的定律称为群体增长的马尔
萨斯律.
例3 在推广某项新技术时, 若设该项技术需要推广
的总人数为 N , t 时刻已掌握技术的人数为 P (t ), 则
新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成 正比, 即有微分方程
dP aP ( N P ) (a 0) dt ( 9 3)
1 1 2 ~ ln u u ln x ln C 2 2
积分, 得
即 ue
u2
~2 Cx 2 , C C
y 将 u 回代, 得方程通解 x
ye
y2 2 x
Cx 3
其中 C 为任意常数 .
例7 设商品 A 和商品 B 的售价分别为 P1 , P2 , 已知
价格 P1 与 P2 相关 , 且价格 P1 相对于 P2 的弹性为 P2dP1 P2 P1 , 求 P1 与 P2 的函数关系式 . P1dP2 P2 P1
两边积分, 得
y ln aNx ln C ln CeaNx Ny
y 由于 0 , 整理得通解 Ny CNe Nax y 1 Ce Nax
1 1 将 y(0) N 代入 , 得 C , 4 3
(C为正常数 )
于是所求特解为
Ne y Nax . 3e
Nax
例4 某公司t 年净资产有 W (t ) (单位 : 百元) , 并且
所给方程为齐次方程, 整理得 p1 1 dP1 P2 P1 dP2 1 P1 P2 P2 P1 1 u 令 u , 则有 P2 u u u P2 1 u 解
2
y 2 y 3 y e x ,
z x y x
(t x )dt xdx 0,
实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式.
例1
著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时
发现, 如果自由落体在 t 时刻下落的距离为 x, 则
d2 x 加速度 2 是一个常数 , 即有方程 dt d2 x 2 g dt
则 u a 是新方程的解, 代回原方程 ,
得齐次方程的特解 y ax .
y y 例5 求方程 y tan 的通解 . x x 解 所给方程为齐次方程, 令 u y , 代入原方程, x xd u 即 tan u 得 xu u u tan u, dx 1 积分, 得 分离变量, 得 cot udu dx x
二、微分方程的解
定义9.2
设函数 y ( x )在区间 I 上存在 n 阶导数.
如果将 y ( x )代入方程(9 5)后, 使方程(9 5)在 I
上为恒等式 , 则称函数 y ( x )是方程(9 5)在 I 上
的解. 如果关系式 ( x, y ) 0所确定的隐函数 y
ln sin u ln x ln C ln xC
y 即 sin u Cx 将 u 代入上式 , 即得方程通解 x y sin Cx ( y x arcsin Cx ) 其中 C 为任意常数 . x
例6 求方程 ( x 3 2 xy2 )dy (2 y 3 3 yx 2 )dx 0 的通解 .
y xu u
(9 13)
代入方程 ( 9 12 ) ，得 分离变量再积分，得
du x f ( u) u dx
du dx ln x C f ( u) u x
(9 14)
y 将 u 回代 , 即可得通解 . x
注意
当有常数 a , 使 f (a ) a 0,
资产本身以每年 5% 的速度连续增长 , 同时该公司每
年要以30百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产 W (t ) 的微分方程;
(2) 求解方程 , 这时假设初始净资产为W0 ;
( 3) 讨论在 W0 500, 600, 700 三种情况下 , W ( t ) 的变 化特点.
解 (1) 利用平衡法, 即由
将 W (0) W0 代入 , 得方程通解:
W 600 (W0 600)e
0.05t
上式推导过程中W 600,
dW 0, 可知 W 600 W0 , 当W 600 时 , dt 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中.
(3) 由通解表达式可知, 当W0 500 百万元时 ,
从而解得落体运动的规律:
1 2 x ( t ) gt , 2
(9 1)
这是微分方程应用的最早的一个例子.
例2 设某地区在 t 时刻人口数量为 P (t ), 在没有人员 迁入或迁出的情况下, 人口增长率与 t 时刻人口数
P (t )成正比, 于是有微分方程
dP ( t ) rP ( t ) dt ( 9 2)
对（9-10）两边积分, 得通解
f ( x ) d x g( y ) d y C
例如 dy ( x )h( y ) , dx
(9 11)
M 1 ( x ) M 2 ( y )dy N 1 ( x ) N 2 ( y )dx 0 .
均为可分离变量方程. 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法.
( x )是方程(9 5)的解, 则称 ( x , y ) 0 是方程 (9 5)
在区间 I 上的隐式解 .
1 2 1 2 可以验证， 函数 x gt , x gt C1t C 2 ( C1 , C 2 2 2 是任意常数 ) 都是方程 (9 1) 的解 .